(LUẬN văn THẠC sĩ) một số đa thức đặc biệt và tính chất

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN THỊ PHƯỢNG MỘT SỐ ĐA THỨC ĐẶC BIỆT VÀ TÍNH CHẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 download by : skknchat@gmail.com ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - TRẦN THỊ PHƯỢNG MỘT SỐ ĐA THỨC ĐẶC BIỆT VÀ TÍNH CHẤT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS ĐÀM VĂN NHỈ THÁI NGUYÊN - 2017 download by : skknchat@gmail.com i Mục lục Lời cảm ơn iii Mở đầu 1 Đa thức trực giao 1.1 Phương pháp trực giao hóa Gram-Schmidt 1.1.1 Không gian véc tơ Euclid 1.1.2 Phương pháp trực giao hóa Gram-Schmidt 1.2 Đa thức trực giao 1.2.1 Khái niệm đa thức trực giao 1.2.2 Nghiệm thực đa thức trực giao 12 1.3 Đa thức Chebyshev Đa thức Legendre 15 1.3.1 Đa thức Chebyshev 15 1.3.2 Đa thức Legendre 17 Một số đa thức đặc biệt 22 2.1 Hàm sinh thường hàm sinh mũ 22 2.1.1 Vành chuỗi lũy thừa hình thức 22 2.1.2 Hàm sinh thường hàm sinh mũ 24 2.2 Đa thức Bernoulli 25 2.2.1 Đa thức Bernoulli 25 2.2.2 Hàm sinh dãy đa thức Bernoulli 28 2.3 Dãy đa thức (an (x)) 33 download by : skknchat@gmail.com ii 2.3.1 Công thức xác định số hạng dãy đa thức (an (x)) 33 2.3.2 Hàm sinh mũ dãy đa thức (an (x)) 34 2.3.3 Kết dãy đa thức Fibonacci (fn ) 37 2.3.4 Kết dãy đa thức Lucas (ln ) 38 2.4 Vận dụng 39 2.4.1 Xác định số hạng dãy đa thức 39 2.4.2 Xây dựng hệ thức 42 2.4.3 Làm độ phức tạp dãy truy hồi 45 Kết luận 55 Tài liệu tham khảo 57 download by : skknchat@gmail.com iii Lời cảm ơn Trong trình học tập nghiên cứu Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, nhận đề tài nghiên cứu “Một số đa thức đặc biệt tính chất” hướng dẫn PGS TS Đàm Văn Nhỉ Đến nay, luận văn hồn thành Có kết dạy bảo hướng dẫn tận tình nghiêm khắc Thầy Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy gia đình! Tơi xin gửi lờn cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo sau đại học Khoa Toán – Tin Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ trình học tập trường thời gian nghiên cứu hoàn thành luận văn Sự giúp đỡ nhiệt tình thái độ thân thiện thầy, giáo, cán thuộc Phịng Đào tạo, Khoa Tốn – Tin đã để lại lịng ấn tượng tốt đẹp Không biết nói hơn, lần tơi xin trân trọng cảm ơn Tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp thành viên lớp cao học Tốn K9N (Khóa 2015-2017) quan tâm, tạo điều kiện, cổ vũ động viên để tơi hồn thành nhiệm vụ Thái Ngun, ngày tháng năm 2017 Tác giả Trần Thị Phượng download by : skknchat@gmail.com Mở đầu Vào năm 1713 Jacob Bernoulli xét dãy vô hạn số viết thành dạng đơn giản Nhiều kết đạt Bernoulli trình bày sách "Ars conjectandi" Đặc biệt, số kết ông phát qua việc xét tổng lũy thừa số nguyên dương dạng Sp (n) = 1p + 2p + 3p + · · · + np , n ∈ N∗ Ông Sp (n) viết thành đa thức bậc p + n sau: Sp (n) = 1 p 1 p np+1 + np + Anp−1 + Bnp−3 + · · · p+1 2 1 1 ,B =− ,C = , D = − , hệ số 30 42 30 xem số Bernoulli với hệ số hữu tỷ A = Muộn hơn, "L Euler, Methodus generalis summandi progressiones, Comment Acad Sc Petropolitanae, 6(1738)" Euler nghiên cứu 1 độc lập với Bernoulli đưa số hữu tỷ A = , B = − , 30 1 C = , D = − , Vào năm 1748, Euler liên hệ 42 30 tổng vô hạn 1 S(2n) = 2n + 2n + · · · = αn π 2n hệ số hữu tỷ αn chứa dãy số A, B, C, D, Đặc biệt, Euler nhận nhiều kết thú vị số qua hệ số việc Do vậy, để hiểu nghiên cứu biểu diễn hàm tan x, cot x, sin x kỹ số Bernoulli hay Euler phát tiếp tục phát download by : skknchat@gmail.com tính chất dãy số Fibonacci, dãy số Lucas học phương pháp đa thức để mong tìm kiếm tính chất liên quan số hữu tỷ nên luận văn có đặt vấn đề xét số đa thức đặc biệt đa thức trực giao Một vấn đề khác mà luận văn đề cập đến: Đó việc xét số toán đa thức xuất kỳ thi học sinh giỏi Trong hầu hết kì thi học sinh giỏi toán, nhiều đa thức xem tốn khó Hiện tài liệu tham khảo chuyên đề đa thức chưa nhiều chưa sâu đủ để vận dụng giải thi Vì vậy, vấn đề xét số đa thức đặc biệt tính chất liên quan cần thiết cho giáo viên dạy phổ thơng nói chung quan tâm đến đa thức nói riêng Luận văn "Một số đa thức đặc biệt tính chất" trình bày số vấn đề liên quan đến đa thức trực giao, đa thức đặc biệt: Chebyshev, Legendre, Bernoulli, Fibonacci ứng dụng liên quan Mục đích nhằm thể rõ vai trị hữu ích số đa thức đặc biệt số vấn đề đa thức, số học thi học sinh giỏi Luận văn gồm mở đầu, chương kết luận Chương I: Đa thức trực giao Trong chương nhắc lại số khái niệm khơng gian Euclid, phương pháp trực giao hóa Gram - Schmidt, đa thức Chebyshev, Legendre Chương II: Trong chương chúng tơi trình bày đa thức Bernoulli, tiếp dãy đa thức (an (x)) cuối vận dụng vào giải toán kỳ thi học sinh giỏi, toán Olympic quốc tế download by : skknchat@gmail.com Chương Đa thức trực giao Các kết trích dẫn từ tài liệu [1], [2], [4] 1.1 1.1.1 Phương pháp trực giao hóa Gram-Schmidt Khơng gian véc tơ Euclid Định nghĩa 1.1.1 Không gian véc tơ V trường R gọi không gian véc tơ Euclid cặp véc tơ (x, y) ∈ V ta cho tương ứng với số thực, ký hiệu x, y gọi tích vơ hướng, thỏa mãn tính chất: Với x, x′ , y ∈ V a ∈ R ta ln có (1) x, y = y, x (2) x + x′ , y = x, y + x′ , y (3) ax, y = a y, x (4) x, x dấu = xảy x = Định nghĩa 1.1.2 Trong không gian véc tơ Euclid V trường R, hai véc tơ x, y ∈ V gọi trực giao vng góc với ký hiệu x⊥y x, y = Chuẩn hay độ dài véc tơ x định nghĩa download by : skknchat@gmail.com số thực không âm x, x ký hiệu qua |x| Khi |x| = véc tơ x cịn gọi véc tơ trực chuẩn Ví dụ 1.1.3 (i) Khơng gian Rn khơng gian Euclid với tích vơ hướng x, y = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn Trong x = (x1 , x2 , , xn) y = (y1 , y2 , , yn ) (ii) Tập tất dãy số thực vô hạn l2 = {x := (x1 , , xn ); ∞ n=0 x2n < ∞} lập thành khơng gian Euclid vơ hạn chiều với tích vơ hướng x, y = ∞ xn yn n=0 Thật vậy, hội tụ chuỗi ∞ n=0 x2n ∞ n=0 ∞ xn yn suy từ hội tụ chuỗi n=0 yn2 , nên tích vơ hướng hồn tồn xác định Ta dễ dàng kiểm tra tính chất nêu (iii) Khơng gian hàm số thực C[a, b] liên tục đoạn [a, b], a < b, lập thành không gian Euclid vơ hạn chiều với tích vơ hướng b x, y = f (t)g(t)dt a (iv) Nếu F ⊂ E không gian véc tơ không gian Euclid E F khơng gian Euclid với phép nhân vô hướng cảm sinh F 1.1.2 Phương pháp trực giao hóa Gram-Schmidt Để xây dựng sở trực chuẩn, ta sử dụng phương pháp trực giao hóa Gram-Schmidt Giả sử e1 , e2, , en sở khơng download by : skknchat@gmail.com gian véc tơ Euclid V Khi sở trực giao xây dựng phương pháp quy nạp sau: (1) Bước đầu: Lấy f1 = e1 (2) Bước giả sử: Giả sử f1 , , fk xây dựng (3) Bước xây dựng fk+1 : Đặt fk+1 = ek+1 − a1f1 − · · · − ak fk với ek+1 , fi = , i = 1, , k Cơng thức tính hệ số suy từ fi , fi điều kiện fk , fi = Sau xây dựng xong f1 , , fn ta chuẩn hóa xk = k = 1, 2, , n 1.2 1.2.1 fk với |fk | Đa thức trực giao Khái niệm đa thức trực giao Với trường K ta xét vành R[x] = {f = f (x) = n s=0 as xs |n ∈ N, as ∈ R} Xây dựng tập V sau: Với f, g ∈ R[x] a ∈ R có f, g ∈ V, f + g ∈ V, af ∈ V Khi V khơng gian véc tơ R hay R-không gian véc tơ Giả sử ω(x) hàm xác định dương liên tục đoạn [a, b], a < b Định nghĩa tích V với hàm trọng số ω(x) qua: b f, g = f gω(x)dx a Mệnh đề 1.2.1 Với đa thức f, g, h ∈ V, a, b ∈ K, ta có hệ thức f, g af + bg, h = g, f = a f, h + b g, h download by : skknchat@gmail.com download by : skknchat@gmail.com 46 Bài giải Xét hàm sinh f (x) = ∞ an xn dãy (an ) n=0 Khi có khai triển f (x) = a0 + (5a0 + 0.1)x + (5a1 + 1.2)x2 + (5a2 + 2.22)x3 + · · · Như f (x) = 5xf (x) + + x 1(2x) + 2(2x)2 + 3(2x)3 + · · · suy f (x) = 1 1 11 + − − 5x − 2x (1 − 2x)2 Biểu diễn thành chuỗi lũy thừa 11 1 17 1 + − − 5x − 2x (1 − 2x)2 11 + 5x + 52 x2 + 53 x3 + · · · + 5nxn + · · · = 1 + 2x + 22 x2 + 23x3 + · · · + 2n xn + · · · + − + 2(2x) + 3(2x)2 + 4(2x)3 + · · · + (n + 1)(2x)n + · · · f (x) = Từ suy an = 11.5n − (3n + 2).2n với n Bài toán 2.4.11 Dãy số (an ) xác định sau: a1 = a1 a2 an−1 + + + ··· + , n > Xác định công thức an = n! (n − 1)! (n − 2)! 1! −1 F (n)(0) , F (x) = x với n đóng f (x) an = n! e −2 Bài giải Đặt a0 = Xét hàm sinh f (x) = ∞ an xn Khi n=0 f (x)(ex − 1) = a0 + a1 x + a2 x + · · · + an x n + · · · 1 x + · · · + xn + · · · 1! n! = f (x) − Vậy f (x) = an = −1 Dựa vào Cơng thức khai triển Taylor ta có ex − F (n)(0) −1 , F (x) = x với n n! e −2 download by : skknchat@gmail.com 47 Bài toán 2.4.12 Dãy a1 = 1, an = −1an−1 + 2an−2 − · · · + (−1)n−1 (n − 1)a1 với số nguyên n Khi ta có (1) a2 = −1, a3 + 3a2 = 0, an+2 + 3an+1 + an = 0, n (2) Tìm dư phép chia an cho (3) Xác định an theo n Hãy có nhiều vô hạn số hạng thuộc dãy Fibonacci xuất dãy (an ) 2n (4) k=1 2n k ak+1 = F2n−1 (5) an+1 an−1 = a2n − với n Bài giải (1) Đặt f (x) = a1x + a2 x2 + · · · Tích hai chuỗi lũy thừa F (x) = f (x) − 1x + 2x2 − 3x3 + · · · = −1a1 x2 + (−1a2 + 2a1 )x3 + (−1a3 + 2a2 − 3a1 )x4 + · · · = a2 x2 + a3x3 + a4x4 + a5 x5 + · · · = f (x) − x Từ = − x + x2 − x3 + x4 − x5 + · · · suy chuỗi lũy thừa sau: 1+x −1 = −1 + 2x − 3x2 + 4x3 − 5x4 + 6x5 − · · · Do ta (1 + x) −x = −1x + 2x2 − 3x3 + 4x4 − 5x5 + · · · Thế vào F (x) có (1 + x) f (x) −x (1 + x)2 = f (x) − x hay f (x) x2 + 3x + = x3 + 2x2 + x Từ đồng a1x + a2x2 + a3x3 + · · · x2 + 3x + = x3 + 2x2 + x suy a1 = 1, a2 + 3a1 = 2, a3 + 3a2 = 0, an+2 + 3an+1 + an = 0, n (2) Ta có a3 ≡ 0( mod 3) Vì an+2 + 3an+1 + an = nên an+2 + an ≡ 0( mod 3) n download by : skknchat@gmail.com 2 Vậy, với 48 số k có    a ≡ 0( mod 3)   2k+1 a4k+2 ≡ a2 ≡ 2( mod 3)    a ≡ 1( mod 3) 4k x3 + 2x2 + x 3x + = x − + có x2 + 3x + x2 + 3x + 1 u2 v2 3x + √ =x−1+ √ √ − f =x−1+ 3− 5 x−u x−v 3+ x+ x+ 2 √ √ −3 − −3 + v u với u = ,v = Vậy f = x − + √ − 2 vx − ux − 1 u v − uv = nhận f = x − + √ − ux − vx (3) Từ cơng thức đóng f = Viết thành chuỗi v u f = x − + √ (1 + ux + u2 x2 + u3 x3 + · · · ) − √ (1 + vx + v x2 + v x3 + · · · ) 5 un−1 − v n−1 √ nhận công thức xác định an = hay √ √ − 2n−2 + 2n−2 − un−1 − v n−1 n−1 2 √ √ = (−1) an = 5 Như an = (−1)n−1 F2n−1 với n (4) Vì 2n k=1 2n k ak+1 2n k=1 (1 + u)2n − (1 + v)2n √ u −v ]= nên √ √ − 2n + 2n − 2 √ = F2n−1 = 2n √ = k=1 2n ak+1 k 2n k k k (5) Ta có a2 = −1, a3 = an+2 = −3an+1 − an với n với bn+1 = an, n Xét dãy (bn ) Khi    a = 3, b3 = −1   an+1 = −3an − bn    b = a , n n+1 n download by : skknchat@gmail.com 49 Xét an+1 + xb√n+1 = (−3 + x)an − bn Chọn x thỏa mãn (−3 + x)x = −1 3± hay x = ta có an+1 + xbn+1 = (−3 + x)(an + xbn ) = · · · = (−3 + x)n−2 (a3 + xb3 ) Vậy √  +  an+1 + an = 2√  3− a an = n+1 + √ 3+ −3+ 2√ 3− −3+ n−2 n−2 √ 3+ 3− 2√ 3− 3− Nhân hai phương trình, vế với vế, ta nhận a2n+1 +3anan+1 +a2n −1 = Tương tự a2n−1 + 3an an−1 + a2n − = với n với n Từ hai phương trình suy an+1, an−1 nghiệm phương trình x2 + 3an x + a2n − = nhận an+1an−1 = a2n − 1, n Bài toán 2.4.13 Dãy (an ) xác định qua a1 = an = 1an−1 + 2an−2 + · · · + (n − 1)a1 với số nguyên n Chứng minh (1) a3 = 3a2 an+2 − 3an+1 + an = với số nguyên n xác định an theo n Từ suy a2k+1 chia hết cho k (2) an = F2n−1, F0 = F1 = 1, Fn+2 = Fn+1 + Fn , n (3) 2n k=1 2n k ak+1 chia hết cho 5n (4) (a1 a3 + 1)(a2 a4 + 1)(a3 a5 + 1) (an−1 an+1 + 1) = n i=1 a2i Bài giải (1) Xét f (x) = a1x + a2 x2 + · · · + an xn + · · · Khi ta có f (x)(1x + 2x2 + · · · + nxn + · · · ) = f (x) − x Từ x = + x + x2 + x3 + · · · ta suy 1x + 2x2 + · · · = 1−x (x − 1)2 x2 f (x)(x2 − 3x + 1) = x3 − 2x2 + x Vậy f (x) = x + x − 3x + download by : skknchat@gmail.com 50 Nhân so sánh hệ số xn , n hai vế, nhận a1 = 1, a2 = 1, a3 = 3a2 , an+2 − 3an+1 + an = với số nguyên n x3 − 2x2 + x 3x − Từ công thức đóng f (x) = = x+1+ có phương x − 3x + x − 3x + trình 3x − b2 a2 √ = x+1+ √ √ f (x) = x + + − 3− 5 x−a x−b 3+ x− x− 2 √ √ 3+ 3− b a ,b = Ta có f (x) = x + + √ − với a = 2 bx − ax − ab = a b − Như f (x) = x + + √ − ax − bx Viết thành chuỗi b a f (x) = x+1+ √ (1+ax+a2x2 +a3x3 +· · · )− √ (1+bx+b2x2 +b3x3 +· · · ) 5 an−1 − bn−1 √ nhận công thức xác định an = , n Từ a3 = 3a2 an+2 − 3an+1 + an = với số nguyên n a2k+1 chia hết cho k an−1 − bn−1 √ (2) Ta có an = (3) Vì 2n k=1 2n k 2n k=1 √ 1+ = 2n ak+1 = √ k=1 2n ak+1 = 5n k √ − 2n−2 − √ 2n−2 = F2n−1 (1 + a)2n − (1 + b)2n √ nên √ √ 3− n 3+ n − 2 √ = 5n an−1 2n k Như vậy, ta nhận kết quả: ak − bk ] = 2n k=1 2n k ak+1 chia hết cho 5n (4) Ta có a2 = 1, a3 = an+2 = 3an+1 − an với n Xét dãy (bn ) với bn+1 = an , n suy 2 download by : skknchat@gmail.com 51 Khi    a = 3, b3 =   an+1 = 3an − bn    b = a , n n+1 n Xét an+1 +√xbn+1 = (3 + x)an − bn Chọn x thỏa mãn (3 + x)x = −1 hay −3 ± x= ta có an+1 + xbn+1 = (3 + x)(an + xbn ) = · · · = (3 + x)n−2(a3 + xb3 ) Vậy √ √ √  n−2 −3 + −3 + −3 + 5  an+1 + an = + 3+ 2√ 2√ 2√ n−2  −3 − −3 − −3 − 5 a an = + 3+ n+1 + 2 Nhân hai phương trình, vế với vế, ta nhận a2n+1 −3an an+1 +a2n −1 = với n Tương tự a2n−1 − 3an an−1 + a2n − = với n Từ hai phương trình suy an+1 , an−1 hai nghiệm phương trình x2 − 3anx + a2n − = nhận an+1 an−1 = a2n − với n Từ đồng thức an+1 an−1 + = a2n với n 4 ta suy tích sau T = (a1 a3 + 1)(a2 a4 + 1)(a3 a5 + 1) (an−1 an+1 + 1) T = 4.a23a24 a2n n =4 i=1 a2i Bài toán 2.4.14 Dãy (an ) xác định qua a0 = an = 1.2.an−1 + 2.3.an−2 + · · · + (n − 1)na1 + n(n + 1)a0 với số nguyên n số nguyên n Chứng minh −an+3 + 5an+2 − 3an+1 + an = với −an+3 − an+2 − an+1 ≡ a0 + a1 + a2 + · · · + an+1 + an+2( mod 3) Bài giải Xét f (x) = a0 + a1 x + a2x2 + · · · + anxn + · · · nhận f (x)(1.2.x + 2.3.x2 + · · · + n.(n + 1).xn + · · · ) = f (x) − download by : skknchat@gmail.com 52 x2 3 Từ = + x + x + x + · · · ta suy 1x + 2x + · · · = 1−x (x − 1)2 Lấy đạo hàm hai vế có 1.2.x + 2.3.x2 + · · · = diễn −2x nhận biểu (x − 1)3 f (x)(x3 − 3x2 + 5x − 1) = x3 − 3x2 + 3x − Nhân so sánh hệ số xn hai vế, ta nhận mối quan hệ bảng hệ thức sau:    a0 =       −a1 + 5a0 =     −a + 5a − 3a = −3   −a3 + 5a2 − 3a1 + a0 = suy       ··· = ···     −a n+3 + 5an+2 − 3an+1 + an = Cộng hàng dọc    a0 ≡ 1( mod 3)       −a1 + 2a0 ≡ 0( mod 3)     −a + 2a ≡ 0( mod 3)   −a3 + 2a2 + a0 ≡ 1( mod 3)       ··· = ···     −a n+3 + 2an+2 + an ≡ 0( mod 3) −an+3 + an+2 + an+1 ≡ a0 + a1 + a2 + · · · + an( mod 3) Bài toán 2.4.15 Dãy (an ) xác định qua a1 = an = 1.2.an−1 − 2.3.an−2 + · · · + (−1)n (n − 1).n.a1 với số nguyên n Chứng minh rằng, n 2 ta ln có hệ thức n an+3 + an+2 + 3an+1 + an = an+3 + 2an+2 + 5an+1 + ak = k=1 Bài giải Xét f (x) = a1 x + a2x2 + · · · + an xn + · · · Ta nhận f (x)(1.2.x − 2.3.x2 + · · · + (−1)n+1 n.(n + 1).xn + · · · ) = f (x) − x 1 Từ = − x + x2 − x3 + · · · ta suy −1 + 2x − 3x2 + · · · = − 1+x (x + 1)2 Lấy đạo hàm hai vế có 1.2.x − 2.3.x2 + · · · = 2x (x + 1)3 download by : skknchat@gmail.com 53 ta nhận x4 + 3x3 + 3x2 + x f (x) = x + 3x2 + x + Từ f (x)(x3 + 3x2 + x + 1) = x4 + 3x3 + 3x2 + x ta nhân so sánh hệ số xn , n hai vế, a1 = 1, a2 = 2, a3 = −2, a4 + a3 + 3a2 = 0, an+3 + an+2 + 3an+1 + an = với số nguyên n Biểu diễn mối quan hệ bảng hệ thức:    a1 =       a2 + a1 =       a3 + a2 + 3a1 =       a4 + a3 + 3a2 + a1 =       a + a4 + 3a3 + a2 =   a6 + a5 + 3a4 + a3 =      ··· = ···       an + an−1 + 3an−2 + an−3       an+1 + an + 3an−1 + an−2       an+2 + an+1 + 3an + an−1     a n+3 + an+2 + 3an+1 + an =0 =0 =0 = n Cộng vế với vế, ta nhận an+3 + 2an+2 + 5an+1 + ak = k=1 Bài toán 2.4.16 Dãy (an ) xác định qua a1 = an = 1.2.an−1 + 2.3.an−2 + · · · + (n − 1).n.a1 với số nguyên n Chứng minh đồng thức an+3 − 4an+2 − an+1 = n ak n k=1 Bài giải Xét f (x) = a1 x + a2x2 + · · · + an xn + · · · Khi có hệ thức f (x)(1.2.x + 2.3.x2 + · · · + n.(n + 1).xn + · · · ) = f (x) − x download by : skknchat@gmail.com 54 x2 3 Từ = + x + x + x + · · · suy 1x + 2x + · · · = 1−x (x − 1)2 Lấy đạo hàm hai vế có 1.2.x + 2.3.x2 + · · · = −2x2 Vậy f (x) = x + x − 3x2 + 5x − −2x (x − 1)3 Từ f (x)(x3 − 3x2 + 5x − 1) = x4 − 3x3 + 3x2 − x ta nhân so sánh hệ số xn, n nguyên n hai vế, nhận an+3 = 5an+2 − 3an+1 + an với số Biểu diễn mối quan hệ bảng hệ thức sau đây:    −a1 = −1       −a2 + 5a1 =       −a3 + 5a2 − 3a1 = −3       −a4 + 5a3 − 3a2 + a1 =       −a + 5a4 − 3a3 + a2 =   −a6 + 5a5 − 3a4 + a3 =      ··· = ···       −an + 5an−1 − 3an−2 + an−3 =       −an+1 + 5an − 3an−1 + an−2 =       −an+2 + 5an+1 − 3an + an−1 =     −a n+3 + 5an+2 − 3an+1 + an = Cộng vế với vế nhận −an+3 + 4an+2 + an+1 + Vậy an+3 − 4an+2 − an+1 = n ak = k=1 n ak k=1 Bài toán 2.4.17 Xét dãy a1 = 1,an = 12an−1 + 22an−2 + · · · + (n − 1)2 a1 a = 4a − 3, a = 4a − 2a + 3 với số nguyên n Khi a = 4a − 2a + a , n n+3 n+2 n+1 download by : skknchat@gmail.com n 55 Bài giải Đặt f (x) = a1 x + a2x2 + a3 x3 + · · · Khi tích hai chuỗi f (x) 12 x + 22x2 + 32 x3 + · · · = 12 a1x2 + (12 a2 + 22 a1)x3 + (12 a3 + 22 a2 + 32 a1 )x4 + · · · = a2 x2 + a3 x3 + a4x4 + a5x5 + · · · = f (x) − x Từ = + x + x2 + x3 + x4 + x5 + · · · ta suy chuỗi lũy thừa 1−x = + 2x + 3x2 + 4x3 + 5x4 + 6x5 + · · · Do nhận (1 − x) x = 1x + 2x2 + 3x3 + 4x4 + 5x5 + 6x6 + · · · có biểu diễn (1 − x) x(1 + x) = 12x + 22 x2 + 32x3 + 42 x4 + 52x5 + 62 x6 + · · · Như (1 − x) f (x) x(1 + x) = f (x)−x hay f (x) x3 −2x2 +4x−1 = x4 −3x3 +3x2 −x (1 − x) Từ đồng a1x+a2 x2 +a3 x3 +· · · x3 −2x2 +4x−1 = x4 −3x3 +3x2 −x suy a3 = 4a2 − 2a1 + 3, an+3 = 4an+2 − 2an+1 + an với n download by : skknchat@gmail.com 56 Kết luận Luận văn "Một số đa thức đặc biệt tính chất" giải vấn đề sau: (1) Không gian véc tơ Euclid phương pháp trực giao hóa Gram Schmidt (2) Khái niệm đa thức trực giao với nghiệm đa thức trực giao tương ứng (3) Trình bày đa thức Chebyshev Legendre (4) Đa thức Bernoulli (5) Dãy đa thức (an(x)) vận dụng để xét đa thức Fibonacci Lucas (6) Vận dụng giải toán sơ cấp download by : skknchat@gmail.com 57 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Lê Tuấn Hoa (2008), Đại số tuyến tính qua ví dụ tập, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Văn Mậu (2004), Đa thức phân thức hữu tỷ, Nhà xuất giáo dục [3] Trần Tuấn Nam, Đàm văn Nhỉ, Lưu Bá Thắng (2015), Một số ứng dụng đại số đại vào giải toán sơ cấp, Nhà xuất Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh Tiếng Anh [4] B Djordjevic and V Milovanovic (2014), Special Classes of Polynomials, University of Niˇs [5] V Prasolov (2004), Polynomials, Springer-Verlag Berlin Heidelberg download by : skknchat@gmail.com ... pháp đa thức để mong tìm kiếm tính chất liên quan số hữu tỷ nên luận văn có đặt vấn đề xét số đa thức đặc biệt đa thức trực giao Một vấn đề khác mà luận văn đề cập đến: Đó việc xét số toán đa thức. .. phổ thơng nói chung quan tâm đến đa thức nói riêng Luận văn "Một số đa thức đặc biệt tính chất" trình bày số vấn đề liên quan đến đa thức trực giao, đa thức đặc biệt: Chebyshev, Legendre, Bernoulli,... (1) Các đa thức trực giao tồn (2) Các đa thức monic trực giao bậc n xác định cho số tự nhiên n (3) Đa thức p = đa thức trực giao p, q = cho đa thức q với deg q < deg p (4) Đa thức p = đa thức trực