khảo sát năng lượng tương quan positron – electron trong phân tử đồng oxit

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA VẬT LÝ CHUYÊN NGÀNH VẬT LÝ HẠT NHÂN  KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài : KHẢO SÁT NĂNG LƯỢNG TƯƠNG QUAN POSITRON – ELECTRON TRONG PHÂN TỬ ĐỒNG OXIT CBHD: ThS. Trịnh Hoa Lăng SVTT: Phạm Thị Phú TP. HỒ CHÍ MINH – 2010 THƯ VIỆN LỜI CẢM ƠN Sau khi hoàn thành khóa luận tốt nghiệp với đề tài "khảo sát năng lượng tương quan electron - positron trong phân tử đồng oxit". Tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến: Thầy Trònh Hoa Lăng người đã chỉ hướng, cung cấp tài liệu tham khảo và sửa chữa sai sót cho tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài. Toàn thể các thầy cô khoa vật lý trường Đại Học Sư Phạm Tp. Hồ Chí Minh, đã truyền đạt cho tôi những kiến thức quý báu trong suốt bốn năm học tại trường. Người thân và tất cả các bạn đã động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành khóa luận. Một lần nữa tôi xin cảm ơn tất cả mọi người và xin nhận nơi tôi lòng biết ơn sâu sắc nhất. Thành phố Hồ Chí Minh tháng 5 -2010 Sinh viên thực hiện: Phạm Thò Phú - K32. DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT  Các ký hiệu. n: số lượng tử chính. l: số lượng tử quỹ đạo. a 0 : bán kính Bohr. m e : khối lượng electron.  : số PI. E L : năng lượng cục bộ. Z: điện tích hiệu dụng.  : hằng số Planck. : mật độ. H: Hamilton. : toán tử Gradien.  2 : toán tử Laplace. : delta Dirac.  T : hàm sóng thử. : hàm sóng của hệ.  J : hàm Jastrow. N: số hạt electron. T: động năng. E: năng lượng. pe c E  : năng lượng tương quan electron – positron. V: thế năng.  Các chữ viết tắt. Ps: positronium. e + A: hệ liên kết positron - ngun tử.  : gamma. I: thế ion của nguyên tử CuO: phân tử đồng oxit a.u: Đơn vò nguyên tử (atomic unit). e – p: electron – positron. VMC: Variational Monte Carlo. CÁC ĐƠN VỊ Các đơn vò tính toán trong nguyên tử Đại lượng Ký hiệu Trong hệ SI Trong hệ đơn vò nguyên Bán kính Bohr a 0 5,291 772 108x10 - 11 m 1 Khối lượng electron m e 9,109 3826x10 - 31 kg 1 Điện tích electron. E 1,602 176 53x10 - 19 C 1 Hằng số Planck  1,054 571 68x10 - 3 4 J s 1 Năng lượng tính theo Hartree 1 Hartree 4,359 744 17x10 - 18 J (27,211 3845 eV) 1 Hằng số Rydberg Ry 1,0973731568525x 10 7 /m. (13,9056923 eV) 0,5 LỜI MỞ ĐẦU Positron là phản hạt của electron được khám phá lý thuyết bởi Paul Dirac năm 1928, sau đó được Carl D. Andersen quan sát thực nghiệm năm 1932. Và ngày 15 tháng 3 năm 1933, sau khi tạp chí khoa học Mỹ chuyên đề vật lý xuất bản bài "electron mang điện dương" bởi Carl D. Andersen của viện công nghệ California, lòch sử thực nghiệm positron bắt đầu. Trong thực nghiệm huỷ positron, dựa vào đặc tính huỷ electron - positron mà positron có ph ạm vi ứng dụng rất lớn như: Sử dụng positron để phát hiện khuyết tật trong vật liệu bằng phương pháp đo phổ thời gian sống, CT (Computed Tomography) trong công nghiệp để phát hiện lỗ hổng vật liệu. Trong y học, positron được ứng dụng vào công nghệ máy PET (Positron Emission Tomography) dùng phổ biến trong chuẩn đốn và theo dõi bệnh ung thư. Các kết quả thực nghiệm được đo gián tiếp thông qua thời gian sống của positron hoặc xung lượng huỷ cặp electron – positron trong môi trường khảo sát. Và những kết quả thực nghiệm này sẽ được giải thích chính xác hơn nếu chúng ta xét đến tương tác electron - positron. Từ những năm 50, đã có rất nhiều nhà khoa học áp dụng các lý thuyết lượng tử để giải thích sự huỷ positron trong môi trường chất rắn nhưng hầu như rất phức tạp và không đạt kết quả mong muốn. Ngày nay, phương pháp biến phân Monte Carlo đang được áp dụng rộng rãi cho các hệ lượng tử như nguyên tử, phân tử, vật lý chất rắn. Phương pháp này tính toán đơn giản và giải quyết tốt các vấn đề của thế giới vi mô. Vì vậy trong phạm vi khoá luận này, tôi áp dụng phương pháp biến phân Monte Carlo trong mô hình Born - Oppenheimer để khảo sát năng lượng tương quan electron - positron trong phân tử đồng oxit . Nội dung khóa luận gồm bốn chương: Chương 1: Tổng quan về hệ positron - electron. Chương 2: Phương pháp biến phân Monte Carlo lượng tử. Chương 3: p dụng phương pháp VMC cho phân tử đồng oxit khi có positron. Chương 4: Các kết quả tính toán. CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ HỆ ELECTRON - POSITRON Electron là một trong những hạt cơ bản cấu thành nên vật chất, có phản hạt là positron. Positron mang điện dương có cùng khối lượng, cùng spin, momen từ và độ lớn điện tích với electron. Nếu positron gặp electron, chúng có xác suất huỷ cặp phần lớn tạo ra hai tia gamma năng lượng 511 Kev. 1.1.Cơ chế liên kết positron với vật chất Các nghiên cứu gần đây đã chỉ ra rằng một số nguyên tử và ion nguyên tử có thể liên kết với một positron như là liti, heli, natri, canxi, magie, đồng, kẽm, bạc… Số nguyên tử này được tìm thấy ngày càng nhiều. Và cấu trúc của các hệ này được xác đònh là lớn để positron có thể thắng lực đẩy của hạt nhân và liên kết với các electron hoá trò. Một số hệ như là e + Be bao gồm một positron chuyển động quanh nguyên tử beri phân cực. Trong khi trong các hệ khác e + Na, e + Cu, e + O…có thể được mô tả tốt nhất bằng một positronium chuyển động quanh lõi mang điện Na + , Cu + , O + … Ngoài ra một vài hệ có khả năng có hai positron đã được tìm thấy. 1.1.1.Positron liên kết với nguyên tử Tương tác giữa nguyên tử và positron là đẩy nhau tại mọi điểm. Điều này thể hiện sự khó khăn trong liên kết của nguyên tử với positron. Song đám mây điện tích electron của nguyên tử gần positron có thể tự điều chỉnh làm cho tương tác giữa positron và nguyên tử là tương tác hút. Khi đó đám mây electron khi này bò phân cực. Và nếu thế hút phân cực lớn hơn thế đẩy của hạt nhân đối với positron thì trạng thái liên kết tồn tại. Hình 1.1. Mô hình positron liên kết với nguyên tử, đám mây điện tích cuả electron ở gần positron thay đổi Khi th ế ion của ngun tử I < 0,250 Hartree ( năng lượng liên kết của positronium) thì positron chỉ liên kết với nguyên tử khi năng lượng liên kết của positron với nguyên tử lớn hơn e + 0,250 - I, ngược lại hệ positron- nguyên tử sẽ tách thành positronium và ion dương ( trạng thái nguyên tử khi mất một electron ) 1.1.2.Liên kết của positronium với lõi nguyên tử Các electron hoá trò trong nguyên tử liên kết lỏng lẻo với hạt nhân. Và khi th ế ion của ngun tử I < 0.250 Hartree thì một trong các electron hoá trò này sẽ bò hút vào positron, tạo thành một positronium ( kí hiệu P S ). Positronium bao gồm một electron và một positron liên kết với nhau, nó tương tự như nguyên tử hydro về mặt điện tích trong đó positron được xem như proton. Positronium có khối lượng rút gọn bằng nửa khối lượng của electron, có bán kính bằng hai lần bán kính của nguyên tử hidro. Do positron và electron đều có spin bằng ½ và mô men quỹ đạo l=0 nên khi chúng kết hợp với nhau có thể hình thành hai trạng thái:  Trạng thái spin đối song có momen góc l = 0 và spin toàn phần s = 0 được gọi là trạng thái singplet, hình thành paraPositronium (p-Ps) có một trạng thái là 1 S 0 .  Trạng thái spin song song có l = 0 và s = 1, được gọi là trạng thái triplet, hình thành orthoPositronium có ba trạng thái: 3 S -1 , 3 S 0 , 3 S 1. Do vậy, xác suất hình thành orthopositronium là ¾ còn xác suất hình thành para positronium là ¼. Hình 1.2. Mô hình positron liên kết với nguyên tử, Ps bò phân cực do lõi mang điện tích dương. Positronium bò phân cực do tương tác Culong của lõi nguyên tử và có thể dẫn tới sự liên kết của P S với lõi nguyên tử. Để Positronium liên kết với nguyên tử thì năng lượng liên kết của positron với nguyên tử phải nhỏ hơn 0,250 - I. 1.2.Sự huỷ positron Positron là phản hạt của electron, nên theo thuyết phản hạt trong cơ học lượng tử thì khi positron gặp electron sẽ huỷ cặp với xác suất nào đó. Khi positron đi vào môi trường vật chất sẽ e - e + va chạm với các electron, ion nút mạng và các phonon dao động mạng. Quá trình va chạm xảy ra liên tiếp làm cho các positron nhanh chóng mất năng lượng và trở thành positron nhiệt. Quá trình này được gọi là quá trình nhiệt hoá positron. Thời gian nhiệt hoá phụ thuộc vào năng lượng ban đầu của positron. Theo Bergersen, Hautojarvi: positron có năng lượng khoảng 2 Mev có thời gian nhiệt hoá nhỏ hơn 20 ps. Trong khi thời gian sống của positron trong kim loại là khoảng 200ps. Nên positron bò nhiệt hoá trước khi huỷ cặp. Hình 2 : Quá trình huỷ positron. Khi positron nhiệt gặp electron trong môi trường vật chất thì chúng có thể huỷ cặp ngay lập tức, hoặc chúng kết hợp với electron hoá trò của nguyên tử trong môi trường vật chất tạo thành P S . Nếu trạng thái spin của cặp huỷ là trạng thái singlet ( s = 0 ) thì quá trình huỷ chủ yếu là huỷ  2 . Còn trạng thái spin của cặp huỷ là trạng thái triplet thì sự huỷ chủ yếu là huỷ  3 . Nếu có mặt của một hạt thứ ba là electron hoặc hạt nhân nguyên tử của môi trường thì có thể xảy ra quá trình huỷ  1 ( theo đònh luật bảo toàn động lượng ). Trong đó trường hợp hủy cặp sinh hai gamma là chủ yếu còn trường hợp sinh ra ba gamma và một gamma có xác suất rất nhỏ nên có thể bỏ qua. Huỷ 21 10   Khuếch tán Nhiệt hoá e + s 12 10   e + Nguồn e + CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP biến phân MONTE CARLO LƯNG TỬ Mục đích: trình bày tổng quan về phương pháp biến phân Monte Carlo, cách áp dụng phương pháp này cho hệ lượng tử, mô hình hàm Hamilton và hàm sóng thử cho hệ e - p. Các nội dung chính:  Nguyên lý biến phân.  Phương pháp biến phân Monte Carlo.  Quy trình thuật toán Monte Carlo lượng tử.  Áp dụng phương pháp VMC cho hệ lượng tử.  Xấp xỉ Hamilton.  Hàm sóng thử. 2.1.Nguyên lý biến phân Việc tìm lời giải gần đúng cho phương trình Schodinger của hệ nhiều hạt xuất phát từ nguyên lý biến phân, được phát biểu như sau: Giá trò trung bình của Hamilton H ˆ được tính với hàm sóng thử  t không bao giờ thấp hơn giá trò năng lượng trạng thái cơ bản  0 của Hamilton H ˆ được tính với hàm sóng trạng thái cơ bản  0 . Từ nguyên lý biến phân ta thấy, luôn có khả năng tìm được một giới hạn trên đối với năng lượng trạng thái cơ bản. Và nó là một phương pháp xấp xỉ tốt nhất trong việc tìm kiếm các năng lượng trạng thái cơ bản. Giả sử hàm sóng thử  t là hàm sóng trạng thái cơ bản của Hamilton thì khi đó giá trò trung bình của Hamilton là:       drrr drrHr E TT TT )()( )()( * * (2.1) Và khai triển hàm sóng thử T  là sự kết hợp tuyến tính các hàm riêng của hàm hamilton có dạng:   n nnT rcr )()(  (2.2) Thay (2.2) vào (2.1) ta được       nm nmnm nm nmnm drrraa drrHraa E , ** , ** )()( )()(   (2.3)    n n n nn a Ea E 2 2 (2.4) Trong đó n E là trò riêng của hàm riêng n  và   n E với mọi n suy ra: 0  E (2.5) Phương pháp VMC trực tiếp áp dụng nguyên lý này. Trong đó chọn hàm sóng thử phụ thộc vào các tham số biến phân, rồi thay đổi các tham số biến phân này để cực tiểu hoá năng lượng trung bình. Nếu hàm sóng thử được chọn là tốt, có đủ bậc tự do biến phân thì kết quả đạt được có độ chính xác rất cao. 2.2.Phương pháp biến phân Monte Carlo (VMC) Trong vật lý chất rắn, phương pháp VMC thường mô tả mô hình hệ hữu hạn như mô tả một ô mô phỏng hơn là mô hình hệ vô hạn. đây chúng ta chọn mô hình hàm Hamilton và hàm sóng thử phù hợp cho hệ nhiều hạt, áp dụng nguyên tắc biến phân lên giá trò trung bình của hàm hamilton:       drrr drrHr H TT TT )()( )()( * * (2.6) Để tìm năng lượng trung bình, ta phải thực hiện các phép tính tích phân trên (2.6). Tuy nhiên việc tính tích phân này là rất phức tạp mà ta không thể tính toán bằng giải tích toán học. Các phương pháp tích phân cổ điển như phương pháp Gauss-Legendre không còn phù hợp cho hệ nhiều hạt. Hiện nay thuật toán lý tưởng để giải quyết vấn đề này là phương pháp VMC. Phương pháp VMC gồm có 3 bước cơ bản: Bước 1: Xây dựng hàm sóng thử ),(  r T cho hệ gồm N hạt ở vò trí r = ( r 1 , r 2, ,r N ) và phụ thuộc vào bộ tham số  = ( 1 ,  2 , ,  N ) Bước 2: Xác đònh giá trò trung bình của hàm Hamilton    drrrr drrHr H TT TT )())(( )( )( * *   (2.7) [...]... CHO PHÂN TỬ ĐỒNG OXIT KHI CÓ POSITRON Mục đích: xác đònh năng lượng tương quan electron - positron Các nội dung chính:  Xây dựng hàm sóng thử cho hệ phân tử CuO khi có positron  Xây dựng hàm Hamilton  Giải phương trình Schrodinger  Xác đònh phương sai của năng lượng Để xây dựng hàm sóng thử cho hệ trước hết ta đi khảo sát cấu hình và cấu trúc của các nguyên tử oxy và đồng 3.1 Khảo sát nguyên tử. .. mô hình xấp xỉ, các electron thuộc ba lớp bên trong kết hợp với hạt nhân tạo thành lõi nguyên tử Như vậy trong nguyên tử Cu chỉ xét hai electron trong phân lớp 4s chuyển động xung quanh lõi nguyên tử Lõi nguyên tử Cu Electron phân lớp 4s Hình 3.2 Mô hình nguyên tử đồng, hai electron phân lớp 4s đang chuyển động xung quanh lõi nguyên tử đồng Áp dụng xấp xỉ Slater cho hai electron phân lớp 4s với n =... f p(rp ) gip (rip ) f p(rp )  i 1  2 (3.64) 3.6.3 Biểu thức năng lượng tương quan electron - positron 6 E e  p   Ti e  p  T pe  p  V e  p i 1 (3.65) Trong đó: Năng lượng tương quan electron - positron tính trên một electron:  Ti e  p  2 K ie  p  Fi e  p  2 (3.66) Năng lượng tương quan electron - positron tính trên một positron:  e T pe  p  2 K p  p  F pe  p  2 Từ các công thức... sáu là thế năng tương tác iữa positron – electron và số hạng cuối cùng là thế năng tương tác giữa ion – ion 2.6.Hàm sóng thử Hệ e - p là hệ các hạt fermion không đồng nhất, trong đó có sự tương tác giữa các hạt với nhau Lực tương tác giữa electron và hạt nhân nguyên tử tỉ lệ nghòch với khoảng cách Nên trong tinh thể ta chỉ xét các nguyên tử lân cận với nguyên tử chứa electron mà ta đang khảo sát Khi đó... biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng tổng và sai số tương đối theo , tìm cực tiểu năng lượng và sai số Từ đó xác đònh giá trò tối ưu của tham số  Hình 4.3 Đồ thò biểu diễn năng lượng tổng E0 của hệ electron trong phân tử CuO theo  Hình 4.4 Đồ thò biểu diễn sai số tương đối /E0 của hệ electron trong phân tử CuO theo  Từ hai đồ thò trong hình 4.3 và hình 4.4, ta thấy năng lượng tổng E đạt cực tiểu... độ của electron thứ i và positron dn, dm là véc tơ tọa độ của ion thứ n và m Zn, Zm là điện tích của ion thứ n và m Số hạng đầu tiên trong (2.15) là tổng động năng của N electron, số hạng thứ hai là động năng của positron; số hạng thứ ba là thế năng tương tác giữa electron và ion, số hạng thứ tư là thế năng tương tác giữa positron và ion; số hạng thứ năm là thế năng tương tác giữa electron – electron, ... (3.5) 3.3 Mô hình phân tử đồng oxit (CuO) Trong phân tử CuO thì hàm sóng đơn hạt của các electron trở nên phức tạp hơn do chúng chòu tác dụng của hai trường lực được tạo bởi hai lõi của đồng và oxy Trong đó các electron là đồng nhất nên không thể phân biệt được electron nào là của đồng hay của oxy Song chúng ta có thể tìm được xác suất tìm thấy hạt nhờ các hàm sóng đơn hạt với mô hình phân tử CuO được mô... Từ kết quả thu được trong bảng 4.3, ta vẽ đồ thò biểu diễn sự phụ thuộc của năng lượng tổng E0 và sai số /E0 theo  tìm cực tiểu năng lượng và sai số Từ đó xác đònh giá trò tối ưu của tham số  Hình 4.5 Đồ thò biểu diễn năng lượng tổng E0 của hệ electron trong phân tử CuO theo  Hình 4.6 Đồ thò biểu diễn sai số tương đối /E của hệ electron trong phân tử CuO theo Từ hai đồ thò trong hình 4.5 và hình... tất cả các nguyên tử trong ô mô phỏng Cni là hằng số chuẩn hóa  p ( r p ) là hàm sóng của positron, tương tự hàm sóng của electron nhưng chỉ khác ở các tham số trong hàm sóng Còn e e  J e ( rij ), J  p (rip ) electron -positron là hệ số Jastrow thể hiện sự tương quan giữa electron- electron, 2.6.1 Hàm sóng riêng phần Hàm sóng  (r ) của electron hay positron trong trường nguyên tử xuyên tâm có thể... electron -positron E và năng lượng tương quan electron -positron Ece  p Giá trò năng lượng E0 phụ thuộc vào bộ tham số ZO, ZCu, , , còn E và Ece  p phụ thuộc bộ tham số ZO, ZCu, ZpO, ZpCu, , ’, , ’ Để xác đònh giá trò các tham số này ta áp dụng phương pháp biến phân Monte-Carlo lượng tử thông qua việc cực tiểu hóa năng lượng tổng cộng và phương sai tương ứng 3.7.Phương sai năng lượng Để xác đònh . KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP Đề tài : KHẢO SÁT NĂNG LƯỢNG TƯƠNG QUAN POSITRON – ELECTRON TRONG PHÂN TỬ ĐỒNG OXIT CBHD: ThS. Trịnh Hoa Lăng . – 2010 THƯ VIỆN LỜI CẢM ƠN Sau khi hoàn thành khóa luận tốt nghiệp với đề tài " ;khảo sát năng lượng tương quan electron - positron trong phân tử