dung lượng của đa giác

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH VÕ THỊ LƯƠNG DUNG LƯỢNG CỦA ĐA GIÁC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH VÕ THỊ LƯƠNG DUNG LƯỢNG CỦA ĐA GIÁC Ngành : Toán. Chuyên ngành : Toán giải tích. Mã số : 60 46 01. LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGUYỄN VĂN ĐÔNG THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2011 LỜI MỞ ĐẦU Nội dung của luận văn là trình bày lại bài báo “An isoperimetric inequality for logarithmic capacity of polygons” của các tác giả Alexander Yu. Solynin và Victor A. Zalgaller. Bài báo này chứng minh bài toán được đưa ra bởi Polya và Szego: Dung lượng loga của n-giác đều là nhỏ nhất trong các dung lượng loga của n-giác với diện tích không đổi. Năm 1951, Polya và Szego đã sử dụng phép đối xứng Steiner để chứng minh bài toán trong trường hợp 3, 4n = . Với 5n ≥ , phương pháp này không giải quyết được. Năm 2004, Alexander Yu. Solynin và Victor A. Zalgaller đã chứng minh được bài toán trong trường hợp tổng quát 3n ≥ qua bài báo “An isoperimetric inequality for logarithmic capacity of polygons”. Ý tưởng chứng minh của bài báo này là quay về phương pháp cổ điển tìm diện tích của một đa giác: chia một đa giác thành các tam giác và sử dụng tính chất cộng tính của diện tích. Luận văn được chia thành 2 chương Chương 1: Trình bày một số kiến thức chuẩn bị cho chương 2, bao gồm các kiến thức về dung lượng loga, hàm Euler, hàm lõm và mođun rút gọn. Chương 2: Trình bày chứng minh kết quả của bài báo “An isoperimetric inequality for logarithmic capacity of polygons”, gồm có: • Mục 2.1: Giới thiệu bài toán (định lý 2.1). • Mục 2.2: Mối liên hệ giữa mođun rút gọn của một miền đơn liên D chứa ∞ trong ∞  với các mođun rút gọn của các tam giác tạo thành D . • Mục 2.3: Nội dung chính là chứng minh định lý 2.3.5: “nếu một n-giác D có bao lồi  D có số cạnh lớn hơn hoặc bằng 3 thì có ít nhất một hệ các tam giác tỉ lệ phủ D ”. • Mục 2.4: Trình bày chứng minh định lý 2.1 • Mục 2.5: Trình bày một số áp dụng định lý 2.1 cho một số trường hợp cụ thể. Trong quá trình làm luận văn, tôi đã gặp rất nhiều khó khăn, nhưng với sự hướng dẫn tận tình của TS. Nguyễn Văn Đông đã giúp tôi sáng tỏ nhiều vấn đề. Thầy không chỉ tìm giúp tôi những tài liệu tham khảo mà còn hướng dẫn chi tiết cách trình bày và chỉnh sửa luận văn.Tôi vô cùng cám ơn thầy. Tôi cũng xin cám ơn các thầy cô trong khoa Toán trường ĐH Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh cũng như phòng sau đại học của trường. Tôi cảm ơn bố mẹ và những người thân trong gia đình đã tạo điều kiện, động viên, khuyến khích, giúp tôi hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin cám ơn một số bạn đã giúp tôi rất nhiều trong suốt khóa học cũng như đã cùng tôi tìm tài liệu. Một lần nữa, tôi xin chân thành cám ơn. MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU 2 MỤC LỤC 4 Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 5 1.1.Dung lượng 5 1.2.Hàm Euler 12 1.3.Hàm lõm 15 1.4.Mođun rút gọn 19 Chương 2: Dung lượng của đa giác 27 2.1.Giới thiệu bài toán 27 2.2.Mođun rút gọn của miền ngoài đa giác đều 27 2.3.Phủ tam giác của một đa giác 34 2.4.Chứng minh định lý 2.1 49 2.5.Áp dụng: Tính dung lượng của những đa giác đều. 56 KẾT LUẬN 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60 Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 1.1.Dung lượng Chứng minh các kết quả sau có thể xem trong [7]. Đầu tiên ta sẽ nhắc lại khái niệm và một số định lý cơ bản của dung lượng. Định nghĩa 1.1.1: Dung lượng loga của một tập E ⊂  được xác định bởi: ( ) ( ) : sup I cE e µ µ = , ở đây sup lấy trên mọi độ đo xác suất Borel µ trên  với giá của nó là một tập con compact của E. Đặc biệt nếu K là một tập compact với độ đo cân bằng v, thì ( ) ( ) : I cK e ν = . Có rất nhiều dung lượng khác thỏa tính chất này nhưng dung lượng loga có thuận lợi hơn do nó kết nối gần gũi với giả tích phức nhất. Trong luận văn này ta gọi tắt dung lượng loga là dung lượng. Định lí 1.1.2 a) Nếu 12 EE⊂ thì ( ) ( ) 12 cE cE≤ b) Nếu E ⊂  thì ( ) ( ) { } sup : , compactcE cK K EK= ⊂ c) Nếu E ⊂  thì ( ) ( ) c E cE αβα += với mọi , αβ ∈ d) Nếu K là một tập con compact của  thì ( ) ( ) e cK c K= ∂ . Ta có dung lượng là một hàm tập hợp đơn điệu. Định lí 1.1.3 a) Nếu 123 KKK⊃⊃⊃ là các tập con compact của  và n n KK=  thì: ( ) ( ) lim n n cK cK →∞ = b) Nếu 123 BBB⊂⊂⊂ là các tập con Borel của  và n n BB=  thì: ( ) ( ) lim n n cB cB →∞ = Dung lượng không là hàm tập hợp cộng tính như độ đo. Tuy nhiên ta có mối liên hệ giữa dung lượng và hợp các tập hợp như sau. Định lí 1.1.4 Cho ( ) n B là một dãy các tập con Borel của  , lấy n n BB=  và 0d > . a) Nếu ( ) diam B d≤ thì khi đó ( ) cB d≤ và ( ) 11 log log () n n d d cB cB ≤         ∑ b) Nếu ( ) , jk dist B B d≥ với jk≠ thì ( ) 11 log log () n n d d cB cB + + ≥         ∑ . Mặc dù định nghĩa 1.1.1 là tốt trong việc đưa ra nhiều tính chất lý thuyết của dung lượng nhưng nó chưa thực sự đáp ứng cho việc tính dung lượng các tập đặc biệt. Ngay cả các trường hợp đơn giản nhất, như một đĩa, việc tính toán cũng cần đòi hỏi phải làm việc cật lực và hầu hết các tập hợp khác hầu như không thể. Tuy nhiên việc tính toán dung lượng các tập compact có phần đơn giản hơn vì nó dựa vào mối liên hệ giữa dung lượng và các hàm Green. Định lí 1.1.5 Cho K là một tập compact không là tập cực và D là thành phần của \ K ∞  mà chứa ∞ . Khi đó: ( ) ( ) ( ) , log log 1 D g z z cK o∞= − + khi z →∞ Hệ quả 1.1.6 Nếu ω ∈ và 0r > thì ( ) ( ) ,cB r r ω = . Định lí 1.1.7 Cho 12 ,KK là những tập compact của  và 12 ,DD lần lượt là thành phần chứa ∞ của 12 \, \KK ∞∞  . Nếu 12 :fD D→ là một hàm phân hình thỏa: ( ) ( ) 1fz z ο = + khi z →∞ Khi đó: ( ) ( ) 21 cK cK≤ ,đẳng thức xảy ra khi f là ánh xạ bảo giác của 1 D lên 2 D . Hệ quả 1.1.8 Nếu ab≤ thì [ ] ( ) , 4 ba c ab − = . Định lí 1.1.9 Cho K là một tập compact và ( ) 0 d j j j q z az = = ∑ ở đây 0 d a ≠ . Khi đó: ( ) ( ) ( ) 1/ 1 d d cK cq K a −  =    . Hệ quả 1.1.10 Nếu 0 ab≤≤ thì [ ] [ ] ( ) 22 , , /2c b a ab b a−− = − . Định lí 1.1.11 Cho K là tập con compact của  và :TK→  là ánh xạ thỏa mãn: ( ) ( ) ( ) ,T z T Az z K α ω ωω − ≤− ∈ ở đây A và α là các hằng số dương. Khi đó: ( ) ( ) ( ) c T K Ac K α ≤ . Định lí 1.1.12 Cho K là một tập compact của  . (a) Nếu K liên thông và có đường kính là d thì: ( ) /4 cK d≥ (b) Nếu K là một đường cong khả trường có độ dài l thì: ( ) /4cK l≤ (c) Nếu K là một tập con của trục thực có độ đo Lelesgue bằng m thì: ( ) /4cK m≥ (d) Nếu K là một tập con của đường tròn đơn vị có độ đo cung là a , thì: ( ) ( ) sin / 4cK a≥ Định lí 1.1.13 (Định lí một phần tư Koebe) Nếu f là một đơn ánh chỉnh hình trên ( ) 0,1B với ( ) 00f = và ( ) '0 1f = , thì: ( ) ( ) ( ) 0,1 0,1/ 4fB B⊃ . Định lí 1.1.14 Nếu K là một tập con compact của  với đường kính d thì ( ) /2cK d≤ Sau đây ta sẽ trình bày một vài ví dụ về tính dung lượng của các tập compact . Ví dụ 1 : Tính dung lượng của K với K là một elip với bán kính trục a, b. Ta có thể đặt: ( ) 11 , 1.ar br r rr =+ =−> Xét: ( ) : \ 0, \f Br K ∞∞ → 1 zz z + Với ( ) \ 0, 1. i z e Br r θ ρρ ∞ = ∈ ⇔ >> ( ) 11 1 1 os sin ii fz z e e c i z θθ ρ ρ θρ θ ρρ ρ −   =+= + = + + −     Ta có: ( ) 1 tt t ϕ = + và ( ) 1 tt t ψ = − là các hàm tăng trên ( ) 1, +∞ . Mà 1r ρ >> nên 1 11 1 ;rr rr ρρ ρρ + >+ − >− . Vậy nếu ( ) \ 0,z Br ∞ ∈ thì ( ) \fz K ∞ ∈ , do đó ( ) : \ 0, \f Br K ∞∞ → là ánh xạ chỉnh hình. Ta có: ( ) ( ) 2 11 ' 1.fz z f z zz =+⇒ =− ( ) ' 0fz≠ với ( ) \ 0,z Br ∞ ∀∈ . Vậy f là ánh xạ bảo giác và ( ) ( ) 1fz z ο = + khi z →∞ . Theo định lý trên ta có: ( ) ( ) ( ) 0, . 2 ab cK cB r r + = = =  Ví dụ 2: Tính dung lượng của tập ( ) ( ) 2 1 0, 0,R.e , k n i n k KB r rR π = ∪    =∪< . Để tính ( ) cK ta sẽ đi chứng minh bổ đề sau: Bổ đề 1.1.15: Cho ( ) [ ] 1 0,1 0, , 1KB R R=∪≥ . Chứng minh rằng ( ) 1 2 1/ 4 RR cK ++ = . Chứng minh: Đặt 1 1 : \ \ 2,fK R R ∞∞  → −+    , ( ) 1 z fz z z = + . Ta chứng minh f là ánh xạ bảo giác. Thật vậy: Xét ( ) [ ] 1 \ 0,1 0,z Kz R ∞ ∈ ⇔∉ ∪ : Nếu ( ) 11 ,z z R fz z R zR + ∈ >⇒ =+>+ nên ( ) 1 \ 2,fz R R ∞  ∈ −+    . Nếu , i z z re θ ∉= với 0 2 , 1,r θ π θπ << > ≠ , khi đó: ( ) 11 1 os sin .fz z r c ir zr r θθ   =+= + + −     Vì 1r > nên ( ) Imf 0z ≠ suy ra ( ) 1 \ 2,fz R R ∞  ∈ −+    . Nếu z − ∈ thì 1z <− . Ta có: ( ) 1 fz z z = + nên ( ) 2 1 '1fz z = − . Bảng biến thiên: Do đó ( ) 11 2 2,fz z R zR  = + <− ∉ − +   , suy ra ( ) 1 \ 2,fz R R ∞  ∈ −+    . Nên 1 1 : \ \ 2,fK R R ∞∞  → −+    là ánh xạ chỉnh hình. [...]... ký hiệu của hàm gamma Euler, * Dn là n -giác đều có tâm tại z = 0 và có một đỉnh tại z = 1 , Area ( Dn ) là diện tích của đa giác Dn , ( ) c D n là dung lượng của bao đóng đa giác Dn Đẳng thức xảy ra khi đa giác Dn là đa giác đều 2.2.Mođun rút gọn của miền ngoài đa giác đều Để chuẩn bị cho chứng minh định lý 2.1, trước hết ta nêu công thức tính mođun rút gọn của hình quạt liên kết với một tam giác Từ... đẳng thức xảy ra có thể xem trong [10] Chương 2: Dung lượng của đa giác 2.1.Giới thiệu bài toán Nội dung chính của chương này là trình bày lại chứng minh của bài báo “An isoperimetric inequality for logarithmic capacity of polygons” của các tác giả Alexander Yu Solynin và Victor A Zalgaller Nội dung của bài báo là kết quả sau Định lý 2.1 Nếu Dn là đa giác có số cạnh n ≥ 3 cho trước, thì ( ) c2  D*... số các đối tượng hình học như đỉnh, góc, cạnh của đa giác D , hệ tam giác phủ D phù hợp với hướng dương của ∂D • Một tam giác T có quạt liên kết S được gọi là được chấp nhận đối với D nếu + T ∩D ≠ ∅, + Đáy của T nằm trên ∂D (đáy của T không bao gồm toàn bộ cạnh D ), S∩D = ∅ + Mỗi cạnh (không phải là đáy) của S chứa ít nhất một đỉnh của D • Một hệ tam giác {Ti }i =1 gọi là được chấp nhận đối với D... ) 2.3.Phủ tam giác của một đa giác Nội dung chính của mục này là đi chứng minh định lý 2.3.5 “Nếu một n -giác D có   bao lồi D , có số cạnh n lớn hơn hoặc bằng 3, thì có ít nhất một hệ tam giác tỉ lệ m  {Ti }i =1 , n ≤ m ≤ n phủ m D , nghĩa là: D ⊂ ∪ T i ” i −1 Để chứng minh định lý 2.3.5 cần sử dụng bổ đề 2.3.2, 2.3.3 và 2.3.4 Trong đó, hai bổ đề 2.3.3, 2.3.4 nghiên cứu các hệ tam giác tỉ lệ {Ti... của họ đường cong, ta sẽ đi vào phần quan trọng của mục 1.4 này Cho E là tập compact của  , gọi Ω ( E ) là thành phần liên thông chứa ∞ của  ∞ \ E Nếu E là tập compact liên thông thì Ω ( E ) là miền đơn liên chứa ∞ Định nghĩa 1.4.3 Giả sử CR = z: z {= R} Với R > 0 đủ lớn, ΩR ( E ) là miền hai liên nằm giữa E và CR Ta gọi mođun của ΩR ( E ) là mođun của họ đường cong tách các thành phần biên của. .. m ( H ; ∞ | 0, ρ ) = = với H log π ρ { z : Im z > 0} có các đỉnh là ∞, 0, ρ Sự thay đổi của các mođun rút gọn qua các ánh xạ bảo giác được thể hiện qua các kết quả sau Định lý 1.4.4 Cho ek lần lượt là các đỉnh của tam giác D , ϕ góc trong của D tại đỉnh = = e0 ≡ ∞ Nếu f : D → D f f ( D= f ( z ) là đồng cấu bảo giác, ς k f= 0, 1, 2 và ), z  ς ( ek ) , k   1 nếu trong lân =  e0 ,  ⊂  ∞ \ CR ,(... đối với D nếu mỗi Ti là được chấp nhận và m quạt liên kết Si của T1 thỏa Si ∩ S j = với i ≠ j , i, j ∈1, m và ∪im 1 S i phủ phần bù của ∅ =  bao lồi D của D • Nếu Ti có góc đối diện đáy α i bằng với góc của Si tại z = ∞ thì ∑ m i =1 α i = 2π Một hệ chấp nhận được {Ti }i =1 gọi là chính quy nếu mỗi cạnh của Si chứa duy nhất một m đỉnh của D với i = 1, , m • Một hệ chấp nhận được {Ti }i =1 gọi là... là = = m góc đối diện đáy và diện tích của Ti ) ( hình minh họa về hệ {Ti }i =1 tỉ lệ ) 4 • Vị trí chuẩn: + Gọi D là n -giác với các  đỉnh A1 , A2 , , An Cho D là bao lồi của D với các đỉnh A' , A2' , , An' 1  ( n ≤ n ) , trong đó A = A ' 1 1 + Nếu= 0, A2' > 0 thì vị trí của D gọi là vị trí chuẩn A' 1 • Một hệ tam giác {Ti }i =1 được gọi là chấp nhận cho tam giác T , có đáy [ a1 , a2 ] , nếu: m ... 2π Kết quả sau kết nối mođun rút gọn của D với mođun rút gọn của các tam giác được phân tích từ miền đơn liên D Định lý 1.4.7 Cho T1 , , Tn là những tam giác rời nhau trong miền đơn liên D, ∞ ∈ D ⊂  ∞  k k sao cho Tk có một đỉnh a0 tại ∞ và cạnh đối diện a1k a2 trên ∂D Giả sử Tk có một góc k 2πα k ∈ ( 0, 2π ) tại đỉnh a0 và với mọi k = 1, , n mođun rút gọn của Tk tại ∞ tồn tại Nếu ∑ k =1α k = 1... Để chuẩn bị cho chứng minh định lý 2.1, trước hết ta nêu công thức tính mođun rút gọn của hình quạt liên kết với một tam giác Từ hệ quả của định lý (1.4.7 ) ta tìm được công thức tính mođun rút gọn của miền ngoài một đa giác đều Cho T = T (α , β1 , a ) là một tam giác có  đỉnh tại= 0, a1 a, a2 = ei 2πα  a sin πβ1 sin πβ  , a0 =     cạnh đáy [ a1 , a2 ] , với a > 0 , 0 < α , β1 , β 2 thỏa β1 . rút gọn của miền ngoài đa giác đều 27 2.3.Phủ tam giác của một đa giác 34 2.4.Chứng minh định lý 2.1 49 2.5.Áp dụng: Tính dung lượng của những đa giác. minh của bài báo này là quay về phương pháp cổ điển tìm diện tích của một đa giác: chia một đa giác thành các tam giác và sử dụng tính chất cộng tính của