Đang tải... (xem toàn văn)
CHƯƠNG 4 TỔNG HỢP KIẾN THỨC 1 Khái niệm số phức Tập hợp số phức £ Số phức (dạng đại số) z a bi= + Trong đó ▪ , a b Î ¡ ; a là phần thực, b là phần ảo ▪ i là đơn vị ảo, 2 1 i = z là số thực Û phần ảo của z bằng 0 ( )0b = z là số ảo (hay còn gọi là thuần ảo) Û phần thực bằng 0 ( )0a = Số 0 vừa là số thực vừa là số ảo 2 Hai số phức bằng nhau Hai số phức ( )1 ; z a bi a b= + Î ¡ và ( )2 ; z c di c d= + Î ¡ được gọi là bằng nhau a c b d ì =ïïÛ í ï =ïî Khi đó ta viết 1 2 z z= 3 Biểu diễn hình.
CHƯƠNG TỔNG HỢP KIẾN THỨC Khái niệm số phức Tập hợp số phức: £ Số phức (dạng đại số): z = a + bi Trong ▪ a, b Ỵ ¡ ; a phần thực, b phần ảo ▪ i đơn vị ảo, i = - z số thực Û phần ảo z (b = 0) z số ảo (hay gọi ảo) Số vừa số thực vừa số ảo Hai số phức Hai số phức z1 = a + bi (a; b Ỵ ¡ ) Û phần thực z = c + di (c ; d Ỵ ¡ ) ta viết z1 = z2 Biểu diễn hình học số phức Số phức z = a + bi (a; b Ỵ ¡ ) biểu diễn điểm độ (a = 0) gọi M (a; b ) hay r u = (a; b ) y M a; b x O Phép cộng phép trừ số phức Cho hai số phức z1 = a + bi (a; b Ỵ ¡ ) z1 + z = (a + c )+ (b + d )i z1 - z = (a - c )+ (b - d )i z = c + di (c ; d Î ¡ ) Khi Số đối số phức z = a + bi - z = - a - bi Phép nhân số phức Cho hai số phức z1 = a + bi (a; b Ỵ ¡ ) z2 = c + di (c ; d Ỵ ¡ ) Khi z1 z = (a + bi )(c + di ) = (ac – bd )+ (ad + bc )i Nhận xét Với số thực k số phức k.z = k.(a + bi ) = ka + kbi Đặc biệt: 0.z = với số phức z z = a + bi (a; b Ỵ ¡ ) , ta có ìï a = c Û ïí ïïỵ b = d Khi mặt tọa Số phức liên hợp Số phức liên hợp Một số tính chất: z = a + bi (a; b Ỵ ¡ ) z = a - bi ỉz z1 2 z = z ; z ± z ' = z ± z ' ; z.z ' = z.z '; ỗỗ ÷ ÷ ÷= z ; z.z = a + b ữ ỗố z ứ z l số thực Û z = z ; z số ảo z = - z Môđun số phức Môđun số phức z = a + bi (a; b Ỵ ¡ ) số thực khơng âm z = Một số tính chất: z = a2 + b = uuur zz = OM hay z ³ 0, " z Ỵ £ ; z = Û z = z z ' = z z ' z z = z' z' z - z' £ z± z' £ z + z' a2 + b2 a2 + b2 kí hiệu z = z z Chia hai số phức Số phức nghịch đảo z Phép chia hai số phức z' khác z¹ số z- = z z z' z '.z z '.z = z ' z- = = z z z z Lũy thừa đơn vị ảo i i = 1, i = i, i = - 1, i = i i = - i ,…, i 4n = 1, i 4n+ = i, i 4n+ = - 1, i n+ = - i, Do đó: quy np ta c: "n ẻ Ơ * i n Î {- 1;1;- i ; i }, " n Î ¥ * 10 Phƣơng trình bậc hai với hệ số thực a Căn bậc hai số thực âm Tương tự bậc hai số thực dương, từ đẳng thức i = - , ta nói i bậc hai - ; - i bậc hai - , (- i ) = - Từ đó, ta xác định bậc hai số thực âm, chẳng hạn: Căn bậc hai - ±i , (± i ) = - Căn bậc hai - Căn bậc hai - ±i , (± i ) = - , (± 2i )2 = - Tổng quát, bậc hai số thực a âm là ± 2i ±i a b Phƣơng trình bậc hai với hệ số thực Cho phương trình bậc hai ax + bx + c = với a, b, c Ỵ Xét biệt số D = b - 4ac phương trình Ta thấy: ● Khi D= 0, ● Khi D > 0, ¡ phương trình có nghiệm thực x= - b ; 2a có hai bậc hai (thực) thực phân biệt, xác định công thức D x1,2 = ± D a¹ phương trình có hai nghiệm - b± V ; 2a ● Khi D < phương trình khơng có nghiệm thực không tồn bậc hai thực D Tuy nhiên, trường hợp D < , xét tập hợp số phức, ta có hai bậc hai ảo D ± i D Khi đó, phương trình có hai nghiệm phức xác định công thức x1,2 = - b± i D 2a Dạng 1: Các phép tính số phức Phƣơng pháp giải: Sử dụng công thức cộng , trừ, nhân, chia luỹ thừa số phức Chú ý cho HS: Trong tính tốn số phức ta sử dụng đẳng thức đáng nhớ số thực Chẳng hạn bình phương tổng hiệu, lập phương tổng hiệu số phức… Ví dụ 1: Cho số phức z = i 2 Tính số phức sau: z ; z2; ( z )3; + z + z2 Giải: a) Vì z = 3 i z = i 2 2 3 b) Ta có z = i = i i = i 2 2 4 2 3 ( z ) = i i i i 4 2 2 1 ( z )3 =( z )2 z = 2 Ta có: + z + z2 = 3 i i i i i 4 2 1 3 1 i i i 2 2 2 Nhận xét: Trong tốn này, để tính z ta sử dụng đẳng thức số thực Ví dụ 2: Tìm số phức liên hợp của: z (1 i )(3 2i ) 3i Giải: Ta có : z i 3i 3i 5i (3 i)(3 i) 10 Suy số phức liên hợp z là: z 53 i 10 10 Ví dụ 3: Tìm mơ đun số phức z Giải: Ta có : z (1 i )(2 i ) 2i 5i 1 i 5 26 Vậy, mô đun z bằng: z 5 Ví dụ 4: Tìm số thực x, y thoả mãn: 3x + y + 5xi = 2y – +(x – y)i Giải: Theo giả thiết: 3x + y + 5xi = 2y – +(x – y)i (3x + y) + (5x)i = (2y – 1) +(x – y)i x y 3 x y y Giải hệ ta được: 5 x x y Ví dụ 5: Tính: i105 + i23 + i20 – i34 Giải: Để tính tốn này, ta ý đến định nghĩa đơn vị ảo để từ suy luỹ thừa đơn vị ảo sau: Ta có: i2 = -1; i3 = -i; i4 = i3.i = 1; i5 = i; i6 = -1… Bằng quy nạp dễ dàng chứng minh được: i4n = 1; i4n+1 = i; i4n+2 = -1; i4n+3 = -i; n N* Vậy in {-1;1;-i;i}, n N Nếu n nguyên âm, i = (i ) = i n n -1 -n i n Như theo kết trên, ta dễ dàng tính được: i105 + i23 + i20 – i34 = i4.26+1 + i4.5+3 + i4.5 – i4.8+2 = i – i + + = Ví dụ 6: Tính số phức sau: z = (1+i)15 Giải: Ta có: (1 + i)2 = + 2i – = 2i (1 + i)14 = (2i)7 = 128.i7 = -128.i z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i 1 i 1 i Ví dụ 7: Tính số phức sau: z = 16 1 i Giải: Ta có: i (1 i )(1 i ) 2i i 1 i 2 1 i 1 i 1 i i 16 i Vậy =i +(-i) = 1 i 1 i 1 i 16 Dạng 2: Các toán chứng minh Trong dạng ta gặp tốn chứng minh tính chất, đẳng thức số phức Để giải toán dạng trên, ta áp dụng tính chất phép tốn cộng, trừ, nhân, chia, số phức liên hợp, môđun số phức chứng minh Ví dụ 8: Cho z1, z2 C CMR: E = z1 z2 z1.z2 R Để giải toán ta sử dụng tính chất quan trọng số phức liên hợp là: zRz= z Thật vậy: Giả sử z = x + yi z = x – yi z = z x + yi = x – yi y = z = x R Giải tốn trên: Ta có E = z1 z2 z1.z2 z1 z2 z1 z2 = E E R Ví dụ 9: Chứng minh rằng: 1) E1 = i i R 7 19 7i 20 5i 2) E2 = R i 6i n n Giải: 1) Ta có: E1 = i i i i i i E1 7 7 E1R 19 7i 20 5i 19 7i (9 i ) 20 5i (7 6i) 2) E2 82 85 i 6i n n n n n 164 82i 170 85i 2 i 2 i 82 85 n E2 E2 E2 R n n Ví dụ 10: Cho z C CMR: z |z2 + 1| ≥ Giải: z 1 Ta chứng minh phản chứng: Giả sử z2 1 Đặt z = a+bi z2 = a2 – b2 + 2a + bi 2 2(a b ) 4a z 1 (1 a) b 2 2 (a b ) 2(a b ) z2 1 (1 a b ) 4a 2b Cộng hai bất đẳng thức ta được: (a2 + b2 )2 + (2a+1)2 < vô lý đpcm Dạng 3: Các tốn mơđun số phức biểu diễn hình học số phức Trong dạng này, ta gặp tốn biểu diễn hình học số phức hay cịn gọi tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z số phức z thoả mãn hệ thức (thường hệ thức liên quan đến môđun số phức) Khi ta giải tốn sau: Giả sử z = x+yi (x, y R) Khi số phức z biểu diễn mặt phẳng phức điểm M(x;y) Ta có: OM = x2 y = z Sử dụng kiện đề để tìm mối liên hệ x y từ suy tập hợp điểm M Lưu ý: - Với số thực dương R, tập hợp số phức với z = R biểu diễn mặt phẳng phức đường trịn tâm O, bán kính R - Các số phức z, z < R điểm nằm đường tròn (O;R) - Các số phức z, z >R điểm nằm ngồi đường trịn (O;R) Ví dụ 11 : Giả sử M(z) điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z Tìm tập hợp điểm M(z) thoả mãn điều kiện sau đây: z 1 i =2 2 z i z z z 4i z 4i 10 1≤ z 1 i Giải: 1) Xét hệ thức: z 1 i =2 (1) Đặt z = x +yi (x, y R) z – + i = (x – 1) + (y + 1)i Khi (1) ( x 1)2 ( y 1)2 (x-1)2 + (y + 1)2 = 4. Tập hợp điểm M(z) mặt phẳng toạ độ biểu diễn số phức z thoả mãn (1) đường trịn có tâm I(1;-1) bán kính R = 2) Xét hệ thức z z i (2) y (2) z (2) z i (*) Gọi A điểm biểu diễn số -2, B điểm biểu diễn số phức i A (A(-2;0); B(0;1)) -2 Đẳng thức (*) chứng tỏ M(z)A = M(z)B Vậy tập hợp tất điểm M(z) đường trung trực AB Chú ý: Ta giải cách khác sau: Giả sử z = x + yi, đó: B x O -1 -1 -2 (2) |(x+2) +yi| = |-x+(1-y)i| (x+2)2 + y2 = x2 + (1-y)2 4x + 2y + = tập hợp điểm M(z) đường thẳng 4x + 2y + = nhận xét: Đường thẳng 4x + 2y + = phương trình đường trung trực đoạn AB 3) Xét: z z (3) Giả sử z = x + yi, đó: (3) |2+x+yi| > |x+yi-2| (x+2)2 +y2 > (x-2)2 +y2 x > Tập hợp điểm M(z) nửa mặt phẳng bên phải trục tung, tức điểm (x;y) mà x > Nhận xét: Ta giải cách khác sau: (3) |z-(-2)| >|z-2| Gọi A, B tương ứng điểm biểu diễn số thực -2 2, tức A(-2;0), B(2;0) Vậy (3) M(z)A > M(z)B Mà A, B đối xứng qua Oy Từ suy tập hợp điểm M(z) nửa mặt phẳng bên phải trục tung 4) Xét hệ thức: z 4i z 4i 10 Xét F1, F2 tương ứng biểu diễn điểm 4i -4i tức F1 (0;4) F2 =(0;-4) Do đó: (4) MF1 + MF2 = 10 (M = M(z)) Ta có F1F2 = Tập hợp tất điểm M nằm (E) có hai tiêu điểm F1 F2 có độ dài trục lớn 10 Phương trình (E) là: x2 y 1 16 5) Xét hệ thức 1≤ z 1 i 1≤ z (1 i) Xét điểm A(-1;1) điểm biểu diễn số phức -1 + i Khi 1≤ MA ≤ Vậy tập hợp điểm M(z) hình vành khăn có tâm A(-1;1) bán kính lớn nhỏ Cách 2: Giả sử z = x +yi (5) ≤ |(x+1) +(y-1)i| ≤ ≤ (x+1)2 + (y-1)2 ≤ kết Ví dụ 12: Xác định điểm nằm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện sau đây: |z + z +3|=4 |z + z + - i| = 2|z-i|=|z- z +2i| |z2 – z 2| = Giải: 1) Xét hệ thức: z + z +3|=4 (1) Đặt x = x + yi z = x – yi, (1) |(x+yi)+(x-yi)+3|=4 x |2x+3|=4 x Vậy tập hợp tất điểm M hai đường thẳng song song với trục tung x = x= 2) Xét hệ thức: |z + z + - i| = Đặt z = x + yi z = x – yi Khi đó: 1 y (2) |1+(2y-1)i| = + (2y-1)2 = 2y2 -2y-1 = 1 y Vậy tập hợp điểm M hai đường thẳng song song với trục hoành y = 1 3) Xét hệ thức 2|z-i|=|z- z +2i| Đặt z = x + yi z = x – yi Khi đó: (3) |x+(y-1)i| = |(x+y)i| x2 x +(y-1) = (x+y) x – 4y = y = 2 2 Vậy tập hợp điểm M parabol y = x2 4)Xét hệ thức: |z2 – z 2| = xy Đặt z = x + yi z = x – yi Khi đó: (4) |4xyi| = 16x2y2 = 16 xy 1 Vậy tập hợp điểm M hai nhánh (H) xy = xy = -1 Ví dụ 13: Tìm số phức z thoả mãn hệ: Giải: Giả sử z = x + yi, z 1 1 z i z 3i 1 z i z 1 |z-1| = |z-i| |x+yi-1|=|x+yi-i| z i (x-1)2 + y2 = x2 + (y-1)2 x=y C Điểm N D Điểm Câu 126 Cho số phức z P thỏa mãn z = y điểm A hình vẽ bên điểm biểu diễn z Biết hình vẽ bên, điểm biểu diễn số phức w = z bốn điểm M , N , P , Q Khi điểm biểu diễn số phức w là: A Điểm M B Điểm Q C Điểm N D Điểm P Câu 127 Cho số phức z thỏa mãn z = M N -2 2 Q y Q A M x O iz N bốn điểm M , N , P , Q Khi điểm biểu diễn số phức w A Điểm Q B Điểm M C Điểm N D Điểm P Câu 128 Cho số phức z thỏa mãn z = điểm A hình vẽ bên điểm biểu diễn z Biết hình vẽ bên, điểm biểu diễn số phức w = bốn P M y A N x iz O Khi điểm biểu diễn B Điểm N D Điểm Q điểm biểu diễn số phức P điểm A hình vẽ bên điểm biểu diễn z Biết hình vẽ bên, điểm biểu diễn số phức w = điểm M , N , P , Q số phức w A Điểm M C Điểm P Câu 129 Gọi M x A O P Q w= z + z - 3i z2 + , z số phức thỏa mãn (2 + i )(z + i ) = - z Gọi N điểm mặt phẳng cho góc lượng giác (Ox,ON ) = 2j , j = (Ox,OM ) góc lượng giác tạo thành quay tia nằm góc phần tư nào? A Góc phần tư thứ (I) B Góc phần tư thứ (II) C Góc phần tư thứ (III) D Góc phần tư thứ (IV) Ox tới vị trí tia OM Điểm N Câu 130 Cho số phức z= + i 1- i + 1- i + i Mệnh đề sau đúng? A z Î ¡ B z có số phức liên hợp khác C Môđun z D z có phần thực phần ảo khác Câu 131 Cho số phức z thỏa mãn (1- i )z - + 5i = Tính A = z.z A A = 13 B A = 13 C A = 1+ 13 D A = 1- 13 Câu 132 Cho số phức z thỏa mãn (2 + i )z + (1 + 2i ) 1+ i = + 8i Kí hiệu a, b phần thực phần ảo số phức w = z + + i Tính P = a + b A P = 13 B P = C P = 25 D P = Câu 133 Cho số phức z thỏa mãn (1 + 2i )z = 5(1 + i ) Tổng bình phương phần thực phần ảo số phức w = z + iz bằng: A B C D 1- i Câu 134 Cho số phức z thỏa mãn = + i Điểm M biểu diễn số phức w = z + z+1 mặt phẳng tọa độ có tọa độ là: A M (2;- 3) B M (2;3) C Câu 135 Cho số phức z thỏa mãn M (3;- 2) z + z = - 2i D M (3;2) Tính mơđun số phức w = z2 - z A w = 10 B w = C w = 13 D w = 10 Câu 136 Cho số phức z thỏa mãn (1 + 2i )z = + i Tính P = z - z + A P = B P = 13 C P = D P = 10 z Câu 137 Cho số phức z thỏa mãn = z - (3 + i ) Khẳng định sau đâu đúng? 1+ i A Số phức B Số phức C Số phức D Số phức z z z z có phần thực có phần ảo bé có phần thực lớn phần ảo có phần thực bé phần ảo Câu 138 Cho số phức A P = - Câu 139 Gọi B S z = a + bi (a; b Ỵ ¡ ) P= C thỏa mãn P=- z z + 2iz + D tập hợp giá trị tham số thực m (z + i ) 1- i = Tính tỷ số m= B m= - C m= ±9 D a b P = để số phức z= thực Tính tổng T phần tử S A T = 15 B T = - C T = - D T = Câu 140 Tìm giá trị tham số thực m để bình phương số phức A P= m = ± m - + (m - 1)i z= - mi m + 9i 1- i số số thực Câu 141 Cho số phức giá trị tham số z= m i- m , - m (m - 2i ) cho z- i £ A B C Câu 142 Hỏi có tất số phức m tham số thực Gọi Hỏi tập z D thỏa mãn z S S tập hợp tất có tất phần tử nguyên? =1 z+1 z- số ảo? A B C D Vô số Câu 143 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Có số phức z z + 3i = 13 số ảo? thỏa mãn z z+ A Vô số B C Câu 144 Cho số phức z thỏa mãn (3 - 4i )z - z D = Trên mặt phẳng tọa độ, gọi d khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm biểu diễn số phức z Mệnh đề sau đúng? A d > B < d < C < d < D < d < 4 4 Câu 145 (ĐỀ THỬ NGHIỆM 2016 – 2017) Cho số phức Mệnh đề đúng? A < z < B z > 2 C z < D thỏa mãn (1 + 2i ) z z < z < 2 Vấn đề LŨY THỪA ĐƠN VỊ ẢO Câu 146 Mệnh đề sau đúng? A i 2016 = - i B i 2017 = C i 2018 = - D i 2019 = i Câu147 Điểm M biểu diễn số phức z = +20174i có tọa độ là: i A M (3;4) B M (3;- 4) C M (4;3) D M (4;- 3) Câu 148 Thu gọn biểu thức P = éë(1 + 5i )- (1 + 3i )ùû2017 ta A P = B P = 2017 + i C P = 2017 i D P = - 22017 i Câu 149 Mệnh đề sau đúng? A (1 + i ) = B (1 + i ) = 4i C (1 + i ) = - 16 D (1 + i ) = 16 Câu 150 Mệnh đề sau đúng? A (1 + i )2018 = 22009 i B (1 + i )2018 = - 22009 i C (1 + i ) = - D (1 + i ) = Câu 151 Tìm số phức liên hợp z số phức z = (1 + i )15 A z = - 128 - 128i B z = - i C z = 128 + 128i D z = 128 - 128i 2017 2018 2009 2018 2009 = 10 - 2+ i z Câu 152 Tìm phần thực phần ảo số phức z = (2 - 2i ) A Phần thực 14 phần ảo - 14 B Phần thực phần ảo - C Phần thực phần ảo - D Phần thực phần ảo Câu 153 Tìm phần ảo b số phức w = + (1 + i )+ (1 + i )2 + (1 + i )3 + + (1 + i )2018 A b = 21009 - B b = 22019 + C b = 21009 D b = 21009 + Câu 154 Thu gọn số phức w = i + i + i + + i 18 có dạng a + bi Tính tổng S = a + b A S = B S = 210 + C S = D S = 210 Câu 155 Cho số phức z = 1- i Tìm phần thực phần ảo số phức z 7 10 10 10 10 2017 1+ i A Phần thực phần ảo B Phần thực phần ảo - C Phần thực phần ảo - i D Phần thực phần ảo - Câu 156 Tính giá trị biểu thức A P=- 22024 B Câu 157 Cho số phức A P = - i B P = Câu 158 Cho số phức A S = B b = - B Tính Tính C số phức b z P= 2024 ÷ ÷ ÷ iø 2024 21012 D P=- D P = - P = z z z 15 P= i i ư÷ ÷ ø i÷ b= Câu 160 Cho số phức C C æ1 + z = çç çè1 - S = Câu 159 Tìm phần ảo A 21012 2017 ỉ1 + i ÷ z = ỗỗ ữ ữ ỗố1 - i ứ P= ổ i P = ỗỗ ỗố1 - C thỏa mãn S = z + z + z + z S = D 16 ỉ1 + i ỉ1 - i ÷ ÷ ç z = çç ÷ ÷ ÷ + èçç1 + i ứ ữ ỗố1 - i ứ b = D ỉ 2i ÷ i z = çç ÷ ÷ çè1 + i ø S = Gọi a, b b= phần thực phần ảo số phức w = (2 - i )z Tính S = a + b A S = - 16 B S = 16 C S = 32 D S = 48 Câu 161 Có số nguyên n cho (n + i ) số nguyên? A B C D Vô số Câu 162 Có giá trị m nguyên dương thuộc đoạn [1;50 ] để ảo? A 24 B 25 C 26 D 50 Câu 163 Cho số phức z thỏa mãn (z - 1)(2 - i )= (3 + i )(z + 2i ) Tìm phần thực z m ỉ2 + 6i ÷ z = ỗỗ ữ ỗố - i ữ ứ a số số phức A a = B a = 16 C a = - D a = - 16 Câu 164 Cho số phức z thỏa mãn (z + - 3i )(1- i ) = (1 + i )2015 Tìm phần ảo w = z + - 3i A b = B b = C b = D b = - Câu 165 Cho số phức tùy ý z ¹ 2015 1007 a a số phức 1007 Xét số phức A C b a= số thực, b số thực số ảo, b số ảo i 2017 - i z- B D a a - z + (z ) b= z3 - z + z + (z ) z- Khi đó: số thực, b số ảo số ảo, b số thực Vấn đề 10 PHƢƠNG VỚI HỆ SỐ THỰC Câu 166 Giải phương trình A z= ± i 2 B 3± i z= z2 - z + 1= C tập số phức z = ± 3i D z= ± i 2 z2 - 4z + = Câu 167 Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình Tìm phần thực a 2 số phức w = z1 + z2 A a = B a = C a = 16 D a = Câu 168 Gọi z1, z hai nghiệm phức phương trình z - z + = Tính giá trị biểu thức P = z1 + z A P = B P = C P = D P = Câu 169 Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình z + z + 10 = Tính giá trị biểu thức P = z1 + z 2 A P = 10 B P = 20 C P = 40 D P = 10 Câu 170 Kí hiệu z1, z hai nghiệm phức phương trình z + z + 15 = Tính giá trị biểu thức P = z1 + z2 + z1z2 A P = 22 B P = 15 C P = - D P = Câu 171 Kí hiệu z1, z nghiệm phức phương trình z + z + = Tính giá trị biểu thức P = z z + i (z + z ) A P= Câu 172 Cho 2017 P = (z1 - 1) B P= z1 , z 2017 + (z - 1) C P = hai số phức thỏa mãn D P = z2 - 4z + = 1008 1009 A P = B P = C P = D P = Câu 173 Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z thức P = z12016 + z22016 A P = B P = C P = D P = 1009 Tính giá trị biểu thức 1008 2z + = Tính giá trị biểu Câu 174 Gọi z1 nghiệm phức có phần ảo âm phương trình z + z + 20 = Tính giá trị biểu thức A = z13 - 16i A A = B A = 88 C A = - 32 D A = 32 Câu 175 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Phương trình nhận hai số phức + 2i 1- 2i nghiệm? A z + z + = B z - z - = C z - z + = D z + z - = Câu 176 Biết hai số phức có tổng tích Tổng mơđun hai số phức bằng: A B C 10 D 12 Câu 177 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Kí hiệu z1, z hai nghiệm phức phương trình z + = Gọi M , N điểm biểu diển z1, z mặt phẳng tọa độ Tính T = OM + ON với O gốc tọa độ A T = B T = C T = D Câu 178 Kí hiệu z0 nghiệm phức có phần ảo dương phương trình z - 16 z + 17 = Trên mặt phẳng tọa độ, điểm điểm biểu diễn số phức w = iz0 ? A ổ1 M ỗỗ ;2ữ ữ ữ ỗố2 ứ Câu 179 Gọi điểm A B z1 , z M , N , P, Q ỉ 3ư M çç2; ÷ ÷ çè ÷ ø ỉ M ỗỗ- ;2ữ ữ ỗố ứữ C ổ M ỗỗ- ;1ữ ữ ỗố ÷ ø D hai nghiệm phức phương trỡnh ổ1 M ỗỗ ;1ữ ữ ỗố ÷ ø z - z + = điểm biểu diển s phc B ổ3 N ỗỗ ;2ữ ữ ỗố2 ứữ C ổ3 P ỗỗ ;2ữ ữ ỗố ø÷ D w= Hỏi điểm 1 + + iz1 z ? z1 z æ Q ỗỗ- ;2ữ ữ ữ ỗố ứ Cõu 180 Cho hai số thực b, c thỏa mãn c > b - c < Kí hiệu A, B hai điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn hai nghiệm phức phương trình z + 2bz + c = Tìm điều kiện b c để tam giác OAB tam giác vuông O A c = 2b B b = c C b = c D b = 2c Câu 181 Tìm tham số thực m để phương trình z + (2 - m)z + = nhận số phức z = 1- i làm nghiệm A m = B m = C m = - D m = 2 Câu 182 Biết phương trình z + mz + n = (với m, n tham số thực) có nghiệm z = + i Tính mơđun số phức w = m + ni A B C 2 D 16 Câu 183 Biết phương trình z + az + b = (với a, b tham số thực) có nghiệm phức z = + 2i Tính tổng S = a + b A S = B S = - C S = - D S = Câu 184 Cho số phức w hai số thực a, b Biết w + i 2w - hai nghiệm phương trình z + az + b = Tính tổng S = a + b A S= B S= C S= - Câu 185 Cho số phức w, biết z1 = w + 2i trình bậc hai với hệ số thực Tính T = z1 + z2 A T = B T = 13 97 C T = 13 D S= - z2 = 2w - D T = hai nghiệm phương 85 Câu 186 (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Kí hiệu z1, z2 , z3 z bốn nghiệm phức phương trình z - z - 12 = Tính tổng T = z1 + z + z3 + z A T = B T = C T = + D T = + Câu 187 Kí hiệu z1, z2 , z3 z bốn nghiệm phức phương trình x + 19 x + 15 = 1 1 + + + z1 z z z Tính tổng T = A T = + i B T = C T = D T = - 2 Câu 188 Cho phương trình (z - z ) - 3(z - z )- 40 = Gọi z1, z2 , z3 phương trình cho Tính P = z1 + z 2 + z + z A P = 42 B P = 34 C P = 16 D P = 24 Câu 189 Gọi biểu thức A P= z1 , z2 , z3 , z nghiệm phức phương trình z4 bốn nghiệm phức ỉz - ữ ỗỗ = ữ ỗố z - i ÷ ø Tính giá trị P = (z12 + 1)(z 22 + 1)(z 32 + 1)(z 42 + 1) B P= 15 C P= 17 D P = 425 Câu 190 Cho phương trình z + mz + = tập số phức m tham số thực Gọi z1 , z2 , z3 , z bốn nghiệm phương trình cho Tìm tất giá trị m để (z + )(z + )(z + )(z + ) = 324 A m = m = - 35 B m = - m = - 35 C m = - m = 35 D m = m = 35 2 2 Vấn đề 11 TẬP HỢP CÁC ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC Câu 191 Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn số phức z có phần thực đường thẳng có phương trình: A x = - B x = C x = D x = - Câu 192 Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z + (z ) = là: A Trục hoành B Trục hoành trục tung C Đường phân giác góc phần tư thứ thứ ba D Các đường phân giác gốc tọa độ Câu 193 Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm M (x ; y ) biểu diễn số phức z = x + yi (x ; y Ỵ ¡ ) thỏa mãn z + + 3i = z - - i là: A Đường trịn tâm O bán kính R = B Đường trịn đường kính AB với A (- 1;- 3) B (2;1) C Đường trung trực đoạn thẳng AB với A (- 1;- 3) B (2;1) D Đường thẳng vng góc với đoạn AB A với A(- 1;- 3), B (2;1) Câu 194 Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm M (x ; y ) biểu diễn số phức z = x + yi (x ; y Î ¡ ) z+ i z- i (C ): x + y - = thỏa mãn số thực là: A Đường tròn bỏ hai điểm (0;1) (0;- 1) B Parabol (P ): y = x C Trục hoành D Trục tung bỏ điểm biểu diễn số phức z = i Câu 195 Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn số phức kiện z + 3z + 3z = là: A Đường trịn có tâm I (- 3;0) , bán kính R = B Đường trịn có tâm I (3;0), bán kính R = C Đường trịn có tâm I (- 3;0) , bán kính R = D Đường trịn có tâm I (3;0), bán kính R = Câu 196 Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp điểm biểu diễn số phức kiện (2 - z )(z + i ) số ảo là: z thỏa mãn điều z thỏa mãn điều A Đường trũn cú tõm ổ 1ử I ỗỗ1; ữ , ữ çè ÷ ø bán kính R= B Đường thẳng nối hai điểm A (2;0) B (0;1) C Đường trịn có tâm ỉ 1ư I çç1; ÷ , ÷ çè ÷ ø bán kính R= bỏ hai điểm ìï A (2;0) ï í ïï B (0;1) ỵ D Đường trung trực đoạn thẳng AB với A (2;0) B (0;1) Câu 197 Số phức z thỏa mãn điều kiện sau có tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ đường trịn tâm I (0;1), bán kính R = ? A z - i = B z + = C z - = D z - i = Câu 198 Xét số phức z = x + yi (x ; y Î ¡ ) có tập hợp điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ đường trịn có phương trình (C ): (x - 1)2 + (y - 2)2 = Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w = z + z + 2i A Đường thẳng B Đoạn thẳng C Điểm D Đường tròn Câu 199 Gọi z1 z2 nghiệm phương trình z - z + = Gọi M , N , P điểm biểu diễn z1 , z2 số phức w = x + yi (x ; y Ỵ ¡ ) mặt phẳng tọa độ Khi tập hợp điểm P mặt phẳng phức để tam giác MNP vuông P là: A Đường thẳng có phương trình x - 2x + y - = B Là đường trịn có phương trình (x - 2)2 + y = C Là đường trịn có phương trình (x - 2) + y = không chứa M , N D Là đường trịn có phương trình x - 2x + y - = không chứa M , N Câu 200 Trong mặt phẳng tọa độ, cho số phức z thỏa mãn điều kiện z - + 4i £ Tập hợp điểm biểu diễn số phức w = z + 1- i hình trịn có diện tích S bằng: A S = 19p B S = 12p C S = 16p D S = 25p Câu 201 Cho z , w số phức thỏa mãn z = 1, z - w = Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức w A Hình trịn (C ): x + y £ B Đường tròn (C ): x + y = C Hình tròn (C ): (x - 1) + y £ D Đường tròn (C ): (x - 1) + y £ Câu 202 Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn z - i + z + i = là: 2 y2 = x y2 (E ): + = 4 A Elip (E ): x C Elip + 2 B Elip (E ): x + y2 = D Hình trịn tâm I (0;- 1) , bkính R = Câu 203 (ĐỀ MINH HỌA 2016 – 2017) Cho số phức z thỏa mãn z = Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w = (3 + 4i )z + i đường trịn Tính bán kính r đường trịn A r = B r = C r = 20 D r = 22 Câu 204 Cho số phức z thỏa mãn z - = Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w = (1 + 3i )z + đường trịn Tính bán kính đường trịn A r = B r = C r = D r = 16 Câu 205 Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn iz - + 2i = đường trịn Tìm tọa độ tâm I đường trịn A I (2;1) B I (- 2;- 1) C I (1;2) D I (- 1;- 2) Câu 206 Cho số phức z thỏa mãn z - = Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w với (3 - 2i )w = iz + đường tròn Tìm tọa độ tâm I bán kính r ng trũn ú ổ A I ỗỗỗ ; ÷÷÷, r = B I (- 2;3), r = 13 C è13 13 ø ỉ4 ÷ I ỗỗ ; ữ ,r= ữ ỗố13 13 ứ 13 13 D ổ2 I ỗỗ ;- ữ , r = ữ ỗố ÷ ø Câu 207 Cho số phức z thỏa mãn z = m2 + 2m + , với m tham số thực Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức w = (3 - 4i )z - 2i đường trịn Bán kính nhỏ đường trịn bằng: A B C 20 D 22 Câu 208 Tính tích mơđun tất số phức z thỏa mãn z - = z + + i , đồng thời điểm biểu diễn z mặt phẳng tọa độ thuộc đường tròn tâm I (1;1) , bán kính R = A B C D Câu 209 Có số phức z thỏa mãn z - - 6i = (1 + 2i )z - 1- 12i = 15 ? A B C D Vơ số Câu 210 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để tồn số phức z thỏa mãn điều kiện z.z = z - + i = m Tìm số phần tử S A B C D Vấn đề 12 BÀI TOÁN MIN - MAX TRONG SỐ PHỨC Câu 211 Biết số phức z = x + yi (x ; y Î ¡ ) thỏa mãn điều kiện z - - 4i = z - 2i đồng thời có mơđun nhỏ Tính giá trị biểu thức M = x + y A M = B M = 10 C M = 16 D M = 26 Câu 212 Cho số phức z, w thỏa mãn z + - 2i = z - 4i w = iz + Giá trị nhỏ biểu thức P = w là: A Pmin = B Pmin = 2 C Pmin = D Pmin = Câu 213 Cho số phức z1 = 1+ 3i , z2 = - - 3i Tìm điểm M (x ; y ) biểu diễn số phức z , biết mặt phẳng tọa độ điểm M nằm đường thẳng d : x - y + = môđun số phức w = 3z3 - z2 - 2z1 đạt giá trị nhỏ A ỉ3 M çç ; ÷ ÷ çè5 ÷ ø B C Câu 214 Cho số phức w= z thỏa mãn ổ1 M ỗỗ ; ữ ữ ỗố5 ø÷ z + 1- i = z - 3i D ổ 1ử M ỗỗ- ; ữ ữ ỗố 5 ø÷ Tính mơđun lớn w max số phức z A w max = 10 B w max = C w max = D w max = 10 Câu 215 Xét số phức z số phức liên hợp có điểm biểu diễn M , M ' Số phức z (4 + 3i ) số phức liên hợp có điểm biểu diễn N , N ' Biết MM ' N ' N hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ P = z + 4i - A Pmin = 34 B Pmin = Câu 216 Cho số phức P = w , với w = z - + 2i A Pmin = B z C thỏa mãn Pmin = D Pmin = 13 D Pmin = Pmin = B z + + 2i = z + + 4i C Pmin = Tìm giá trị nhỏ Pmin = Câu 217 Cho hai số phức z1, z2 thỏa mãn z1 - 2i = biểu thức P = z1 - z2 bằng: A P = B P = C P = D P = Câu 218 Cho số phức z1 thỏa mãn z - - z + i = số phức Tìm giá trị nhỏ P = z1 - z2 A z - z + = (z - + 2i )(z + 3i - 1) C Pmin = D Pmin = z2 Pmin = thỏa mãn Giá trị nhỏ z2 - - i = 5 Câu 219 Biết số phức z = x + yi (x ; y Ỵ ¡ ) thỏa mãn đồng thời điều kiện z - (3 + 4i ) = biểu thức P = z + - z - i đạt giá trị lớn Tính z A z = 33 B z = 50 C z = 10 D z = Câu 220 Xét số phức z1, z thỏa mãn điều kiện z - - 4i = Gọi z1, z số phức có mơđun nhỏ mơđun lớn Tính w = z1 + z2 A w = + 8i B w = + 2i C w = + 6i D w = - 8i Câu 221 Xét số phức z thỏa mãn điều kiện (1 + i )z + - 7i = Gọi m, M giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P = z Tính S = M - m A S = 10 B S = C S = 24 D S = - - 3i z + = Gọi m, M giá trị Câu 222 Xét số phức z thỏa mãn điều kiện 2 - 2i nhỏ giá trị lớn biểu thức P = z Tính S = 2020 - M + m A S = 2022 B S = 2016 C S = 2018 D S = 2014 Câu 223 Xét số phức z thỏa mãn z - - 3i = Giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = z + + i là: A 13 + 13 - B 13 + 13 - C D 13 + 13 - Câu 224 Cho số phức z thỏa mãn z số thực w = z số thực Tìm 2+ z giá trị lớn A Pmax = biểu thức P = z + 1- i B Pmax = 2 C Pmax = Pmax Câu 225 Xét số phức z trị lớn z1 A a = - B a = thỏa mãn z2 z ³ Tìm phần ảo C a = D Biểu thức a Pmax = P= z+ i z đạt giá trị nhỏ giá số phức w = z1 + z2 D a = Câu 226 Cho số phức z1 z2 thỏa mãn z1 - = iz - = Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức P = z1 + z A Pmin = - B Pmin = - C Pmin = - D Pmin = + Câu 227 Gọi T tập hợp số phức z thỏa mãn z - i ³ z - £ Gọi z1, z2 Î T số phức có mođun nhỏ lớn Tìm số phức w = z1 + 2z2 A w = 12 - 2i B w = - + 12i C w = - 4i D w = 12 + 4i Câu 228 Cho số phức z thỏa mãn z - + z + = 10 Giá trị lớn nhỏ z là: A 10 B C D 4i Câu 229 Cho số phức z thỏa mãn z + = Gọi M m giá trị lớn z nhỏ | z | Tính S = M + m A S = B S = C S = D S = 13 Câu 230 Cho số phức z thỏa mãn z = Tìm giá trị lớn T = z + + z - A Tmax = B Tmax = 10 C Tmax = D Tmax = Câu 231 Xét số phức z thỏa mãn z = Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = z + - + z Tính S = M + m A S = - B S = + C S = - D S = - Câu 232 Xét số phức z thỏa mãn z = Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A P= P = z2 - z + + z + B P= Câu 233 Xét số phức biểu thức P = A w = B z Tính 26 C thỏa mãn z = z + 3z + z - z + z w = 17 C P= P= M m2 + D 13 16 P= Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ Tính mơđun w = M + mi 15 z = w = D w = 13 Câu 234 Cho số phức z thỏa mãn Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = z + + z - Khi đó: A M = 5, m = B M = 5, m = C M = 5, m = D M = 10, m = Câu 235 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z - = Tìm giá trị lớn biểu thức T = z + i + z - 2- i A Tmax = B Tmax = C Tmax = D Tmax = Câu 236 Xét số phức z1, z thỏa mãn z1 - z = z1 + z2 = Gọi lớn giá trị nhỏ biểu thức P = z1 + z Tính M m M, m giá trị A M = m M = m B C M = m D M = m Câu 237 (ĐỀ CHÍNH THỨC 2016 – 2017) Xét số phức z thỏa mãn z + - i + z - - 7i = Gọi m, M giá trị nhỏ giá trị lớn z - + i Tính P = m + M A P = 13 + 73 C P = + 73 B D + 73 + 73 P= P= Câu 238 Xét số phức z thỏa mãn z + - 2i + z - + i = Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = z + + z - 1- 3i A M = 17 + 5, m = B M = 26 + 5, m = C M = 26 + 5, m = D M = 17 + 5, m = Câu 239 Xét số phức z thỏa mãn z + - 3i + z - - i = 17 Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = z + 1- 2i - z - + i A M = 2, m = B M = 2, m = C M = 2, m = - D M = 2, m = - Câu 240 Xét số phức z thỏa mãn z - + 2i - z + 1- 3i = 34 Tìm giá trị nhỏ biển thức P = z + + i A Pmin = 34 B C Pmin = D Pmin = 13 Pmin = Vấn đề 13 TỔNG HỢP Câu 241 Nếu số phức A B - z Câu 242 Cho số phức w= thỏa mãn C z thỏa mãn z+1 z- A a = B a = Câu 243 Cho hai số phức phức w= z1 + z + z1 z z =1 z1 , z z¹ phần thực D z =1 C a = - thỏa mãn z1 z ¹ = z2 1- z bằng: Xác định phần thực D a = = 1+ z1 z2 ¹ a số phức Tìm phần ảo a số A a = B a = C a = Câu 244 Cho hai số phức z1, z thỏa mãn thức M = z1 + z A M = B M = C M = z1 = 2, z 11 D a = = z1 D M= 3z = Tính giá trị biểu Câu 245 Cho số phức phức A u= z, w khác thỏa mãn z- w = z = w a= - biểu thức B a= C P= z1 , z a số B P = biểu thức D a = thỏa a= z1 ¹ 0, z2 ¹ 0, z1 + z2 ¹ 1 = + z1 + z z1 z 2 P= C z1 , z P= D thỏa mãn điều kiện P= z1 = z = z1 - z = Tính giá trị ổz ổz ửữ ỗ ữ P = ỗỗỗ ữ ữ + ỗỗỗ ữ ữ ữ ỗố z ø è z1 ø÷ A P = + i B P = - 1- i C P = 1- i D P = - Câu 248 Cho số phức z ¹ cho z khơng phải số thực giá trị biểu thức P= Tính giá trị z1 z2 Câu 247 Cho hai số phức A Tìm phần thực z w Câu 246 Cho hai số phức A B P= P= z 1+ z w= z 1+ z số thực Tính C D P = P= Câu 249 Cho số phức z1, z2 , z3 thỏa mãn z1 = z2 = z3 = z1 + z2 + z3 = a Tính giá trị biểu thức P = z1 z + z z3 + z3 z1 theo a A P = 3a B P = 3a C P = a D P = a Câu 250 Cho ba số phức z, z2 , z3 thỏa mãn điều kiện z1 = z = z3 = z1 + z2 + z3 = Tính giá trị biểu thức A = z12 + z22 + z32 A A = B A = C A = - D A = Câu 251 Cho số phức z thỏa mãn z = = z - Tính mơđun số phức w = z + z A w = B w = Câu 252 Cho hai số phức phức z = 3z1 + z2 A z = B z = Câu 253 Cho số phức số phức A w = z z1 , z có C w = thỏa mãn z1 C z = 2018 z = w = z2 D w = D = 3z1 - z = z = số phức thỏa mãn w B w = 2017 C w = 2018 D Tính mơđun số w = 2019 1 + = z w z+ w Tính mơđun Câu 254 Cho hai số phức z1, z thỏa mãn z1 = , z = biểu diễn mặt phẳng uuur uuur phức điểm M , N Biết góc tạo hai vectơ OM ON 30 Tính giá trị biểu thức A A = A= B z1 + z z1 - z C A = 13 A= D A= 13 Câu 255 Cho số phức z thỏa mãn z = Kí hiệu M , m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức (1 + 2i )z - z Tính P = M + m A P = 250 B P = 250 137 C P = 6250 D P = 625 ... 17 S= b số phức b= - Câu 120 Tìm số thực A C x, y B b = - b số phức b = Câu 122 Tìm mơđun số phức A z = B z = Câu 123 Cho số phức A z = 64 B C z = - 3i 1 = + i z 8 Câu 124 Cho ba số phức z1,... Cho số phức tùy ý z ¹ 2015 1007 a a số phức 1007 Xét số phức A C b a= số thực, b số thực số ảo, b số ảo i 2017 - i z- B D a a - z + (z ) b= z3 - z + z + (z ) z- Khi đó: số thực, b số ảo số ảo,... Tìm số phức liên hợp z số phức z = (1 + i )15 A z = - 128 - 128 i B z = - i C z = 128 + 128 i D z = 128 - 128 i 2017 2018 2009 2018 2009 = 10 - 2+ i z Câu 152 Tìm phần thực phần ảo số phức
