Pareto
Để dẫn điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán (MP) với các nhân tử Lagrange dương tương ứng với tất cả các thành phần của hàm mục tiêu, ta đưa vào giả thiết sau đây.
Với mọik ∈ J, hàm fk có một dưới vi phân suy rộng bán chính quy trên bị chặn khác rỗng ∂∗fk(x) tại x; với mọi i ∈ I(x), hàmgi có dưới vi phân suy rộng trên ∂∗gi(x) tại x, các hàm gi(i /∈ I(x)) liên tục tại x, các hàm
hj(j ∈ L)khả vi Gâteaux tại x.
Sau đây ta sẽ phát biểu điều kiện cần Kunh - Tucker mạnh cho cực tiểu địa phương Pareto với các nhân tử Lagrange dương tương ứng với tất cả các thành phần của hàm mục tiêu.
Định lí 1.4.
Giả sửxlà cực tiểu Pareto địa phương của bài toán (MP). Giả sử có giả thiết 1.2 thỏa mãn, điều kiện chính quy (CQ1) đúng với mọi s ∈ J, và tập
HTs(x) là đóng yếu∗ với nón con lồi đóng khác rỗng T nào đó của Z(C, x)
với đỉnh tại gốc và với mọi s ∈ J. Khi đó, tồn tại λk > 0 (∀k ∈ J), µi >
0 (∀i ∈ I(x)), γj ∈ R(∀ ∈ J) sao cho 0∈ X k∈J,k6=s λkco∂∗fk(x) + X i∈I(x) µico∂∗gi(x) +X j∈L γjOGhj(x) + T0 Chứng minh.
Dễ thấy rằng các giả thiết 1.2 kéo theo giả thiết 1.1 với mọi s ∈ J. Ta áp dụng định lí 1.3 suy ra với mọi s ∈ J, tồn tại λk(s) > 0 (∀k ∈ J, k 6=
s), µ(is) > 0 (∀i ∈ I(x)) vàγj(s) ∈ R(∀j ∈ L) sao cho 0∈ co∂∗fs(x) + X k∈J,k6=s λ(ks)co∂∗fk(x) + X i∈I(x) µ(is)co∂∗gi(x) + X j∈L γj(s)OGhj(x) + T0. (1.20)
Lấy s = 1, ..., m trong (1.20) và cộng hai vế của các bao hàm thức nhận được, ta suy ra 0 ∈ X k∈J,k6=s λkco∂∗fk(x) + X i∈I(x) µico∂∗gi(x) +X j∈L γj∇Ghj (x) +T0,
trong đó λk = 1 + s∈J, s6=kλk > 0 (∀k ∈ J), µi = s∈J µi > 0 (∀i ∈ I(x)), γj = P
s∈J γj(s) ∈ R (∀j ∈ L). Định lí được chứng minh.
Nhận xét 1.2.
Chương 2