LVCH.00400- TT.PDF

1 Mở đầu Số phức xuất vào kỉ XIX nhu cầu Toán học giải phương trình Đại số Từ đời số phức thức đẩy Toán học tiến lên mạnh mẽ giải nhiều vấn đề khoa học kĩ thuật Đối với học sinh bậc THPT số phức nội dung mẻ, với thời lượng không nhiều, học sinh hiểu kiến thức số phức, việc khai thác ứng dụng số phức hạn chế, đặc biệt việc sử dụng số phức phương tiện để giải tốn hình học phẳng vấn đề khó, đặc biệt sử dụng số phức phép biến đổi tròn, đòi hỏi học sinh phải có lực giải tốn định, biết vận dụng kiến thức đa dạng Tốn học Trong chương trình giảng dạy tốn phổ thơng chủ yếu xét hai dạng biến đổi mặt phẳng phép dời hình phép biến đổi đồng dạng (phép vị tự) Tuy nhiên ta thường gặp vấn đề liên quan tới đường tròn, khiến học sịnh gặp nhiều bỡ ngỡ Do vậy, với gợi ý giáo viên hướng dẫn với u thích tìm hiểu Số phức với hình học phẳng tơi chọn đề tài “Số phức phép biến đổi trịn” Mục đích luận văn hệ thống kiến thức số phức Tổng hợp, phân tích kiến thức giúp học sinh thấy ý nghĩa quan trọng số phức Tốn học nói chung giải tốn Hình học phẳng nói riêng Từ rèn luyện kỹ năng, bồi dưỡng lực ứng dụng số phức vào giải tốn hình học Nội dung luận văn bao gồm chương: Chương Đường thẳng đường tròn mặt phẳng phức Chương Số phức biến đổi tròn Do hiểu biết thân khuôn khổ luận văn thạc sĩ, nên q trình nghiên cứu khơng tránh khỏi thiếu sót, tơi mong đóng góp ý kiến Thầy Cơ độc giả quan tâm đến luận văn 2 Chương Đường thẳng đường tròn mặt phẳng phức 1.1 Số phức phép toán số phức 1.1.1 Số phức Tập hợp R cặp (có thứ tự) số thực (x, y) với phép toán cộng nhân xác định bởi: (x, y) + (u, v) = (x + u, y+ v); (x, y).(u, v) = (xu - yv, xv + yu); gọi tập hợp số phức, kí hiệu C, C hai phép tốn làm thành trường 1.1.2 Biểu diễn hình học số phức Dạng lượng giác số phức a Biểu diễn hình học số phức Trong mặt phẳng, kí hiệu E, ta lấy Hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxy điểm M E hồn tồn xác định cặp số (x, y) tọa độ Khi số phức z = x + yi gọi tọa vị M viết M(z) mặt phẳng E gọi mặt phẳng phức M  E xác định vectơ OM Nếu M có tọa độ (x, y) vectơ OM có tọa độ (x, y) Vì M có tọa vị z nói vectơ OM có tọa vị z viết OM  z  Ta có, Mỗi điểm u(z), v w  u  v có tọa vị z + w, b Dạng lượng giác số phức Ta có z  z cos  isin  ku có tọa vị kz  ,   arg z gọi dạng lượng giác số phức z 1.2 Đường thẳng mặt phẳng phức 1.2.1 Tích vơ hướng Tích lệch a Tích vơ hướng Cho u  z, v w  hướng hai vectơ b Tích lệch số u  OM  zw  zw v  OP  tích vơ Thang Long University Library  i zw  zw gọi tích lệch hai số phức z, w kí hiệu  z, w  i OM,OP    z, w   zw  zw   Cho OM  z  , OP  w  Số thực    1.2.2 Phương trình đường thẳng Mọi đường thẳng mặt phẳng phức xác định phương trình: z  z     1,     Nếu đặt 1  u , ta u u z z u 2 u,   Các phương trình (1) (2) gọi phương trình tắc đường thẳng Ví dụ 1.2.3 Cho  có phương trình z  zo   u z  zo u  điểm M(z) Tính tọa vị M’ điểm đối xứng với M qua  1.2.3 Một số toán đường thẳng mặt phẳng phức Bài toán 1.1 Cho tam giác ABC, điểm A’, B’, C’ chia đoạn thẳng BC, CA, AB theo tỉ số k, l, m Khi A’, B’, C’ thẳng hàng? Khi A’, B’, C’ không thẳng hàng tính tỉ số diện tích tam giác A’B’C’ ABC Bài toán 1.2 Cho tam giác ABC ba điểm A’, B’, C’ BC, CA, AB chia đoạn thẳng theo tỉ số k, l, m Các đường thẳng AA’ BB’ cắt P, đường thẳng BB’, CC’ cắt Q, đường thẳng CC’, AA’ cắt R Hỏi AA’, BB’, CC’ đồng quy (tức P, Q, R trùng nhau) Khi P, Q, R khơng trùng nhau, tính tỉ số diện tích hai tam giác PQR ABC Bài toán 1.3 Cho tam giác AoA1A2 nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R Cho P điểm tùy ý mặt phẳng Gọi Po, P1, P2 theo thứ tự hình chiếu vng góc P xuống đường thẳng A1A2, A2Ao, AoA1 Chứng minh Po, P1, P2 thẳng hàng P thuộc đường tròn cho 1.3 Đường trịn mặt phẳng phức 1.3.1 Phương trình đường trịn Trong mặt phẳng phức, xét đường trịn có tâm điểm có tọa vị z0 có bán kính R > 0, tức tập điểm M(z) mà |z - z0| = R Do R > nên |z - z0| = R    z  z  z  z   R   zz  z z  z 0z  z z  R  1.3.2 Phương trình chứa đường thẳng đường trịn Xét phương trình dạng   azz  z  z  p  a, p  , a    1) a = 0,   : phương trình đường thẳng 2) a  :   ap : phương trình đường trịn tâm có tọa vị   ap  a bán kính R  a ,   ap : phương trình xác định điểm (có gọi “đường trịn điểm”)   ap : khơng có z  thỏa mãn phương trình (tuy nhiên, đơi nói phương trình phương trình “đường trịn ảo” tâm điểm có tọa vị -  a ) Thang Long University Library 1.3.3 Chùm đường thẳng chùm đường tròn Cho hai đường thẳng “đường tròn” phân biệt xác định a1zz   1; z   p1 (1) a zz   2 ; z   p (2) Xét tập hợp đường xác định     l1 a1zz   1; z   p1  l2 a 2zz   2 ; z   p  l1, l2 hai số thực khơng đồng thời triệt tiêu; viết cách khác, ta có:  l1a1  l2a  zz   l11  l22 , z  l1p1  l2 p  Ta nói phương trình chùm đường thẳng - “đường tròn” xác định hai đường cho (với cặp số thực (l1, l2), l1  l2  , phương trình xác định đường chùm 1.3.4 Tỉ số kép bốn điểm phân biệt Cho bốn điểm Mj(z j), j = 1, 2, 3, phân biệt mặt phẳng Tỉ số kép bốn điểm M1, M2, M3, M4 số kí hiệu  M1,M2 ,M3 ,M4  xác định sau M , M , M  z  z z  z  M1 , M , M , M   M , M , M  z  z : z  z  4 Số phức kí hiệu z1,z2 ,z3 ,z  1.4 Tỉ số kép bốn điểm phân biệt 1.3.5 Một số cơng thức tốn cần thiết Bài tốn 1.4 Trong mặt phẳng cho bốn đường trịn k1, k2, k3, k4 Cho X1, Y1 giao điểm chung k1, k2; X2, Y2 - k2, k3; X3, Y3 - k3, k4; X4, Y4 - k4, k1 Chứng minh X1, X2, X3, X4 nằm đường trịn đường thẳng Y1, Y2, Y3, Y4 nằm đường tròn đường thẳng 6 Bài toán 1.5 Từ đỉnh tá giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O ta dựng đường tiếp tuyến với đường trịn chúng cắt tạo tứ giác PQRS Chứng minh điểm đường chéo tứ giác PQRS nằm đường thẳng với tâm đường tròn Cho hình chữ nhật ABCD Từ điểm K đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật hạ đường thẳng vng góc xuống AB, CD, AD BC cắt cạnh P, Q, R, S Chứng minh PR vng góc với QS PS vng góc với QR Thang Long University Library Chương Số phức biến đổi tròn 2.1 Phép nghịch đảo 2.1.1 Định nghĩa Cho điểm J thuộc mặt phẳng E cho số thực biến đổi f : E \ J, M  M'  f(M), JM'  k  k JM JM gọi biến đổi nghịch đảo tâm J hệ số k mặt phẳng 2.1.2 Tính chất (1) Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp, nghĩa f biến M thành M’ biến M’ thành M (2) Điểm bất động biến đổi nghịch đảo f tâm J, hệ số k: k < f khơng có điểm bất động; k > 0, k = r2 (r > 0) tập điểm bất động đường trịn  tâm J bán kính r, gọi đường tròn nghịch đảo f (3) Ảnh đường thẳng, đường tròn qua biến đổi nghịch đảo f tâm J, hệ số k mặt phẳng E (4) Biến đổi nghịch đảo bảo tồn tính chất trực giao đường thẳng, đường tròn (5) M, N hai điểm tùy ý mặt phẳng không trùng với tâm J phép nghịch đảo f với hệ số k hai điểm M’ = f(M), N’ = f(N) độ dài đoạn thẳng  k  M' N '    MN  JM.JN  2.1.3 Một số toán phép nghịch đảo Bài toán 2.1 Cho biến đổi nghịch đảo f tâm J hệ số k Xác định đường tròn C mà f(C) đồng tâm với C, f(C)  C Bài toán 2.2 Cho đường thẳng  , đường tròn C, C1 , C2 Tìm phép nghịch đảo biến C thành  , phép nghịch đảo biến C1 thành C2 Bài toán 2.3 Chứng minh tứ giác nồi ABCD tứ giác nội tiếp AC BD = AB CD + AD BC 8 Cho n - giác AoA1A2 An-1 nội tiếp đường tròn  điểm M cung nhỏ Ao A1 (M khác Ao, A1) Kí hiệu MAk = dk (k = 0,1, , n - 1) Hãy chứng minh” 1 1     d od1 d1d d 2d d n 1d n 2.2 Biến đổi tròn 2.2.1 Định nghĩa biến đổi đồng dạng Phép biến đổi đồng dạng hệ số k > mặt phẳng phép biến đổi f mà f(M)f(N) = kMN Nếu xét vị tự tỉ số k g f bảo tồn độ dài đoạn thẳng nên phép dời hình h gf  h  f  g1h 2.2.2.Một số tính chất phép biến đổi đồng dạng a) Biến đổi đồng dạng biến đổi afin nên bảo tồn tính chất thẳng hàng điểm từ định nghĩa suy biến đổi đồng dạng biến đổi bảo giác b) Nếu f song ánh mặt phẳng lên mà biến đường trịn thành đường trịn f biến đổi đồng dạng c) Biến đổi đồng dạng loại bảo toàn tỉ số đơn ba điểm phân biệt (không buộc thẳng hàng) Biến đổi đồng dạng loại hai biến tỉ số đơn ba điểm thành số phức liên hợp d) Song ánh f mặt phẳng lên bảo tồn tỉ số đơn ba điểm phân biệt tùy ý biến đổi đồng dạng loại một, qua song ánh g biến tỉ số đơn thành số phức liên hợp g biến đổi đồng dạng loại hai 2.3 Biến đổi trịn 2.3.1 Mặt phẳng bổ sung điểm xa vơ tận P gọi mặt phẳng bổ sung điểm  Trong P ta phát biểu thống nhất, chẳng hạn: - Qua ba điểm phân biệt P có đường trịn nghĩa rộng - Bốn điểm phân biệt P khác  thuộc đường tròn nghĩa rộng tỉ số kép bốn điểm số thực Thang Long University Library Ví dụ 2.3.1 a) Chứng minh tích phép nghịch đảo f1 tâm J1 hệ số k1 với phép nghịch đảo f2 tâm J hệ số k2 phép nghịch đảo tích biến đổi đồng dạng J1  J2 lúc này, tích f2  f1 phép vị tự tâm J1 với hệ số vị tự k2 k1 b) f biến đổi nghịch đảo tâm J, hệ số k, g biến đổi đồng dạng hệ số l Chứng minh g  f  g-1 biến đổi nghịch đảo tâm g(J) hệ số kl2 2.3.3 Công thức biến đổi tròn Coi E mặt phẳng phức, xét ánh xạ f g P  E   vào P xác định   z f z  , , ,   z   , z   mà  z     gz  z   z        2.3 Một số tốn biến đổi trịn Bài tốn 2.10 Chứng minh đường trịn Euler tam giác ABC (tức “đường tròn điểm” ABC) tiếp xúc với đường tròn nội tiếp với ba đường trịn bàng tiếp tam giác (bốn điểm tiếp xúc gọi bốn điểm Feuerbach ABC) Lời giải Kí hiệu  , C, C a theo thứ tự đường tròn Euler, đường tròn nội tiếp, đường trịn bàng tiếp góc A ABC Cần chứng minh  tiếp xúc với C C a Nếu tam giác ABC cân, AB = AC ba đường trịn tiếp xúc trung điểm BC Sau giả sử AB  AC 10 A N P I M H B I' a C I' D Ia Hình 2.8 Gọi I, Ia tâm C C a, I’, I’a hình chiếu vng góc chúng xuống BC Gọi M, N, P theo thứ tự trung điểm BC, CA, AB Đường phân giác AIIa góc BAC cắt BC D gọi H hình chiếu vng góc A xuống BC (Hình 2.8) Dễ thấy BI’ = CI’ a (= p - b, p nửa chu vi ABC, b = AC) từ M trung điểm I’I’a Mặt khác, I, Ia chia điều hòa AD (do BI, BIa phân giác ngồi góc ABC ) nên I’, I’ a chia điều hòa HD Vậy MI'  MI'a  MH.MD Gọi f biến đổi nghịch đảo tâm M, hệ số MI’2 f giữ bất biến C, bất biến C a (vì C C a trực giao với đường tròn nghịch 2 Thang Long University Library 11 f   qua D (do  qua M, H mà f(H) = D) Vì  qua N, P nên  qua f(N), f(P) mà ta có MN.Mf  N   MPMf  P   MI'2 nên điểm N, f(N), đảo), đường thẳng   P, f(P) thuộc đường trịn Do đường phân giác góc tạo cặp đường thẳng (NP, f(N)f(P)) song song hay vng góc với đường phân giác góc tạo cặp đường thẳng (MN, MP) (hai đường thẳng “đối song”), tức đường phân giác góc tạo cặp đường thẳng  BC,   song song hay vng góc với AD (để ý NP//CB, MN//BA, MP//CA), (Hình 2.9) Từ dễ thấy AD đường phân giác góc tạo BC  tức  đường thẳng qua D tiếp xúc với C Ca Vậy với C  f 1  C  với C  f 1  Ca  P N f(P) f(N) M Hình 2.9   f 1    tiếp xúc 12 Kết luận Luận văn với đề tài “Số phức phép biến đổi trịn” có nội dung chủ yếu sau: Dùng số phức thiết lập phương trình đường trịn đường thẳng mặt phẳng, nghiên cứu chùm đường trịn - đường thẳng Sau giải số tốn hình học phẳng đường thẳng đường trịn Dùng số phức định nghĩa khái niệm tỉ số kép bốn điểm tùy ý mặt phẳng Ta có kết bốn điểm nằm đường thẳng nằm đường trịn tỉ số kép số thực Vận dụng điều vào giải tốn chứng minh bốn điểm thẳng hàng thuộc đường tròn Điều lí để ta nghiên cứu đồng thời đường thẳng đường tròn mặt phẳng Để nghiên cứu đồng thời đường thẳng đường tròn mặt phẳng ta bổ sung cho mặt phẳng điểm vô tận  Mỗi đường thẳng mặt phẳng hợp với điểm  coi đường trịn (nghĩa rộng) Sau ta nghiên cứu mặt phẳng bổ sung điểm vô tận phép biến đổi trịn (phép biến đổi bảo tồn đường tròn đường tròn nghĩa rộng) Ta chứng minh song ánh bảo toàn tỉ số kép phép biến đổi tròn để giải số tốn hình học phẳng Có thể nói rằng, số phức khơng phải nội dung Tốn học song vấn đề mẻ tương đối phức tạp với em học sinh bậc THPT, đặc biệt ứng dụng số phức vào tốn phép biến đổi trịn Luận văn tài liệu giúp em học sinh THPT muốn tìm hiểu ứng dụng số phức hình học Thang Long University Library 13 Tài liệu tham khảo [1] Vi Quốc Dũng (1994), Các phép biến hình, ĐHSP Thái Nguyên [2] Vi Quốc Dũng (1994), Quỹ tích , ĐHSP Thái Nguyên [3] Nguyễn Hữu Điển (2000), Phương pháp số phức với hình học phẳng, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [4] Nguyễn Văn Mậu (2009), Chuyên đề số phức áp dụng, NXB ĐH Quốc Gia Hà Nội [5] Ngun Méng Hy (2003), C¸c phÐp biÕn hình mặt phẳng, NXB Giáo dục [6] on Qunh (1997), Số phức với hình học phẳng, NXB Giáo dục