THÔNG TIN TÀI LIỆU
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ THÚY VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH HĨA CHO LỚP HỆ TUYẾN TÍNH DƯƠNG VỚI ĐIỀU KHIỂN CĨ HẠN CHẾ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 download by : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ THÚY VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH HĨA CHO LỚP HỆ TUYẾN TÍNH DƯƠNG VỚI ĐIỀU KHIỂN CĨ HẠN CHẾ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN TS MAI VIẾT THUẬN THÁI NGUYÊN - 2017 download by : skknchat@gmail.com i Mục lục Mở đầu iii Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Bài tốn ổn định ổn định hóa cho hệ phương trình thường 1.1.1 Bài toán ổn định 1.1.2 Phương pháp hàm Lyapunov 1.1.3 Bài toán ổn định hóa vi phân 1 1.2 Bài toán ổn định ổn định hóa cho hệ phương trình có trễ 1.2.1 Bài toán ổn định hệ có trễ 1.2.2 Bài tốn ổn định hóa hệ điều khiển có trễ 1.3 Hệ tuyến tính dương 1.4 Hệ tuyến tính dương có trễ vi phân 4 Tính ổn định hóa lớp hệ tuyến tính dương với điều khiển có hạn chế 2.1 Tính ổn định hóa lớp hệ điều khiển tuyến tính 2.2 Tính ổn định hóa lớp hệ điều khiển tuyến tính với điều khiển có hạn chế 16 Tính ổn định hóa lớp hệ tuyến tính dương có trễ với điều khiển có hạn chế 22 3.1 Tính ổn định hóa lớp hệ điều khiển tuyến tính dương có trễ 22 3.2 Tính ổn định hóa lớp hệ điều khiển tuyến tính có trễ với điều khiển có hạn chế Kết luận download by : skknchat@gmail.com 27 33 ii Tài liệu tham khảo download by : skknchat@gmail.com 34 iii Lời nói đầu Hệ dương xuất nhiều lĩnh vực khoa học công nghệ q trình sinh học, hóa học, mơ hình dân số, học, kinh tế học (xem [6, 9] tài liệu tham khảo đó) Nói cách hình tượng, hệ động lực gọi hệ dương vectơ trạng thái vectơ đầu hệ không âm mà điều kiện ban đầu đầu vào khơng âm Bài tốn nghiên cứu tính ổn định hóa hệ điều khiển dương toán quan trọng lý thuyết điều khiển hệ thống nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà khoa học giới (xem [3, 7, 9] tài liệu tham khảo đó) Mặt khác, nhiều toán thực tiễn, đối tượng điều khiển thường bị hạn chế (ràng buộc) điều kiện thông số kỹ thuật phải thỏa mãn u cầu khác Ví dụ, ta địi hỏi đối tượng điều khiển số không âm, nằm miền giới hạn cho trước Vì vậy, việc nghiên cứu tính ổn định hóa cho lớp hệ điều khiển dương với điều khiển có hạn chế tốn cần thiết có ý nghĩa Bài toán nhận quan tâm nghiên cứu nhiều tác giả năm gần (xem [10, 13] tài liệu tham khảo đó) Mục đích luận văn trình bày số tiêu chuẩn cho tính ổn định hóa lớp hệ điều khiển tuyến tính có trễ khơng có trễ với điều khiển có hạn chế sở báo [9, 11] danh mục tài liệu tham khảo Nội dung luận văn gồm chương: Chương chương kiến thức chuẩn bị Mục 1.1 giới thiệu toán ổn định, toán ổn định hóa cho hệ phương trình vi phân thường Mục 1.2 giới thiệu toán ổn định tốn ổn định hóa cho hệ phương trình vi phân có trễ Mục 1.3 Mục 1.4 trình bày số khái niệm hệ dương có trễ khơng có trễ Chương nghiên cứu tính ổn định hóa cho lớp hệ tuyến tính dương với download by : skknchat@gmail.com iv điều khiển có hạn chế Ngồi ra, chương này, chúng tơi đưa 04 ví dụ số tính tốn phần mềm MATLAB để minh họa cho kết lý thuyết Có thể nói ngồi việc đọc hiểu trình bày cách chi tiết kết báo [11], 04 ví dụ số đóng góp chúng tơi luận văn Chương nghiên cứu tính ổn định hóa cho lớp hệ tuyến tính dương có trễ Cũng Chương 2, chương này, đưa 02 ví dụ số tính tốn phần mềm MATLAB để minh họa cho kết lý thuyết Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình TS Mai Viết Thuận, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người dành nhiều thời gian tâm huyết để hướng dẫn tận tình, giúp đỡ tác giả trình học tập, nghiên cứu viết luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Lãnh đạo Trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin tồn thể thầy ngồi trường giảng dạy giúp trau dồi thêm nhiều kiến thức phục vụ cho việc học tập nghiên cứu thân Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Toán K9C (khóa 2015-2017) động viên giúp đỡ tác giả nhiều trình học tập Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Thúy download by : skknchat@gmail.com Một số ký hiệu chữ viết tắt R, R+ tập số thực, số thực không âm tương ứng Rn khơng gian vectơ Euclide thực n−chiều Rn×r khơng gian ma trận thực cỡ (n × r) C([a, b], Rn ) không gian hàm liên tục [a, b], nhận giá trị Rn AT ma trận chuyển vị ma trận A I ma trận đơn vị A ma trận A nửa xác định dương, tức Ax, x ≥ 0, ∀x ∈ Rn A B nghĩa A − B A ma trận A xác định dương, tức Ax, x > 0, ∀x ∈ Rn , x = 0 A≺0 ma trận A xác định âm A ma trận A xác định không âm A≥0 A ma trận không âm A>0 A ma trận dương M tập ma trận Metzler p = {1, 2, , p}, p0 = {0, 1, 2, , p}, download by : skknchat@gmail.com Chương Một số kiến thức chuẩn bị Chương chúng tơi trình bày số khái niệm kết tính ổn định ổn định hóa hệ phương trình vi phân thường hệ phương trình vi phân có trễ Chúng tơi trình bày số kết hệ tuyến tính dương hệ tuyến tính dương có trễ Kiến thức sử dụng chương tham khảo [1, 2, 5, 6, 7, 8] 1.1 Bài tốn ổn định ổn định hóa cho hệ phương trình vi phân thường 1.1.1 Bài tốn ổn định Xét hệ thống mô tả hệ phương trình vi phân x(t) ˙ = f (t, x(t)), t ∈ R+ , (1.1) x(t) ∈ Rn vectơ trạng thái, f : R+ × Rn → Rn hàm cho trước Giả thiết hàm f (.) thỏa mãn điều kiện cho với (t0 , x0 ) ∈ R+ × Rn hệ (1.1) có nghiệm qua điểm (t0 , x0 ) xác định [t0 ; +∞) Nghiệm kí hiệu x(t; t0 , x0 ) Giả sử f (t, 0) = 0, với t ∈ R+ Giả thiết đảm bảo hệ có nghiệm tầm thường x ≡ Khi ta có định nghĩa sau Định nghĩa 1.1 ([1]) • Nghiệm không hệ (1.1) gọi ổn định với > 0, t0 ≥ 0, tồn δ = δ(t0 , ) cho với nghiệm x(t; t0 , x0 ) hệ (1.1), ||x0 || < δ ||x(t; t0 , x0 )|| < , ∀t ≥ t0 download by : skknchat@gmail.com • Nghiệm hệ (1.1) gọi ổn định tiệm cận ổn định với t0 ≥ tồn δ = δ0 (t0 ) > cho với nghiệm x(t; t0 , x0 ) hệ (1.1), ||x0 || < δ0 lim ||x(t; t0 , x0 )|| = t→+∞ • Nghiệm hệ (1.1) gọi ổn định mũ tồn số α > 0, N ≥ cho với x0 ∈ Rn , t0 ∈ R+ , nghiệm x(t; t0 , x0 ) hệ (1.1) thỏa mãn điều kiện ||x(t; t0 , x0 )|| ≤ N ||x0 ||e−α(t−t0 ) , ∀t ≥ t0 Số N gọi hệ số ổn định Lyapunov, α gọi số mũ ổn định Ngồi α, N cịn gọi chung số ổn định Lyapunov Để ngắn gọn, thay nói nghiệm khơng hệ (1.1) ổn định (ổn định tiệm cận, ổn định mũ) ta nói hệ (1.1) ổn định (ổn định tiệm cận, ổn định mũ) Xét lớp hệ tuyến tính ơtơnơm x(t) ˙ = Ax(t), t ≥ t0 (1.2) x(t ) = x 0 Dựa vào tính chất tập giá trị riêng ma trận A, Lyapunov đưa điều kiện cần đủ cho tính ổn định mũ hệ (1.2) Cụ thể hệ (1.2) ổn định mũ Reλj < với λj ∈ λ(A) Tuy nhiên, thực tế hệ thống thường chứa tham số trước, chẳng hạn hệ (1.2), ma trận A bị nhiễu thành A + ∆A(t), ∆A(t) = EF (t)H, với E, F ma trận thực cho trước có số chiều thích hợp, F (t) ma trận trước thỏa mãn F T (t)F (t) ≤ I Vì phức tạp tập phổ λ(A + ∆A(t)), Lyapunov đưa cách tiếp cận dựa dạng hàm toàn phương V (x) = xT P x, P ma trận đối xứng, xác định dương, phương trình Lyapunov (LE) : AT P + P A = −Q có nghiệm P ma trận đối xứng, xác định dương Phương pháp thường gọi phương pháp hàm Lyapunov 1.1.2 Phương pháp hàm Lyapunov Ta nhắc lại khái niệm hàm Lyapunov cho hệ (1.1) Định nghĩa 1.2 (Xem [1]) Hàm V : R+ × Rn → R, khả vi liên tục, thỏa mãn V (t, 0) = 0, ∀t ≥ 0, gọi hàm Lyapunov hệ (1.1) nếu: download by : skknchat@gmail.com (i) Hàm V (t, x) hàm xác định dương theo nghĩa ∃a ∈ K : V (t, x) ≥ a(||x||), ∀(t, x) ∈ R+ × Rn ∂V (ii) V˙ (t, x(t)) := f (t, x(t)) ≤ 0, với nghiệm x(t) hệ (1.1) Nếu ∂x hàm V (t, x) thỏa mãn thêm điều kiện: ∃b, c ∈ K cho (iii) V (t, x) ≤ b(||x||), ∀(t, x) ∈ R+ × Rn , (iv) V (t, x) ≤ −c(||x(t)||) với nghiệm x(t) hệ (1.1) V (t, x) gọi hàm Lyapunov chặt hệ (1.1) Sau đây, chúng tơi nhắc lại định lý tính ổn định hệ (1.1) Định lý 1.1 (Xem [1]) Nếu hệ (1.1) có hàm Lyapunov hệ ổn định Hơn nữa, hàm Lyapunov chặt hệ ổn định tiệm cận Định lý 1.2 (Xem [1]) Giả sử hệ (1.1) có hàm Lyapunov thỏa mãn điều kiện sau: (i) ∃λ1 , λ2 > : λ1 ||x||2 ≤ V (t, x) ≤ λ2 ||x||2 , ∀(t, x) ∈ R+ × Rn , (ii) ∃λ3 > : V (t, x) ≤ −2λ3 V (t, x(t)) với nghiệm x(t) hệ (1.1) Khi hệ (1.1) ổn định mũ với số ổn định Lyapunov λ3 λ2 N= λ1 1.1.3 Bài toán ổn định hóa Xét hệ thống điều khiển mơ tả hệ phương trình vi phân x(t) ˙ = f (t, x(t), u(t)), t ≥ 0, (1.3) x(t) ∈ Rn vectơ trạng thái, u(t) ∈ Rm vectơ điều khiển Hàm điều khiển u(.) thuộc lớp hàm bình phương khả tích đoạn hữu hạn [0; s], ∀s ≥ lấy giá trị Rm Hàm R+ × Rn × Rm → Rn hàm vectơ cho trước, thỏa mãn điều kiện f (t, 0, 0) = 0, ∀t ≥ Giả thiết rằng, với u(.) thuộc lớp hàm bình phương khả tích đoạn hữu hạn [0, s], với s ≥ lấy giá trị Rm với x0 ∈ Rn , hệ (1.3) có nghiệm xu (t) = xu (t; x0 ) thỏa mãn điều kiện ban đầu xu (0; x0 ) = x0 xác định [0; +∞) Một toán quan trọng khác lý thuyết điều khiển tốn ổn định hóa download by : skknchat@gmail.com 21 Bằng cách sử dụng hộp công cụ LMI MATLAB ta thấy điều kiện thỏa mãn với x1 = 0.5889, x2 = 0.5360, z11 = 0.9880, z12 = 0.4356, z21 = 0.5756, z22 = 0.8656 Vậy điều kiện (2.13) Định lý 2.6 thỏa T mãn với x = (0.5889, 0.5360) z11 = 0.9880, z12 = 0.4356, z21 = 0.5756, z22 = 0.8656 Do với điều kiện ban đầu nằm tập X = {x0 ∈ R2+ | ≤ T x0 ≤ x, x = (0.5889, 0.5360) }, ta xác định điều khiển ngược u(t) = 0.9378 −0.5409 x(t), ∀t ≥ thỏa mãn −3 ≤ u(t) ≤ Hơn với điều khiển ngược này, hệ đóng tương ứng hệ (2.14) dương ổn định tiệm cận download by : skknchat@gmail.com 22 Chương Tính ổn định hóa lớp hệ tuyến tính dương có trễ với điều khiển có hạn chế Chương chúng tơi trình bày số tiêu chuẩn ổn định hóa cho lớp hệ tuyến tính dương có trễ thơng qua định lý, bổ đề ví dụ số cụ thể Kiến thức sử dụng chương tham khảo tài liệu [9] 3.1 Tính ổn định hóa lớp hệ điều khiển tuyến tính dương có trễ Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ p x(t) ˙ = A0 x(t) + i=1 Ai x(t − τi ), x(t) = ϕ(t), t ∈ [−τ , 0], t ≥ 0, (3.1) p x(t) ∈ Rn vectơ trạng thái, Ai ∈ Rn×n i ∈ p0 ma trận số cho trước, < τ1 < τ2 < < τp độ trễ, ϕ : [−τp , 0] −→ Rn+ hàm điều kiện ban đầu Định nghĩa 3.1 ([7]) Hệ (3.1) gọi hệ dương với điều kiện ban đầu ϕ : [−τp , 0] −→ Rn+ vectơ trạng thái x(t) ∈ Rn+ với t ≥ Chứng minh Bổ đề 3.1 phát biểu suy trực tiếp từ Định lý 1.6 download by : skknchat@gmail.com 23 Bổ đề 3.1 Hệ (3.1) hệ dương ma trận A ma trận Metzler Ai ≥ (i = 1, , p) Khi hệ (3.2) hệ dương, bổ đề sau cho ta vài tiêu chuẩn để kiểm tra tính ổn định tiệm nghiệm khơng hệ Bổ đề 3.2 ([9]) Giả sử hệ (3.2) hệ dương Khi phát biểu sau tương đương: (i) Hệ (3.2) ổn định tiệm cận; p (ii) Tồn vectơ λ ∈ Rn+ cho i=0 Ai λi < 0; p Ai ma trận Hurwitz; (iii) i=0 (iv) Tồn ma trận đường chéo xác định dương P cho T p p Ai P Ai P ≺ + i=0 i=0 Tiếp theo, ta nghiên cứu tính ổn định hóa cho lớp hệ điều khiển tuyến tính có trễ Xét hệ điều khiển tuyến tính có trễ: p x(t) ˙ = A0 x(t) + i=1 Ai x(t − τi ) + Bu(t), t ≥ 0, (3.2) x(t) = ϕ(t), t ∈ [−τ , 0], p x(t) ∈ Rn vectơ trạng thái, Ai ∈ Rn×n i ∈ p0 , B ∈ Rm×n ma trận số cho trước, < τ1 < τ2 < < τp độ trễ, ϕ : [−τp , 0] −→ Rn+ hàm điều kiện ban đầu, u(t) ∈ Rm vectơ điều khiển có dạng sau: p Fi x(t − τi ), u(t) = F0 x(t) + t ≥ 0, (3.3) i=1 Fi ∈ Rm×n (i = 0, 1, , p) ma trận chưa biết xác định sau Từ (3.2) (3.3), ta thu hệ đóng sau: p x(t) ˙ = (A0 + BF0 ) x(t) + (Ai + BFi ) x(t − τi ), t ≥ 0, i=1 (3.4) x(t) = ϕ(t), t ∈ [−τp , 0] Định lý 3.1 ([9]) Xét hệ đóng (3.4) Ta có phát biểu sau tương đương: download by : skknchat@gmail.com 24 (i) Hệ (3.4) dương ổn định tiệm cận; p i=0 (Ai (ii) A0 + BF0 ∈ Mn , Ai + BFi ≥ 0, i = 1, , p, Hurwitz; + BFi ) (iii) Tồn vectơ λ = [λ1 , λ2 , , λn ]T ∈ Rn+ , kij ∈ Rm ( i = 0, , p, j = 1, , n) cho toán sau chấp nhận được: (0) ajl λl + bTj k0l ≥ 0, j, l = 1, , n, j = l, (i) ajl λl + bTj kil ≥ 0, j, l = 1, , n, i = 1, , p, p p n Ai λ + B i=0 (3.5) kij < (3.6) i=0 j=1 Ngoài ra, ma trận Fi xác định ki1 ki2 kin , , , , i = 0, 1, , p λ1 λ2 λn Fi = [fi1 , fi2 , , fin ] = (3.7) (iv) Tồn ma trận Di = [di1 , di2 , , din ] ∈ Rm×n , i = 0, 1, , p, P = diag(p1 , p2 , , pn ) > cho tốn bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI) sau chấp nhận được: (0) ajl pl + bTj d0l ≥ 0, j, l = 1, , n, j = l (i) ajl pl + bTj dil ≥ 0, j, l = 1, , n, i = 1, , p p T p Ai P + P i=0 Ai p +B i=0 T p Di i=0 (3.8) + Di B ≺ (3.9) i=0 Ngoài ra, ma trận Fi xác định Fi = Di P −1 , i = 0, 1, , p Chứng minh Ta chứng minh (i) ⇔ (ii), (iii) ⇔ (ii) (iv) ⇔ (ii) (i) ⇔ (ii) Theo Bổ đề 3.1, hệ (3.4) dương A0 + BF0 ∈ M, Ai + BFi ≥ 0, i = 1, , p Theo Bổ đề 3.2, hệ dương (3.4) ổn định tiệm p cận i=0 (Ai + BFi ) ma trận Hurwitz (iii) ⇔ (ii) Xét điều kiện (3.5)-(3.7) Chú ý (0) ajl λl + bTj k0l ≥ k0l (0) ≥0 ⇔ ajl + bTj λl (0) ⇔ ajl + bTj f0l ≥ 0, ∀j, l = 1, , n, j = l ⇔ A0 + BF0 ∈ M download by : skknchat@gmail.com 25 Tương tự (i) ajl λl + bTj kil ≥ 0, j, l = 1, , n ⇔ Ai + BFi ≥ 0, i = 1, , p Do đó, điều kiện (3.5) tương đương với A0 + BF0 ∈ M, Ai + BFi ≥ 0, i = 1, , p Theo Bổ đề 3.1, điều kiện tương đương với tính dương hệ (3.4) Hơn nữa, từ i=0 p i=0 p i=0 n kij , Ai λ + B = i=0 j=1 i=0 p p (3.6) ⇔ Fi λ Ai λ + B Fi λ = Ai + B i=0 p p p p Fi λ < Ai + B i=0 i=0 Do tính dương hệ (3.4) tương đương hai điều kiện (ii) (iii) p p Bổ đề 3.2, ta có ( i=0 Ai + B i=0 Fi ) λ < tương đương với điều kiện p ma trận i=0 (Ai + BFi ) ma trận Hurwitz Vậy ta (iii) tương đương với (ii) (iv) ⇔ (ii) Bắt đầu với điều kiện (3.8) (3.9) Ta có (0) (0) ajl pl + bTj d0l ≥ ⇔ ajl + bTj d0l ≥ 0, ∀j, l = 1, , n, j = l pl Khi A0 + BF0 ∈ M Tương tự (i) ajl pl + bTj dil ≥ 0, j, l = 1, , n ⇔ Ai + BFi ≥ 0, ∀i = 1, , n Theo bổ đề 3.1, hệ (3.4) dương Hơn nữa, theo (3.9) ta có p T p Ai P + P i=0 p (Ai + BFi ) =P i=0 Ai i=0 T p +B Di i=0 T p + Di B i=0 p + (Ai + BFi ) P < i=0 p Do hệ (3.4) dương, nên điều kiện bên tương đương với ma trận i=0 (Ai + BFi ) ma trận Hurwitz theo Bổ đề 3.2 Vậy (iv) (ii) tương đương với download by : skknchat@gmail.com 26 Nhận xét 3.1 Ta thấy phát biểu (iii) Định lý 3.1 tốn quy hoạch tuyến tính theo ẩn λ, kij Do giải số hộp cơng cụ lập trình tuyến tính tối ưu MATLAB (linear programming optimal toolbox) (xem [12]) Còn điều kiện (iv) Định lý 3.1 bất đẳng thức ma trận tuyến tính giải số hộp cơng cụ LMI MATLAB (xem [4]) Ví dụ 3.1 Xét hệ điều khiển tuyến tính có trễ x(t) ˙ = A0 x(t) + A1 x(t − 2) + Bu(t), t ≥ x(t) = ϕ(t), t ∈ [−2, 0], (3.10) x(t) ∈ R2 vectơ trạng thái, u(t) ∈ R vectơ điều khiển, ϕ : [−2, 0] −→ R2+ điều kiện ban đầu, ma trận A0 = −0.5 0.3 0.6 0.5 , A1 = ,B= −0.6 1.5 0.5 0.8 0.8 T Ta tồn vectơ λ = (λ1 , λ2 ) ∈ R2 , λ > k01 , k02 , k11 , k12 cho điều kiện phần (iii) Định lý 3.1 thỏa mãn Dễ thấy điều kiện phần (iii) Định lý 3.1 tương đương với hệ bất đẳng thức tuyến tính sau: 2λ2 + 0.5k02 ≥ 0, −0.6λ1 + 0.8k01 ≥ 0, 0.6λ2 + 0.5k11 ≥ 0, 0.5λ1 + 0.8k12 ≥ 0, −0.2λ1 + 2.6λ2 + 0.5 (k01 + k02 + k11 + k12 ) < 0, −0.1λ1 + 2.3λ2 + 0.8 (k01 + k02 + k11 + k12 ) < 0, λ > 0, λ > Bằng cách sử dụng hộp công cụ LMI MATLAB ta thấy điều kiện thỏa mãn với λ1 = 39.8631, λ2 = 13.7066, k01 = 242.5614, k02 = 38.6518, k11 = −458.0125, k12 = 68.2326 Vậy điều kiện phần (iii) T Định lý 3.1 thỏa mãn với λ = (39.8631, 13.7066) , k01 = 242.5614, k02 = 38.6518, k11 = −458.0125, k12 = 68.2326 Theo Định lý 3.1, hệ đóng tương ứng hệ (3.10) dương ổn định download by : skknchat@gmail.com 27 tiệm cận với điều khiển ngược cho u(t) = 6.0849 2.8199 x(t) + −11.4896 4.9781 x(t − 2), ∀t ≥ 3.2 Tính ổn định hóa lớp hệ điều khiển tuyến tính có trễ với điều khiển có hạn chế Hai bổ đề sau có vai trị quan trọng việc nghiên cứu tính ổn định hóa lớp hệ điều khiển tuyến tính có trễ với điều khiển có hạn chế Bổ đề 3.3 ([9]) Xét hệ (3.2) cho vectơ tùy ý x > Khi đó, ta có phát biểu sau tương đương: (i) Với ≤ ϕ(t) ≤ x (t ∈ [−τp , 0]) bất kỳ, nghiệm x(t) hệ (3.2) thỏa mãn ≤ x(t) ≤ x, ∀t ≥ 0; p i=0 Ai ) x (ii) A0 ∈ M, Ai ≥ 0, i = 1, , p ( ≤ Chứng minh (i) ⇒ (ii) Giả sử ta có (i) Khi hệ (3.2) dương theo Bổ đề 3.1 ta có A0 ∈ M, Ai ≥ 0, i = 1, , p Tiếp theo ta chứng minh p ( i=0 Ai )x ≤ Xét trường hợp ϕ(t) = x, ∀t ∈ [−τp , 0] Khi p x˙ + (0) = A0 x(0) + p Ai x(−τi ) = i=1 Ai x, i=0 x˙ + (0) đạo hàm bên phải x(t) Vì x(0) = x, x(t) ≤ x, ∀t ≥ 0, nên suy p x˙ + (0) ≤ ⇒ Ai x ≤ i=0 (ii) ⇒ (i) Giả sử ta có (ii) ≤ ϕ(t) ≤ x, t ∈ [−τp ; 0] Theo Bổ đề 3.1 hệ (3.2) dương nên ≤ x(t), ∀t ≥ 0, với điều kiện ban đầu ϕ(t) ≥ 0, t ∈ [−τp , 0] Do ta cịn phải chứng minh x ≥ ϕ(t) ≥ 0(t ∈ [−τp , 0]) suy x(t) ≤ x với t ≥ Nghiệm x(t) hệ (3.2) biểu diễn dạng: p t x(t) = e A0 t ϕ(0) + e A0 (t−s) Ai x(s − τi ) ds i=1 p t = eA0 t ϕ(0) + eA0 s Ai x(t − s − τi ) ds, ∀t ≥ i=1 download by : skknchat@gmail.com (3.11) 28 Vì ≤ ϕ(t) ≤ x, t ∈ [−τp , 0] eA0 t ≥ (xem [6]) nên p t A0 t x(t) ≤ e x+ e A0 s Ai x(t − s − τi ) ds, ∀t ≥ 0 (3.12) i=1 Với ma trận vng A ta có t e At eAs Ads, ∀t ≥ −I = (3.13) t A0 t ⇒(e A0 s − I)x = e A0 xds thay vào (3.12) ta p t A0 s x(t) ≤ x + e Vì ( p i=0 Ai ) x Ai x(t − s − τi ) ds, ∀t ≥ A0 x + i=1 ≤ 0, ta có p t x(t) ≤ x + e A0 s Ai (x(t − s − τi ) − x)ds, ∀t ≥ (3.14) i=1 Nếu t ∈ [0, τ1 ], s ∈ [0, t] −τp ≤ t − s − τi ≤ Theo giả thiết, x(t − s − τi ) − x ≤ 0, điều p t A0 s Ai (x(t − s − τi ) − x) ≤ e i=1 Từ (3.14) suy x(t) ≤ x, ∀t ∈ [0, τ1 ] Lập luận tương tự, ta x(t) ≤ x, ∀t ∈ [lτ1 , (l + 1)τ1 ], l ∈ N Bổ đề 3.4 ([9]) Xét hệ (3.2) Giả sử A0 ∈ M, Ai ≥ 0, i = 1, , p p tồn vectơ x > thỏa mãn ( i=0 Ai ) x < Khi đó, điều kiện ≤ ϕ(t) ≤ x(t ∈ [−τp , 0]) suy điều kiện ≤ x(t) < x, ∀t > Chứng minh Giả sử A0 ∈ M, Ai ≥ 0, i = 1, , p tồn vectơ p x > thỏa mãn ( i=0 Ai ) x < Như chứng minh Bổ đề 3.3, điều kiện ≤ x(t), ∀t ≥ ϕ(t) ≥ 0(t ∈ [−τp , 0]) Vì vậy, ta phải chứng minh x ≥ ϕ(t) ≥ 0, t ∈ [−τp , 0] x(t) < x với t > Xét trường hợp ϕ(t) = x, ∀t ∈ [−τp , 0] Khi dó p x˙ + (0) = Ai x < 0, i=0 download by : skknchat@gmail.com 29 điều suy tồn vô hướng < δ ≤ τ1 cho x(t) < x, ∀t ∈ (0, δ] Từ ϕ(t) = x, ∀t ∈ [−τp , 0] eA0 t ≥ 0, kết hợp với (3.11) (3.13), ta có t x(t) = x + p t A0 s e A0 xds + e A0 s Ai x(t − s − τi ) ds i=1 eA0 s A0 x + =x+ (3.15) p t Ai x(t − s − τi ) ds, ∀t ≥ i=1 Mặt khác, cách chọn δ ta có p t x(t) < x = x + e A0 s Ai (x(t − s − τi ) − x)ds, ∀t ∈ (0, δ] i=1 Kết hợp điều với (3.15), ta có p t e A0 s Ai x(t − s − τi ) ds < A0 x + e i=1 ⇒ e A0 A0 xds < − Ai (x(t − s − τi ) − x)ds i=1 Ai xds e A0 s p t t A0 s p t i=1 (3.16) p ⇒(eA0 s − I)A0 x < (eA0 t − I) − Ai x , ∀t ∈ (0, δ] i=1 Chú ý với ma trận vuông A ∈ M, tồn vô hướng α > ma trận M ≥ cho A = M − αI Do At e =e −αIt Mt e −αIt =e M t2 M t3 + + I + Mt + 2! 3! điều nghĩa dấu phần tử eAt không đổi với t > p Do ( i=0 Ai ) x < 0, từ (3.16) ta có p A0 t e A0 x < −e A0 t Ai x, ∀t ∈ (0, δ] i=1 p ⇒eA0 t A0 x < −eA0 t Ai x, ∀t ∈ (0, +∞) i=1 Mặt khác theo Bổ đề 3.3 x(t − τi ) ≤ x, ∀t > 0, i = 1, , p, từ (3.15) suy p t x(t) < x + e A0 s Ai (x(t − s − τi ) − x)ds, ∀t ∈ (0, +∞) i=1 download by : skknchat@gmail.com 30 hay x(t) < x, ∀t ∈ (0, +∞) Xét hệ tuyến tính với điều khiển có hạn chế sau p x(t) ˙ = A0 x(t) + i=1 Ai x(t − τi ) + Bu(t), ≤ u(t) ≤ u, t ≥ 0, x(t) = ϕ(t) ≥ 0, t ∈ [−τ , 0], (3.17) p u vectơ cho trước, xem cận điều khiển u(t) xác định theo cơng thức (3.3) Khi đó, ta thu hệ đóng sau: x(t) ˙ = (A0 + BF0 )x(t) + p i=1 (Ai + BFi )x(t − τi ), t ≥ 0, (3.18) ≤ u(t) ≤ u, t ≥ 0, x(t) = ϕ(t) ≥ 0, t ∈ [−τ , 0] p Bài tốn đặt là: Tìm vectơ x > 0, cho tồn điều khiển ngược p u(t) = F0 x(t) + i=1 Fi x(t − τi ) thỏa mãn ≤ u(t) ≤ u để hệ đóng (3.18) dương ≤ x(t) ≤ x, t ≥ ≤ ϕ(t) ≤ x(t ∈ [−τp , 0]) Định lý 3.3 trình bày cho ta lời giải toán T n Định lý 3.2 ([9]) Cho tùy ý vectơ < u ∈ Rm + , x = [x2 , , xn ] ∈ R+ Xét hệ (3.18) Khi đó, phát biểu sau tương đương: (i) ≤ x(t) ≤ x, với t ≥ ≤ u(t) ≤ u với t ≥ mà ≤ ϕ(t) ≤ x, ∀t ∈ [−τp , 0]; (ii) Tồn véc tơ kij ∈ Rm + , i = 0, 1, , p, j = 1, , n cho (0) ajl xl + bTj k0l ≥ 0, j, l = 1, , n, j = l (i) ajl xl + bTj kil ≥ 0, j, l = 1, , n, i = 1, , p p p n kij ≤ Ai x + B i=0 p (3.19) (3.20) i=0 j=1 n kij ≤ u (3.21) i=0 j=1 Ngoài ra, ma trận Fi xác định Fi = ki1 kin , , , i = 0, 1, , p x1 xn download by : skknchat@gmail.com 31 Chứng minh (ii) ⇒ (i) Giả sử tồn vectơ x ∈ Rn+ , kij ∈ Rm 0,+ , i = 0, 1, , p, j = 1, , n, cho (3.19)-(3.21) Điều kiện (3.19) suy A0 + BF0 ∈ M Ai + BFi ≥ 0, i = 1, , p Do hệ (3.18) dương p theo Bổ đề 3.1 Ngoài ra, điều kiện (3.20) suy i=0 (Ai + BFi )x ≤ Theo Bổ đề 3.3, ≤ ϕ(t) ≤ x (t ∈ [−τp , 0]) ≤ x(t) ≤ x với t ≥ Mặt khác, từ x ∈ Rn+ , kij ∈ Rm + , i = 0, 1, , p, j = 1, , n (3.21) đúng, ta có ≤ u(t) = F0 x(t) + p p p Fi x(t − τi ) ≤ kij ≤ u, t ≥ Fi x = i=0 j=1 i=0 i=1 n Hay ≤ u(t) ≤ u, t ≥ Vậy, ta chứng minh (ii) ⇒ (i) ki1 kin (i) ⇒ (ii) Giả sử ta có (i) Fi = , , , i = 0, 1, , p Theo Bổ x1 xn p đề 3.3, A0 + BF0 ∈ M, Ai + BFi ≥ 0, i = 1, , p i=0 (Ai + BFi )x ≤ Tiếp theo ta chứng minh kij thuộc Rm + Giả sử trái lại Đặt Fi = (i) (q) fjl phải tồn phần tử fkg < Ký hiệu điều kiện ban đầu ϕ(−τi ) = [ϕi1 , ϕi2 , , ϕin ]T , x(0) = [ϕ01 , ϕ02 , , ϕ0n ]T Chọn diều kiện ban đầu cho ϕqg > ϕij = với i = q, j = g Gọi uk (.) phần tử thứ k u(.), ta có p n (i) uk (0) = (q) fkj ϕij = fkg ϕqg < 0, i=0 j=1 điều mâu thuẫn với giả thiết ≤ u(t) với t ≥ mà ≤ ϕ(t) Vì kij ∈ Rm + , i = 0, 1, , p, j = 1, , n Cuối cùng, xét điều kiện ban đầu ϕ(t) ≡ x, t ∈ [−τp , 0] Từ giả thiết ≤ u(t) ≤ u (t ≥ 0), ta có p u ≥ u(0) = F0 x(0) + p Fi x(−τi ) = i=1 p n Fi x = i=0 kij i=0 j=1 Vậy ta có (3.21) Định lý 3.3 ([9]) Cho trước vectơ < u ∈ Rm Hệ (3.18) ổn định tiệm cận dương, ≤ x(t) < x với t ≥ 0, ≤ u(t) ≤ u với t ≥ mà ≤ ϕ(t) ≤ x, t ∈ [−τp , 0], tồn vectơ kij ∈ Rm , kij > 0, i = 0, 1, , p, j = 1, , n, x = [x1 , , xn ]T > cho điều kiện (3.19), download by : skknchat@gmail.com 32 (3.21) điều kiện p p n kij < Ai x + B i=0 j=1 i=0 thỏa mãn Ngoài ra, ma trận Fi , (i = 0, 1, , p) xác định Fi = ki1 kin , , , i = 0, 1, , p x1 xn Chứng minh Chứng minh tương tự Định lý 3.2 Ví dụ 3.2 Xét hệ điều khiển tuyến tính có hạn chế x(t) ˙ = A0 x(t) + A1 x(t − 1) + Bu(t), t ≥ ≤ u(t) ≤ u, x(t) = ϕ(t) ≥ 0, (3.22) t ∈ [−1, 0], x(t) ∈ R2 vectơ trạng thái, u(t) ∈ R2 vectơ điều khiển, u= A1 = 200 −4 , A0 = , 100 −5 0.5 0.12 ,B= 1.8 0.3 0.1 Ta chọn điều khiển ngược u(t) = F0 x(t) + F1 x(t − 1) Áp dụng Định lý 3.3, T ta thu nghiệm chấp nhận x = (107.6552, 77.5566) F0 = 0.0203 0.0277 0.0199 0.0278 , F1 = 0.1361 0.1880 0.1360 0.1901 Do theo Định lý 3.3, tác động điều khiển u(t) = F0 x(t) + F1 x(t − 1), (0 ≤ u(t) ≤ u, t ≥ 0) mà ≤ ϕ(t) ≤ x, t ∈ [−1, 0], hệ đóng tương ứng hệ (3.22) dương, ổn định tiệm cận vectơ trạng thái hệ đóng thỏa mãn ≤ x(t) ≤ x, ∀t ≥ download by : skknchat@gmail.com 33 Kết luận Luận văn giải vấn đề sau đây: Trình bày số khái niệm toán ổn định, ổn định hóa cho hệ phương trình vi phân thường hệ phương trình vi phân có trễ Trình bày số khái niệm hệ tuyến tính dương có trễ khơng có trễ Trình bày số tiêu chuẩn cho tính ổn định hóa lớp hệ điều khiển tuyến tính với điều khiển có hạn chế Trình bày số tiêu chuẩn cho tính ổn định hóa lớp hệ điều khiển tuyến tính có trễ với điều khiển có hạn chế Đưa 06 ví dụ số minh họa cho kết lý thuyết download by : skknchat@gmail.com 34 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập mơn lý thuyết điều khiển tốn học, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Mai Viết Thuận (2015), Tính ổn định số lớp hệ phương trình vi phân hàm ứng dụng lý thuyết điều khiển, Luận án Tiến sĩ Toán học, Viện Toán học Việt Nam Tiếng Anh [3] A Benzaouia, A Hmamed and F Tadeo (2010), "Stabilisation of controlled positive delayed continuos-time systems", International Journal of Systems Science, 41, pp 1473–1479 [4] S Boyd, E Ghaoui, E Feron, and V Balakrishnan (1994), Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, Philadelphia, PA: SIAM [5] J.K Hale (1977), Theory of Functional Differential Equations, SpringerVerlag [6] T Kaczorek (2002), Positive 1D and 2D Systems, Springer [7] T Kaczorek (2009), "Stability of positive continuous-time linear systems with delays", Bulletin of the Polish Academy of Sciences Technical Sciences 57(4), 395–398 [8] V.L Kharitonov (2013), Time-Delay Systems: Lyapunov Functionals and Matrices, Birkhauser [9] X Liu (2009), "Constrained Control of positive systems with delays", IEEE Transction on Automatic Control, 54, pp 1596–1600 download by : skknchat@gmail.com 35 [10] V.N Phat and P Niamsup (2015), "Global stabilization of linear timevarying delay systems with bounded controls", Applied Mathematics Letters, 46, pp 11–16 [11] M.A Rami and F Tadeo (2007), "Controller Synthesis for Positive Linear Systems With Bounded Controls", IEEE Transction on Circuits and Systems–II: Express briefs, 54, pp 151–155 [12] R J Vanderbei (2001), Linear Programming: Foundations and Extensions, 2nd ed Norwell, MA: Kluwer [13] Y Xu, J Zhang, W Zhou, D Tong (2017), "Adaptive synchronization of complex dynamical networks with bounded delay feedback controller", Optik - International Journal for Light and Electron, 131, pp 467–474 download by : skknchat@gmail.com ... 2.2 Tính ổn định hóa lớp hệ điều khiển tuyến tính với điều khiển có hạn chế 16 Tính ổn định hóa lớp hệ tuyến tính dương có trễ với điều khiển có hạn chế 22 3.1 Tính ổn định. .. skknchat@gmail.com 16 2.2 Tính ổn định hóa lớp hệ điều khiển tuyến tính với điều khiển có hạn chế Mục nghiên cứu tính ổn định hóa lớp hệ điều khiển tuyến tính với điều khiển có hạn chế Bổ đề sau đóng... Tính ổn định hóa lớp hệ điều khiển tuyến tính có trễ với điều khiển có hạn chế Hai bổ đề sau có vai trị quan trọng việc nghiên cứu tính ổn định hóa lớp hệ điều khiển tuyến tính có trễ với điều khiển
Ngày đăng: 12/04/2022, 19:58
Xem thêm: