MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN MẠCH CẦU ĐIỆN TRỞ LỚP 11

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN MẠCH CẦU ĐIỆN TR i kháI quát mạch cầu điện trở, mạch cầu cân mạch cầu không cân Mạch cầu mạch dùng phổ biến phép đo xác phịng thí nghiệm điện Mạch cầu vẽ (H - 0.a) (H - 0.b) Các điện trở R1, R2, R3, R4 gọi cạnh mạch cầu điện trở R5 có vai trò khác biệt gọi đường chéo mạch cầu (người ta khơng tính thêm đường chéo nối A – B Vì có ta coi đường chéo mắc song song với mạch cầu)  Mạch cầu cân (Dùng phép đo lường điện) I5 = ; U5 = Mạch cầu không cân bằng: Trong mạch cầu khơng cân phân làm loại: − Loại có điện trở khơng (ví dụ điện trở bị nối tắt, thay vào ampe kế có điện trở ằng khơng ) Khi gặp loại tập ta chuyển mạch dạng quen thuộc, áp dụng định luật ôm để giải − Loại mạch cần tổng quát không cân có đủ điện trở, khơng thể giải ta áp dụng định luật Ôm, loại tập giải phương pháp đặc biệt ( Trỡnh by mc 2.3) Vậy điều kiện cân ? Cho mch cu in tr nh (H1.1)  Nếu qua R5 có dịng I5 = U5 = điện trở nhánh lập thành tỷ lệ thức : R1 R = n = const = R3 R4  Ngược lại có tỷ lệ thức I5 = U5 = 0, ta có mạch cầu cân  Tãm l¹i: Cần ghi nhớ  Nếu mạch cầu điện trở có dịng I5 = U5 = bốn điện trở nhánh mạch cầu lập thành tỷ lệ thức: R1 R = = n (n số) (*) R3 R (Với giá trị R5.) Khi biết ba bốn điện trở nhánh ta xác định điện trở lại  Ngược lại: Nếu điện trở nhánh mạch cầu lập thành tỷ lệ thức tên, ta có mạch cầu cân I5 = U5 = Khi mạch cầu cân điện trở tương đương mạch ln xác định không phụ thuộc vào giá trị điện trở R5 Đồng thời đại lượng hiệu điện không phụ thuộc vào điện trở R5 Lúc coi mạch điện khơng có điện trở R5 tốn giải bình thường theo định luật Ơm Biểu thức (*) điều kiện mch cu cõn bng ii ph-ơng pháp tính điện trở t-ơng đ-ơng mạch cầu Tớnh in tr tương đương mạch điện việc làm quan trọng, cho dù đầu có u cầu hay khơng u cầu, q trình giải tập điện ta thường phải tiến hành công việc Với mạch điện thông thường, tính điện trở tương đương hai cách sau:   Nếu biết trước giá trị điện trở mạch phân tích sơ đồ mạch điện (thành đoạn mắc nối tiếp, đoạn mắc song song) áp dụng cơng thức tính điện trở đoạn mắc nối tiếp hay đoạn mắc song song  Nếu chưa biết hết giá trị điện trở mạch, biết Hiệu điện đầu đoạn mạch cường độ dịng điện qua đoạn mạch đó, tính điện trở tương đương mạch cơng thức định luật Ơm − Tuy nhiên với mạch điện phức tạp mạch cầu, việc phân tích đoạn mạch dạng đoạn mạch nối tiếp song song Điều có nghĩa khơng thể tính điện trở tương đương mạch cầu cách áp dụng cơng thức tính điện trở đoạn mạch mắc nối tiếp hay đoạn mạch mắc song song Vậy ta phải tính điện trở tương đương mạch cầu cách nào? Với mạch cầu cân ta bỏ qua điện trở R5 để tính điện trở tương đương mạch cầu  Với loại mạch cầu có điện trở 0, ta đưa dạng mạch điện có đoạn mắc nối tiếp, mắc song song để giải  Loại mạch cầu tổng qt khơng cân điện trở tương đương tớnh bng cỏc phng phỏp sau: Ph-ơng án chuyển m¹ch Thực chất chuyển mạch cầu tổng quát mạch điện tương đương (điện trở tương đương mạch không thay đổi) Mà với mạch điện ta áp dụng cơng thức tính điện trở đoạn mạch nối tiếp, đoạn mạch song song để tính điện trở tương đương − Muốn sử dụng phương pháp trước hết ta phải nắm công thức chuyển mạch (chuyển từ mạch thành mạch tam giác ngược lại từ mạch tam giác thành mạch sao) Công thức chuyển mạch - Định lý Kennơli  Cho hai sơ đồ mạch điện, mạch điện tạo thành từ ba điện trở ( H2.1a mạch tam giác () ; H2.1b - Mạch (Y) )  Với giá trị thích hợp điện trở thay mạch mạch kia, hai mạch tương đương Cơng thức tính điện trở mạch theo mạch chúng tương đương sau:  Biến đổi từ mạch tam giác R1, R2, R3 thành mạch R’1, R’2, R’3 R1' = R R R1 + R + R (1) R '2 = ; R1.R R1 + R + R (2) R1.R R 3' = R1 + R + R R1,R2, R3 ) (3) ( Ở R’1, R’2, R’3 vị trí đối diện với  Biến đổi từ mạch R’1, R’2, R’3 thành mạch tam giác R1, R2, R3 R1 = R1' R '2 + R '2 R 3' + R1' R 3' R1' R2 = R1' R '2 + R '2 R 3' + R1' R 3' R '2 R3 = (4) (5) R1' R '2 + R '2 R 3' + R1' R 3' R 3' (6) − Áp dụng vào tốn tính điện trở tương đương mạch cầu ta có hai cách chuyển mạch sau: C¸ch 1: Từ sơ đồ mạch cầu tổng quát ta chuyển mạch tam giác R1, R3, R5 thành mạch :R’1; R’3; R’5 (H2.2a) Trong điện trở R13, R15, R35 xác định theo công thức: (1); (2) (3) từ sơ đồ mạch điện (H2.2a) ta áp dụng cơng thức tính điện trở đoạn mạch mắc nối tiếp, đoạn mạch mắc song song để tính điện trở tương đương mạch AB, kết là: R AB = R 5' + (R 3' + R )(R1' + R ) (R 3' + R ) + (R1' + R ) C¸ch 2: Từ sơ đồ mạch cầu tổng quát ta chuyển mạch R1, R2 , R5 thành mạch tam giác R’1, R’2 , R’5 (H2.2b ) Trong điện trở R’1, R’2, R’3 xác định theo công thức (4), (5) và(6) Từ sơ đồ mạch điện (H2.2b) áp dụng công thức tính điện trở tương đương ta kết quả: R R '2 R '1 R + ) R + R '2 R1 + R '4 = R R ' R '1 R R '5 + ( + ) R + R '2 R1 + R '4 R '5 ( R AB Ph-¬ng pháp dùng định luật Ôm T biu thc: I = U R suy R = U I (*)  Trong đó: U hiệu điện hai đầu đoạn mạch I cường độ dòng điện qua mạch  Vậy theo cơng thức (*) muốn tính điện trở tương đương (R) mạch trước hết ta phải tính I theo U, sau thay vào công thức (*) kết ( Có nhiều phương pháp tính I theo U trình bày chi tiết mục sau )  Xét ví dụ cụ thể: Cho mạch điện hình H 2.3a Biết R1 = R3 = R5 = , R2 = ; R4 =  a Tính điện trở tương đương đoạn mạch AB b Đặt vào hai đầu đoạn AB hiệu điện khơng đổi U = (V) Hãy tính cường độ dòng điện qua điện trở hiệu điện hai u mi in tr Ph-ơng pháp 1: Chuyn mạch C¸ch 1: Chuyển mạch tam giác R1; R3 ; R5 thành mạch R’1 ; R’3 ; R’5 (H2.3b) Ta có: R 5' = R1 .R 3.3 = = 1() R1 + R + R 3 + + R1.R = 1() R1 + R + R R R R1' = = 1() R1 + R + R R 3' = Suy điện trở tương đương đoạn mạch AB : R AB = R 5' + (R 3' + R )(R1' + R ) (1 + 2)(1 + 5) = 1+ = 3 ' ' (R1 + R ) + (R1 + R ) (1 + 2) + (1 + 5) C¸ch 2: Chuyển mạch R1; R2; R5 thành mạch tam giác R ; R ; R ' ' ' (H2.3c) Ta có: R1.R + R R + R1.R 3.2 + 2.3 + 3.3 = = 7 R1 R R + R R +R1.R R '2 = = 10,5() ; R2 R1' = Suy ra: R AB R 5' = R1.R + R R + R1.R = 7() R5 R '2 R3 R1' R + ) R '2 + R R1' + R = = 3() R '2 R R1' R ' R5 + ' + R + R R1' + R R 5' ( Ph-ơng pháp 2: Dùng cơng thức định luật Ơm Từ cơng thức: IAB = U AB U  R = AB R AB IAB (*) − Gọi U hiệu điện hai đầu đoạn mạch AB ; I cường độ dòng điện qua đoạn mạch AB Biểu diễn I theo U Đặt I1 ẩn số, giả sử dòng điện mạch có chiều hình vẽ (H2.3d) Ta có: U2 = U – U1 = U – I U1 = R1I1 = I1 (1) ; U U − 3I1 = R2 (3) ; I5 = I1 − I2 = (5) ; U3 = U1 + U5 = ; U = U − U3 = 5U − 21I1 5U 27 (11) I2 = U5 = I.R = 15I1 − 3U I3 = U 21I1 − 3U = R3 (7) I4 = U 5U − 21.I1 = R4 10 (9) 5I1 − U (2) (4) 21I1 − 3U (6) (8) Tại nút D, ta có: I4 = I3 +I5  5U − 21.I1 21I1 − 3U 5I1 − U = + 10 Thay (11) vào (7) ta được: I3 = (10 )  I1 = U 27 Suy cường độ dòng điện mạch I = I1 + I3 = 5U 4U + = U 27 27 (12) Thay (12) vào (*) ta kết quả: RAB = () b Thay U = V vào phương trình (11) ta được: I1 = (A) Thay U = 3(V) I1 = (A) vào phương trình từ (1) đến (9) ta kết quả: I2 = (A) I3 = (A) I = (A) I5 = −1 −1 có chiều từ C đến (A) ( I5 = 9 D) U1 = U4 = (V) U = U3 = (V) U5 = U X = (V ) ;  L-u ý  Cả hai phương trình giải áp dụng để tính điện trở tương đương mạch cầu điện trở Mỗi phương trình giải có ưu điểm nhược điểm Tuỳ tập cụ thể ta lựa chọn phương phỏp gii cho hp lý iii ph-ơng pháp giảI toán tính c-ờng độ dòng điện hiệu điện mạch cầu Vi mch cu cõn bng hoc mch cu khơng cân mà có điện trở (hoặc lớn vơ cùng) chuyển mạch cầu mạch điện quen thuộc (gồm đoạn mắc nối tiếp mắc song song) Khi ta áp dụng định luật Ơm để giải tốn cách đơn giản Ví dụ: Cho sơ đồ mạch điện hình vẽ: (H.3.1a); (H 3.1b); (H3.1c); (H3.1d) biết vôn kế am pe kế lý tưởng Ta chuyển sơ đồ mạch điện thành sơ đồ mạch điện tương đương, tương ứng với hình H.3.1a’; H.3.1b’; H.3.1c’; H.3.1d’ Từ sơ đồ mạch điện mới, ta áp dụng định luật Ơm để tìm đại lượng mà toán yêu cầu:  L-u ý Các loại có nhiều tài liệu trình bày, nên đề tài không sâu vào việc phân tích tốn nhiên trước giảng dạy toán mạch cầu tổng quát, nên rèn cho học sinh kỹ giải tập loại thật thành thạo Với mạch cầu tổng qt khơng cân có đủ điện trở, ta đưa dạng mạch điện gồm đoạn mắc nối tiếp mắc song song Do tập loại phải có phương pháp giải đặc biệt Sau số phương pháp giải c th: Bài toán 3: Cho mch in h hỡnh vẽ (H3.2a) Biết U = 45V R1 = 20, R2 = 24 ; R3 = 50 ; R4 = 45 R5 biến trở Tính cường độ dịng điện hiệu điện điện trở tính điện trở tương đương mạch R5 = 30 Khi R5 thay đổi khoảng từ đến vơ cùng, điện trở tương đương mạch điện thay đổi nào? Tính cường độ dòng điện hiệu điện điện trở tính điện trở tương đương mạch R5 = 30 Ph-ơng pháp 1: Lp h phng trỡnh cú ẩn số dòng điện (Chẳng hạn chọn I1 làm ẩn số) B-íc 1: Chọn chiều dịng điện sơ đồ B-íc 2: áp dụng định luật ơm, định luật nút, để biễu diễn đạilượng cònl lại theo ẩn số (I1) chọn (ta phương trình với ẩn số I1 ) B-íc 3: Giải hệ phương trình vừa lập để tìm đại lượng đầu yêu cầu B-íc 4: Từ kết vừa tìm được, kiểm tra lại chiều dịng điện chọn bước  Nếu tìm I > 0, giữ nguyên chiều chọn  Nếu tìm I < 0, đảo ngược chiều chọn Lêi gi¶i : − Giả sử dịng điện mạch có chiều hình vẽ H3.2b − Chọn I1 làm ẩn số ta có: U2 = U – U1 = 45 – 20I1 (2) U1 = R1 I1 = 20I1 (1) ; U2 45 − 20I1 = R2 24 ( 3) ; I5 = I1 − I = (5) ; U3 = U1 + U5 = 300I1 − 225 (6) (7 ) ; U = U − U3 = 405 − 300 I1 (8) I2 = U5 = R I5 = 20I1 − 225 U3 12I1 − = R3 U 27 − 20I1 I4 = = R4 12 I3 = 44I1 − 45 24 (9) − Tại nút D cho biết: I4 = I3 + I5  27 − 20I1 12I1 − 44I1 − 48 (10) = + 12 24 Suy I1= 1,05 (A) − Thay biểu thức (10) biểu thức từ (1) đến (9) ta kết quả: I1 = 1(A) ; I3 = 0,45 (A) ; I4 = 0,5 (A) ;I5 = 0,05 (A) (4) Vậy chiều dòng điện chọn Hiệu điện : U1 = 21(V) U3 = 22,5 (V) U2 = 24 (V) UBND = 22,5 (V)  Điện trở tương đương R AB = U5 = 1,5 (V) U U 45 = = = 30 I I1 + I3 1, 05 + 0, 45 Ph-ơng pháp 2: Lp h phương trình có ẩn số hiệu điện bước tiến hành giống phương pháp Nhưng chọn ẩn số Hiệu điện Áp dụng (Giải cụ thể) − Chọn chiều dịng điện mạch hình vẽ H3.2b − Chọn U1 làm ẩn số ta có: I1 = U1 U1 = R1 20 (1) U 45 − U1 = R2 24 (3) I5 = I1 − I2 = (5) U3 = U1 + U5 = U2 = U – U1 = 45 – U1 (2) I2 = U5 = I5 R = 11U1 − 225 U = U − U3 = I4 = 405 − 300U1 U 27 − U1 = R4 12 I3 = (7) 11I1 − U1 120 15U1 − 225 U3 3U1 − 45 = R3 40 (4) (6) (8) (9) − Tại nút D cho biết: I4 = I3 + I5  27 − U1 3U1 − 45 11U1 − 225 = + 12 40 120 (10) Suy ra: U = 21 (V) Thay U1 = 21 (V) vào phương trình từ (1) đến (9) ta kết giống hệt phng phỏp Ph-ơng pháp 3: Chn gc in th B-íc 1: Chọn chiều dịng điện mạch B-íc 2: B-íc 3: B-íc 4: B-íc 5: Lập phương trình cường độ nút (Nút C D) Dùng định luật ơm, biến đổi phương trình VC, VD theo VA, VB Chọn VB =  VA = UAB Giải hệ phương trình để tìm VC, VDtheo VA suy U1, U2, U3, U4, U5 Tính đại lượng dòng điện so sánh với chiều dịng điện chọn bước Áp dụng B-íc 6: − Giả sử dịng điện có chiều hình vẽ H3.2b − Áp dụng định luật nút C D, ta có: I1 = I2 + I5   I = I3 + I5 (1) (2)  VA − VC VC − VD VC − VD = +  R R R5   - Áp dụng định luật Ơm, ta có: V − V VA − VD VC − VD B  D = +  R3 R5  R4 − Chọn VD = VA = UAB = 45 (V)  45 − VC VC VC − VD  20 = 24 + 30  Hệ phương trình thành:  V  D = 45 − VD + V C −VD  45 50 30 − Giải hệ phương trình (3) (4) ta được: U2 = VC – VB = 24 (V) ; Suy ra: VC = 24(V); ( 3) ( 4) VD = 22,5(V) U4 = VD – VB = 22,5 (V) U1 = U – U2 = 21 (V); U3 = U – UBND = 22,5V ; U5 = VC – VD = 1,5 (V) Từ kết vừa tìm ta dễ ràng tính cỏc giỏ tr cng dũng in (nh Ph-ơng pháp 1) Ph-ơng pháp 4: Chuyn mch thnh mch tam giác (Hoặc mạch tam giác thành mạch ) − Chẳng hạn chuyển mạch tam giác R1 , R3 , R5 thành mạch R’1 , R’3 , R’5 ta sơ đồ mạch điện tương đương H3.2c (Lúc giá trị RAB, I1, I4, I, U2, U4,UCD không đổi) − Các bước tiến hành giải sau: B-íc 1: B-íc 2: Vẽ sơ đồ mạch điện Tính giá trị điện trở (sao R’1 , R’3 , R’5) B-íc 3: B-íc 4: B-íc 5: Tính điện trở tương đương mạch Tính cường độ dịng điện mạch (I) Tính I2, I4 suy giá trị U2, U4 Ta có: I2 = I R1 + R R1 + R + R 3' + R Và: I = I – I2 B-íc 6: Trở lại mạch điện ban đầu để tính đại lượng cịn lại ¸p dơng: − Từ sơ đồ mạch điện (H - 3.2C) ta có R '1 = R R 50.30 = = 15() R1 + R + R 20 + 50 + 30 R '3 = R1.R 20.30 = = 6() R1 + R + R 20 + 50 + 30 R '5 = R1.R 20.50 = = 10() R1 + R + R 20 + 50 + 30 − Điện trở tương đương mạch: R AB = R + ' − Cường độ dịng điện mạch chính: I = Suy ra: I2 = I (R 3' + R '2 ).(R1' + R '4 ) (R 3' + R '2 ) + (R1' + R '4 ) = 30() U 45 = = 1,5(A) R AB 30 (R1' + R ) = 1(A)  I4 = I – I2 = 1,5 – = 0,5 (A) (R1' + R ) + (R 3' + R ) U2 = I2.R2 = 24 (V) U4 = I4.R4 = 22,5 (V) − Trở lại sơ đồ mạch điện ban đầu (H - 3.2 b) ta có kết quả: Hiệu điện thế: U1 = U – U2 = 21 (V) ; U3 = U – U4 = = 22,5(V) ; U5 = U3 – U1 = 1,5(V) Và giá trị dòng điện I1 = U U1 = 1, 05(A) ; I3 = = 0, 45(A) ; R1 R3 I5 =I1 – I3 = 0,05 (A) Ph-ơng pháp 5: ỏp dng nh lut kic sp Định luật nút mạng T cụng thức: I = I1+ I2+ … +In(đối với mạch mắc song song), ta phát biểu tổng quát: “ Ở nút, tổng dòng điện đến điểm nút tổng dòng điện khỏi nút” Trong mạch vòng hay mắt mạch Cụng thc: U = U1+ U2+ …+ Un (đối với điện trở mắc nối tiếp) hiểu điện trở mắc nối tiếp mà mở rộng ra: “ Hiệu điện UAB hai điểm A B tổng đại số tất hiệu điện U1, U2,… đoạn tính từ A đến B theo đường từ A đến B mạch điện ”  Vậy nói: “Hiệu điện mạch vòng (mắt mạng) tổng đại số độ giảm mạch vịng đó” Trong độ giảm thế: UK = IK.RK ( với K = 1, 2, 3, …)  Chó ý:  Dịng điện IK mang dấu (+) chiều mạch  Dòng điện IK mang dấu (–) ngược chiều mch Các b-ớc tiến hành giải B-ớc 1: Chn chiều dịng điện mạch B-íc 2: Viết tất phương trình cho nút mạng Và tất phương trình cho mứt mạng B-íc 3: Giải hệ phương trình vừa lập để tìm đại lượng dòng điện hiệu điện mạch B-íc 4: Biện luận kết Nếu dịng điện tìm là: IK > 0: ta giữ nguyên chiều chọn IK < 0: ta đảo chiều chọn ¸p dơng: − Chọn chiều dịng điện mạch hình vẽ H3.2b  I1 = I2 + I5 − Tại nút C D ta có:  I4 = I3 + I5 (1) ( 2) − Phương trình cho mạch vòng:  Mạch vòng ACBA: U = I1.R1 + I2.R2 (3)  Mạch vòng ACDA: I1.R1 + I5.R5 – I3.R3 = (4)  Mạch vòng BCDB: I4.R4 + I5.R5 – I2.R2 = (5) − Thay giá trị điện trở hiệu điện vào phương trình rút  I1 = I + I5   I = I3 + I5  20I + 24I = 45 gọn, ta hệ phương trình:  2I + 3I = 5I  45I + 30I5 = 24I (1’) ( 2’) ( 3’) ( 4’) ( 5’) − Giải hệ phương trình ta tìm giá trị dòng điện: I1 = 1,05(A); I2 = 1(A); I3 = 0,45(A); I4 = 0,5(A) I5 = 0,05(A) − Các kết dòng điện dương chiều dịng điện chọn − Từ kết ta dễ dàng tìm giá trị hiệu điện U1, U2, U3, U4, U5 RAB (Giống kết tìm phương pháp 1) Sự phụ thuộc điện trở tương đương vào R5  Khi R5 = 0, mạch cầu có điện trở là: R TÐ = R o = R1.R R R 20.50 24.45 + = +  29,93() R1 + R R + R 20 + 50 24 + 45  Khi R5 = , mạch cầu có điện trở là: R TÐ = R  = (R1 + R ).(R + R ) (20 + 24).(50 = 45) =  30, 07() (R1 + R ) + (R + R ) (20 + 24) + (50 + 45) − Vậy R5 nằm khoảng (0, ) điện trở tương đương nằm khoảng (Ro, R) − Nếu mạch cầu cân với giá trị R5 có RTĐ = R0 = R ... chuyn mạch cầu tổng quát mạch điện tương đương (điện trở tương đương mạch không thay đổi) Mà với mạch điện ta áp dụng cơng thức tính điện trở đoạn mạch nối tiếp, đoạn mạch song song để tính điện trở. .. đồ mạch điện, mạch điện tạo thành từ ba điện trở ( H2.1a mạch tam giác () ; H2.1b - Mạch (Y) )  Với giá trị thích hợp điện trở thay mạch mạch kia, hai mạch tương đương Cơng thức tính điện trở. .. tính điện trở tương đương mạch cầu điện trở Mỗi phương trình giải có ưu điểm nhược điểm Tuỳ tập cụ thể ta lựa chọn phương pháp giải cho hợp lý iii ph-ơng pháp giảI toán tính c-ờng độ dòng điện