Khảo sát thuật toán OSD sử dụng bộ mã RS và kỹ thuật điều chế QAM

Bài viết tiến hành khảo sát việc ứng dụng thuật toán giải mã theo bậc thống kê (OSD) cho bộ mã Reed-Solomon (RS) kết hợp kỹ thuật điều chế biên độ vuông góc (QAM). Việc nghiên cứu trước hết sẽ được tiến hành bằng sự triển khai về mặt lý thuyết cho thuật toán thông qua các công thức toán học và sau đó là lập trình mô phỏng sử dụng công cụ Matlab cho bộ mã RS(15,9,7) cùng điều chế 16-QAM. Mời các bạn cùng tham khảo!

Khảo Sát Thuật Toán OSD Sử Dụng Bộ Mã RS Kỹ Thuật Điều Chế QAM Lê Hoàng Hiệp, Hồ Văn Cừu Nguyễn Thị Thu Hằng Khoa Điện tử Viễn Thơng, Đại học Sài Gịn Email: lehoanghiep@gmail.com, cuu_ho_van@yahoo.com, hangntt.ptit@gmail.com Abstract— Trong báo này, tác giả tiến hành khảo sát việc ứng dụng thuật toán giải mã theo bậc thống kê (OSD) cho mã Reed-Solomon (RS) kết hợp kỹ thuật điều chế biên độ vng góc (QAM) Việc nghiên cứu trước hết tiến hành triển khai mặt lý thuyết cho thuật tốn thơng qua cơng thức tốn học sau lập trình mơ sử dụng cơng cụ Matlab cho mã RS(15,9,7) điều chế 16-QAM Để đảm bảo thời gian thực thuật toán giải mã, thông số sử dụng khảo sát mức gần tối thiểu, bậc thống kê thấp, mã có khoảng cách Hamming lớn Các kết thu cho thấy với hệ thống chất lượng đạt tới mức tiệm cận với kết dùng phương pháp giải mã đại số truyền thống sử dụng thuật toán Berlekamp Điều cho thấy thuật toán OSD có tiềm sử dụng hệ thống thơng tin tốc độ cao mang lại độ tin cậy mã hóa tốt Tuy nhiên vấn đề đặt giảm thiểu thời gian giải mã, qua phương pháp áp dụng thực tế với thông số giải mã tối ưu, mang lại hiệu tốt so với phương pháp đại số truyền thống trọng khác trình bày nhiều tài liệu tham khảo khác [5-8] Theo đề xuất nhóm tác giả, hệ thống truyền dẫn đề cập nghiên cứu vừa liệt kê trên, gia tăng tốc độ truyền tin kỹ thuật điều chế QAM nâng cao độ tin cậy thông tin thơng qua việc sử dụng mã RS Từ đặt tốn cần giải việc áp dụng thuật OSD nên thách thức lớn hiển thực tế thời gian giải mã kéo dài Bài báo nhóm tác giả đề xuất cho hướng giải khả quan Tuy nhiên, kết thu mức hạn chế chắn cần nhiều giải pháp nâng cao hiệu suất khác Trong khuôn khổ điều kiện nghiên cứu cho phép, thực việc mô kênh truyền nhiễu trắng cộng Gaussian (AGWN) cho mã RS(15,9,7) điều chế 16-QAM với bậc giải mã thống kê thấp L=2 Thực sự, vấn đề thực thi với kỹ thuật điều chế 128-QAM trở lên, với L đủ lớn, đóng góp nhiều lợi ích việc nâng cao tốc độ truyền tin độ lợi mã hóa thơng tin cho ứng dụng kênh truyền dẫn băng rộng, đặc biệt kênh vô tuyến ngày Keywords- Giải mã theo bậc thống kê, thuật toán Berlekamp, mã Reed-Solomon, điều chế biên độ vng góc I GIỚI THIỆU Chúng tơi nhận thấy việc áp dụng kỹ thuật giải mã theo bậc thống kê hướng nhiều tiềm Trong báo này, trước hết tác giả tiến hành phân tích mặt lý thuyết việc áp dụng thuật toán OSD vào mã RS điều chế QAM Việc xây dựng mã RS tiến hành thông qua phần tử trường Galois GF(2m) Tiếp theo sau đó, tác giả đề xuất hai tiêu chuẩn bổ trợ nhằm góp phần rút ngắn thời gian giải mã trường hợp Nhằm đưa kết trực quan cho nghiên cứu, bước cuối khảo sát tác giả tiến hành mơ lập trình Matlab thu tỉ lệ lỗi bit, lỗi ký hiệu (symbol), lỗi từ mã (codeword) Các kết so sánh với chất lượng sử dụng phương pháp giải mã đại số truyền thống sử dụng thuật toán Berlekamp [2] Các tác giả hi vọng rằng, sau báo có thêm nhiều nghiên cứu kỹ thuật OSD nhằm hoàn thiện thuật toán tăng khả áp dụng thực cho phương pháp vào hệ thống truyền dẫn hệ tốc độ nhanh, tin cậy tốt Các nội dung nghiên cứu tiềm tập trung vào phương pháp rút ngắn thời gian giải mã, đồng thời tìm công thức lý thuyết cho tỉ lệ lỗi thuật toán Kỹ thuật giải mã theo bậc thống kê (ordered statistics decoding – OSD) trình bày cụ thể sách kinh điển kỹ thuật mã hóa sửa sai “Error Control Coding: Fundamentals and Applications” hai tác giả Shu Lin Daniel J Costello [1] Đây hướng kỹ thuật giải mã định mềm dựa thực tế (xác suất) thông tin đầu thu (reliability-based soft-decision) Cũng theo tác giả Shu Lin, kỹ thuật định mềm mang lại hiệu độ lợi giải mã dB so với thuật tốn giải mã đại số thơng thường Tuy vậy, phương pháp giải mã dựa định mềm (soft decision), có phương pháp giải mã theo bậc thống kê nói đa phần phức tạp khó triển khai thực tế Nó có độ phức tạp cao mặt lý thuyết tốn học, kỹ thuật lập trình (đặc biệt thời gian chạy chương trình), thực thi bo mạch điện tử Vì hướng nghiên cứu chưa quan tâm mức Đa phần nghiên cứu định mềm thường sử dụng đối tượng mã nhị phân, mã Bose, Chaudhuri, Hocquenghem (BCH) mà báo tác giả Hu [3] ví dụ cụ thể Ngồi ra, ứng dụng giải mã theo bậc thống kê áp dụng cho mã phân cực ngắn (short polar codes) nghiên cứu [4] tác giả Daolong Wu cộng Một loạt nghiên cứu quan Phần lại báo tổ chức sau: phần II, tác giả trình bày nội dung lý thuyết thuật toán OSD 73 Định nghĩa 2: (đại lượng đo lường tương quan) Đặt R   r0 , r1 , , rN 1  chuỗi phi lượng tử hóa có chiều dài Phần III bàn tiêu chuẩn bổ trợ tác giả để xuất nhằm rút ngắn thời gian giải mã Trong phần IV cung cấp kết mơ phân tích so sánh với kết thuật toán Berlekamp Cuối cùng, nội dung kết luận trình bày phần V II N, ri   ri I , ri Q  , với  i  N  , điểm hệ trục tọa độ, đại lượng đo lường tương quan R tính theo cơng thức sau N 1 M  R    d  si , ri  THUẬT TOÁN GIẢI MÃ THEO BẬC THỐNG KÊ m 2,…,  Các phần tử thành phần mở rộng trường Galois nhị phân GF(2) chúng hoàn toàn đại diện điểm tọa độ tín hiệu M-QAM với quan hệ tồn ánh chuỗi tín hiệu QAM đồng thời vector định cứng (hard decision) R , s1QAM , , s QAM Đặt S QAM   sQAM N 1  chuỗi N tín hiệu QAM, siQAM   siI , siQ  điểm sơ đồ Dựa vào đại lượng đo lường tương quan, ta thu từ mã cứng QAM điểm , s1QAM , , sQAM R S QAM   sQAM N 1  , với s i tín hiệu 2m-QAM  i  N  gần ri Ánh xạ ngược chuỗi tín hiệu S QAM vector chiều dài N biểu diễn Z RS   z0RS , z1RS , , z NRS1  Đặt Z RS   z 0RS , z1RS , , z RS N 1  vector hay chuỗi bao ziRS  GF  2m  Độ tin cậy ký hiệu ri R gồm N phần tử GF(2m), nghĩa z iRS  GF(2 m ) với định lượng khoảng cách Euclidean d  siQAM , ri  ,  i  N  Nếu ta gọi s iQAM phần tử song ánh z iRS vector S song ánh QAM (hay gọi ảnh  i  N  Nếu khoảng cách ngắn độ tin cậy ri cao Dựa vào giá trị độ tin cậy này, vị trí phần QAM) vector Z RS Xét h   h I , hQ  k   k I , k Q  hai điểm hệ trục tọa độ Descartes (sau gọi hệ trục tọa độ), khoảng cách Euclidean chúng tính theo cơng thức d  h, k   h I  k I    hQ  k Q  2 tử ziRS Z RS xếp lại theo thứ tự độ tin cậy giảm dần Vị trí ký hiệu chuỗi tín hiệu QAM s QAM i từ mã cứng ri R xếp lại theo vị trí tương (1) ứng ziRS Định nghĩa 1: (điểm gần nhất) Đặt s QAM   s I , s Q  điểm sơ đồ tín hiệu QAM f   f , f I Q si điểm gần ri Trong nghiên cứu này, giá trị M(R) sử dụng làm thước đo độ tin cậy chuỗi liệu nhận đầu thu R Chúng ta , s1QAM , , sQAM nhận chuỗi S QAM   sQAM N 1  2 QAM (2) i 0 Trong phần này, thuật toán giải mã theo bậc thống kê (OSD) trình bày cách chi tiết Như biết trường Galois GF(2m) bao gồm 2m phần tử, là: 0, 1, , Gọi S QAM   s 0QAM , s1QAM , , s QAM N 1   điểm    r , r , , r  , R N 1 Z RS   z0RS , z1RS , , zNRS1  vector từ mã cứng, QAM hệ trục tọa độ có chứa sơ đồ đó, s gọi điểm gần f khoảng cách d  sQAM , f  nhỏ chuỗi thu chuỗi phần tử GF(2m) xếp lại Như vậy, hiển nhiên là:  d  s 0QAM , r0   d  s1QAM , r1     d  s QAM (3) N 1 , rN 1  Như thấy điểm hệ trục tọa độ có điểm gần Khoảng cách tối thiểu d  s QAM , f  hai điểm sQAM f xem Đặt  phép tốn hốn vị ta viết sau     R  Ngoài ra, K Z RS    Z RS  , S QAM    SQAM  R vị trí Z RS gọi vị trí có giá trị tin cậy độc lập cao (most reliable independent – MRI) N-K vị trí cịn lại gọi vị trí có giá trị tin cậy độc lập thấp (least reliable independent – LRI) đại lượng đo lường (metric) phần tử GF(2m) biểu diễn (hay đại diện) sQAM Còn khoảng cách d  sQAM , f  sử dụng làm giá trị tin cậy (reliability) hay độ tin cậy điểm f điểm sQAM Giá trị tin cậy đại lượng quan trọng dùng q trình giải mã theo thuật tốn OSD Cụ thể, điểm hệ tọa độ điểm gần có độ tin cậy cao hơn, nghĩa khả giải mã thành điểm QAM cao Giá trị tin cậy cặp điểm riêng lẻ tiền đề cho định nghĩa sau Như vậy, ta viết lại sau   Z RS   z0RS , z1RS , , z KRS1 , zKRS , zKRS1 , , z NRS1      MRI positions LRI positions   (I ) (P ) RS RS  Z || Z 74 quan từ mã vừa tạo ra, nhằm kết thúc trình giải mã Tuy nhiên tiêu chí khó có khơng thỏa mãn kiểm tra đến từ mã tiềm cuối || ký tự biểu diễn phép toán kết nối, đồng thời ký tự I P có ý nghĩa biểu thị cho K vị trí MRI (N-K) vị trí LRI Xét G K  N ma trận sinh mã RS(N,K,D) Xét   G  phép hoán vị cột G dựa vào độ tin cậy ký III hiệu vector tín hiệu nhận R Sau áp dụng phép hoán vị này, thu ma trận G    G  , sau A Tiêu chuẩn kiểm tra độ tương quan từ mã Xét R   r0 , r1 , , rN 1  với ri   ri (I) , ri(Q)  chuỗi tín ta tiếp tục cần thực phép biến đổi sơ cấp theo hàng  Đặt  phép biến để đưa G dạng ma trận hệ thống G đổi sơ cấp theo hàng ta có:     G   I , P  G (4)  K K  N  K   I K ma trận đơn vị cấp K hiệu thu phi lượng tử vector X   x0 , x1 , , xN 1  từ mã mã ℂ thuộc trường Galois GF(2m), S QAM   sQAM , s1QAM , , s QAM N 1  vector tín hiệu QAM X Dựa vào (2) ta có đại lượng đo lường tương quan X N 1 M ( X)   d  ri , siQAM  Trong thuật toán OSD, cần tạo nhiều từ mã tiềm (hay gọi từ mã ứng cử viên - candidate codeword) trường GF(2m) Sau ta cần chọn từ mã với chuỗi QAM có độ tương quan lớn với chuỗi tín hiệu nhận R Việc lựa chọn thách thức đáng kể việc giải mã  từ mã tiềm năng, ta có: Gọi X q      1 Z  RS  G X q q  CÁC TIÊU CHUẨN BỔ TRỢ GIẢI MÃ (6) i 0 Sau áp dụng phép hoán vị cho R, X SQAM dựa vào độ tin   (R) , X    ( X) , cậy ri (  i  N  ), ta R  )  M ( X) Giả sử X S QAM  (S QAM ) rõ ràng M ( X HD từ mã cứng (được giải mã phương pháp giải mã định cứng), Xk Xl hai từ mã bất kì, tương ứng có SQAM(HD), SQAM(k) SQAM(l) vector tín hiệu QAM XHD, Xk Xl kể Nếu Xk có độ tương quan cao Xl (5)  RS chuỗi thứ q tạo việc Z q M  X k   M  Xl  thay tối đa L phần tử trường GF(2m) vị trí tồn  RS( I ) Giá trị L gọi bậc giải mã thống chuỗi Z kê Để chọn từ mã nhất, máy tính phải thực số lượng lớn phép tính tốn so sánh khoảng thời gian dài Việc tinh giản lượng phép tính tốn vấn đề nan giải chí với tín hiệu điều chế nhị phân BPSK [3] Cụ thể, số lượng tính tốn cho thuật tốn OSD bậc L mã RS(N,K,D) sử dụng tín hiệu điều chế M-QAM tổng số lượng từ mã tối đa tạo để chọn lựa K L  i 0 M i  i    Thực ra, số lượng giảm đáng kể  RS( I ) không cần thay vị trí chuỗi Z tồn M=2m phần tử trường GF(2m) mà cần đến số phần tử có khả cao mà thơi Việc lựa chọn phần tử hướng nghiên cứu hứa hẹn sau Quay lại nội dung chính, ta nhận thấy có nhiều từ mã tạo sau có độ tương quan thấp so với từ mã tạo trước Đối với từ mã đến sau hệ thống khơng cần kiểm tra lãng phí thời gian Vấn đề để nhận diện từ mã vơ ích Trong phần đây, tác giả đề xuất hai tiêu chí so sánh nhằm nhận diện loại bỏ việc sản sinh từ mã vơ ích nêu trên, đồng thời xem xét cân nhắc thời điểm dừng giải mã đạt kết tối ưu Cụ thể, tiêu chí thứ dự đốn liệu từ mã sản sinh có độ tương quan thấp so với từ mã trước kiểm tra Tiêu chí thứ hai xác định tối ưu tương        M X    M X    M X    M X    M X    M X  M X  M X k l (I ) k ( P) k (I ) k l (7) l (P) k Đối với mã RS(N,K,D) khoảng cách Hamming tối thiểu D=N-K+1 Cho nên ta   N 1  ( P )   d  r , s QAM( k )  M X k i i iK D2   d  ri , s iQAM (HD)  (8) i 0 Do đó,     D2  (I )  M X    d  r , s QAM(HD)  M X k l i i (9) i0 Như ta thấy từ mã Xk có độ tương quan lớn Xl  ( I ) X  ( I ) phải thỏa mãn phép đo lường tương quan M X k k   bất đẳng thức (9) Tiêu chuẩn 1: Kiểm tra độ tương quan từ mã   ( X ) Gọi Xl từ mã có tương quan lớn tại, X l l RS hoán vị Xl Gọi Z từ mã cứng tín hiệu ngõ  RS  (ZRS )  Z  RS( I ) || Z  RS( P ) hoán vị ZRS và Z 75 nên vế trái (12) luôn lớn Điều có nghĩa M(Xl) > M(Xk) Xk xác định từ mã tương quan Việc tìm kiếm dừng lại bước || kí hiệu phép nối Chuỗi S QAM(HD) vector tín hiệu (I )  RS Đặt Z RS chuỗi tạo QAM Z k cách thay tối đa L phần tử trường Galois GF(2m) vài vị (I ) trí chuỗi Z RS Xét từ mã Xk từ mã tạo vòng lặp q trình tạo mã cơng thức:      1 Z RS( I )  G X   1  X k  k Tiêu chuẩn 2: Kiểm tra tương quan tối ưu Nếu từ mã Xk thỏa mãn bất đẳng thức  k M  X k   M  Z RS   bất đẳng thức      D /  1  i 0 i từ mã có độ tương quan lớn D2  (I )  M X    d  r , s QAM(HD)  M X k l i i Như vậy, tìm từ mã có độ tương quan lớn nhất, hệ thống xem giải mã xong dừng q trình giải mã Áp dụng tiêu chuẩn này, trình giải mã kết thúc nhanh so với quy trình bình thường Tuy nhiên, lúc tiêu chuẩn thỏa mãn, hệ thống phải tiến hành kiểm tra cho tất từ mã tạo i0 thỏa mãn Xk sản sinh từ mã có tương quan lớn thời điểm giải mã Ngược lại, hệ thống không cần phải tạo hay tính tốn độ tương quan cho từ mã B Tiêu chuẩn kiểm tra tương quan tối ưu Đưa tiêu chuẩn kiểm tra tương quan tối ưu quan trọng việc rút ngăn thời gian giải mã Giả sử Xl Xk có mức độ đo lường tương quan M(Xl) M(Xk), hai từ mã mã RS(N,K,D) Vì mã có khoảng cách Hamming ngắn D, nên có D vị trí khác Xl Xk Tập hợp điểm khác hai từ mã WRS YRS thuộc mã RS định nghĩa sau: (10)   W RS , Y RS   i : wiRS  yiRS ,  i  N  1 IV KẾT QUẢ Trong phần này, thực mô hệ thống truyền tin công cụ Matlab với mã sử dụng RS(15,9,7) phương pháp điều chế 16-QAM Ngoài ra, bậc giải mã thống kê sử dụng L=2 Môi trường truyền dẫn kênh truyền nhiễu cộng Gausian (AWGN) Các kết lỗi bit, lỗi ký hiệu (symbol) lỗi từ mã (codeword) thể hình 1, bên độ khác hai từ mã RS định nghĩa sau:  i( p )  d  rp , p iQAM   d  rp , sQAM (11)  p p    Xl , Z RS  vị trí mà Xl Xk có giá trị khác nhau, p QAM ,  i  2m  , i khác với 2m  điểm chòm QAM cho p QAM i (HD) ( p) giá trị nhỏ  i( p ) vị trí p s QAM Đặt  p (0) (1) ( N 1) s QAM (HD) Xét chuỗi    ,  , ,   với phần tử ( p) , xếp dựa theo thứ tự tăng dần phần tử  chuỗi sau xếp (0) (1) ( N 1)    ,  , ,   với  min(0)   min(1)     min( N 1) Ta thấy: M  Xl   M  X k    M  Xl   M  Z RS     M  X k   M  Z RS      p Xl , Z RS   j( p )    p*  Xl , Z RS   (j p * ) (12) Hình Xác suất lỗi bit vẽ hàm Eb/N0 (dB) sử * * dụng mã RS(15,9,7), phương pháp điều chế 16-QAM L  m j j biểu tả phần tử trường GF(2 ) thay vị trí p p* Bởi D    Xl , X k     Xl , Z RS     Xk , Z RS  (13) D    X k , Z RS     Xl , Z RS  (14) nên Từ kết cho thấy, kết phương pháp OSD với L=2 cho hiệu gần với thuật toán Berlekamp mã Thậm chí hình giá trị lỗi từ mã hệ thống sử dụng thuật toán OSD thấp so với hệ thống sử dụng thuật toán Berlekamp, trường hợp giá trị Eb/N0 thấp, từ dB đến dB Như thấy việc áp dụng thuật toán giải mã OSD cho mã RS kỹ thuật điều chế QAM hồn tồn có triển vọng Thêm nữa, ta tăng giá trị L hiệu thuật tốn OSD Vì vậy,   X k , Z RS   D /   Xl , Z RS   D / Vì   p*  Xk , ZRS *   (j p ) tổng  D / 2 phần tử  * 76 phạm vi cho phép Tuy nhiên, thực tế chạy chương trình mơ cho thấy q trình giải mã thuật toán OSD lâu so với thuật toán cổ điển nhiều lần Như hiệu hai định lý bổ trợ đề xuất phần III thực tế khiêm tốn, cần phải nghiên cứu cải tiến thêm Bên cạnh đó, hướng nghiên cứu khác mở tìm cơng thức mặt lý thuyết giá trị xác suất lỗi áp dụng thuật toán OSD cho mã RS điều chế QAM gia tăng chắn vượt qua kết thuật tốn đại số Bên cạnh đó, trường hợp hệ thống sử dụng loại mã RS có giá trị khoảng cách Hamming tối thiểu D chắn thuật tốn OSD có chất lượng giải mã tốt Vì hiệu thuật tốn OSD khơng phụ thuộc hồn tồn vào giá trị D thuật tốn đại Berlekamp có phụ thuộc, cụ thể, số lượng lỗi ký hiệu phát số lượng lỗi ký hiệu sửa lỗi tối đa 𝐷 − ⌊(𝐷 − 1)/2⌋ V Trong báo này, tác giả tiến hành khảo sát việc áp dụng thuật toán giải mã theo bậc thống kê OSD cho mã RS phương pháp điều chế M-QAM Nội dung trọng tâm báo hai tiêu chuẩn đề xuất nhằm giúp thực hóa việc áp dụng thuật tốn OSD cho mã RS kể Ngồi việc phân tích khảo sát lý thuyết vậy, tác giả tiến hành mô hệ thống cụ thể với mã RS(15,9,7) phương pháp điều chế 16-QAM Kết đạt cho thấy triển vọng thuật toán việc áp dụng giải mã theo bậc thống kê OSD đề xuất thực Hai tiêu chuẩn phần giải toán rút ngắn thời gian giải mã nhiều, nhiên hiệu hạn chế, so sánh với thuật toán giải mã phương pháp đại số Các hướng nghiên cứu đặt là: để giảm thiểu thời gian thực thi giải mã thuật tốn, tìm cơng thức lý thuyết xác suất lỗi thuật tốn Hình Xác suất lỗi ký hiệu vẽ hàm Eb/N0 (dB) sử dụng mã RS(15,9,7), phương pháp điều chế 16-QAM L  TÀI LIỆU THAM KHẢO Codeword error rate for {RS(15,9,7), 16-QAM, order = 2} 10 [1] Berlekamp OSD [2] 10 -1 [3] [4] 10 -2 [5] 10 -3 [6] 10 -4 KẾT LUẬN 10 [7] E b /N0 (in dB) Hình Xác suất lỗi từ mã vẽ hàm Eb/N0 (dB) sử dụng mã RS(15,9,7), phương pháp điều chế 16-QAM L  [8] Việc áp dụng thuật toán OSD mang lại cho hệ thống linh động việc gia tăng tốc độ truyền dẫn nâng cao độ tin cậy kênh truyền mà điều chỉnh mức lỗi 77 Su Lin, Daniel J Costello, Error Control Coding, 2nd edition, ISBN 0-13042672-5, NJ: Prentice-Hall, 2005 Elwyn R Berlekamp, Algebraic Coding Theory, revised edition, ISBN 978-981-4635-89-9, World Scientific Publishing Co Pte Ltd, 1984 Ta-Hsiang Hu, Shu Lin, “An efficient hybrid decoding algorithm for Reed-Solomon codes based on bit reliability,” IEEE Transaction on Communications, vol 51, no 7, July 2003 Daolong Wu, Ying Li, Xudong Guo, and Yue Sun, “Ordered statistic decoding for short polar codes,” IEEE Communications Letter, vol 20, no 6, June 2016 Salf E A Alnawayseh, and Pavel Loskot, “Order statistics based list decoding techniques for linear binary block codes,” IEEE Transaction on Information Theory, Jan 2011 Yingquan Wu ; Christoforos N Hadjicostis, “Soft-decision decoding using ordered recodings on the most reliable basis,” IEEE Transaction on Information Theory, vol 53, issue 2, Feb, 2007 M.P.C Fossorier, Shu Lin, “Soft decision decoding of linear block codes based on ordered statistics,” IEEE Transactions on Information Theory, vol 41, issue 5, 1995 Marc P C Fossorier, “Reliability-Based Soft-Decoding With Iterative Information Set Reduction,” IEEE Transactions on Information Theory, vol 48, no 12, December 2002  ... thấy việc áp dụng thuật toán giải mã OSD cho mã RS kỹ thuật điều chế QAM hồn tồn có triển vọng Thêm nữa, ta tăng giá trị L hiệu thuật tốn OSD Vì vậy,   X k , Z RS   D /   Xl , Z RS   D /... áp dụng thuật toán OSD cho mã RS điều chế QAM gia tăng chắn vượt qua kết thuật tốn đại số Bên cạnh đó, trường hợp hệ thống sử dụng loại mã RS có giá trị khoảng cách Hamming tối thiểu D chắn thuật. .. hành khảo sát việc áp dụng thuật toán giải mã theo bậc thống kê OSD cho mã RS phương pháp điều chế M -QAM Nội dung trọng tâm báo hai tiêu chuẩn đề xuất nhằm giúp thực hóa việc áp dụng thuật tốn OSD