DẠNG 6 tồn tại

CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG DẠNG TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA m ĐỂ BIỂU THỨC THOẢ MÃN CĨ NGHIỆM I PHƯƠNG PHÁP + Tìm điều kiện xác định cần + Rút gọn biểu thức + Biến đổi yêu cầu toán phương trình + Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm + Đối chiếu + Kết luận II VÍ DỤ x 1  1 B x 3 x3 x Ví dụ cho hai biểu thức a) Tính giá trị biểu thức B x  A A  x 2 x   x 2 x x 3  b) Chứng minh m c) Tìm giá trị tham số để phương trình A : B  m có nghiệm Lời giải a) ĐKXĐ: x  Thay x  (thỏa mãn ĐKXĐ) vào biểu thức B , ta được: x  3   x 3 B x  Vậy B x 1  A  1 x 3 x 3 x b)  2x  x   x  x x  x 3   x 1  1 x 3 x x 3  x4 x 4 x  c) ĐKXĐ: x  ; x  Ta có:  A:B  x 2 x  Xét phương trình:  x 3  : x 2  x x 3   x    x 2   x 2   x 3  x x 2  x  (đpcm) x 3  x 2 x 3 x 2 m x 3  m x  3m  x    m  1 x  3m  (*) TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI Với m  ta có x GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG 3m  1 m x   x4 Theo đkxđ ta có   m    3m  0   m   3m  2  Để pt (*) có nghiệm cần   m 5m  m  3m  3m  3m    2m 2 2    m   m  1     1 m 1 m +)  m 3m  0  m +) 2  m  3m   3m  2   2     m 1  1 m  m  m  Trường hợp :  2  m  3m   3m  2       m  m   m   m  Trường hợp :  2 3m   m 1 0  2 để  m 2  m 1 1 2   KL: Từ ta có , m  phương trình có nghiệm  Ví dụ Cho A x 3 B  x ; a) Tính giá trị A x x 3x    x 3 x  x 9 , x  0; x  x 25 b) Rút gọn biểu thức B c) Cho P  A.B Tìm x để P.x  x   x  x  có nghiệm Lời giải Điều kiện: x  ; x  a) Tính giá trị A x TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 25 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI x Thay GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG x 3 x , ta được: 25 A (thỏa mãn điều kiện xác định) vào 25 3 3 14 42    25 25 25 25 9 A b) Rút gọn biểu thức B x x 3x    x 3 x 3 x 9 B x B B   x 3  x  x 3 x 9  x 3  x 3    x   3x  x 3      x 3 x 3   x 3  x 3 B c) Cho P  A.B Tìm x để P.x  x   x  x  có nghiệm x 3 3  x x  x (với x  ; x  ) P  A.B  Ta có: P.x  x   x  x  (ĐK: x  ; x  )  x  x   x  x  x  33 x 5  x 2 x 7  x 2 x 3 x 5    2x  x  x      x    x    x  x       x 5 3         Vì  Do đó: x 2  0 x 5 3  x 2    nên 0   x 5 3  TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN x 2   x 5 3   0  x 2 0 xảy : PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI         GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG x 5 3  x 2   x    x    x  13     x   x   x  (Điều không 0 xảy ra) Vậy, giá trị x để P.x  x   x  x  có nghiệm A x2 1 x Ví dụ Cho biểu thức x  B 15 x  11 x x   x3 x  với x  ; 1) Tính giá trị biểu thức A x  16 2) Đặt P  A  B Rút gọn biểu thức P 3) Tìm m để có x thoả mãn P   x3  m Lời giải 1) Ta có x  16 thoả mãn điều kiện x  ; x  Khi đó, thay x  16 vào Vậy x  16 A 2) Vì P  A  B nên P x2 1 x Khi P   x2  x ta được x2 1 x  x x   A 16   16 x x 3  x3 x  với x  ; x  x3 x3 15 x  11      x  3  x  1 5x  x  x3  3.4  10 10   1 3  x  3  x  1  x  3  x  1  x  3  x3   15 x  11  3x  x   15 x  11  2x  x    10 15 x  11 x  2     x  3   A  x 1  x 1   x 1 TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI       x  3  x 1 x   GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG  x 1 5 x  x3 P 3) Với x  ; x  ta có   x   m    x2 x3     x3  m   x  m x  2m 2  x   m    m  3 Với x  ; x  2  x   m   P Vậy với m  3 có x thoả mãn   x3  m III BÀI TẬP VẬN DỤNG A Câu Cho hai biểu thức 1) x5 x  B x3  2x  x  13 x  x  x với x  0;x  Tính giá trị biểu thức A x  16 2) Đặt P x5 B P x3 A Chứng minh 3) Tìm tất cách giá trị x thỏa mãn x 1    x  P  x  Lời giải 1) Với x  16 ( thỏa mãn điều kiện).Thay vào A ta có 2) Ta có   16  16  9 B  2x  x  13 x  x5    : A  x  x  x  x  P     A  x3 x3   x3    2x  x  13 x 3  x3 x  12  2x  x  13  x  x  x3  TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN x3      x3 x3     x  x   x   x  x3 x5 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI  GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG x  25  x3 3) Ta có  x3 x 1    x3 x5 x5  x3 (ĐPCM)  x  P  x   x    x1  x   x      x 1    x3 x   x5 x3  x 0  x   x     x1 x   x    Thỏa mãn với điều kiện ban đầu Vậy x  thỏa mãn Câu ) Cho biểu thức A 1  x 1 x x  ; B x 1  2  x   x  1  x  0 a) Tính giá trị biểu thức A với x  A 0 b) Tìm x để B c) Tìm giá trị m để có giá trị x  ; x  thỏa mãn: m   A  m2  x  m x  B Lời giải a) Tính giá trị biểu thức A với x  A  x 1 x x  1   x 1 x 1 x       x  1  x 1 x2   x2 Thay x  (TMĐK) vào biểu thức A ta được: A 42  Vậy với x  giá trị biểu thức A TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG A 0 b) Tìm x để B Ta có: A x 1  : B x  2  x  x  1      2  x  x  1  x   x 1         1 x A 0 Để B  1 x   x  ( Điều kiện x  )   x  A 0 Vậy để B  x  c) Tìm giá trị m để có giá trị x  ; x  thỏa mãn:   A  m2  x  m x  B A m  m2  x  m x  B Ta có: m        m  x  m2  x  m x     m2  x  m  Thay x  ; x  vào phương trình ta được m     m   m   m2  m    m  2   3m  m    m  Vậy m x 2 15 x  11 x  B   x x  x  x  với x  , x  Câu Cho hai biểu thức a) Tính giá trị biểu thức A x  16 b) Đặt P  A  B Rút gọn biểu thức P A c) Tìm m để có x thỏa mãn P( x  3)  m Lời giải TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI a) x  16 (thỏa mãn điều kiện xác định) A x 2 1 x A x  16 vào Thay GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG biểu thức ta được: 16  3.4  12  10    1 3  16 Vậy x  16 A 10 b) Với x  ; x  Ta có: PAB P x  15 x  11 x    1 x x  x 3 x 3 3 x   x 1  x 3 x 3   x  3  3 x  2  x  3  15 x  11   x  3  x  1 P  x  1  x  3  x  1  x  3  x 1  x  3 P P   15 x  11 x 1 3x  x   x 1 x 3    15 x  11  x 1 x 3    2x  x   x 1 x 3  3x  x   15 x  11  2x  x     x  3  5x  x    x   5x  x  P   x  1  x  3  x  1  x  3 5 x  x  1   x  1  x  1  5 x   5 x  P   x 3 x  x  x  x        x 1 Vậy với x  ; x  P c) Với x  ; x  , ta có: 5 x  x 3 mP   x 3  5 x   x 3  5 x  x 3  Với x   5 x   5 x    m     1  Mặt khác: x   x   5 x  5  5 x   3  m  3  2  1  2  m  ; m  3 Từ TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Vậy với m  ; m  3 thìcó x thỏa mãn P( x  3)  m Câu Câu Cho biểu thức: (với x  ; x  )  x 1  x B  : x 1 x  x 1 x  x x A x 16 25 a) Tính giá trị A b) Rút gọn biểu thức B c) Tìm giá trị nguyên tham số m cho tồn x thỏa mãn:  5AB  m Lời giải a) x 16 25 (thỏa mãn điều kiện xác định) x Thay A 16 25 A vào biểu thức x x 2 ta được: 16 25   : 14   2 16  5 14 2 25 Vậy x 16 A 25 b) Với x  ; x  Ta có:  x 1  B  : x 1 x  x 1 x x  B   x x 1 x  B   1 x   x   x 1  : x 1   x   x 1  x 1 2 x 1 Vậy với x  ; x    x 1  B x 1 x x 1 x c) Với x  ; x  m   5AB    Ta có: TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN x  x 1 x 5     1  6 x 2  x  x 2 x 2 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG 1 5      m  6  x 2 x 2 x 2 x 0 x 22 Vì  1 5   m 6 6 x 2 x 2 x 0 Mặt khác: Từ  1  2  m6   , mà m  ¢  m  m  Thử lại: m4 2 x 2 m 5 1 x 2 Với Với Vậy với m   4;5 x 2 1  x x 2 (thỏa mãn) x    x   x  (thỏa mãn) tồn x thỏa mãn:  5AB  m 6 x  x 1 B    : A  x  x2 x  1 x ;   Câu Cho biểu thức với x  , x  1 x a) Tính giá trị biểu thức A x   2 b) Rút gọn biểu thức B c) Tìm m để phương trình B  A  m có nghiệm Lời giải a) Tính giá trị biểu thức A x   2 x   2 (thỏa mãn x  ) x   2 1 x   1  x Thay   1  1  1 x   vào A ta có: A 1 x 1 x TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN   1  1   2  2  1 1 10 2  1 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Vậy x   2 A   b) Rút gọn biểu thức B 6 x  x 1 B  :  x  x2 x     B     B    B B B   x2  x  2 x 1 x2  6 x  x2    x2 x2  x2 x2  x2  x2    6 x2 x4   6 x x2 với x  , x       x2     x2 x   x   x2  x2 x 1 x2 x 1 x 1 c)Tìm m để phương trình B  A  m có nghiệm B  A  m  1 x x 1 1 x m Điều kiện x  , x    1  x 1 x x 1 x  m m   m  x  x  m m x  x    m 1 x  m  (*) Với m , ta thay m vào (*) Khi phương trình vơ nghiệm TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 11 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI x Với m ta có  x0 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG m m m m 0 0 m 1 m (tử, mẫu dấu) m  m     m 1  m   m  Trường hợp 1:  m  m     m 1  m  m  Trường hợp 2:  Suy  m   x  x   m 2 m   m   m 1   m  2m   3m  2  m Vậy  m  m để phương trình B  A  m có nghiệm  x x  x 1  P  1:     x x 1  x  x  x    với x  Câu Cho biểu thức a) Rút gọn P b) Tìm m để có giá trị x thoả mãn P  m Bài giải  x x  x 1  P  1:     x x 1  x  x  x    a) Với x    1:         x  1 x 1 x x 1 x x 1  x x      x 1   x 1 x x 1 x  x   x1 x x 1 TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN     x 1 x  x 1 x x 12 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI      x x  x  1 x 1 x x 1 Vậy với x  x  x 1 P x b) P GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG x 1 x x x 1 x  m  x  x   m x  x   m 1 x   (1) Vì  nên (1) phương trình bậc hai Đặt t  x  t  0 (1) trở thành t2   m 1 t   (2)    m 1   m2  2m  m2  m 3m Ta có  m m 1   m 1   m 1  m 3 Phương trình (1) có nghiệm  Phương trình (2) có nghiệm dương TH1: Phương trình (2) có nghiệm dương 1   m     m 1  m 3     m m  S  m   P    TH2: Phương trình (2) có nghiệm trái dấu  S   ( vô lý)  Loại TH3: Phương trình (2) có nghiệm dương nghiệm 02   m 1     t  Với thay vào (2) ta được ( vô lý )  Loại Vậy m giá trị cần tìm  x    P   :   x 1   x 1 1 x  x  x  với x  0;x    Câu Cho biểu thức a) Rút gọn P b) Tìm giá trị m để có giá trị x thoả mãn P x  m x c) Tìm giá trị m để có giá trị x thoả mãn P x  m  x Bài giải TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 13 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG  x    P   :   x 1   x 1 1 x x  x  x  ;x    a) Với  x    x 1 x x 1    x x    x  :   x 1     :      x 1  1 x 1 x        x 1  x 1  x 1   x1 x    x 1   x 1  x 1 x 1 x1 x P Vậy với x  0;x  P x  m  x  b) x1 x x 1 x x  m x  x   m x  x  x  m  (1) Đặt t x  t  0;t  1 (1) trở thành t  t  m  (2) Vì        m 1  4m Phương trình (1) có nghiệm  Phương trình (2) có nghiệm khơng âm TH1: Phương trình (2) có nghiệm dương   4m    S  1   P   m   (loại) TH2: Phương trình (2) có nghiệm trái dấu  1  m 1   m  TH3: Phương trình (2) có nghiệm Thay vào (2) ta được   m   m  t   t2  t   t t  1     t  1 ( loại) TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 14 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG TH4: Phương trình (2) có nghiệm Thay vào (2) ta được   m   m   t2  t    t2  t  2t    t t  1   t  1   t  2   t  1  t       t  ( loại) Vậy m giá trị cần tìm P x  m  x  c) x1 x x  m x  x   m x  x  x  m  (1) Đặt t x  t  0;t  1 (2) trở thành t  t  m  (2) Vì        m 1  4m Để phương trình có nghiệm điều kiện là: Khi theo hệ thức Vi ét ta có nghiệm dương   4m    m  t1  t2   suy hai nghiệm tồn Vậy cần tìm m để t  , tức   m   m  Kết hợp với điều kiện m  m   m  Vậy  giá trị cần tìm P Câu Cho biểu thức a) Rút gọn P x 1 x 1  x 1 x 1  x  với x  0;x  x 1 b) Tìm m để phương trình m.P  x  có nghiệm Bài giải TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 15 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI a) Với x  0;x  x 1    x 1 x 1  x 1 x 1 P  x 1 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG x 1 x 1  x 1 x 1  x 1   x 1  x 1 x  x   x  x   x 1   x 1 2x  x  x  x   x 1         x 1    x 1 2x  x   x 1  x 1  x 1  x 1  x 1   x 1  x  1  x  1 x 1     x  1  x  1  x    x  1  x  1 x  x 1 x 1 Vậy với x  0;x  b) m.P  x   1  m  2m x  m   P x 1 x 1 x 1 x 1 x2   x   2m x  m  x  x   x   2m 1 x  m  Đặt  x2 (2) t  x  t  0;t  1 Khi (2) trở thành t2   2m  1 t  m   (3) Phương trình (1) có nghiệm TH1: t   12   2m 1  m   m   m  2 Thay m 2 vào phương trình ta được: t2  3t    t2  t  4t    t t  1   t  1   t   TM    t  1  t       t  4  loai  TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 16 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI Suy với m 2 phương trình (1) có nghiệm GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG  02   2m 1  m   m  t  TH2: Thay m vào phương trình ta được: t  x  t2  5t   t t       t    x  25  Loại TH3: Phương trình (3) có nghiệm trái dấu khác 1.(m 2)  m    m  2  m  2 Vậy m giá trị cần tìm Câu Cho x  0;x  4;x  1) Rút gọn P biểu  x x    x x3 x2 P  :      x  x  x   x  x      thức với 2) Tìm m để có giá trị x thoả mãn P( x  2)  x(2x  m)  x(1  x)   m Bài giải  x x    x x3 x2 P  :      x  x  x   x  x      1) Với x  0;x  4;x      x   x3     9x x3 x2  1 :       x x  x  x2 x3 x3    x3     x   :  x3   x        x x3  :  x3     x3  x3  x3  x  2   x  x  3 x2   x3   x  2 3 : x3  x  3  x   x  3  x   3  x    3  x   x x  x      x  2  x   x3 2 9x   x  2   x  x  3 x3  9x x3  TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 2 17 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG  x2 Vậy với x  0;x  4;x  P x2 2) P( x  2)  x(2x  m)  x(1  x)   m(1)  x2     x   x  2x  m  x  x   m   x x  m x  x  2x   m  2x x  x  x   m x  m   2x      x 1    x 1  m  x 1   x  1 TM   x 1 x    m x   2x   m     x (2) x   m    2x   m     Phương trình (1) có giá trị x thỏa mãn  phương trình (2) có nghiệm có nghiệm khơng thỏa mãn x  0;x  4;x  TH1: Phương trình (2) có nghiệm TH2: Phương trình (2) có nghiệm TH3: Phương trình (2) có nghiệm TH4: Phương trình (2) có nghiệm âm Vậy m   m  m    m  19   m   m   m   m   m   m   m   m  18  m  19 m   m   m  giá trị cần tìm Câu 10 Câu 11 Câu 12 Câu 13 TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 18 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Câu 14 Câu 15 Câu 16 Câu 17 Câu 18 Câu 19 Câu 20 Câu TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 19 PHONE: 0983.265.289 ...    1  6? ?? x 2  x  x 2 x 2 PHONE: 0983. 265 .289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG 1 5      m  6? ??  x 2 x 2 x 2 x 0 x 22 Vì  1 5   m ? ?6? ?? ? ?6 x 2 x 2... A x  16 2) Đặt P x5 B P x3 A Chứng minh 3) Tìm tất cách giá trị x thỏa mãn x 1    x  P  x  Lời giải 1) Với x  16 ( thỏa mãn điều kiện).Thay vào A ta có 2) Ta có   16  16  9... mãn điều kiện xác định) A x 2 1 x A x  16 vào Thay GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG biểu thức ta được: 16  3.4  12  10    1 3  16 Vậy x  16 A 10 b) Với x  ; x  Ta có: PAB P