2 Một số đa thức đặc biệt
2.1.1 Vành các chuỗi lũy thừa hình thức
Mục này tập trung nghiên cứu vành các chuỗi lũy thừa hình thức một biến trên một trường. Ta cũng có thể xây dựng vành các chuỗi lũy thừa hình thức qua dãy như đã làm ở Chương 1; nhưng chúng tôi chọn cách xây dựng chuỗi như dưới đây để người đọc tiện theo dõi. Ký hiệu
K[[x]] = {a0 +a1x+a2x2 +· · · | ai ∈ K} = ∞ X i=0 aixi | ai ∈ K . Mỗi phần tử f ∈ K[[x]], f = P∞ i=0
aixi với x0 = 1, được gọi là một chuỗi lũy
thừa hình thứccủa biến xvới các hệ tử thuộc K. Để biếnK[[x]] thành một
vành giao hoán có đơn vị ta cần các phép toán sau. Cho f = P∞
i=0
aixi,
g = P∞
i=0
bixi
i = 0,1, . . . và f +g = P∞ i=0 (ai+bi)xi, f g = P∞ i=0 ( i P j=0 ai−jbj)xi.
Mệnh đề 2.1.1. Với các phép toán trên, K[[x]] lập thành một vành giao
hoán có đơn vị.
Chứng minh. Việc kiểm tra các tiên đề của vành là dễ dàng và tất cả
các tiên đề hiển nhiên thỏa mãn.
Định lý 2.1.2. Chuỗi lũy thừa hình thức f = P∞
i=0
aixi là một ước của đơn
vị khi và chỉ khi a0 6= 0.
Chứng minh. Chuỗi lũy thừa hình thức f(x) = P∞
i=0
aixi là một ước của đơn vị thuộc K[[x]] khi và chỉ khi tồn tại chuỗi lũy thừa hình thức
g(x) = P∞
i=0
bixi sao cho f(x)g(x) = 1.
Điều này tương đương với hệ a0b0 = 1,
i
P
j=0
ai−jbj = 0 cho mọi i = 1,2, . . . .
Coi các bj là ẩn và hệ giải được khi và chỉ khi a0 6= 0.
Chuỗi g(x) được gọi là nghịch đảo của f(x) và đôi khi viết g(x) = 1
f(x).
Chuỗi f(x) được gọi là chuỗi hữu tỉ nếu có p(x), q(x) ∈ K[x] để
f(x) = p(x)
q(x) hay f(x)q(x) = p(x) trongK[[x]].Nếu q(0) = 1, bậc của f(x)
là degf(x) := degp(x)−degq(x). Nếu tồn tại hàm giải tích, đại số hoặc siêu việt, F(x) sao cho f(x) = F(x) với x thỏa mãn điều kiện để chuỗi
f(x) = P∞
i=0
aixi hội tụ tới F(x) thì F(x) được gọi là công thức đóng của chuỗi f(x). Định nghĩa 2.1.3. Giả sử f(x) = P∞ i=0 aixi. Tổng f(α) = P∞ i=0 aiαi được gọi
là một tổng vô hạn. Nếu tồn tại lim
n→+∞
n
P
i=0
được gọi là giá trị của chuỗi lũy thừa hình thức f(x) = P∞
i=0
aixi tại x= α.
Đôi khi A còn được gọi là giá trị của tổng vô hạn P∞
i=0
aiαi.
Trong vành K[[x]] người ta quan tâm tới tính hữu tỉ và công thức đóng của chuỗi để nghiên cứu tổng (nếu nó tồn tại) hay các hệ số của biểu diễn chuỗi. Khi nào cần tính một tổng cụ thể ta sẽ xét tới tính hội tụ
và tính giá trị của chuỗi. Đạo hàm hình thức của phần tử f = P∞
i=0
aixi là
f′ = P∞
i=1
iaixi−1. Với một hàm f(x) bất kỳ xác định tại x= a, ta biểu diễn nó qua chuỗi lũy thừa hình thức f(x) = P∞
n=0
f(n)(a)
n! (x− a)n để có thể coi nó như một phần tử thuộc K[[x]] và đôi khi ta còn coi hàm này như một chuỗi lũy thừa hình thức khi không quan tâm đến tính hội tụ của chuỗi.