TỔNG-HỢP-LÝ-THUYẾT-DÃY-SỐ.CSC_.CSN_

CHỦ ĐỀ 3 DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ NHÂN Phương pháp quy nạp toán học A LÝ THUYẾT Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số nguyên dương là đúng với mọi mà không n n thể thử trực tiếp được thì có th[.]

CHỦ ĐỀ 3: DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN Phương pháp quy nạp toán học A LÝ THUYẾT Để chứng minh mệnh đề liên quan đến số nguyên dương n với n mà khơng thể thử trực tiếp làm sau: - Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n  - Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n  k  (gọi giả thiết quy nạp) Bằng kiến thức biết giả thiết quy nạp, chứng minh mệnh đề với n  k  B CÁC BÀI TỐN ĐIỂN HÌNH Ví dụ Với mối số nguyên dương n , đặt S  12  22   n Mệnh đề đúng? n(n  1)(n  2) n(n  1)(2n  1) A S  B S  n(n  1)(2n  1) n(n  1)(2n  1) C S  D S  Đáp án C Lời giải Cách 1: Chúng ta chứng minh phương pháp quy nạp toán học n  * , ta có đẳng n(n  1)(2n  1) thức 12  22  32   n  1(1  1)(2.1  1)  - Bước 1: Với n  vế trái 12  , vế phải Vậy đẳng thức với n  -Bước 2: Giả sử đẳng thức với n  k  , tức chứng minh (k  1)  (k  1)  1 2(k  1)  1 (k  1)(k  2)(2k  3) 12  22  32   k  (k  1)   6 Ta phải chứng minh đẳng thức với n  k  , tức chứng minh (k  1)  (k  1)  1 2(k  1)  1 (k  1)(k  2)(2k  3) 12  22  32   k  (k  1)   6 Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có (k  1)(k  1)(2k  1) 12  22  32   k  (k  1)   (k  1) (k  1)(k  1)(2k  1) k (k  1)(2k  1)  6(k  1) (k  1)(k  2)(2k  3) Mà  (k  1)   6 (k  1)(k  2)(2k  3) Suy 12  22  32   k  (k  1)  Do đẳng thức với n  k  Suy có điều phải chứng minh Vậy phương án C Cách 2: Kiểm tra tính đúng-sai phương án đến tìm phương án thơng qua số giá trị cụ thể n + Với n  S  12  (loại phương án B D); + Với n  S  12  22  (loại phương án A) Vậy phương án C STUDY TIP Ngồi kết nêu ví dụ 1, đề cập đến kết tương tự sau: n(n  1) 1)    n  n (n  1) 2)    n  n(n  1)(2n  1)(3n  3n  1) 3) 14  24   n  30 n (n  1) (2n  2n  1) 4) 15  25   n5  12 n(n  1)(n  2)(n  3) 5) 1.2.3  2.3.4   n(n  1)(n  2)  Nhận xét: Từ ví dụ tập phần nhận xét, ta thấy bậc vế trái nhỏ bậc vế phải đơn vị Lưu ý điều tính tổng dạng luỹ thừa dựa vào phương pháp hệ số bất định Từ kết ví dụ này, hồn tồn đề xuất câu hỏi trắc nghiệm sau đây: Với số nguyên n, đặt S  12  22   n Mệnh đề sai? 1 A S  2n3  3n  n B S   n  1   n  1   n3  n   6 n  n  1  2n  1 C S    n  1  3n  n  1   n  1  D S   6 Câu 3  Câu Câu Câu    Với số nguyên dương n, ta có 12  22   n  an3  bn  cn, a, b, c số Tính giá trị biểu thức M  ab  bc  ca 25 25 A M  25 B M  C M  D M  23 216 Tìm tất số nguyên dương n, để 12  22   n  2017 A n  18 B n  20 C n  17 D n  19 2 Tính tổng S tất số nguyên dương n, thoả mãn    n  2018 A S  153 B S  171 C S  136 D S  190 Ví dụ Đặt Tn      (có n dấu căn) Mệnh đề mệnh đề đúng? A Tn  B Tn  cos  n 1 C Tn  cos  D Tn  2n 1 Đáp án B Lời giải Ta chứng minh Tn  cos  2n 1 phương pháp quy nạp toán học Thật vậy: Bước 1: Với n  vế trái Vậy đẳng thức với n  , vế phải cos  11 Bước 2: Giả sử đẳng thức với n  k  , nghĩa Tk  cos  cos  2k 1   Ta phải chứng minh đẳng thức với n  k  , tức chứng minh Tk 1  cos Thật vậy, Tk 1   Tk nên theo giả thiết quy nạp ta có Tk 1   Tk   cos  2k   2k 1         cos  k    cos k  nên Tk 1  2.2 cos k   cos k  2 2   Vậy phương án B STUDY TIP Mặt khác,  cos  k 1 Câu Câu Ngồi cách làm trên, ta làm theo cách sau: kiểm tra tính – sai phương án đến tìm phương án thơng qua số giá trị cụ thể n + Với n  T1  (loại phương án A, C D) Nhận xét: Từ kết ví dụ 2, đề xuất câu hỏi đây: 511 Đặt Tn      (có n dấu căn) Tìm n để Tn  2sin 1024 A n  10 B n  C n  11 D n  Cho dãy số  un  xác định u1  un 1   un , n  * Số hạng tổng quát dãy số  un  là: A un  2sin C un  cos Ví dụ Đặt S n  A S n    n 1 B un  cos n 1 D un  sin  2n 1  2n 1 1    ,với n  * Mệnh đề đúng? 1.3 3.5 (2n  1)(2n  1) n 1 2(2n  1) B S n  3n  4n  C S n  n 2n  D S n  n2 6n  Đáp án C Lời giải Cách 1: Rút gọn biểu thức S n dựa vào việc phân tích phần tử đại diện Với số nguyên dương k , ta có Câu Câu 1 1      (2k  1)(2k  1)  2k  2k   1 1 1  1  n Do đó: S n  1         1   2 3 2n  2n    2n   2n  Vậy phương án phương án C Cách 2: Kiểm tra tính – sai phương án dựa vào số giá trị cụ thể n 1  (chưa loại phương án nào); Với n  S1  1.3 1   (loại phương án A,B D Với n  S  1.3 3.5 Vậy phương án phương án C Nhận xét: Từ kết ví dụ này,chúng ta hoàn toàn trả lời câu hỏi trắc nghiệm sau đây: 1 an  b Với n  * ,biết Trong a, b, c số     1.3 3.5 (2n  1)(2n  1) cn  nguyên Tính giá trị biểu thức P  a  b3  c A P  17 B P  10 C P  D P  19 1 an  b     Với n  * ,biết Trong a, b, c số 1.3 3.5 (2n  1)(2n  1) 4n  c nguyên.Tính giá trị biểu thức T   a  b  c   a  b  c  A T  40 B T  C T  32 D T  16 Câu Biết 1 an  bn  c     ,trong n  * a, b, c số 1.3 3.5 (2n  1)(2n  1)  2n  1 nguyên Tính giá trị biểu thức F   a  b  Câu ac A F  B F  C F  D F  27 Tính tổng S tất số nguyên dương n thỏa mãn bất phương trình 1 17     1.3 3.5 (2n  1)(2n  1) 35 A S  153 B S  136 C S  272 D S  306 Ví dụ Tìm tất số nguyên dương n cho 2n 1  n  3n A n  B n  C n  D n  Đáp án D Lời giải Kiểm tra tính – sai bất đẳng thức với trường hợp n  1, 2,3, 4, ta dự đoán 2n 1  n  3n, với n  Ta chứng minh bất đẳng thức phương pháp quy nạp toán học Thật vây: -Bước 1: Với n  vế trái 241  25  32, cịn vế phải 42  3.4  28 Do 32  28 nên bất đẳng thức với n  -Bước 2: Giả sử đẳng thức với n  k  4, nghĩa 2k 1  k  3k Ta phải chứng minh bất đẳng thức với n  k  1, tức phải chứng minh 2 k 11   k  1   k  1 hay 2k   k  5k  Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có 2k 1  k  3k Suy 2.2k 1   k  3k  hay 2k   2k  6k Mặt khác 2k  6k   k  5k    k  k   42    16 với k  Do 2k    k  3k   k  5k  hay bất đẳng thức với n  k  Suy bất đẳng thức chứng minh Vậy phương án D STUDY TIP Dựa vào kết ví dụ 4, ta đề xuất tốn sau: Tìm số ngun tố p nhỏ cho: 2n 1  n  3n, n  p, n   * A p  B p  C p  D p  C BÀI TẬP RÈN LUYỆN KỸ NĂNG Câu Tổng S góc đa giác lồi n cạnh, n  , là: A S  n.180 B S   n   180 C S   n  1 180 D S   n  3 180 * Câu Với n   , rút gọn biểu thức S  1.4  2.7  3.10   n  3n  1 2 A S  n  n  1 B S  n  n   C S  n  n  1 D S  2n  n  1 * * Câu Kí hiệu k !  k  k  1 2.1, k   Với n   , đặt S n  1.1! 2.2!  n.n ! Mệnh đề đúng? A S n  2.n ! B S n   n  1 ! C S n   n  1 ! D S n   n  1 ! Câu Với n  * , đặt Tn  12  22  32    2n  M n  22  42  62    2n  Mệnh đề đúng? 2 A Câu Tn 4n   M n 2n  Câu Câu Tn 4n   M n 2n  Tn 8n   Mn n 1 C D Tn 2n   Mn n 1 Tìm số nguyên dương p nhỏ để 2n  2n  với số nguyên n  p A p  Câu B B p  C p  D p  Tìm tất giá trị n  * cho 2n  n A n  B n  n  C n  D n  n  1 an  b     Với số nguyên dương n , ta có: , a, b, c  3n  1 3n   cn  2.5 5.8 số nguyên Tính giá trị biểu thức T  ab  bc  ca A T  B T  C T  43 D T  42  an      Với số nguyên dương n  , ta có: 1   1   1    , a, b      n  bn  số nguyên Tính giá trị biểu thức T  a  b A P  B P  C P  20 D P  36 Biết 13  23   n3  an  bn3  cn  dn  e, n  * Tính giá trị biểu thức M  abcd e 1 A M  B M  C M  D M  Câu 10 Biết số nguyên dương n , ta có 1.2  2.3   n  n  1  a1n  b1n  c1n  d1 Tính giá trị biểu thức 1.2  2.5  3.8   n  3n  1  a2 n3  b2 n  c2 n  d Câu T  a1a2  b1b2  c1c2  d1d D T  3 k k k Câu 11 Biết    n , n, k số nguyên dương Xét mệnh đề sau: A T  C M  B T  n  n  1 n  n  1 2n  1 n  n  1 n  n  1 2n  1  3n  3n  1 S1  , S2  , S3  S  30 Số mệnh đề mệnh đề nói là: A B C D Câu 12 Với n   , ta xét mệnh đề P :"7 n  chia hết cho 2" ; Q :"7 n  chia hết cho 3" * Q :"7 n  chia hết cho 6" Số mệnh đề mệnh đề : A B C D Câu 13 Xét toán: “Kiểm nghiệm với số nguyên dương n bất đẳng thức n  2n 1 ” Một học sinh trình bày lời giải tốn bước sau: Bước 1: Với n  , ta có: n !  1!  2n1  211  20  Vậy n !  2n 1 Bước : Giả sử bất đẳng thức với n  k  , tức ta có k !  2k 1 Ta cần chứng minh bất đẳng thức với n  k  , nghĩa phải chứng minh  k  1 !  2k Bước : Ta có  k  1!   k  1 k !  2.2  Vậy n!  n Chứng minh hay sai, sai sai từ bước ? k 1 A Đúng B Sai từ bước k C Sai từ bước n 1 với số nguyên dương D Sai từ bước 1 an  bn , a, b, c, d n số        1.2.3 2.3.4 n n 1 n  cn  dn  16 nguyên dương Tính giá trị biểu thức T   a  c  b  d  Câu 14 Biết : A T  75 B T  364 C T  300 D T  256 D HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Đáp án B Cách 1: Từ tổng góc tam giác 180 tổng góc từ giác 360 , dự đoán S   n   180 Cách 2: Thử với trường hợp biết để kiểm nghiệm tính –sai từ cơng thức Cụ thể với n  S  180 (loại phương án A, C D); với n  S  360 (kiểm nghiệm phương án B lần nữa) Câu Đáp án A Để chọn S đúng, dựa vào ba cách sau đây: Cách 1: Kiểm tra tính –sai phương án với giá trị n Với n  S  1.4  (loại phương án B C); với n  S  1.4  2.7  18 (loại phương án D) Cách 2: Bằng cách tính S trường hợp n  1, S  4; n  2, S  18; n  3, S  48 ta dự đoán công thức S  n  n  1 Cách 3: Ta tính S dựa vào tổng biết kết    n  12  22   n  Câu n  n  1 n  n  1 2n  1 Ta có: S  12  22   n   1    n   n  n  1 Đáp án B Chúng ta chọn phương án dựa vào hai cách sau đây: Cách 1: Kiểm nghiệm phương án giá trị cụ thể n Với n  S1  1.1!  (Loại phương án A, C, D) Cách 2: Rút gọn S n dựa vào việc phân tích phần tử đại diện k k !   k   1 k !   k  1 k ! k !   k  1 ! k ! Suy ra: S n   2! 1!   3! 2!     n  1 ! n !   n  1 ! Câu Đáp án A Chúng ta chọn phương án dựa vào hai cách sau đây: Cách 1: Kiểm nghiệm phương án giá trị cụ thể n T Với n  T1  12  22  5; M  22  nên  (loại phương án B, C, D) M1 Cách 2: Chúng ta tính Tn , M n dựa vào tổng biết kết Cụ thể dựa vào ví dụ 1: 2n  2n  1 4n  1 2n  n  1 2n  1 T 4n  Tn  ;Mn  Suy n  M n 2n  Câu Câu Đáp án B Dễ thấy p  bất đẳng thức p  p  sai nên loại phương án D Xét với p  ta thấy p  p  bất đửng thức Bằng phương pháp quy nạp toán học chứng minh 2n  2n  với n  Vậy p  số nguyên dương nhỏ cần tìm Đáp án D Kiểm tra với n  ta thấy bất đẳng thức nên loại phương án A C Kiểm tra với n  ta thấy bất đẳng thức Bằng phương pháp quy nạp toán học chứng minh 2n  n , n  Câu Đáp án B 1 1  , có:     3k  1 3k    3k  3k   1 11 1 1                 2.5 5.8 3n  3n  3 5 3n  3n   3n n  =  3n   6n  Đối chiếu với đẳng thức cho, ta có: a  1, b  0, c  Cách 1: Với ý Suy T  ab  bc  ca  a  b 2a  b x  b  ;  ;  c  10 2c  3c  22 Giải hệ phương trình ta a  1, b  0, c  Suy T  ab  bc  ca  Cách 2: Cho n  1, n  2, n  ta được: Câu Đáp án C k 1 k 1 Suy  k2 k k  n  n  n  2n        1   1   1        n  2 3 n 2n 2n 4n Đối chiếu với đẳng thức cho ta có: a  2, b  Suy P  a  b  20 a  3a  2 Cách 2: Cho n  2, n  ta  ;  Giải hệ phương trình trren ta b 3b 2 a  2; b  Suy P  a  b  20 Cách 1: Bằng cách phân tích số hạng đại diện, ta có:  Câu Đáp án B n  n  1 n  2n  n  Cách 1: Sử dụng kết biết:    n  So sánh cách hệ 4 1 số, ta a  ; b  ; c  ; d  e  4 Cách 2: Cho n  1, n  2, n  3, n  4, n  , ta hệ phương trình ẩn a, b, c, d , e Giải hệ 1 phương trình đó, ta tìm a  ; b  ; c  ; d  e  Suy M  a  b  c  d  e  4 Câu 10 Đáp án C Cách 1: Sử dụng tổng lũy thừa bậc bậc ta có: +) 1.2  2.3   n  n  1  12  22   n   1    n   n3  n  n 3 Suy a1  ; b1  1; c1  ; d1  3 +) 1.2  2.5  3.8   n  3n  1  12  22   n   1    n   n3  n Suy a2  b2  1; c2  d  Do T  a1a2  b1b2  c1c2  d1d  Cách 2: Cho n  1, n  2, n  3, n  sử dụng phương pháp hệ số bất đinh ta tìm a1  ; b1  1; c1  ; d1  ; a2  b2  1; c2  d  3 Do T  a1a2  b1b2  c1c2  d1d  Câu 11 Đáp án D 3 n  n  1 Bằng kết biết ví dụ 1, thấy có S3  sai Câu 12 Đáp án A Bằng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh n  chia hết cho Thật vậy: Với n  71   12 Giả sử mệnh đề với n  k  , nghĩa k  chia hết ccho Ta chứng minh mệnh đề với n  k  , nghĩa phỉa chứng minh k 1  chia hết cho Ta có: k 1    k    30 Theo giả thiết quy nạp k  chia hết k 1    k    30 chia hết cho Vậy n  chia hết cho với n  Do mệnh đề P Q Câu 13 Đáp án A Câu 14 Đáp án C 1 1  Phân tích phần tử đại diện, ta có:            k k 1 k  2  k k 1 k  k   1    Suy ra: 1.2.3 2.3.4 n  n  1 n   1 1 1 1          1.2 2.3 2.3 3.4 n  n  1  n  1 n    n  3n 2n  6n 1   =      n  1 n    4n  12n  8n  24n  16 Đối chiếu với hệ số, ta được: a  2; b  6; c  8; d  24 Suy ra: T   a  c  b  d   300 DÃY SỐ A LÝ THUYẾT Định nghĩa: Một hàm số u xác định tập hợp số nguyên dương * gọi dãy số vơ hạn (hay cịn gọi tắt dãy số) Người ta thường viết dãy số dạng khai triển u1 , u2 , , un , , un  u  n  viết tắt  un  Số hạng u1 gọi số hạng đầu, un số hạng tổng quát (số hạng thứ n ) dãy số Các cách cho dãy số: Người ta thường cho dãy số cách đây: - Cách 1: Cho dãy số công thức số hạng tổng quát n Ví dụ Cho dãy số  xn  với xn  n 1 Dãy số cho cách có ưu điểm xác định số hạng 10 10 dãy số Chẳng hạn, x10  11  177147 - Cách 2: Cho dãy số phương pháp truy hồi Ví dụ Cho dãy số  an  xác định a1  an 1  3an  7, n  b1  1, b2  Ví dụ Cho dãy số  bn  xác định  bn   4bn 1  5bn , n  Với cách này, ta xác định mối liên hệ số hạng nhóm số hạng dãy số thơng qua hệ thức truy hồi Tuy nhiên, để tính số hạng dãy số cần phải tích số hạng trước phải tìm cơng thức tính số hạng tổng quát dãy số - Cách 3: Cho dãy số phương pháp mô tả diễn đạt lời cách xác định số hẩng dãy số Ví dụ Cho dãy số  un  gồm số nguyên tố Ví dụ Cho tam giác ABC có cạnh Trên cạnh BC , ta lấy điểm A1 cho CA1  Gọi B1 hình chiếu A1 CA , C1 hình chiếu B1 AB , A2 hình chiếu C1 BC , B2 hình chiếu A2 CA ,… tiếp tục thế, Xét dãy số  un  với un  CAn Dãy số tăng, dãy số giảm, dãy số hằng: Dãy số  un  gọi dãy số tăng ta có un 1  un với n  * Dãy số  un  gọi dãy số giảm ta có un 1  un với n  * Dãy số  un  gọi dãy số (hoặc dãy số khơng đổi) ta có un 1  un với n  * Ví dụ a) Cho dãy số  xn  với xn  n  2n  dãy số tăng Chứng minh: Ta có xn 1   n  1   n  1   n  Suy xn 1  xn   n     n  2n  3  2n   0, n  hay xn 1  xn , n  Vậy  xn  dãy số tăng b) Dãy số  yn  với yn  n2 dãy số giảm 5n Chứng minh: Cách 1: Ta có yn 1  n3 n3 n2 4n  Suy yn 1  yn  n 1  n   n 1  0, n  hay n 1 5 5 yn 1  yn , n  Vậy  yn  dãy số giảm Cách 2: Với n  * , ta có yn  nên ta xét tỉ số Ta có yn 1  yn 1 yn y n3 n3  1, n  Vậy  yn  dãy số giảm nên n 1  n 1 yn  n  2 c) Dãy số  zn  với z n   1 dãy số tăng dãy số n giảm zn 1  zn   1 n 1   1  2  1 không xác định dương hay âm Đây dãy n n số đan dấu STUDY TIP Để chứng minh dãy số  bn  dãy số giảm dãy số tăng, thường sử dụng hướng sau đây: (1): Lập hiệu un  un 1  un Sử dụng biến đổi đại sốvà kết biết để un  (dãy số tăng) un  (dãy số giảm) un 1 Sử dụng biến đổi đại số kết un biết để Tn  (dãy số tăng), Tn  (dãy số giảm) (2): Nếu un  0, n  ta lập tỉ số Tn  Dãy số bị chặn Dãy số  un  gọi bị chặn tồn số M cho um  M , n  * Dãy số  un  gọi bị chặn tồn số m cho um  m, n  * Dãy số  un  gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, tức tồn số M , m cho m  um  M , n  * Ví dụ 7: a) Dãy số  an  với an  2017 sin  3n  1  dãy số bị chặn 2017  an  2017, n  * b) Dãy số  bn  với bn  2n  dãy số bị chặn  bn  1, n  * 3n  c) Dãy số  cn  với cn   3n   n 1 bị chặn an  49, n  * d) Dãy số  d n  với d n     ( n dấu căn), bị chặn d n  3, n  * STUDY TIP 1) Nếu  un  dãy số giảm bị chặn u1 2) Nếu  un  dãy số tăng bị chặn u1 B Các tốn điển hình Câu Cho dãy số  an  xác định an  2017 sin n n Mệnh đề mệnh  2018cos đề đúng? A an   an , n  * B an 9  an , n  * C an 12  an , n  * D an 15  an , n  * Đáp án C Lời giải Kiểm tra phương án đến tìm đáp án  n     2018cos  n     2017 sin n  2018cos n  a + Ta có an   2017 sin n 3  n     2018cos  n     2017 sin n  2018cos n  a + Ta có an   2017 sin n 3  n  12    2018cos  n  12    2017 sin n  2018cos n  a + Ta có an 12  2017 sin n 3  n  15   2018cos  n  15   2017 sin n  2018cos n  a + Ta có an 15  2017 sin n 3 Vậy phương án C Nhận xét: Từ kết ví dụ này, trả lời câu hỏi trắc nghiệm sau n n Cho dãy số  an  xác định an  2017 sin Hãy chọn phương án trả lời  2018cos câu hỏi sau đây: 10