LVCH.00261- TT

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG Họ tên học viên ĐỖ BẢO CHÂU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN QUI HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội – Năm 2[.]

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG - Họ tên học viên ĐỖ BẢO CHÂU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN QUI HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Hà Nội – Năm 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG Họ tên học viên: ĐỖ BẢO CHÂU Mã học viên: C00251 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TỐN QUI HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH : TOÁN ỨNG DỤNG MÃ SỐ : 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS TS TRẦN VŨ THIỆU Hà Nội – Năm 2016 MỞ ĐẦU Qui hoạch phân tuyến tính toán tối ưu với hàm mục tiêu phân thức affine (tỉ số hai hàm tuyến tính affine) với ràng buộc đẳng thức hay bất đẳng thức tuyến tính Qui hoạch phân tuyến tính mở rộng trực tiếp qui hoạch tuyến tính có nhiều tính chất giống với qui hoạch tuyến tính Chẳng hạn, cực tiểu (cực đại) toán cực tiểu (cực đại) tồn cục lời giải (nếu có) đạt đỉnh tập ràng buộc, só thuật tốn giải qui hoạch phân tưyến tính dựa thuật tốn đơn hình giải qui hoạch tuyến tính, v.v Mặt khác, qui hoạch phân tuyến tính lại trường hợp riêng qui hoạch phi tuyến nói chung (nhưng đơn giản hơn), thường dùng để mơ tả tốn thực tế với hay nhiều mục tiêu (chẳng hạn, lợi nhuận / chi phí, sản phẩm / số lao động, ) ứng dụng rộng rãi lập kế hoạch sản xuất nhiều ngành khác kỹ thuật, kinh tế, tài chính, Một tốn qui hoạch phân thức sớm mơ hình tăng trưởng kinh tế Von Neumann nêu năm 1973 Đề tài luận văn "Một số phương pháp giải toán qui hoạch phân tuyến tính" nhằm tìm hiểu giới thiệu khái qt tốn qui hoạch phân tuyến tính, ứng dụng toán, tồn nghiệm tính chất nghiệm tối ưu tốn số thuật tốn giải gần đây, có thuật tốn giải qui hoạch phân tuyến tính giá trị tuyệt hệ số khoảng hàm mục tiêu, nêu tài liệu [5] Nội dung luận văn gồm ba chương Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương nhắc lại số kiến thức tập lồi, tập lồi đa diện, hàm lồi, hàm lõm tính chất cực trị hàm Cuối chương nhắc lại định nghĩa tính chất hàm phân thức affine 1.1 TẬP LỒI VÀ TẬP LỒI ĐA DIỆN 1.1.1 Tập lồi khái niệm có liên quan Định nghĩa 1.1 Tập C  ℝ gọi tập lồi a + (1 - )b  C n với a, b  C ≤  ≤ Nói cách khác, tập C lồi chứa trọn đoạn thẳng nối hai điểm thuộc Nói riêng, tập , tập gồm phần tử tồn khơng gian ℝ tập lồi n • Từ định nghĩa tập lồi trực tiếp suy số tính chất đơn giản sau đây: a) Giao họ tập lồi tập lồi b) Tổng hai tập lồi hiệu hai tập lồi tập lồi c) Nếu C  ℝ , D  ℝ lồi tích C × D = {(x, y) : x  C, y  D} m tập lồi ℝ m+n n (Có thể mở rộng cho tích nhiều tập lồi) d) Tập M tập afin M = a + L với a  M L không gian con, gọi không gian song song với M, hay tương đương: M tập afin M tập nghiệm hệ phương trình tuyến tính, tức có biểu diễn M = {x  ℝ : Ax = b, A  ℝ n m×n , b  ℝ } Giao số bất m kỳ tập afin tập afin Định nghĩa 1.2 a) Điểm x  ℝ có dạng x = 1a + 2a + + ka với a  n k i ℝn, i ≥ 0, 1 + + k = 1, gọi tổ hợp lồi điểm a1, a2, , ak b) Điểm x  ℝ có dạng x = 1a + 2a + + ka với a  ℝ , 1 + 2 + n k i n + k = 1, gọi tổ hợp afin điểm a , a , , a k c) Điểm x  ℝ có dạng x = 1a + 2a + + ka với a  ℝ , i ≥ 0, gọi n k i n k tổ hợp tuyến tính khơng âm hay tổ hợp nón điểm a , a , , a Định nghĩa 1.3 Cho tập E ℝ a) Giao tất tập afin n chứa E gọi bao afin E, ký hiệu aff E Đó tập afin nhỏ chứa E b) Giao tất tập lồi chứa E gọi bao lồi E, ký hiệu conv E Đó tập lồi nhỏ chứa E Định nghĩa 1.4 a) Thứ nguyên (hay số chiều) tập afin M, ký hiệu dim M, số chiều không gian song song với Qui ước dim  = - b) Thứ nguyên (hay số chiều) tập lồi C, ký hiệu dim C, thứ nguyên hay số chiều bao afin aff C Một tập lồi C ℝ gọi có n thứ nguyên đầy đủ (full rank) dim C = n Định nghĩa 1.5 Một tập K ℝ gọi nón (cone) hay tập n nón (mũi 0) với x  K  > x  K Nón K gọi nón lồi (convex cone) K tập lồi 1.1.2 Tập lồi đa diện khái niệm có liên quan Định nghĩa 1.6 Tập lồi đa diện giao số hữu hạn nửa khơng gian đóng Nói cách khác, tập nghiệm hệ hữu hạn bất phương trình tuyến tính: ai1x1 + ai2x2 + + ainxn ≤ bi, i = 1, 2, , m, nghĩa tập x nghiệm Ax ≤ b với A = (aij) ∈ R m×n (1.1) T , b = (b1, , bm) Một tập lồi đa diện bi chặn (giới nội) không bị chặn (không giới nội) Một tập lồi đa diện bị chặn gọi đa diện lồi Các đa giác lồi theo nghĩa thông thường mặt phẳng hai chiều (tam giác, hình vng, hình trịn, ) ví dụ cụ thể đa diện lồi ℝ Cho D tập lồi đa diện xác định hệ bất phương trình tuyến tính (1.1) Sau để đơn giản, ta giả thiết D không chứa đường thẳng (tức ∄a, b ∈ D cho a + (1 - )b ∈ D với  ∈ ℝ) Định nghĩa 1.7 Điểm x ∈ D gòi đỉnh D i i i T rank {a : = bi} = n (với a = (ai1, , ain) , i = 1, , m) Định nghĩa tương đương: x ∈ D đỉnh D x điểm nằm 0 bên đoạn thẳng nối hai điểm thuộc D 2 i i Định nghĩa 1.8 Đoạn thẳng [x , x ], x ≠ x , gọi cạnh hữu hạn i D x , x đỉnh D rank {a : = = bi} = n - Định nghĩa 1.9 Tia  = {x + d :  ≥ 0} ⊆ D, x ∈ D, d ∈ ℝ , 0 n gọi cạnh vô hạn D rank {a : = bi, ∀x ∈ } = n - i i Định nghĩa 1.10 Véctơ d ∈ ℝ , d ≠ 0, gọi hướng lùi xa D n ∃x ∈ D cho {x + d :  ≥ 0} ⊆ D Tập hợp hướng lùi xa D cộng với gốc tạo thành nón lồi đóng, gọi nón lùi xa D, ký hiệu rec D Định nghĩa 1.11 Hướng lùi xa d D gọi hướng cực biên không tồn hai hướng lùi xa khác d , d cho d = 1d + 2d với 1, 2 > 2 Có thể chứng minh tập lồi đa diện D không bị chặn rec D ≠ {0}, nghĩa D có hướng lùi xa Trong toán tối ưu, ta thường gặp tập lồi đa diện có dạng S = {x ∈ ℝ : Ax ≤ b, x ≥ 0} với A ∈ ℝ m×n n ,b∈ℝ , m tức S tập nghiệm không âm hệ (hữu hạn) bất phương trình tuyến tính Tập không chứa đường thẳng (do x ≥ 0) nên S có đỉnh Từ định nghĩa nêu cho thấy: k k k a) x ∈ S đỉnh ⇔ rank ({a : = bk} ∪ {e : x 0k = 0}) = n b) Các hướng cực biên (chuẩn hóa) S nghiệm sở hệ Ay ≤ 0, T e y = 1, y ≥ 0, eT = (1, , 1) c) Giả sử tia  = {x + d :  ≥ 0}, x đỉnh d hướng 0 cực biên S Khi  cạnh vô hạn S rank ({a : = bk, ∀x ∈ } ∪ {e : xk = 0, ∀x ∈ }) = n - k k k 1.2 HÀM LỒI, HÀM LÕM VÀ MỞ RỘNG Mục nhắc lại khái niệm hàm lồi, hàm lõm số hàm mở rộng Định nghĩa 1.12 a) Hàm f : S → ℝ xác định tập lồi S  ℝ gọi n hàm lồi S với x, y  S số thực   [0, 1] ta có f[x + (1 - )y] ≤ f(x) + (1 - )f(y) b) Hàm f gọi hàm lồi chặt S với x, y  S, x ≠ y, số thực   (0, 1) ta có f[x + (1 - )y] < f(x) + (1 - )f(y) Hiển nhiên, hàm lồi chặt hàm lồi, điều ngược lại không Định nghĩa 1.13 a) Hàm f gọi hàm lõm (hàm lõm chặt) S - f hàm lồi (hàm lồi chặt) S b) Hàm f gọi hàm tuyến tính afin S f vừa lồi, vừa lõm S Một hàm tuyến tính afin ℝ có dạng f(x) = a x +  với a  ℝ ,   ℝ, n T n với x, y  ℝ   [0, 1] ta có n f[x + (1 - )y] = f(x) + (1 - )f(y), Hàm tuyến tính trường hợp riêng hàm tuyến tính afin,  = Tuy nhiên, hàm afin (nói riêng, hàm tuyến tính) khơng lồi chặt hay lõm chặt Định lý sau nêu mối liên hệ đáng ý hàm lồi tập lồi Định lý 1.1 Giả sử f : ℝ → ℝ hàm lồi ℝ   ℝ Khi đó, n n tập mức C = {x : f(x) < }, C = {x : f(x) ≤ } tập lồi Tương tự, f hàm lõm ℝ   ℝ tập mức n C = {x : f(x) > }, C = {x : f(x) ≥ } tập lồi Tuy nhiên, mệnh đề đảo định lý không Sau xét số mở rộng hàm lồi hàm lõm Định nghĩa 1.14 Hàm f mà tập mức tập lồi gọi hàm tựa lồi Hàm f mà tập mức tập lồi gọi hàm tựa lõm Để ý f tựa lõm - f tựa lồi Định nghĩa khác (tương đương) hàm tựa lồi Cho f : S → ℝ, S tập lồi khác rỗng ℝ Hàm f n gọi tựa lồi với x, y  S ta có bất đẳng thức f[x + (1 - )y] ≤ max {f(x), f(y)} với   (0, 1) Ví dụ 1.2 f(x) = x , f(x) = x ℝ hàm tựa lồi, không lồi Định nghĩa 1.15 a) Cho Tập lồi, khác rỗng S  ℝ Hàm f : S → ℝ n gọi tựa lồi chặt với x, y  S f(x) ≠ f(y) ta có f[x + (1 - )y] < max {f(x), f(y)} với   (0, 1) b) Hàm f gọi tựa lõm chặt - f tựa lồi chặt Định nghĩa 1.16 Cho S tập lồi mở, khác rỗng ℝ f : S → ℝ n hàm khả vi S Hàm f gọi giả lồi với x, y  S mà f(x) (y T x) ≥ ta có f(y) ≥ f(x) hay nói cách khác, f(y) < f(x) f(x) (y - x) < T Hàm f gọi giả lõm - f giả lồi Định lý 1.2 Giả sử S tập lồi mở, khác rỗng ℝ f : S → ℝ n hàm giả lồi, khả vi S Khi đó, f đồng thời hàm tựa lồi tựa lồi chặt 1.3 CỰC TIỂU VÀ CỰC ĐẠI CỦA HÀM LỒI Định nghĩa 1.17 x*  S gọi điểm cực tiểu địa phương f S có  > cho f(x*) ≤ f(x) với x  S ||x - x*|| <  Nếu f(x*) < f(x) với x  S, x ≠ x* ||x - x*|| <  x* gọi cực tiểu địa phương chặt f S Định nghĩa 1.18 x*  S gọi điểm cực tiểu toàn cục f S f(x*) ≤ f(x) với x  S Nếu f(x*) < f(x) với x  S, x ≠ x* x* gọi cực tiểu toàn cục chặt f S Các khái niệm cực đại địa phương, cực đại địa phương chặt, cực đại toàn cục cực đại toàn cục chặt định nghĩa tương tự Đối với hàm tùy ý f tập S, ta ký hiệu tập tất điểm cực tiểu (cực đại) toàn cục f S Argmin x∈ S f(x) (Argmax x∈ S f(x)) Tập {f(x) : x  S} gọi miền trị hàm f Có hai khả xảy ra: a) Tập {f(x) : x  S} bị chăn dưới, nghĩa có số  > - ∞ cho  ≤ f(x) với x  S Trong trường hợp cận lớn {f(x) : x  S} x số thực ký hiệu inf x  S f(x) Chẳng hạn, inf x ℝ e = b) Tập {f(x) : x  S} không bị chăn dưới, tức tập chứa số thực nhỏ tùy ý Trong trường hợp ta viết inf x  S f(x) = - ∞ Định lý sau nêu tính chất đặc trưng cac hàm lồi Định lý 1.3 Cho S tập lồi, khác rỗng ℝ f : ℝ → ℝ n n hàm lồi Mọi điểm cực tiểu địa phương f S điểm cực tiểu toàn cục Tập tất điểm cực tiểu f S tập lồi Với hàm lồi chặt ta có tính chất đáng ý sau Định lý 1.4 Một hàm lồi chặt f tập lồi S có nhiều điểm cực tiểu S Ví dụ 1.3 Hàm lồi chặt f(x) = (x - 5) có điểm cực tiểu x* = 5, hàm lồi chặt f(x) = e + (x  ℝ) khơng có điểm cực tiểu x Định lý 1.4 mở rộng cho hàm tựa lồi chặt (xem Định nghĩa 1.15) Định lý 1.5 Cho S tập lồi, khác rỗng ℝ f : ℝ → ℝ n n hàm tựa lồi chặt Mọi điểm cực tiểu địa phương f S điểm cực tiểu toàn cục Trước bàn tới cực đại hàm lồi ta nhắc lại khái niệm điểm cực biên Định nghĩa 1.19 Cho tập lồi C  ℝ , x  C điểm cực biên C n khơng có x , x  C (x ≠ x , x ≠ x ),   (0, 1) cho x = x + (1 - )x 2 0 Định lý 1.6 Cho S tập lồi compac ℝ f : S → ℝ hàm n lồi Khi đó, f đạt cực đại S cực đại đạt điểm cực biên S Định lý sau cho thấy cực đại hàm tựa lồi (tập lồi đa diện bị chặn (tức đa diện lồi) đạt đỉnh đa diện lồi Định lý 1.7 Cho D ≠  đa diện lồi ℝ f : D → ℝ n hàm tựa lồi, liên tục D Khi đó, f đạt cực đại D đỉnh D 1.4 HÀM PHÂN THỨC AFFINE Hàm phân thức affine thường gặp tốn tối ưu Hàm có dạng f(x) = p( x ) pT x   = T , q( x ) q x  p, q ∈ ℝ , ,  ∈ ℝ dom f = {x ∈ ℝ : q x +  > 0} n n T Ký hiệu S tập lồi cho q(x) = q x +  ≠ với x ∈ S Nếu q(x) có T dấu khác S, tức có x, y ∈ S cho q x +  > q y +  < T T hàm q(x) liên tục nên tồn z ∈ [x, y], tức z ∈ S, cho q(z) = 0.Vì thế, khơng giảm tổng qt, ta giả thiêt q(x) > với x ∈ S Trường hợp q(x) < với x ∈ S nhân tử số p(x) mẫu số q(x) hàm f(x) với (- 1) có q(x) > với x ∈ S Định lý sau nêu tính chất đơn điệu theo phương hàm phân thức afin Định lý 1.8 f(x) = hàm đơn điệu đoạn thẳng nằm trọn tập lồi S = {x : q x +  > 0} T Định lý sau nêu tính chất quan trọng khác hàm phân thức afin Định lý 1.9 Giả sử f(x) = (p x + )/(q x + ) S tập lồi cho (q x + T T ) ≠ S Khi đó, hàm f(x) vừa giả lồi, vừa giả lõm S • Qui hoạch tổng hàm phân thức: k * =  f i (x) x S i 1 g ( x ) i xS (gi > ∀i) • Qui hoạch phân thức đa mục tiêu:  f ( x )  f k ( x )  , , * =  (gi > ∀i) xS g ( x ) g k (x)   Luận văn chủ yếu tập trung xét tốn qui hoạch phân tuyến tính: (LFP) {f(x) = pT x   | p( x ) T = T : Ax ≤ b, x ≥ 0, q x +  > 0}, q( x ) q x  p, q ∈ ℝ , ,  ∈ ℝ, A ∈ ℝ m×n n (2.1) , b ∈ ℝ Trong nhiều ứng dụng thường m tập ràng buộc S = {x ∈ ℝ : Ax ≤ 0, x ≥ 0} kéo theo q x +  > n T Tương tự, xét tốn tìm cực đại: max {f(x) : x ∈ S} Như vậy, qui hoạch phân tuyến tính tốn tìm cực tiểu (hay cực đại) hàm phân thức affine (tỉ số hai hàm tuyến tính afin) tập lồi đa diện (xác định hệ phương trình hay bất phương trình tuyến tính) Qui hoạch tuyến tính trường hợp riêng qui hoạch phân tuyến tính q =  = Trong [3] phân tích số trường hợp riêng khác cho phép đưa toán qui hoạch phân tuyến tính tốn tuyến tính thích hợp Bây toán (2.1) ta giả thiêt q(x) ≡ q x +  ≠ với x ∈ S T Nếu q(x) có dấu khác nhau, tức có x , x ∈ S cho q x +  > q x +  < T T hàm q(x) liên tục nên tồn x ∈ [x , x ], tức x ∈ S, cho q(x) = 0, trái với giả thiêt Vì thế, khơng tổng quát, ta giả thiêt q(x) > với x ∈ S (Trường hợp q(x) < 0, nhân tử số p(x) mẫu số q(x) hàm mục tiêu f(x) với (- 1), có q(x) > 0) Hơn nữa, ta giả thiêt m ≤ n rank A = m Sau số khái niệm định nghĩa cần thiết, tương tự lý thuyết qui hoạch tuyến tính Trong tốn (LFP), f(x) gọi hàm mục tiêu Tập S gọi tập ràng buộc hay miền chấp nhận Véctơ x ∈ S gọi phương án hay nghiệm chấp 10 nhận được, phương án mà đồng thời đỉnh tập ràng buộc S gọi phương án cực biên hay nghiệm sở Phương án đạt giá trị nhỏ hàm mục tiêu f(x) gọi phương án tối ưu hay nghiệm tối ưu Ta nói tốn (2.1) bất khả thi hay không chấp nhận tập S = ∅, toán gọi giải tập S ≠ ∅ hàm f(x) có infimum hữu hạn (đối với toán min) S Nếu hàm mục tiêu f(x) khơng bị chặn S tốn gọi không bị chặn (inf x ∈ S f(x) = - ∞) Với toán qui hoạch phân tuyến tính, xẩy trường hợp sau: a Tập ràng buộc S = ∅ (bài toán bất khả thi) b Nghiệm tối ưu (đạt đỉnh S) c Vô số nghiệm tối ưu hữu hạn (đạt diện bị chặn S) d Có nghiệm tối ưu hữu hạn vơ cực (đạt diện vô hạn S) e Nghiệm tối ưu tiệm cận (f* = inf x∈S f(x) > - ∞ ∄x* ∈ S: f(x*) = f*) f Khơng có nghiệm tối ưu (inf x∈S f(x) = - ∞ - tốn khơng bị chặn dưới) 2.2 CÁCH TIẾP CẬN CHARNES - COOPER A Charnes W Cooper (1962) toán qui hoạch phân tuyến tính với tập ràng buộc khác rỗng đưa tốn qui hoạch tuyến tính, nhờ phép đổi biến số, gọi biến đổi Charnes - Cooper Ta nhắc lại, toán qui hoạch phân tuyến tính có dạng: (LFP) {f(x) = pT x   : Ax ≤ b, x ≥ 0}, qT x   p, q véctơ ℝ , ,  số thực, A ma trận cấp m×n, b n véctơ ℝ (p, q, , , A, b cho trước), x ∈ ℝ véctơ biến cần tìm m n Ký hiệu S = {x ∈ ℝ : Ax ≤ b, x ≥ 0} Ta giả thiêt tập S ≠ ∅ n Nhận xét 1.2 Bài tốn khơng có nghĩa (khơng xác định) ∃x ∈ S, q x +  = 0 T Do S tập lồi q x +  hàm liên tục nên T ∃x , x ∈ S với q x +  > q x +  < T T 11 tìm x ∈ [x , x ] ⊆ S cho q x +  = 0 T Vì để tốn hồn tồn xác định ta phải có q x +  > ∀x ∈ S q x +  < ∀x ∈ S T T Có thể kiểm tra điều cách giải qui hoạch tuyến tính qmin := {q x +  : x ∈ S} qmax := max {q x +  : x ∈ S} T T (qmin > ⇒ q x +  > ∀x ∈ S qmax < ⇒ q x +  < ∀x ∈ S) T T Không giảm tổng quát, từ sau ta giả thiêt q x +  > ∀x ∈ S T (Nếu cần, đổi dấu tử số mẫu số hàm f(x)) 2.2.1 Phép biến đổi Charnes - Cooper Dùng phép đổi biến số t= n > 0, y = t.x ∈ ℝ , ∀x ∈ S q x  T nhân ràng buộc Ax ≤ b với t > 0, ta đưa toán (LFP) tốn tuyến tính (LP) {g(y, t) ≡ p y + .t : Ay - bt ≤ 0, q y + .t = 1, y ≥ 0, t ≥ 0} T T So với (LFP), tốn (LP) có thêm biến ràng buộc Giữa hai tốn (LFP) (LP) có mối quan hệ nêu mệnh đề sau Mệnh đề 2.1 Với ký hiệu trên, ta có kết luận sau đây: 0 a) Nễu x nghiệm chấp nhận (LFP) (y , t ) nghiệm chấp nhận (LP) với t0 = 0 , y = x t qT x0   g(y , t ) = p y + t = t (p x + ) = f(x ) 0 T 0 0 T 0 0 0 b) Nếu (y , t ) nghiệm chấp nhận (LP) t > x = y /t nghiệm chấp nhận (LFP) f(x ) = t (p x + ) = p y + t = g(y , t ) 0 T T 0 0 g(y , t ) = p y + t = t (p x + ) = f(x ) 0 T 0 T 0 Mệnh đề 2.2 a) Nếu (y*, t*) nghiệm tối ưu (LP) t* > x* = y*/t* nghiệm tối ưu (LFP) 12 b) Gỉa sử (LFP) chấp nhận Khi đó, (LP) không bị chặn (LFP) không bị chặn Mệnh đề 2.3 Nếu (LFP) có nghiệm chấp nhận được, (LP) có nghiệm tối ưu nghiệm tối ưu có t = giá trị mục tiêu (LFP) có infimum (cận đúng) hữu hạn, infimum khơng đạt tới Đó trường hợp (LFP) có nghiệm tối ưu tiệm cận Trong trường hợp này, tạo nghiệm  - tối ưu với  > 0, nghĩa S tồn cạnh vô hạn mà dọc theo cạnh giá trị mục tiêu (LFP) tiến dần cận nói Mệnh đề 2.4 Nếu S ≠ ∅ q x +  = với x ∈ S (LP) khơng có T nghiệm chấp nhận (bài tốn (LP) bất khả thi) Một vài mối liên hệ tập ràng buộc (LFP) (LP) trình bày tóm tắt định lý sau Định lý 2.1 Các đỉnh tập lồi đa diện S ≡ {x : Ax ≤ b, x ≥ 0} tương ứng - với đỉnh tập lồi đa diện T ≡ {(y, t) : Ay - b.t ≤ 0, q y + t = 1, y T ≥ 0, t ≥ 0} với t > (Ta giả thiêt q x +  > ∀x ∈ S) T Định lý 2.2 Các đỉnh tập lồi đa diện T với t = tương ứngmột - với cạnh vô hạn  tập lồi đa diện S với q d > 0, d véctơ T phương cạnh  Định lý 2.3 Mỗi cạnh vô hạn tập lồi đa diện T tương ứng với cạnh vô hạn  tập lồi đa diện S với q d = 0, d véctơ phương T cạnh  Các định lý cách chứng minh chúng áp dụng vào cặp ràng buộc {x : Ax = b, x ≥ 0} {(y, t) : Ay - bt = 0, y ≥ 0, t ≥ 0} 2.2.2 Thuật toán giải (LFP) Dựa vào phép biến đổi Charnes - Cooper trình bày trên, ta giải tốn qui hoạch phân tuyến tính (LFP) cách lập giải tốn qui hoạch tuyến tính (LP) tương ứng Kết giải (LP) cho trường hợp sau: 13 a) (LP) bất khả thi ⇒ (LFP) không xác định S = ∅ (Mệnh đề 2.4) b) (LP) có nghiệm tối ưu (y , t ) với t > ⇒ (LFP) có nghiệm tối ưu x = * * * * y*/t* (Phần a) Mệnh đề 2.2) c) Mọi nghiệm tối ưu (y , t ) (LP) có t = ⇒ (LFP) có nghiệm tối * * * ưu tiệm cận (Mệnh đề 2.3) d) (LP) không bị chặn ⇒ (LFP) không bị chặn tập S = ∅ (Phần b) Mệnh đề 2.2) 2.3 VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 2.1 Giải qui hoạch phân tuyến tính f(x) = p( x ) 3x1  6x  = → x  5x  q( x ) x1  3x2 ≤ 2,  x1 + 2x2 ≤ 8, 4x1 + x2 ≥ 4, x1 ≥ 0, x2 ≥ Ta giải toán theo thuật toán dựa phép biến đổi Charnes Cooper Kết ta nhận lời giải toán x1 = y1/t = 0, x2 = y2/t = giá trị nhỏ hàm mục tiêu fmin = 1,2 x2 (4, 6) (0, 4) S (0, 0) (1, 0) (2, 0) (5, 1) x1 Hình 2.1 Tập ràng buộc S tốn Ví dụ 2.1 14 Ví dụ 2.2 Bài tốn qui hoạch phân tuyến tính có nghiệm tối ưu tiệm cận: f(x) =  3x1  x  → x1  4x   2x1 + x2 ≤ 4, x1 + x2 ≥ 2, x1 ≥ 0, x2 ≥ x2 S -2 x1 Hình 2.2 Tập ràng buộc S tốn Ví dụ 2.2 Bài tốn qui hoạch tuyến tính tương đương có dạng  3y1 + 2y2 + 5t →  2y1 + y2  4t ≤ 0, y1 + y2 - 2t ≥ 0, y1 + 4y2 + 3t = 1, y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, t ≥ Giải toán theo thuật toán đơn hình, ta nhận nghiệm tối ưu y1 = 1; y2 = 0; t = Do theo Mệnh đề 2.3, tốn qui hoạch phân tuyến tính ban đầu có ngiệm tối ưu tiệm cận với inf f ( x ) = lim f ( x1 , 0) =  xS x1   15 Chương QUI HOẠCH PHÂN TUYẾN TÍNH VỚI CÁC HỆ SỐ KHOẢNG Chương nhằm giới thiệu cách tiếp cận đưa [5] để tìm nghiệm tối ưu cho tốn qui hoạch phân tuyến tính giá trị tuyệt hệ số khoảng hàm mục tiêu Cuối chương nêu ví dụ số minh hoạ cho thuật tốn 3.1 NỘI DUNG BÀI TỐN Một hình thức mở rộng tổng quát toán quy hoa ̣ch phân tuyến tính giá trị tuyệt hệ số khoảng hàm mục tiêu xét chương có dạng sau Bài tốn 1: Cực tiểu hàm số [a , b1 ]x1    [a n , b n ]x n  [a n 1 , b n 1 ] [c1 , d1 ]x1    [c n , d n ]x n  [c n 1 , d n 1 ] (P) với điều kiện A1x1 + + Anxn  b, x1  0, , xn  0, đó Ak với k = 1, , n và b là vecto cô ̣t số với m thành phần Đặt X = {x  ℝ : Ax  b, x  0}, A = {A1, , An} Giả thiết X  n  bị chặn Giả sử [c1, d1]x1 + + [cn, dn]xn + [cn+1, dn+1] > [c1, d1]x1 + + [cn, dn]xn + [cn+1, dn+1] < với mo ̣i x = (x1, , xn)  X T Hai trường hợp khác cần xem xét giải toán  Trường hơ ̣p 1: [c1, d1]x1 + + [cn, dn]xn + [cn+1, dn+1] > với mo ̣i x = (x1, T , xn)  X Trong trường hơ ̣p này, Bài toán rút go ̣n thành toán sau Bài toán 2: Cực tiểu hàm số 16 [a1 , b1 ]x1    [a n , b n ]x n  [a n 1 , b n 1 ] [c1 , d1 ]x1    [c n , d n ]x n  [c n 1 , d n 1 ] với điều kiện A1x1 + + Anxn  b, x1  0, , xn  0,  Trường hơ ̣p 2: [c1, d1]x1 + + [ck, dk]xk + [ck+1, dk+1] < với mo ̣i x = (x1, T , xk)  X Trong trường hơ ̣p này, Bài toán biến đổi thành toán sau Bài toán 3: Cực tiểu hàm số [a1 , b1 ]x1    [a k , bk ]x k  [a k 1 , bk 1 ] [ d1 ,c1 ]x1    [ d k ,c k ]x k  [ d k 1 ,c k 1 ] với điều kiện A1x1 + + Anxn  b, x1  0, , xn  0, Bởi tử số hàm mu ̣c tiêu Bài toán dương nên điểm cuối khoảng mẫu số phải chọn để nhận lời giải tối ưu Vì Bài toán rút gọn thành toán Bài toán 4: Cực tiểu hàm số [a1 , b1 ]x1    [a n , b n ]x n  [a n 1 , b n 1 ] d1x1    d n x n  d n 1 với điều kiện A1x1 + + Anxn  b, x1  0, , xn  0, Bài toán 5: Cực tiểu hàm số [a1 , b1 ]x1    [a n , b n ]x n  [a n 1 , b n 1 ]  c1x1    c n x n  c n 1 với điều kiện A1x1 + + Anxn  b, x1  0, , xn   Bằng cách đưa thêm biến 1 z= và z = d d1x1    d n x n  n 1  c1x1    c n x n  c n 1 và đổi biến yk = z.xk, k = 1, , n, Bài toán và biến đổ i thành toán và tương ứng 17 Bài toán 6: Cực tiểu hàm số |[a1, b1]y1 + + [an, bn]yn + [an+1, bn+1]z| với điều kiện: A1y1 + + Anyn  b.z  0, d1y1 + + dnyn + dn+1z = 1, y1  0, , yn  0, z  Bài toán 7: Cực tiểu hàm số |[a1, b1]y1 + + [an, bn]yn + [an+1, bn+1]z| với điều kiện: A1y1 + + Anyn  b.z  0, - c1y1   cnyn  cn+1z = 1, y1  0, , yn  0, z   Bằng cách sử dụng biến phụ , Bài toán phi tuyến biến đổi thành tốn quy hoa ̣ch tuyến tính Bài toán 8: Cực tiểu  với điều kiện [a1, b1]y1 + + [an, bn]yn + [an+1, bn+1]z  , [a1, b1]y1 + + [an, bn]yn + [an+1, bn+1]z   , A1y1 + + Anyn  b.z  0, d1y1 + + dnyn + dn+1z = 1, y1  0, , yn  0, z  0,   Bài toán 9: Cực tiểu  với điều kiện [a1, b1]y1 + + [an, bn]yn + [an+1, bn+1]z  , [a1, b1]y1 + + [an, bn]yn + [an+1, bn+1]z   , A1y1 + + Anyn  b.z  0,  c1y1   cnyn  cn+1z = 1, y1  0, , yn  0, z  0,   18  Để giải Bài toán 9, hệ số khoảng cần thay số cố định Mệnh đề sau hữu ích cho mục tiêu Mệnh đề 3.1: Giả sử (y1, , yn, z, ) là một điể m chấp nhận của toán hoặc và pk  [ak, bk], k = 1, 2, , n + Các khẳ ng ̣nh sau đúng: a) Nế up1y1 + + pnyn + pn+1z   a1y1 + + anyn + an+1z   b) Nế up1y1 + + pnyn + pn+1z    b1y1 + + bnyn + bn+1z    Dựa theo Mệnh đề 3.1, Bài toán biến đổi thành toán 10 11 tương ứng Bài toán 10: Cực tiểu  với điều kiện a1y1 + + anyn + an+1z  , b1y1 + + bnyn + bn+1z   , A1y1 + + Anyn  b.z  0, d1y1 + + dnyn + dn+1z = 1, y1  0, , yn  0, z  0,   Bài toán 11: Cực tiểu  với điều kiện a1y1 + + anyn + an+1z  , b1y1 + + bnyn + bn+1z   , A1y1 + + Anyn  b.z  0,  c1y1   cnyn  cn+1z = 1, y1  0, , yn  0, z  0,   Tóm lại, hai toán quy hoa ̣ch tuyến tính khác 10 11 cần giải để lựa chọn lời giải tốt để làm lời giải tối ưu Bài tốn Ví dụ 3.1 Để minh họa cho cách làm trên, ta giải toán:.Cực tiể u hàm số [1,2]x1  [3,2]x  [24,25] [3,2]x1  [1,2]x  [1,3] với điều kiện  x1 + 2x2  13, 19 2x1 + 3x2  37, 2x1  x2  17, 2x1  3x2  11, x1 + 4x2  11, 5x1 + 2x2  19, x1  0, x2  Với toán này, ta lập Bài toán 10 11 Sau giải ta nhận được: * * Lời giải tối ưu (10): x1 = y1 /z = 5, x 2 = y 2 /z = với giá trị tối ưu 0,1818 Lời giải tối ưu (11): x1 = 5, x 2 = với giá trị tối ưu 0,2857 > 0,1818 Ta chọn lời giải đầu làm lời giải tối ưu toán cần giải  3.2 QUI HOẠCH TUYẾN TÍNH 0-1 HỖN HỢP CHO BÀI TỐN Trong mục trước, ta thấy có hai tốn quy hoa ̣ch tuyến tính khác có liên quan đến toán quy hoa ̣ch phân tuyến tính giá trị tuyệt hệ số khoảng hàm mục tiêu Trong mục này, cách kết hợp Bài toán 10 11 với nhau, ta cần sử dụng quy hoa ̣ch tuyến để thay cho Bài toán Bài toán quy hoạch tuyến tính - hỗn hợp sau đưa để kết hợp hai Bài toán 10 11 lại với Bài toán 12: Cực tiểu  với điều kiện a1y1 + + anyn + an+1z  , b1y1 + + bnyn + bn+1z   , A1y1 + + Anyn  b.z  0, d1y1 + + dnyn + dn+1z = + t,  c1y1   cnyn  cn+1z = + (1  t), y1  0, , yn  0, z  0,   0, t = hay 1, <  < là số thực cố định đủ nhỏ tùy ý Do có ràng buộc đẳng thức tốn nên thực tiễn có khả Bài tốn 12 bất khả thi (khơng có điểm chấp nhận được) Để loại bỏ lỗi này, 20 ràng buộc đẳng thức cần thay ràng buộc bất đẳng thức phù hợp Hai bổ đề sau cần thiết cho mục tiêu Bổ đề 3.1 Ràng buộc d1y1 + + dnyn + dn+1z  dùng tương đương thay cho d1y1 + + dnyn + dn+1z = Bài toán 13: Cực tiể u hàm số |[a1, b1]y1 + + [an, bn]yn + [an+1, bn+1]z| với điều kiện A1y1 + + Anyn  bz  0, [c1, d1]y1 + + [cn, dn]yn + [cn+1, dn+1]z = 1, y1  0, , yn  0, z  Tở hợp tuyến tính khoảng ràng buộc tạo toán sau Bài toán 14: Cực tiể u hàm số |[a1, b1]y1 + + [an, bn]yn + [an+1, bn+1]z| với điều kiện A1y1 + + Anyn  bz  0, [1c1 + (1 - 1)d1]y1 + + [ncn + (1 - n)dn]yn + [n+1cn+1 + (1 - n+1)dn+1]z = 1, y1  0, , yn  0, z  0,  k  1, k = 1, , n + Ràng buộc đẳ ng thức Bài toán 14 cịn viết lại thành [1y1(c1 - d1) + + nyn(cn - dn) + n+1z(cn+1 - dn+1] + d1y1 + + dnyn + dn+1z = 1, (1) Do yk  0, k = 1, , n, z  0,  k  1, (dk - ck)  0, k = 1, , n + 1, nên (1) viết lại thành  + 1y1(d1 - c1) + + nyn(dn - cn) + n+1z(dn+1 - cn+1   + y1(d1 - c1) + + yn(dn - cn) + z(dn+1 - cn+1, (2) Kết hợp (1) (2) ta  d1y1 + + dnyn + dn+1z  + y1(d1 - c1) + + yn(dn - cn) + z(dn+1 - cn+1, (3) Có thể rút gọn thành d1y1 + + dnyn + dn+1z  1, 21 (4) c1y1 + + cnyn + cn+1z  (4)  Theo Bổ đề 3.1, ràng buộc bấ t đẳ ng thức d1y1 + + dnyn + dn+1z  1, dùng thay cho ràng buộc đẳng thức d1y1 + + dnyn + dn+1z = Bổ đề 3.2 Ràng buộc bấ t đẳ ng thức - c1y1 - - cnyn - cn+1z  1, dùng thay cho ràng buộc đẳng thức - c1y1 - - cnyn - cn+1z = Chứng minh Chứng minh tương tự Bổ đề 3.1 nên bỏ qua  Theo Bổ đề 3.1 3.2, Bài toán 12 biến đổi thành toán sau Bài toán 15: Cực tiể u  với điều kiện a1y1 + + anyn + an+1z  , b1y1 + + bnyn + bn+1z   , A1y1 + + Anyn  b.z  0, + t( - 2)  d1y1 + + dnyn + dn+1z   t, 2t - + (1 - t)   c1y1   cnyn  cn+1z =  + (t - 1), y1  0, , yn  0, z  0,   0, t = hay <  < là số thực cố định đủ nhỏ tùy ý Nếu chọn  nhỏ 10 nhận kết mong đợi -3  Giả sử ( y1 , , y n , z , t ,  ) là lời giải tố i ưu của Bài toán 15, đó lời   * giải tớ i ưu của Bài tốn là yz1 ,, yzn với giá trị hàm mục tiêu tối ưu  *  * *  3.3 VÍ DỤ MINH HỌA Ta giải lại Ví dụ 3.1 cách đưa qui hoạch tuyến tính - hỗn hợp Với toán này, ta lập Bài toán 15 giải ta kết quả: * * Lời giải tớ i ưucủa Bài tốn 17 là y1 = 0,4545, y 2 = 0,8182, z = 0,0909, t = 0,  = 0,1818 Sử du ̣ng hệ thức * x k = yk z , k = 1, 2, cho kế t quả x1 = 5, x 2 = Đó lời giải tớ i ưu của Bài toán 16 22  KẾT LUẬN Luận văn đề cập tới phương pháp giải toán qui hoạch phân tuyến tính tốn qui hoạch phân tuyến tính giá trị tuyệt hệ số khoảng hàm mục tiêu, dựa phép biến đổi Charnes - Cooper Luận văn trình bày nội dung sau Một số kiến thức tập lồi tập lồi đa diện, hàm lồi, hàm lõm tính chất cực trị hàm lồi, hàm phân thức afin tính chất Bài tốn qui hoạch phân tuyến tính khái niệm có liên quan Cách tiếp cận Charnes - Cooper đưa tốn qui hoạch phân tuyến tính tốn qui hoạch tuyến tính mà khơng cần giả thiết tập ràng buộc toán bị chặn Thuật toán giải qui hoạch phân tuyến tính dựa phép biến đổi Charnes-Cooper Xây dựng hai ví dụ số minh họa thuật tốn giải trình bày Bài tốn qui hoạch phân tuyến tính giá trị tuyệt hệ số khoảng hàm mục tiêu Phương pháp đưa tốn hai qui hoạch tuyến tính phương pháp đưa tốn qui hoạch tuyến tính - hỗn hợp Ci nêu ví dụ số minh họa phương pháp giải trình bày Đóng góp tác giả luận văn tìm hiểu, xếp trình bày lại số thuật tốn giải tốn qui hoach phân tuyến tính, dựa phép biến đổi Charnes - Cooper xây dựng hai ví dụ (Ví dụ 2.1 2.2) minh họa thuật toán 23