ĐỀ tài PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC Bài tập kỳ ĐỀ TÀI: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUN Mơn: Cơ sở Tốn Tiểu học Giảng viên: Lớp: Các thành viên thực hiện: download by : skknchat@gmail.com Mục lục LỜI MỞ ĐẦU PHƯƠNG PHÁP 1: XÉT SỐ DƯ CỦA TỪNG VẾ PHƯƠNG PHÁP 2: ĐƯA VỀ DẠNG TỔNG .3 PHƯƠNG PHÁP 3: DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC PHƯƠNG PHÁP 4: DÙNG TÍNH CHIA HẾT, TÍNH ĐỒNG DƯ PHƯƠNG PHÁP 5: DÙNG TÍNH CHẤT CỦA SỐ CHÍNH PHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP 6: LÙI VÔ HẠN, NGUYÊN TẮC CỰC HẠN 10 PHƯƠNG PHÁP 7: XÉT CHỮ SỐ TẬN CÙNG .11 PHƯƠNG PHÁP 8: TÌM NGHIỆM RIÊNG .11 PHƯƠNG PHÁP 9: PHƯƠNG PHÁP HẠ BẬC 12 PHƯƠNG PHÁP 10: PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH 13 PHƯƠNG PHÁP 11: PHƯƠNG PHÁP LOẠI TRỪ 13 PHƯƠNG PHÁP 12: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA SỐ NGUYÊN TỐ 13 BÀI TẬP ÁP DỤNG 15 CƠ SỞ TOÁN Ở TIỂU HỌC – BTẬP GKỲ download by : skknchat@gmail.com LỜI MỞ ĐẦU Khơng giống phương trình nghiệm thực hay nghiệm phức, phương trình nghiệm ngun khó giải điều kiện ràng buộc nguyên nhiệm Vì với phương trình nghiệm nguyên, ta thường khơng có phương pháp định hướng giải cụ thể với phương trình nghiệm thực nghiệm phức Tuy nhiên, ta áp dụng số phương pháp hiệu để giải lớp phương trình Trong chuyên đề ta nêu số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Tùy vào tốn mà ta có dấu hiệu nhận biết để chọn phương pháp thích hợp CƠ SỞ TỐN Ở TIỂU HỌC – BTẬP GKỲ download by : skknchat@gmail.com PHƯƠNG PHÁP 1: XÉT SỐ DƯ CỦA TỪNG VẾ Ví dụ 1: Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm nguyên: x2− y2=1998 x2+ y2=1999 Giải 2 Dễ chứng minh x , y chia cho có số dư nên x2− y2 chia cho có số dư 0, 1, Cịn vế phải 1998 chia cho dư Vậy phương trình cho khơng có nghiệm ngun x2 , y2 chia cho có số dư 0, nên x2+ y2 chia cho có số dư 0, 1, Còn vế phải 1999 chia cho dư Vậy phương trình khơng có nghiệm ngun Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x +2= y2 + y Giải Biến đổi phương trình: x +2= y ( y +1) Ta thấy vế trái phương trình số chia hết cho dư nên y ( y +1) chia hết cho dư Chỉ có thể: y=3 k +1 , y +1=3 k +2 với k nguyên Khi đó: x +2=(3 k +1 )(3 k +2) x=9 k (k + 1) x=k (k + 1) Thử lại: x=k ( k +1), y=3 k +1 thỏa mãn phương trình cho Đáp số: {x=k (k +1) với k số nguyên tùy ý y =3 k +1 PHƯƠNG PHÁP 2: ĐƯA VỀ DẠNG TỔNG Biến đổi phương trình dạng: vế trái tổng phương trình, vế phải tổng số phương Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2+ y2−x− y=8(1) Giải 2 (1) x +4 y −4 x−4 y=32 ( x2 +4 x+1)+(4 y2−4 y+1 )=34 |2 x−1|2 +|2 y−1|2 =32+52 Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 có dạng phân tích thành tổng hai số phương 32 , 52 Do phương trình thỏa mãn hai khả năng: Giải hệ suy phương trình (1) có bốn nghiệm ngun là: (2 ; 3) ,(3 ; 2) , (−1;−2) ,(−2 ;−1) CƠ SỞ TOÁN Ở TIỂU HỌC – BTẬP GKỲ download by : skknchat@gmail.com PHƯƠNG PHÁP 3: DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC Trong giải phương trình nghiệm nguyên cần đánh giá miền giá trị biến, số giá trị mà biến số nhận khơng nhiều dùng phương pháp thử trực tiếp để kiểm tra Để đánh giá miền giá trị biến số cần vận dụng linh hoạt tính chất chia hết, đồng dư, bất đẳng thức … Phương pháp xếp thứ tự ẩn: Ví dụ 1: Tìm ba số nguyên dương cho tổng chúng tích chúng Giải Gọi số ngun dương phải tìm x, y, z Ta có: x + y + z = xyz (1) Cách 1: Chú ý ẩn x, y, z có vai trị bình đẳng phương trình nên xếp thứ tự giá trị ẩn, chẳng hạn: 1≤x ≤y≤z Do đó: xyz = x + y + z≤3z Chia hai vế bất đẳng thức xyz≤3z cho số dương z ta được: xy≤3 Do xy∈{1; 2; 3} Với xy = 1, ta có x = 1, y = Thay vào (1) + z = z (loại) Với xy = 2, ta có x = 1, y = Thay vào (1) z = Với xy = 3, ta có x = 1, y = Thay vào (1) z = (loại y≤z) Vậy ba số phải tìm 1; 2; Cách 2: Chia hai vế (1) cho xyz ≠ được: 1 yz + xz + xy = Giả sử x ≥ y ≥ z ≥ ta có: yz 1= + xz Suy ≤ z2 ⇔ x + y + = xy xy – x – y = Ta có: x − 1≥y − 1≥0 nên (x − 1, y − 1) = (2, 1) Suy (x, y) = (3, 2) Ba số phải tìm 1; 2; Ví dụ 2: Tìm nghiệm ngun dương phương trình sau: Vì vai trị x, y, z, t nên giả thiết: ⇒ Khi : 2xyzt = 5(x + y + z + t) +10 ≤ 20x + 10 yzt ≤ 15 ⇒ Với t = ta có : 2xyz = 5(x + y + z) +15 ≤ 15x + 15 2yz ≤ 30 2z ≤ 30 z ≤ Nếu z = 2xy = 5(x + y) + 20 hay 4xy = 10(x + y) + 40 hay (2x – 5)(2y – 5) = 65 Dễ thấy phương trình có nghiệm là: (x = 35; y = 3) (x = 9; y = 5) Giải tương tự cho trường lại trường hợp t = Cuối ta tìm nghiệm nguyên dương phương trình cho (x; y; z; t) = (35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1) hoán vị số CƠ SỞ TOÁN Ở TIỂU HỌC – BTẬP GKỲ download by : skknchat@gmail.com Phương pháp xét khoảng giá trị ẩn: Ví dụ: Tìm nghiệm ngun dương phương trình: Giải Do vai trị bình đẳng x y, giả sử x ≥ y Dùng bất đẳng thức để giới hạn khoảng giá trị số nhỏ (là y) Hiển nhiên ta có Mặt khác x ≥ y ≥ nên = Ta xác định khoảng giá tri y 4≤y ≤6 x + Với y = ta được: Với y = ta được: 1 1 Với y = ta được: x = 3− = nên x = Các nghiệm phương trình là: (4; 12), (12; 4), (6; 6) Phương pháp nghiệm nguyên: Phương pháp xét khoảng giá trị ẩn thể dạng: một vài số nghiệm phương trình, chứng minh phương trình khơng cịn nghiệm khác Ví dụ: Tìm số tự nhiên x cho: Viết phương trình dạng: Với x = vế trái (1) Với x = vế trái (1) Với x ≥ ( x x ) + ( ) < + = loại ( Nghiệm phương trình x = Sử dụng diều kiện Δ ≥ để phương trình bậc hai có nghiệm: Ví dụ: Tìm nghiệm ngun phương trình: x + y + xy = x2 + y2 Viết (1) thành phương trình bậc hai x: x2 − (y + 1)x + (y2 − y) = Điều kiện cần để (2) có nghiệm Δ ≥ △= (y + 1) 3y2 − 6y2 – ≤ ⇔ y≤ ⇔ 3(y − 1) ≤ download by : skknchat@gmail.com Do (y − 1)2 ≤ suy ra: y = thay vào (2) Với y ⇔ Với y = thay vào (2) Với y = thay vào (2) Thử lại, giá trị nghiệm với Đáp số: (0 ; 0), (1 ; 0), (0 ; 1), (2 ; 1), (1 ; 2), (2 ; 2) - Bất đẳng thức Côsi: a+ Sử dụng bất đẳng thức quen thuộc: - Bất đẳng thức Bunhiacopxki: (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax + by)2 Dấu xảy khi: ax = by - Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: |x| x, dấu xảy khi: x 0; - |x| ≤ x, dấu xảy khi: x ≤ - |x| x |x| |x| + |y| ≥ |x + y|, dấu xảy khi: xy Ví dụ: Tìm số nguyên dương x, y thoả mãn phương trình: (x2 + 1)(x2 + y2) = 4x2y (1) x + y ≥ 2xy Dấ u xảy Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có: + ≥ 2x Dấu xảy x2 2 Vì x, y nguyên dương nên nhân bất đẳng thức vế theo vế ta được: (x2 + 1)(x2 + y2) ≥ 4x2y Dấu xảy khi: x = y = Vậy phương trình (1) có nghiệm nhất: x = y = Cách 2: (1) x4 + x2y2 + x2 + y2 – 4x2y = Phương trình xảy khi: {xyx−−yx== 0 ⇔ ⇔ {x ( y−1)=0 PHƯƠNG PHÁP 4: DÙNG TÍNH CHIA HẾT, TÍNH ĐỒNG DƯ Khi giải phương trình nghiệm ngun cần vận dụng linh hoạt tính chất chia hết, đồng dư, tính chẵn lẻ,… để tìm điểm đặc biệt biến số biểu thức chứa phương trình, từ đưa phương trình dạng mà ta biết cách giải đưa phương trình đơn giản Sử dụng tính chia hết: Các tính chất thường dùng : - Nếu a ⋮ m a ± b ⋮ m b ⋮ m - Nếu a ⋮ b, b ⋮c a ⋮ c - Nếu ab ⋮ c mà ƯCLN (b , c) = a ⋮ c - Nếu a⋮ m, b ⋮ n ab ⋮ mn - Nếu a ⋮ b, a ⋮ c với ƯCLN (b , c) = a ⋮ bc - Trong m số nguyên liên tiểp, tồn số bội m Ví dụ 1: Giải phương trình với nghiệm ngun: 3x + 17y = 159 Giả sử x, y số nguyên thỏa mãn phương trình Ta thấy 159 3x chia hết 17y ⋮ nên y ⋮3 (vì 17 nguyên tố nhau) CƠ SỞ TOÁN Ở TIỂU HỌC – BTẬP GKỲ download by : skknchat@gmail.com Để tìm nghiệm nguyên riêng phương trình ax + by = c, ta dùng phương pháp thử chọn: cho x số có giá trị tuyệt đối nhỏ (0;± 1;± ; … ¿ tìm giá trị tương ứng y PHƯƠNG PHÁP 9: PHƯƠNG PHÁP HẠ BẬC Ví dụ: Tìm nghiệm ngun phương trình: x3+2 y3 −4 z3=0(1) Giải 3 (1) ⇔ x =4 z −2 y (2) Rõ ràng vế phải (2) chia hết x3 ⋮2 x ⋮2 Đặt x = 2x1 (x1 ∈Z ¿ Thay vào (2) ta có: ⇔ x31 =4 x3−2 y3 ⇔ y3=2 z3−4 x31 (3) Lập luận tương tự ta có y ⋮2, z ⋮2 Đặt y = y1 ; z=2 z1 ( y1 ∈Z , z1 ∈Z ) Biến đổi tương tự ta có: (4)⇔ z13 =4 y13 +2 x13 ⇔ x13 +2 y13−4 z13=0 (5) Rõ ràng số (x0 ; y0 x0 ; y o ; z0là số chẵn số chẵn với n số nguyên dương Vậy x = y = z = PHƯƠNG PHÁP 10: PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Thực chất biến đổi phương trình dạng: g1 (x1, x2,…., xn) h (x1, x Ví dụ: Tìm nghiệm ngun phương trình: Ta có: x4 + 4x3+ 6x2+ 4x = y2 x4 +4x3+6x2+4x +1- y2=1 (x+1)4 – y2 = [(x+1)2 –y] [(x+1)2+y]= [ ⇔ y = (x+1)2 = x+1 = x = x = -2 Vậy (x, y) = (0, 0); (- 2, 0) PHƯƠNG PHÁP 11: PHƯƠNG PHÁP LOẠI TRỪ Khẳng định nghiệm loại trừ giá trị cịn lại ẩn Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 1! + 2! + … + x! = y2 Giải Với x x! có tận 1! + 2! + 3! + 4! Có tận 1! + 2! + … + x! có tận 3, khơng số phương (loại) Vậy x < mà x nguyên dương nên: CƠ SỞ TOÁN Ở TIỂU HỌC – BTẬP GKỲ download by : skknchat@gmail.com x = {1;2;3;4} Thử vào phương trình ta (x = 1, y= 2); (x = 3, y= 3) thoả mãn Ví dụ 2: Tìm tất nghiệm ngun phương trình: y2 + y = x4 + x3 + x2 + x Giải 2 Ta có: y + y = x + x + x + x 4y + 4y + = 4x + 4x3 + 4x2 + 4x + (2x2 + x)2 - (2y + 1)2 = (3x + 1)(x +1) hay (2x2 + x + 1)2 - (2y + 1)2 = x(x 2) Ta thấy:  Nếu x > x < -1 (3x + 1)(x +1) >  Nếu x > x < -1 x(x - 2) > Nếu x > x < (2x2 + x) < (2y+1)2 < (2x2 + x + 1)2 (loại) -1 x x = 0, 1, -1,  Xét x = y2 + y =30 y = y= -6  Xét x = y2 + y = (loại)  Xét x = y2 + y = y (y + 1) = y = y = -1  Xét x = -1 y2 + y = y = y= -1 Vậy nghệm nguyên phương trình là: (x, y) = (2, 5); (2, -6); (0, 0); (0, -1); (-1, 0); (-1, -1) PHƯƠNG PHÁP 12: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA SỐ NGUN TỐ Ví dụ: Tìm x, y, z nguyên tố thoả mãn: x + = z Ta có x, y nguyên tố xy + = z z > Mà z nguyên tố z lẻ xy chẵn x chẵn Xét y = Xét y > Có chia cho dư (2.4k+1) ⋮ z ⋮ Vậy x = 2, y = 2, z = thoả mãn CƠ SỞ TOÁN Ở TIỂU HỌC – BTẬP GKỲ 22 + = nguyên tố y = 2k + (k N) 22k download by : skknchat@gmail.com ... giải cụ thể với phương trình nghiệm thực nghiệm phức Tuy nhiên, ta áp dụng số phương pháp hiệu để giải lớp phương trình Trong chuyên đề ta nêu số phương pháp giải phương trình nghiệm ngun Tùy... giống phương trình nghiệm thực hay nghiệm phức, phương trình nghiệm ngun khó giải điều kiện ràng buộc nguyên nhiệm Vì với phương trình nghiệm ngun, ta thường khơng có phương pháp định hướng giải. .. .11 PHƯƠNG PHÁP 9: PHƯƠNG PHÁP HẠ BẬC 12 PHƯƠNG PHÁP 10: PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH 13 PHƯƠNG PHÁP 11: PHƯƠNG PHÁP LOẠI TRỪ 13 PHƯƠNG PHÁP 12: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA SỐ NGUYÊN