(LUẬN VĂN THẠC SĨ) Về Sự Tồn Tại Nghiệm Của Bài Toán Bất Đẳng Thức Biến Phân

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HÀ THỊ NGỌC BÍCH VỀ SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CÁN BỘ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Song Hà THÁI NGUYÊN - 2020 download by : skknchat@gmail.com i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn Tiến sĩ Nguyễn Song Hà Tôi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới người thầy dành nhiều thời gian trực tiếp hướng dẫn giải đáp thắc mắc tơi suốt q trình làm hồn thiện luận văn Qua đây, xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô giáo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tận tình giảng dạy giúp đỡ tơi hồn thành khóa học Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu, tập thể giáo viên trường THPT Nam Phù Cừ, nơi công tác động viên tạo điều kiện thuận lợi cho thời gian học tập làm luận văn tốt nghiệp Tác giả Hà Thị Ngọc Bích download by : skknchat@gmail.com ii Mục lục Trang b¼a phư i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Danh mục ký hiệu chữ viết tắt iv Danh sách bảng v Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số vấn đề điểm bất động phép chiếu mêtric 2 1.2 Dưới vi phân hàm lồi 1.3 Ánh xạ đơn điệu liên tục 1.4 Ánh xạ KKM 12 16 21 Chương Sự tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Rn 24 2.1 Mơ hình tốn 24 2.2 Sự tồn nghiệm trường hợp miền ràng buộc tập compact 28 2.3 Sự tồn nghiệm trường hợp miền ràng buộc không compact 31 2.4 Một vài phương pháp xấp xỉ nghiệm toán (VIP) 40 Kết luận chung đề nghị 51 Tài liệu tham khảo 52 download by : skknchat@gmail.com iii Danh mục ký hiệu chữ viết tắt Rn Không gian thực hữu hạn chiều co(C) Bao lồi tập C cl(C) Bao đóng tập C C\D Phần bù tập hợp D C hx, yi Tích vơ hướng hai véctơ x y kxk Chuẩn véctơ x ∀x Với x F :X→Y Ánh xạ đơn trị từ X vào Y F :X⇒Y Ánh xạ đa trị từ X vào Y PC (x) Phép chiếu mêtric phần tử x lên tập C α↓0 α giảm dần ∇f (x) Gradient ánh xạ f x ∂f (x) Dưới vi phân ánh xạ f x xn → x Dãy {xn } hội tụ đến x n → +∞ (VIP) Bài toán bất đẳng thức biến phân (MVIP) Bài toán bất đẳng thức biến phân Minty Fix(T ) Tập điểm bất động ánh xạ T KKM Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz download by : skknchat@gmail.com iv Danh sách bảng 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 Kết tính tốn cho phương pháp (2.14) với ρ = 1/4 Kết tính tốn cho phương pháp (2.14) tương ứng với 43 giá trị ρ thay đổi Kết tính tốn cho phương pháp (2.16) tương ứng với giá trị λ thay đổi Kết tính tốn cho phương pháp (2.17) với τ = 1/4 Kết tính tốn cho phương pháp (2.17) tương ứng với giá trị τ thay đổi 43 download by : skknchat@gmail.com 45 49 50 Mở đầu Bài toán bất đẳng thức biến phân hình thành từ cơng trình nghiên cứu Lion, Stampacchia Minty [1, 6] vào năm 50 kỉ trước Bài tốn có liên hệ mật thiết với nhiều tốn lí thuyết như: toán tối ưu, toán cân bằng, toán điểm bất động, toán minimax, toán điểm n ngựa, phương trình với tốn tử đơn điệu, tốn biên có dạng phương trình đạo hàm riêng đóng vai trị quan trọng nghiên cứu nhiều lĩnh vực thực tiễn như: công nghệ thông tin truyền thông, giao thông, kinh tế, y học, qn Vì lẽ đó, suốt 70 mươi năm qua, toán thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà tốn học ngồi nước Những nghiên cứu tốn chủ yếu theo ba hướng chính: Một là, nghiên cứu tính chất định tính tốn tồn tính nghiệm, tính ổn định nghiệm, độ nhạy nghiệm hay tính chất tôpô tập nghiệm Hai là, nghiên cứu đề xuất thuật toán phương pháp giải số hữu hiệu tìm nghiệm xấp xỉ tốn Ba là, nghiên cứu ứng dụng lí thuyết tốn vào giải mơ hình thực tiễn Mục đích luận văn nghiên cứu trình bày lại có hệ thống tồn nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân khơng gian hữu hạn chiều số phương pháp xấp xỉ nghiệm Với mục tiêu vậy, phần mở đầu, luận văn gồm có hai chương, kết luận tài liệu tham khảo Chương 1, hệ thống lại số kiến thức giải tích lồi giải tích hàm nhằm phục vụ cho việc trình bày nội dung phần sau luận văn Chương 2, dành để giới thiệu lớp toán nghiên cứu kết tồn nghiệm xây dựng tính chất loại đơn điệu ánh xạ mục tiêu cấu trúc tôpô miền ràng buộc Phần cuối chương, chúng tơi trình bày ba phương pháp chiếu (phương pháp chiếu gradient, phương pháp chiếu lai ghép phương pháp chiếu tăng cường) tìm nghiệm xấp xỉ tốn ví dụ số minh họa cụ thể download by : skknchat@gmail.com Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, hệ thống lại số kiến thức phục vụ cho việc trình bày nội dung phần sau luận văn Cấu trúc chương chia thành ba phần: Mục 1.1 chúng tơi trình bày số nội dung lý thuyết điểm bất động phép chiếu mêtric tập lồi khác rỗng không gian hữu hạn chiều Mục 1.2 trình bày số khái niệm tính chất vi phân hàm lồi Các khái niệm ánh xạ loại đơn điệu liên tục cụ thể hóa Mục 1.3 Phần cuối chương, Mục 1.4 dùng để giới thiệu lớp ánh xạ đa trị KKM nguyên lí ánh xạ KKM Đây cơng cụ để chứng minh kết tồn nghiệm Chương 1.1 Một số vấn đề điểm bất động phép chiếu mêtric Giả sử Rn không gian Euclide n chiều, tích vơ hướng chuẩn khơng gian kí hiệu h., i k.k Tích vơ hướng hai véctơ x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn y = (y1 , y2 , , yn ) ∈ Rn xác định hx, yi = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn chuẩn véctơ x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn p tương ứng sinh tích vơ hướng kxk = x21 + x22 + + x2n Định nghĩa 1.1 Tập C ⊆ Rn gọi tập lồi với x, y ∈ C với λ ∈ [0, 1] ta có λx + (1 − λ)y ∈ C Hay nói cách khác, tập C ⊆ Rn tập lồi chứa đoạn thẳng nối hai điểm thuộc Ví dụ 1.1 Trong khơng gian Rn , tập hợp S = {x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn : kx − x0 k ≤ r}, Hα = {x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn : ha, xi ≤ α}, download by : skknchat@gmail.com ∆ = {x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn : hA, xi ≤ b}, x0 ∈ Rn , r số thực dương, a ∈ Rn , α ∈ R, A ma trận thực cỡ m × n b ∈ Rm , tương ứng hình cầu tâm x0 với bán kính r, nửa khơng gian đóng, hình đa diện Các tập hợp tập lồi Ví dụ 1.2 Một số ví dụ đơn giản tập hợp không tập lồi không gian R2 R3 C1 = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x21 + x22 > 1}, C2 = {x = (x1 , x2 ) ∈ R2 : x1 x2 > 1}, C3 = {x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : x3 = x21 + x22 }, C4 = {x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : |x1 | + |x2 | + |x3 | = 1} Một số tính chất tập lồi phát biểu mệnh đề sau Mệnh đề 1.1 Trong không gian Rn , ta có khẳng định sau: (i) Giao họ tùy ý tập lồi tập lồi (ii) Nếu C tập lồi αC tập lồi với số thực α (iii) Tổng hai tập lồi tập lồi (iv) Tích Descartes hai tập lồi tập lồi (v) Ảnh nghịch ảnh tập lồi qua phép biến đổi tuyến tính tập lồi Chứng minh (i) Giả sử {Ci }, i ∈ I họ tùy ý tập lồi, I tập \ số Khi đó, với x, y ∈ Ci với λ ∈ [0, 1] ta có: i∈I x, y ∈ Ci , ∀i ∈ I Vì Ci tập lồi nên λx + (1 − λ)y ∈ Ci , ∀i ∈ I Từ suy λx + (1 − λ)y ∈ \ Ci i∈I download by : skknchat@gmail.com Hay nói cách khác, \ Ci tập lồi i∈I (ii) Lấy tùy ý hai phần tử x, y ∈ αC λ ∈ [0, 1] Khi đó, x y tương ứng có dạng x = αu y = λv với u, v ∈ C Do C lồi nên λu + (1 − λ)v ∈ C Điều dẫn đến λx + (1 − λ)y = λ(αu) + (1 − λ)(αv) = α[λu + (1 − λ)v] ∈ αC Do đó, αC tập lồi (iii) Giả sử C D hai tập lồi Lấy tùy ý hai phần tử x, y ∈ C + D λ ∈ [0, 1] Khi đó, x y có dạng x = u + v y = w + z, u, w ∈ C v, z ∈ D Do C, D lồi nên λu+(1−λ)w ∈ C λv +(1−λ)z ∈ D Từ suy λx + (1 − λ)y = λ(u + v) + (1 − λ)(w + z) = [λu + (1 − λ)w] + [λv + (1 − λ)z] ∈ C + D Vì vậy, C + D tập lồi (iv) Giả sử H K hai tập lồi Lấy tùy ý hai phần tử x = (u, v) ∈ H × K, y = (w, z) ∈ H × K λ ∈ [0, 1] Từ tính lồi H, K suy λu + (1 − λ)w ∈ H λv + (1 − λ)z ∈ K Mặt khác, để ý λx + (1 − λ)y = (λu, λv) + ((1 − λ)w, (1 − λ)z) = (λu + (1 − λ)w, λv + (1 − λ)z) ∈ H × K Vì thế, ta có H × K tập lồi (v) Giả sử f toán tử tuyến tính, C D tập lồi Khi đó, ∀x, y ∈ f (C), ∀λ ∈ [0, 1] ta có λx + (1 − λ)y = λf (u) + (1 − λ)f (v) = f (λu + (1 − λ)v), đây, u, v ∈ C x = f (u), y = f (v) ∈ f (C) Vì C lồi nên λu + (1 − λ)v ∈ C suy λx + (1 − λ)y ∈ f (C) Hay nói cách khác ảnh C qua phép biến đổi f tập lồi Bây giờ, x, y ∈ f −1 (D) f (x) ∈ D f (y) ∈ D Vì D lồi nên f (λx + (1 − λ)y) = λf (x) + (1 − λ)f (y) ∈ D download by : skknchat@gmail.com Điều dẫn đến λx + (1 − λ)y ∈ f −1 (D) Do đó, f −1 (D) tập lồi Định nghĩa 1.2 Véctơ x ∈ Rn gọi tổ hợp lồi véctơ xi ∈ Rn m X (i = 1, 2, · · · , m) tồn λi ≥ (i = 1, 2, · · · , m) với λi = cho i=1 x= m X λi x i i=1 Mệnh đề 1.2 Cho C ⊂ Rn tập lồi x1 , x2 , · · · , xm ∈ C Khi đó, C chứa tất tổ hợp lồi x1 , x2 , · · · , xm Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo m Trường hợp m = 2, ta có λ1 x1 + λ2 x2 ∈ C, C tập lồi Do đó, kết luận mệnh đề trường hợp Giả sử khẳng định mệnh đề với m = k ≥ Ta cần chứng minh k+1 X x= λi xi ∈ C i=1 với λi ≥ 0, i = 1, 2, · · · , k + 1, k+1 X λi = i=1 Thật vậy, λk+1 = λi = với ≤ i ≤ k Do đó, ta nhận x = λk+1 xk+1 = xk+1 ∈ C Bây giờ, giả sử λk+1 < Khi đó, ta thấy − λk+1 = λ1 + · · · + λk > 0, k X i=1 λi ≥ 0, − λk+1 ∀i = 1, 2, · · · , k λi = 1 − λk+1 download by : skknchat@gmail.com ... f x ∂f (x) Dưới vi phân ánh xạ f x xn → x Dãy {xn } hội tụ đến x n → +∞ (VIP) Bài toán bất đẳng thức biến phân (MVIP) Bài toán bất đẳng thức biến phân Minty Fix(T ) Tập điểm bất động ánh xạ T... 12 16 21 Chương Sự tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân Rn 24 2.1 Mơ hình tốn 24 2.2 Sự tồn nghiệm trường hợp miền ràng buộc tập compact 28 2.3 Sự tồn nghiệm trường... đích luận văn nghiên cứu trình bày lại có hệ thống tồn nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân khơng gian hữu hạn chiều số phương pháp xấp xỉ nghiệm Với mục tiêu vậy, phần mở đầu, luận văn gồm có