Dưới vi phân suy rộng
Dưới vi phân suy rộng chính quy và bán chính quy 8
Hàm f : X → R được gọi là có dưới vi phân suy rộng chính quy trên
∂ ∗ f(x) ⊂X ∗ tạixnếu ∂ ∗ f(x) là đóng yếu ∗ , với mỗiv ∈ X, f + (x, v) = sup x ∗ ∈∂ ∗ f (x) hx ∗ , vi. Định nghĩa 1.5.
Hàmf được gọi là có dưới vi phân suy rộng chính quy dưới∂ ∗ f(x) ⊂X ∗ tạixnếu ∂ ∗ f(x) là đóng yếu ∗ và với mỗiv ∈ X, f − (x, v) = inf x ∗ ∈∂ ∗ f (x) hx ∗ , vi.
Rõ ràng, mọi dưới vi phân suy rộng chính quy trên (dưới) củaf tạixlà dưới vi phân suy rộng của f tạix. Định nghĩa 1.6.
Hàmf được gọi là có dưới vi phân suy rộng bán chính quy trên
∂ ∗ f(x) ⊂X ∗ tạixnếu ∂ ∗ f(x) là đóng yếu ∗ và với mỗiv ∈ X, f + (x, v) ≤ sup ξ∈∂ ∗ f (x) hξ, vi (∀v ∈ X).
Mệnh đề sau cho ta thấy mối liên hệ giữa tính khả vi và tính chính quy.
Hàm f : X → Rkhả vi Gâteaux tại x 0 nếu và chỉ nếu f là khả vi theo phương tạix0 và f có một dưới vi phân suy rộng chính quy trên và dưới tại x0
Nếu f là một khả vi Gâteaux tại x0, thì khả vi theo phương và đạo hàm Gâteaux {f'(x0)} là một dưới vi phân suy rộng chính quy của f tại x0.
Ngược lại, nếuf là khả vi theo phương tạix 0 và nếu∂ ∗ f(x 0 )là một dưới vi phân suy rộng chính quy trên và dưới, thì với mỗiv ∈ X, f 0 (x 0 , v) =f − (x 0 , v) = inf x ∗ ∈∂ ∗ f (x) hx ∗ , vi
Do đó,∂ ∗ f(x 0 )là một tập điểm vàf khả vi Gâteaux tại x 0
Quy tắc tính dưới vi phân suy rộng
Giả sử hàmf : X →Rcó dưới vi phân suy rộng∂ ∗ f(x)tạix ∈ X Nếu f đạt cực trị tại xthì 0∈ co(∂ ∗ f(x)).
Giả sửf đạt cực tiểu tại x Khi đó, với mỗiv ∈ X, f − (x, v) ≥0.
Hàm φ :X →R được định nghĩa bởi φ(v) = sup x ∗ ∈∂ ∗ f (x) hx ∗ , vi, là một hàm dưới tuyến tính và nửa liên tục dưới Theo phân tích lồi, với mỗi v ∈ X, ta có φ(v) ≥ 0 nếu và chỉ nếu 0 ∈ ∂φ(0) Điều này cho thấy rằng sup x ∗ ∈∂ ∗ f (x) hx ∗ , vi ≥ 0, vì ∂ ∗ f(x) là dưới vi phân suy rộng của f tại x.
Mặt khác, nếuf đạt cực đại tại xthì với mỗiv ∈ X, inf x ∗ ∈∂ ∗ f (x) hx ∗ , vi ≤ f + (x, v) ≤0.
Như vậy, với mỗi v ∈ X, sup x ∗ ∈∂ ∗ f (x) hx ∗ , vi ≥ 0.
Do đó ta có điều cần chứng minh.
Giả sử ∂ * f(x) và ∂ * f(x) tương ứng là các dưới vi phân suy rộng trên và dưới của hàm f tại điểm x Nếu λ > 0, thì λ∂ * f(x) sẽ là một dưới vi phân suy rộng trên của hàm λf tại x Ngược lại, nếu λ < 0, λ∂ * f(x) cũng là một dưới vi phân suy rộng trên của hàm λf tại x.
Chứng minh Điều này suy ra từ định nghĩa
Giả sử các hàm f, g: X → R có các dưới vi phân suy rộng ∂ * f(x) và ∂ * g(x) tại điểm x, trong đó một trong hai dưới vi phân này là chính quy Khi đó, tổng ∂ * f(x) + ∂ * g(x) sẽ là dưới vi phân suy rộng của hàm f + g tại điểm x.
Giả sử ∂ ∗ g(x) là dưới vi phân suy rộng chính quy trên của g tại x Khi đó, với mỗiv ∈ X,
≤ sup x ∗ ∈∂ ∗ f (x) hx ∗ , vi+ sup y ∗ ∈∂ ∗ g(x) hy ∗ , vi.
Vì vậy ta có kết luận cần chứng minh.
Quy tắc sau đây cho ta một kết quả mạnh hơn quy tắc trước nhưng với điều kiện khả vi.
Nếu \( \partial^* f(x) \) là dưới vi phân suy rộng chính quy trên \( X \) và \( g : X \to \mathbb{R} \) khả vi Gâteaux tại \( x \) với đạo hàm \( g'(x) \), thì \( \partial^* f(x) + \{g'(x)\} \) là dưới vi phân suy rộng chính quy trên của \( f + g \) tại \( x \).
Chứng minh. Điều đó suy ra từ các đẳng thức sau:
= sup x ∗ ∈∂ ∗ f (x) hx ∗ , vi+hg 0 (x), vi.
Cho I = {1,2}, x 0 ∈ X và với mỗi i ∈ I, giả sử f i : X → R là một hàm liên tục Hàmh :X →Rxác định bởi h(x) = max{f 1 (x), f 2 (x)}. Đặt
Với mỗii ∈ I, nếuf i có dưới vi phân suy rộng trên∂ ∗ f i (x 0 )tạix 0 thì
∂ ∗ f i (x 0 ) là một dưới vi phân suy rộng trên củah tạix0.
Nếu f1(x0) > f2(x0) thì I(x0) = {1} và h(x) = f1(x) với mỗi x trong lân cận củax 0 Do đó, h − (x 0 , v) =f − (x 0 , v) ≤ sup x ∗ ∈∂ ∗ f 1 (x) hx ∗ , vi.
∂ ∗ h(x 0 ) =∂ ∗ f 1 (x 0 ) là một dưới vi phân suy rộng trên củah tạix 0
∂ ∗ h(x 0 ) =∂ ∗ f 2 (x 0 ) là một dưới vi phân suy rộng trên củah tạix 0 Bây giờ giả thiết rằng f 1 (x 0 ) = f 2 (x 0 ) Khi đó, h(x 0 ) = f 1 (x 0 ) =f 2 (x 0 ), và với mỗiv ∈ X, h − (x 0 , v)
= lim inf t↓0 max f1(x0 +tv), f2(x0 +tv) −h(x0) t
= lim inf t↓0 max f 1 (x 0 +tv)−f 1 (x 0 ) t , f 2 (x 0 + tv)−f 2 (x 0 ) t
= max lim inf t↓0 f 1 (x 0 +tv)−f 1 (x 0 ) t ,lim inf t↓0 f 2 (x 0 +tv)−f 2 (x 0 ) t
Do đó,∂ ∗ f1(x0)∪∂ ∗ f2(x0) là dưới vi phân suy rộng trên củah tạix0.
Định lý giá trị trung bình cho dưới vi phân suy rộng 13
Giả sử a, b ∈ X và f : X → R là một hàm với thu hẹp f| [a,b] hữu hạn và liên tục Nếu với mỗi x ∈ (a, b), ∂ ∗ f(x) và ∂ ∗ f(x) là các dưới vi phân suy rộng trên và dưới của f, thì tồn tại c ∈ (a, b) cùng với một dãy {x ∗ k} ⊂ co(∂ ∗ f(c)) ∪ co(∂ ∗ f(c)) sao cho f(b) − f(a) = lim k→∞ hx ∗ k , b − ai.
Khi đó,g liên tục trên[0,1] vàg(0) = g(1) = 0 Như vậy, tồn tạiγ ∈ (0,1) sao chog đạt cực trị tạiγ Đặt c = γb+ (1−γ)a.
Giả sửg đạt cực tiểu tạiγ Khi đó, điều kiện cần đểγ là cực tiểu là: Với mỗi v ∈ R, g − (γ, v) ≥ 0.
. Khi đó, bằng cách đặtv = 1 vàv = −1, ta có các bất đẳng thức sau:
Bởi vì ∂ ∗ f(c) là một dưới vi phân suy rộng trên củaf tạic, ta nhận được inf z ∗ ∈∂ ∗ f (c) hz ∗ , b−ai ≤ f(b)−f(a) ≤ sup z ∗ ∈∂ ∗ f (c) hz ∗ , b−ai.
Khi đó, từ bất đẳng thức trên suy ra tồn tại dãy{x ∗ k } ⊂ co(∂ ∗ f(c)) thỏa mãn f(b)−f(a) = lim k→∞hx ∗ k , b −ai.
Mặt khác, nếu g đạt cực đại tại γ thì cũng lí luận tương tự như trên ta nhận được kết luận của định lí.
Điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu Pareto
Giả sử f, g, h tương ứng là các ánh xạ từ không gian Banach X vào
R m, R n, R l và C là tập con của X, với các hàm f, g, h được định nghĩa như sau: f = f(f1, , fm), g = (g1, , gn), h = (h1, , hl), trong đó f1, , fm, g1, , gn, h1, , hl là các hàm giá trị thực mở rộng xác định trên X Để đơn giản hóa, ta đặt I = {1, , n}, J = {1, , m} và L = {1, , l} Bài toán tối ưu đa mục tiêu được xét như sau: tối thiểu hóa f(x) với các ràng buộc g_i(x) ≤ 0 cho i ∈ I, h_j(x) = 0 cho j ∈ L, và x thuộc C.
Kí hiệuM là miền chấp nhận được của bài toán (MP)
M = {x ∈ C : g i (x) ≤ 0, i ∈ I, h j (x) = 0, j ∈ L} và I(x) = {i ∈ I : g i (x) = 0} Định nghĩa 1.7: Điểm x ∈ M được gọi là cực tiểu Pareto (cực tiểu yếu) địa phương của bài toán (MP) nếu tồn tại số δ > 0 sao cho không tồn tại x ∈ M ∩ B(x;δ) thỏa mãn f k (x) ≤ f k (x) (∀k ∈ J) và f s (x) < f s (x) với một s ∈ J, trong đó B(x;δ) ký hiệu là hình cầu mở tâm x bán kính δ.
Nhắc lại: Nón tiếp liên của tậpC ⊂ X tạix∈ C được định nghĩa như sau:
K(C, x) v ∈ X :∃v n → v,∃t n ↓ 0sao cho x+t n v n ∈ C, ∀n Nón các phương tuyến tính dãy của C tạix∈ C được định nghĩa bởi:
Chú ý rằng cả hai nón này đều khác∅và
Với tậpA ⊂ X nón cực củaAđược xác định bởi
A 0 ξ ∈ X ∗ : hξ, vi ≤ 0, ∀v ∈ A Với x ∈ X vàs ∈ J, ta đặt
Q s (x) x ∈ C :f k (x) ≤f k (x) (∀k ∈ J, k 6= s), gi(x) ≤ 0 (∀i ∈ I(x)), hj(x) = 0 (∀j ∈ L) Nếu hj là khả vi Dini tạixvới mọij ∈ L, ta đặt
C(Qs(x);x) v ∈ Z(C;x) : f k − (x;v) ≤ 0 (∀k ∈ J, k 6= s), g i − (x;v) ≤0 (∀i ∈ I(x)), h 0 j (x;v) = 0 (∀j ∈ L) Trước hết chỉ ra mối quan hệ giữaZ (Q s (x) ;x) vàC(Q s (x) ;x).
Giả sửx ∈ M vàh j khả vi Dini tạixvới mọi j ∈ L Khi đó, vớis ∈ J,
Với v ∈ Z(Qs(x);x), tồn tại tn ↓ 0 sao cho x+ tnv ∈ Qs(x) Do đó, x+tnv ∈ C, và fk(x+tnv) ≤fk(x), (∀k ∈ J, k 6= s), g i (x+t n v) ≤ 0 = g i (x), (∀i ∈ I(x)), h j (x+t n v) = 0, (∀k ∈ J).
Vì vậy, v ∈ Z(C;x) và f k − (x;v) ≤lim inf n→+∞ f k (x+t n v)−f k (x) t n ≤ 0, (∀k ∈ J, k 6= s), g i − (x;v) ≤ lim inf n→+∞ g i (x+t n v)−g i (x) t n ≤ 0, (∀i ∈ I(x)), h 0 j (x;v) = lim n→+∞ h j (x+t n v)−h j (x) tn
Vì vậy, v thuộc tập hợp C(Q s (x); x), từ đó chúng ta có thể suy ra điều cần chứng minh Để trình bày điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu Pareto địa phương của bài toán (MP), chúng ta cần xem xét điều kiện chính quy Abadie (CQ1) như sau:
Một điều kiện cần cho cực tiểu Pareto địa phương của (MP) có thể được phát biểu như sau: Định lí 1.2.
Giả sử x là một tiểu Pareto địa phương của (MP) và T là nón con lồi đóng khác rỗng tùy ý của Z(C;x) với đỉnh tại gốc Nếu điều kiện chính quy (CQ1) đúng với s ∈ J và hàm hj khả vi Dini tại x cho mọi j ∈ L, cùng với hàm gi liên tục tại x cho mọi i /∈ I(x), thì hệ bất phương trình sau đây không có nghiệm v ∈ T: f s + (x;v) < 0, f k − (x;v) ≤ 0 với mọi k ∈ J, k 6= s, g − i (x;v) ≤ 0 với mọi i ∈ I(x), và h 0 j (x;v) = 0 với mọi j ∈ L.
Giả sử tồn tại v 0 ∈ T thỏa mãn các điều kiện (1.3)-(1.6), thì v 0 thuộc về C(Q s (x);x) và do đó cũng thuộc Z(Q s (x);x) vì (CQ1) đúng Điều này dẫn đến việc tồn tại một dãy t n giảm dần về 0 sao cho x+t n v 0 thuộc Q s (x) Do đó, ta có x+t n v 0 thuộc C và f k (x+t n v 0 ) ≤ f k (x) cho mọi k ∈ J với k khác s, g i (x+t n v 0 ) ≤ 0 cho mọi i ∈ I(x), và h j (x+t n v 0 ) = 0 cho mọi j ∈ L.
Với i /∈ I(x) có g i (x) < 0 Do tính liên tục của g i (i /∈ I(x)), tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi n ≥ N, g i (x+ t n v 0 ) ≤ 0,(∀i /∈ I(x)) Vì vậy với mọin ≥N, g i (x+t n v 0 ) ≤0 (∀i ∈ I).
Bởi vìxlà một cực tiểu Pareto địa phương của (MP), suy ra với mọin≥ N, f s (x+t n v 0 ) ≥ f s (x), Điều này dẫn đến f s + (x;v0) ≥ lim sup n→+∞ f s (x+t n v 0 )−f s (x) t n ≥0.
Tuy nhiên, điều này lại mâu thuẫn với (1.3) Vì vậy, chúng ta cần chứng minh điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán (MP) Để đạt được điều này, chúng ta đưa vào giả thiết cần thiết.
Tồn tại chỉ số s thuộc J, sao cho hàm f s có một dưới vi phân suy rộng bán chính quy trên một tập không rỗng ∂ ∗ f s (x) tại x Đối với mọi k thuộc J, với k khác s, và i thuộc I(x), các hàm f k và g i đều có dưới vi phân suy rộng tương ứng là ∂ ∗ f k (x) và ∂ ∗ g i (x) tại x Các hàm g i với i không thuộc I(x) là liên tục tại x, trong khi các hàm h j với j thuộc L thì khả vi Gâteaux tại x, được ký hiệu là OGh j (x).
Vớis ∈ J và một nón con lồi đóng khác rỗngT củaZ (C;x), ta đặt
Bây giờ ta có thể phát biểu được điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu Pareto địa phương của bài toán (MP). Định lí 1.3.
Giả sử x là một cực tiểu Pareto địa phương của bài toán (MP) và giả thiết 1.1 thỏa mãn cùng với điều kiện chính quy (CQ1) đúng với s ∈ J nào đó Hơn nữa, giả sử tập H T s (x) là đóng yếu ∗ với nón con lồi đóng khác rỗng có đỉnh tại gốc T ⊂ Z(C;x) Khi đó, tồn tại các giá trị λ k ≥ 0 cho mọi k ∈ J, k 6 s, cùng với i ≥ 0 cho mọi i ∈ I(x) và γ j ∈ R cho mọi j ∈ L.
Chứng minh. Áp dụng định lí 1.2 ta suy ra hệ sau đây không có nghiệmv ∈ T: f s + (x;v) < 0, f k − (x;v) ≤ 0 (∀k ∈ J, k 6= s), g i − (x;v) ≤ 0 (∀i ∈ I(x)), hO G hj(x);vi = 0 (∀j ∈ L).
Vì vậy, theo giả thiết 1.1, hệ sau đây cũng không có nghiệm v ∈ T: sup ξ s ∈co∂ ∗ f s (x) hξ s , vi < 0, (1.8) sup ξ k ∈co∂ ∗ f k (x) hξ k , vi ≤ 0 (∀k ∈ J, k 6= s), (1.9) sup ζ i ∈co∂ ∗ g i (x) hζ i , vi ≤ 0 (∀i ∈ I(x)), (1.10) hO G hj(x);vi = 0 (∀j ∈ L) (1.11)
Giả sử rằng 0 không thuộc H T s (x), với H T s (x) là tập lồi và đóng yếu ∗ Áp dụng định lý tách cho tập lồi đóng yếu ∗ và một điểm ngoài nó, ta có thể suy ra tồn tại v 0 ∈ X sao cho hζ, v 0 i < 0 với mọi ζ thuộc H T s (x) Điều này dẫn đến kết quả rằng hξ s , v 0 i cộng với tổng các hξ s , v 0 i từ các k ∈ J, k khác s, và tổng các hζ i , v 0 i từ các i thuộc I(x) sẽ có liên quan chặt chẽ với nhau.
(1.14) với mọiξ s ∈ co∂ ∗ f s (x), λ k ≥ 0, ξ k ∈ co∂ ∗ f k (x)(k ∈ J, k 6= s), à i ≥ 0, ζ i ∈ co∂ ∗ g i (x) (i ∈ I (x)), γ j ∈ R(j ∈ L), η ∈ T 0
Với λ k = 0(∀k ∈ J, k 6= s), à i = 0(i ∈ I(x)), γ j = 0,(∀j ∈ L), η = 0, do tính bị chặn của ∂ ∗ f s (x), từ (1.14) suy ra sup ξ s ∈co∂ ∗ f s (x) hξ s , v 0 i < 0 (1.15)
Ta chỉ ra rằng sup ξ k ∈co∂ ∗ f k (x) hξ k , v 0 i ≤ 0 (∀k ∈ J, k 6= s) (1.16)
Nếu điều đó không đúng thì phải tồn tạik 0 ∈ J, k 0 6= ssao cho sup ξ k 0 ∈co∂ ∗ f k 0 (x) hξ k 0 , v 0 i > 0.
(∀j ∈ L), η = 0, ξ s ∈ ∂ ∗ f s (x), và lấyλ k 0 đủ lớn, ta được hξ s , v 0 i+λ k 0 sup ξ k 0 ∈co∂ ∗ f k 0 (x) hξ k 0 , v 0 i > 0, do|hξ s , v 0 i| < +∞ Nhưng từ (1.14) suy ra ξ s , v 0
Như vậy, ta đi đến một mâu thuẫn Vì thế ta suy ra (1.16) Tương tự, ta có sup ζ i ∈co∂ ∗ g i (x) hζ i , v 0 i ≤ 0 (∀i ∈ I (x)) (1.17) Hơn nữa, ta có hOGh j (x) ;v 0 i = 0 (∀j ∈ L) (1.18)
Nếu giả sử điều này không đúng, sẽ có trường hợp hOGh j (x);v 0 i 6= 0 với j 0 ∈ Lnào đú Khi đó, với λ k = 0 (∀k ∈ J, k 6= s), ta có i = 0 (i ∈ I(x)), η = 0 và ξs ∈ ∂ ∗ fs(x) Do tính bị chặn của ξs, nếu hO G hj(x);v0i > 0, ta có thể cho γj 0 đủ lớn, còn nếu hO G hj(x);v0i < 0 thì γj 0 cần có trị tuyệt đối đủ lớn.
0, chúng ta đi đến mâu thuẫn với (1.14) và do đó (1.18) đúng.
Có thể thấy rằngv 0 ∈ T Thật vậy, nếu không như thế phải tồn tại η 0 ∈
T 0 sao cho hη 0 , v 0 i > 0 Bằng cỏch lấy λ k = 0 (∀k ∈ J, k 6= s), à i 0 (i ∈ I(x)), γ j = 0 (∀j ∈ L), với α đủ lớn, αη 0 ∈ T 0 , và vì vậy ta đi đến mâu thuẫn với (1.14) Do đó, hη, v 0 i ≤ 0 ∀η ∈ T 0
Bởi vì T là lồi đóng, nên nó cũng là đóng yếu, và vì thế v 0 ∈ T 00 = T (1.19)
Từ (1.15) - (1.18) ta suy ra hệ (1.8) - (1.11) có một nghiệm v 0 ∈ T: Đây là một mâu thuẫn Vì vậy (1.12) đúng và cho nên tồn tại λ k ≥ 0 (∀k ∈
J, k 6= s), à i ≥ 0 (i ∈ I (x)), γ j ∈ R(∀j ∈ L) sao cho bao hàm thức (1.7) đúng Định lí được chứng minh.
Trong định lý 1.3, các thành phần ∂ ∗ f k (x) và ∂ ∗ g i (x) có thể không bị chặn cho mọi k ∈ J, k ≠ s và i ∈ I(x) Điều này cho thấy rằng hàm mục tiêu, các ràng buộc đẳng thức và ràng buộc bất đẳng thức tích cực không nhất thiết phải liên tục.
(ii) Trong trường hợp dim X < +∞, C = X, như trong nhận xét 3.1 trong [8], nếu ∂ ∗ f k (x) (k ∈ J) và ∂ ∗ g i (x) (i ∈ I (x)) bị chặn và điều kiện sau đây là đúng:
+ lin{∇ G h j (x) : j ∈ L}, thìH T s (x) là đóng, trong đólinkí hiệu bao tuyến tính.
Thật vậy, bởi vì ∂ ∗ f k (x)(k ∈ J, k 6= s) và ∂ ∗ g i (x)(i ∈ I(x)) là đóng và bị chặn, cho nên co∂ ∗ f k (x)(k ∈ J,k 6= s) và co∂ ∗ g i (x)(i ∈ I(x)) là compăc, và như vậy, co
[ k∈J,k6=s co∂ ∗ fk(x)[ [ i ∈I (x ) co∂ ∗ gi(x) là compăc.
Do đó tập sau đây là tập đóng:
H T s (x) = co∂ ∗ f s (x) + coneD T s (x), trong đóconeD T s (x)là nón lồi sinh bởiD T s (x) Do tính compăc củaco∂ ∗ f k (x) ta suy raH T s (x)đóng.
Trong trường hợp không gian X vô hạn chiều và X = C, nếu co∂ ∗ f s (x) là compact yếu ∗ và D T s (x) là đóng yếu ∗ với điều kiện 0 ∈/ D s T (x), thì H T s (x) cũng sẽ là đóng yếu ∗ Điều này xảy ra vì cone D T s (x) là đóng yếu ∗, dẫn đến kết luận rằng H T s (x) có tính chất này Định lý 1.3 được minh họa qua một ví dụ, trong đó các thành phần của hàm mục tiêu và hàm ràng buộc bất đẳng thức tích cực có tính không liên tục.
ChoX = R, Y = R 2 vàC = [0,1] Kí hiệu Qlà tập các số hữu tỷ f và g được xác định bởi f(x) = (f 1 (x), f 2 (x)), f 1 (x)
1, trong các trường hợp khác. f 2 (x) = −x, g(x)
Trong một số trường hợp, tập chấp nhận được M được xác định là giao giữa đoạn [0,1] và tập Q Điểm x = 0 được xem là cực tiểu Pareto trong bài toán tối ưu đa mục tiêu, với mục tiêu là tối thiểu hóa hàm f(x), trong đó điều kiện là g(x) ≤ 0 và x thuộc tập C.
Lưu ý rằngg là ràng buộc tích cực của bài toán đó Ta có thể thấy rằng f 1 + (0;v)
2 ,tương ứng là các dưới vi phân suy rộng chính quy trên bị chặn của f 1 , f 2 , gtại x = 0 Có thể thấy rằng
Như vậy (CQ1) đúng vớis = 1 Với T = R + , T 0 = −R + và H T 1 (0) = R đóng Vì vậy tất cả giả thiết của định lí 1.3 thỏa mãn, và điều kiện cần (1.7) đỳng với λ 2 = 0, à = 1.
Điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh cho cực tiểu Pareto
Để đảm bảo điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán (MP) với các nhân tử Lagrange dương tương ứng với tất cả các thành phần của hàm mục tiêu, chúng ta cần đưa ra giả thiết phù hợp.
Với mỗi k thuộc J, hàm f k có một dưới vi phân suy rộng bán chính quy trên tập bị chặn khác rỗng ∂ ∗ f k (x) tại điểm x Đối với mọi i thuộc I(x), hàm g i có dưới vi phân suy rộng trên ∂ ∗ g i (x) tại x, trong khi các hàm g i (i không thuộc I(x)) liên tục tại x Ngoài ra, các hàm h j (j thuộc L) cũng khả vi Gâteaux tại x.
Để phát biểu điều kiện cần của định lý Kunh - Tucker mạnh cho cực tiểu địa phương Pareto, chúng ta cần sử dụng các nhân tử Lagrange dương tương ứng với tất cả các thành phần của hàm mục tiêu.
Giả sửxlà cực tiểu Pareto địa phương của bài toán (MP) Giả sử có giả thiết 1.2 thỏa mãn, điều kiện chính quy (CQ1) đúng với mọi s ∈ J, và tập
H T s (x) là đóng yếu ∗ với nón con lồi đóng khác rỗng T nào đó của Z(C, x) với đỉnh tại gốc và với mọi s ∈ J Khi đú, tồn tại λ k > 0 (∀k ∈ J), à i >
Dễ thấy rằng các giả thiết 1.2 kéo theo giả thiết 1.1 với mọi s ∈ J Ta áp dụng định lí 1.3 suy ra với mọi s ∈ J, tồn tại λ (s) k > 0 (∀k ∈ J, k 6 s), à (s) i > 0 (∀i ∈ I(x)) vàγ j (s) ∈ R(∀j ∈ L) sao cho
Lấy s = 1, , m trong (1.20) và cộng hai vế của các bao hàm thức nhận được, ta suy ra
0 ∈ X k∈J,k6=s λ k co∂ ∗ f k (x) + X i∈I(x) à i co∂ ∗ g i (x) +X j∈L γ j ∇ G h j (x) +T 0 , trong đú λ k = 1 + s∈J, s6=k λ k > 0 (∀k ∈ J), à i = s∈J à i > 0 (∀i ∈ I(x)), γ j = P s∈J γ j (s) ∈ R (∀j ∈ L) Định lí được chứng minh.
Trong định lí 1.4,∂ ∗ g i (x) (i ∈ I (x))có thể không bị chặn.
Chương 2 Điều kiện cần cho cực tiểu yếu địa phương
Chương 2 trình bày kết quả của D V Luu về các điều kiện cần thiết của phương pháp Fritz John và Kuhn - Tucker đối với cực tiểu yếu địa phương, thông qua việc áp dụng vi phân suy rộng bán chính quy.
Điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu yếu
Để dẫn điều kiện cần mô tả bởi một hệ bất đẳng thức không tương thích, ta đưa vào giả thiết sau.
Với mọi k thuộc J và i thuộc I(x), các hàm fk và gi có dưới vi phân suy rộng bán chính quy trên ∂ ∗ fk(x) và ∂ ∗ gi(x) tại x Hơn nữa, ∂ ∗ fs(x) không rỗng với ít nhất một s thuộc J Các hàm gi (với i không thuộc I(x)) là liên tục tại x, trong khi các hàm hj (với j thuộc L) là khả vi Fréchet tại x, với đạo hàm Fréchet là ∇h j (x).
Chúng ta bắt đầu mục này với một điều kiện cần cho cực tiểu yếu địa phương. Định lí 2.1.
Giả sử xlà một cực tiểu yếu địa phương của bài toán với C = X Nếu giả thiết 2.1 đúng và các đạo hàm Fréchet∇h 1 (x), ,∇h ` (x)là độc lập tuyến tính, đồng thời giả sử tất cả các hàm f k (k ∈ J) và g i (i ∈ I(x)) là Lipschitz địa phương tại x, thì hệ bất đẳng thức sau đây không có nghiệm v ∈ X: sup ξ k ∈co∂ ∗ f k (x) hξ k , vi < 0 (∀k ∈ J), sup ζ i ∈co∂ ∗ g i (x) hζ i , vi ≤ 0 (∀i ∈ I (x)), và h∇h j (x), vi = 0 (∀j ∈ L).
Trước hết ta chỉ ra hệ sau đây không có nghiệmv ∈ X: f k + (x;v) < 0 (∀k ∈ J), (2.4) g i + (x;v) < 0 (∀i ∈ I(x)), (2.5) h∇ G h j (x) ;vi = 0 (∀j ∈ L) (2.6)
Giả sử ngược lại hệ (2.4) - (2.6) có một nghiệmv0 ∈ X Bởi vì∇h 1 (x), ,
Theo định lý F của Halkin, vì ∇h l (x) là độc lập tuyến tính, tồn tại một lân cận U của x và một ánh xạ ξ : U → X liên tục và khả vi Fréchet tại x với điều kiện ξ(x) = 0, ∇ξ(x) = 0 và hj(x+ξ(x)) = h∇h j (x), x−xi cho mọi x ∈ U và mọi j ∈ L Đặt η(t) = x + tv0 + ξ(x + tv0) với t thuộc [0,1].
Từ (2.6), ta suy ra tồn tại số tự nhiên N 1 sao cho với mọi p> N 1 , t ∈ (0, 1 p ), h j (η(t)) = th∇h j (x), v 0 i = 0 (∀j ∈ L) (2.8)
Ta thấy rằng ξ(x+tv 0 ) t = ξ(x) + t∇ξ(x)v 0 +o(t) t = o(t) t , trong đó o(t) t → 0khit → 0 Vì vậy, v 0 + 1 t ξ(x+tv 0 ) → v 0 khit → 0 Bởi vìfs là Lipschitz địa phương tại x, từ (2.4) suy ra lim sup t↓0 f s (x+t[v 0 + 1 t ξ(x+tv 0 )]) −f s (x) t = f s + (x;v 0 ) < 0.
Do đó, với mọi số tự nhiênp, tồn tạit p ∈ (0; 1 p )sao cho lim sup t↓0 f s (x+tv 0 +ξ(x+tv 0 ))−f s (x) t
Do đó, tồn tại một số tự nhiên N 2 (> N 1 )sao cho với mọi p> N 2 , f s (η(t p )) < f s (x) (2.9) Bởi vì với k ∈ J, k 6= s, f k Lipschitz địa phương tạix, cho nên ta có f k + (x;v0) = lim sup t↓0 f k (x+ t[v 0 + 1 t ξ(x+tv 0 )])−f k (x) t
Vì vậy, tồn tại một số tự nhiên N 3 (> N 2 ) sao cho với mọi p > N 3 , t ∈
Tồn tại một số tự nhiên N4 lớn hơn N3, sao cho với mọi i thuộc tập I(x) và p lớn hơn N4, điều kiện gi(η(tp)) nhỏ hơn 0 được thỏa mãn Nhờ vào tính liên tục của gi tại các i không thuộc I(x), có thể xác định một số tự nhiên N5 lớn hơn N4, đảm bảo rằng với mọi i thuộc I và p lớn hơn N5, điều kiện g i (η(t p )) cũng nhỏ hơn 0.
Từ các điều kiện (2.8) - (2.11), ta có thể kết luận rằng với mọi p > N 5, f k (η(t p )) < f k (x) cho mọi k thuộc J, gi(η(tp)) < 0 cho mọi i thuộc I, và h j (η(t p )) = 0 cho mọi j thuộc L Sự mâu thuẫn này chỉ ra rằng x không thể là một cực tiểu yếu địa phương của bài toán (MP) Do đó, hệ phương trình (2.4) - (2.6) không có nghiệm, kéo theo hệ (2.1) - (2.3) cũng không có nghiệm, từ đó định lý đã được chứng minh.
Một điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu yếu địa phương của bài toán (MP) có thể phát biểu như sau. Định lí 2.2.
Cho x là một cực tiểu yếu địa phương của (MP) Giả sử tất cả các giả thiết của định lớ 2.1 đỳng Khi đú, tồn tại λ k > 0 (∀k ∈ J), à i > 0(∀i ∈
I(x)) không đồng thời bằng 0, vàγ j ∈ R(∀j ∈ L) sao cho
(2.12) trong đócl kí hiệu bao đóng yếu ∗
Ta áp dụng định lí 2.1 suy ra hệ (2.1) - (2.3) không có nghiệm. Đặt
, trong đú λ = (λ k ) k∈J , à = (à i ) i∈I(x) , γ = (γ j ) j∈L Khi đú B(x) lồi Ta chỉ ra rằng
Định lý tách cho một tập lồi đóng yếu và một điểm nằm ngoài tập đó cho thấy tồn tại một vector v₀ trong không gian X sao cho giá trị cực đại của hàm số h(ξ, v₀) với ξ thuộc B(x) nhỏ hơn 0.
Khi đú, bằng cỏch lấy λ k = 1, λ k 0 = 0 (∀k 0 ∈ J, k 0 6= k), à i = 0 (∀i ∈
I (x)) vàγ j = 0(∀j ∈ L), ta có sup ξ k ∈co∂ ∗ f k (x) hξ k , v 0 i < 0 (∀k ∈ J) (2.15) Tương tự, ta nhận được sup ζ i ∈co∂ ∗ g i (x) hζ i , v 0 i < 0 (∀i ∈ I (x)) (2.16)
Lấy ξs ∈ ∂ ∗ fs(x), λs = 1, λk = 0(∀k ∈ J, k 6= s), ài = 0(∀i ∈ I (x), γj = 0(∀j ∈ L, j 6= ` 0 , ` 0 ∈ L), từ (2.14) ta suy ra hξ s , v0i+γ` 0 h∇h ` 0 (x), v0i < 0.
Bởi vì |hξ s , v0i| < +∞ và |h∇h ` 0 (x), v0i| < +∞, bằng lí luận tương tự trong chứng minh của định lí 1.3, ta nhận được h∇h j (x), v 0 i = 0 (∀j ∈ L) (2.17)
Từ (2.15) - (2.17) ta suy rav 0 là một nghiệm của hệ (2.1) - (2.3) Điều này cho ta một mâu thuẫn Vì vậy (2.13) đúng Điều đó kéo theo tồn tạiλ k > 0 (∀k ∈
J), à i > 0 (∀i ∈ I (x)), khụng đồng thời bằng 0 và γ j ∈ R(∀j ∈ L) sao cho
Vì vậy (2.12) đúng Định lí được chứng minh.
Nhận xét 2.1. Định lí 2.2 là một tổng quát hóa của định lí 4.3 trong [2].
Điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu yếu
Để trình bày điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu yếu địa phương của bài toán (MP), ta đưa vào điều kiện chính quy (CQ2) sau:
Với mọi λ k > 0 (∀k ∈ J, k 6= s, s ∈ J), à i > 0 (∀i ∈ I(x)) khụng đồng thời bằng 0, và γ j ∈ R(∀j ∈ L),
Với điều kiện chính quy (CQ2), ta có thể phát biểu điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu yếu địa phương của (MP) như sau. Định lí 2.3.
Cho x là một cực tiểu yếu địa phương của (MP) Giả sử tất cả các giả thiết của định lý 2.2 được thỏa mãn và điều kiện chính quy (CQ2) đúng với s ∈ J nào đó Khi đó, tồn tại λ s > 0 và λ k > 0 cho mọi k ∈ J (k khác s), cùng với i > 0 cho mọi i ∈.
Dựa vào định lý 2.2, có thể suy ra rằng tồn tại λ k > 0 cho mọi k thuộc J, và i > 0 cho mọi i thuộc I(x) không thể đồng thời bằng 0, đồng thời γ j thuộc R cho mọi j thuộc L sao cho (2.12) được thỏa mãn Nếu λ s = 0, thì λ k phải lớn hơn 0 cho mọi k thuộc J, với k khác s, và i cũng phải lớn hơn 0 cho mọi i thuộc I(x), điều này dẫn đến mâu thuẫn với (2.12) từ (CQ2) Do đó, kết luận là λ s phải lớn hơn 0.
Điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh cho cực tiểu yếu
Để áp dụng điều kiện Kuhn - Tucker mạnh cho cực tiểu yếu địa phương của bài toán (MP) với các nhân tử Lagrange dương cho tất cả thành phần của hàm mục tiêu, cần xem xét giả thiết 2.2 Các điều kiện Kuhn - Tucker mạnh đã được nghiên cứu trong tài liệu [10, 11].
Với mọi k thuộc J và i thuộc I(x), các hàm f k và g i có dưới vi phân suy rộng bán chính quy tại ∂ ∗ f k (x) và ∂ ∗ g i (x) Đặc biệt, ∂ ∗ f k (x) không rỗng với mọi k thuộc J, trong khi các hàm g i (với i không thuộc I(x)) liên tục tại x Hơn nữa, các hàm h j (với j thuộc L) là khả vi Fréchet tại x.
Điều kiện Kuhn - Tucker cần thiết cho cực tiểu yếu địa phương với các nhân tử Lagrange dương ứng với tất cả các thành phần của hàm mục tiêu, dựa trên giả thiết 2.2, được phát biểu trong Định lý 2.4.
Cho x là một cực tiểu yếu địa phương của (MP) Giả sử các đạo hàm Fréchet ∇h 1 (x), ,∇h ` (x) độc lập tuyến tính; các hàm f k (k ∈ J) và g i (i ∈ I(x)) là Lipschitz địa phương tại x Nếu giả thiết 2.2 thỏa mãn và điều kiện chính quy (CQ2) đúng với mọi s ∈ J, thì tồn tại λ k > 0 (∀k ∈ J) và à i > 0 (∀i ∈ I(x)), cũng như γ j ∈ R (∀j ∈ L) sao cho.
Tất cả các giả thiết của định lý 2.3 đều được thỏa mãn cho mọi s ∈ J Do đó, theo định lý 2.3, với mỗi s ∈ J, tồn tại λ(s) k > 0 (với mọi k ∈ J, k ≠ s), λ(s) s > 0, a(s) i > 0 (với mọi i ∈ I(x)) và γ j (s) ∈ R (với mọi j ∈ L).
Bởi vì clA+ clB ⊂ cl(A+B), lấy s = 1, , mtrong (2.19) và cộng hai vế các bao hàm thức đó lại, ta nhận được
+X j ∈L γj∇h j (x), trong đó λ k = λ (s) s +P s∈J, s6=kλ (s) k > 0 (∀k ∈ J), à i = P s∈J à (s) i > 0 (∀i ∈ I(x)) và γ j = P s∈J γ j (s) ∈ R(∀j ∈ L), ta có điều phải chứng minh.
Luận văn trình bày các kết quả của Đỗ Văn Lưu về điều kiện cần cho cực tiểu Pareto địa phương và cực tiểu yếu địa phương trong bài toán tối ưu đa mục tiêu Các điều kiện này được nghiên cứu trong bối cảnh có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức và ràng buộc tập trong không gian Banach, sử dụng ngôn ngữ dưới vi phân suy rộng.
Dưới vi phân suy rộng, dưới vi phân suy rộng tối thiểu và dưới vi phân suy rộng chính quy là những khái niệm quan trọng trong lĩnh vực tối ưu hóa Các quy tắc tính dưới vi phân suy rộng giúp xác định các điểm tối ưu trong hàm số Định lý giá trị trung bình của dưới vi phân suy rộng cung cấp những thông tin cần thiết để phân tích sự biến đổi của hàm số trong các khoảng nhất định.
- Điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu Pareto địa phương của bài toán (MP).
- Điều kiện cần Kuhn - Tucker mạnh cho cực tiểu Pareto địa phương của bài toán (MP).
- Điều kiện cần Fritz John cho cực tiểu yếu địa phương.
- Điều kiện cần Kuhn - Tucker cho cực tiểu yếu.
Điều kiện Kuhn - Tucker mạnh là yếu tố quan trọng trong việc xác định cực tiểu yếu trong bài toán tối ưu đa mục tiêu Nghiên cứu về các điều kiện tối ưu cho nghiệm hữu hiệu trong lĩnh vực này đang thu hút sự chú ý của nhiều nhà toán học.
[1] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2000), Giải tích lồi, NXB Khoa học và
[2] Dutta J, Chandra S (2004), "Convexifactors, generalized convexity and vector optimality", Optimization 53, pp 77 - 94.
[3] Girsanov I V (1972),Lectures on Mathematical Theory of Extremum problems, Springer - Verlag, Berlin.
[4] Halkin H (1974), "Implicit functions and optimization problems with- out continuous differentiablility of the dat", SIAM J Control 12, pp.
[5] Jeyakumar V., Luc D T (1999), "Nonsmooth Calculus, minimality and monotonicity of convexificators", J Optim Theory Appl 101, pp 590
[6] Luc D T (2002), "A multiplier rule for multiobjective programming problems with continuous data", SIAM J Optim 13, pp 168 - 178.