www.thuvienhoclieu.com TỔNG HỢP KIẾN THỨC TOÁN A Phần đại số Thế số hữu tỉ ? Cho ví dụ a với a, b Z, b b Số hữư tỉ biểu diễn dạng số thập phân hữu hạn ? Cho VD Số hữư tỉ biểu diễn dạng số thập phân vơ hạn tuần hồn ? Cho VD - Nếu phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu khơng có ước ngun tố khác phân số viết dạng số thập phân hữu hạn - Nếu phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu có ước nguyên tố khác phân số viết dạng số thập phân vơ hạn tuần hồn Nêu phép tốn thực tập hợp số hữu tỉ Q Viết công thức minh họa - Các phép toán thực tập hợp số hữu tỉ Q - Số hữu tỉ số viết dạng phân số *Cộng hai số hữu tỉ: *Trừ hai số hữu tỉ: a b ab m m m a b a b m m m - Chú ý: Khi chuyển số hạng từ vế sang vế đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng Với x, y, z Q: x + y = z x = z – y *Nhân hai số hữu tỉ: *Chia hai số hữu tỉ: a c ac b d bd a c a d ad : b d b c bc Nêu công thức xác định giá trị tuyệt đối số hữu tỉ x áp dụng tính ; ; - Công thức xác định giá trị tuyệt đối số hữu tỉ là: x x x = - x x < Viết cơng thức tính lũy thừa số hữu tỉ Các công thức tính luỹ thừa số hữu tỉ là: - Tích hai luỹ thừa số: xm xn = xm + n - Thương hai luỹ thừa số: xm: xn = xm – n (x ≠ 0, m ≥ n) x m n - Luỹ thừa luỹ thừa: - Luỹ thừa tích: x m n (x y)n = xn yn n - Luỹ thừa thương: x xn n y y (y ≠ 0) Thế tỉ lệ thức ? Từ đẳng thức a d = b c, suy tỉ lệ thức ? a c - Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số b d - Từ đẳng thức a d = b c ta suy tỉ lệ thức sau: a c a b b d b a ; ; ; c d a c d c b d Nêu tính chất dãy tỉ số - Tính chất dãy tỉ số www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com a c ac ac b d bd bd a c e abc ace b d f bd f bd f Nêu quy ước làm trịn số Cho ví dụ minh họa ứng với trường hợp cụ thể *Các quy ước làm tròn số - Trường hợp 1: Nếu chữ số chữ số bị bỏ nhỏ ta giữ ngun phận cịn lại Trong trường hợp số nguyên ta thay chữ số bị bỏ chữ số + VD: Làm tròn số 86,149 đến chữ số thập phân thứ là: 8,546 8,5 Làm tròn số 874 đến hàng chục là: 874 870 - Trường hợp 2: Nếu chữ số chữ số bị bỏ lớn ta cộng thêm vào chữ số cuối phận cịn lại Trong trường hợp số ngun ta thay chữ số bị bỏ chữ số + VD: Làm tròn số 0,2455 đến chữ số thập phân thứ là: 0,2455 0,25 Làm tròn số 2356 đến hàng trăm là: 2356 2400 Thế số vô tỉ ? Nêu khái niệm bậc hai Cho ví dụ minh họa Mỗi số a khơng âm có bậc hai ? Cho ví dụ minh họa - Số vô tỉ số viết dạng số thập phân vơ hạn khơng tuần hồn - Căn bậc hai số a không âm số x cho x2 = a - Số dương a có hai bậc hai, số dương kí hiệu a số âm kí hiệu - a + VD: Số 16 có hai bậc hai là: 16 - 16 – * Lưu ý ! Không viết 16 = - 10 Số thực ? Cho ví dụ - Số hữu tỉ số vô tỉ gọi chung số thực + VD: 3; ; - 0,135; số thực 11 Thế hai đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch ? Nêu tính chất đại lượng *Đại lượng tỉ lệ thuận - Định nghĩa: Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức: y = kx (với k số khác 0) ta nói y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k - Tính chất: Nếu hai đại lượng tỉ lệ thuận với thì: + Tỉ số hai giá trị tương ứng chúng không đổi y1 y2 y3 x1 x2 x3 + Tỉ số hai giá trị đại lượng tỉ số hai giá trị tương ứng đại lượng x1 y x y ; , x y x3 y *Đại lượng tỉ lệ nghịch - Định nghĩa: Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức: y = a hay xy = a (a x số khác 0) ta nói y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a - Tính chất: Nếu hai đại lượng tỉ lệ nghịch với thì: + Tích hai giá trị tương ứng chúng ln khơng đổi (bằng hệ số tỉ lệ a) x1y1 = x2y2 = x3 y3 = + Tỉ số hai giá trị đại lượng nghịch đảo tỉ số hai giá trị tương ứng đại lượng y x1 y x ; , x2 y x y1 www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com 12 Thế mặt phẳng tọa độ, mặt phẳng tọa độ biểu diễn yếu tố ? Tọa độ điểm A(x0; y0) cho ta biết điều ? - Mặt phẳng có hệ trục toạ độ Oxy gọi mặt phẳng toạ độ Oxy - Mặt phẳng toạ độ biểu diễn hai trục số Ox Oy vng góc với gốc trục số Trong đó: + Trục Ox gọi trục hoành (trục nằm ngang) + Trục Oy gọi trục tung (trục thẳng đứng) *Chú ý: Các đơn vị độ dài hai trục toạ độ chọn - Toạ độ điểm A(x0; y0) cho ta biết: + x0 hoành độ điểm A (nằm trục hoành Ox) + y0 tung độ điểm A (nằm trục tung Oy) 13 Nêu khái niệm hàm số Đồ thị hàm số y = ax (a 0) có dạng ? Vẽ đồ thị hai hàm số y = 2x y = -3x mặt phẳng tọa độ - Đồ thị hàm số y = f(x) tập hợp điểm biểu diễn cặp giá trị tương ứng (x; y) mặt phẳng toạ độ - Đồ thị hàm số y = ax (a 0) đường thẳng qua gốc toạ độ 14 Muốn thu thập số liệu thống kê vấn đề cần quan tâm người điều tra cần phải làm cơng việc ? Trình bày kết thu theo mẫu bảng ? - Muốn thu thập số liệu thống kê vấn đề cần quan tâm người điều tra cần phải đến đơn vị điều tr để thu thập số liệu Sau trình bày kết thu theo mẫu bảng số liệu thống kê ban đầu chuyển thành bảng tần số dạng ngang dạng dọc 15 Tần số giá trị ? Thế mốt dấu hiệu ? Nêu cách tính số trung bình cộng dấu hiệu - Tần số giá trị số lần xuất giá trị dãy giá trị dấu hiệu - Mốt dấu hiệu giá trị có tần số lớn bảng “tần số”; kí hiệu M0 - Cách tính số trung bình cộng dấu hiệu: + C1: Tính theo công thức: X x1n x21n2 x3n3 xk nk N + C2: Tính theo bảng tần số dạng dọc + B1: Lập bảng tần số dạng dọc (4 cột) + B2: Tính tích (x.n) + B3: Tính tổng tích (x.n) + B4 Tính số trung bình cộng cách lấy tổng tích chia cho tổng tần số (N) 16 Thế đơn thức ? Bậc đơn thức ? Cho ví dụ - Đơn thức biểu thức đại số gồm số, biến, tích số biến + VD: 2; - 3; x; y; 3x2 yz5; - Bậc đơn thức có hệ số khác tổng số mũ tất biến có đơn thức + VD: Đơn thức -5x3 y2z2xy5 có bậc 12 17 Thế đơn thức thu gọn ? cho ví dụ - Đơn thức thu gọn đơn thúc gồm tích số với biến, mà biến nâng lên luỹ thừa với số mũ nguyên dương + VD: Các đơn thức thu gọn xyz; 5x3 y3 z2; -7y5z3; 18 Để nhân đơn thức ta làm ? áp dụng tính (- 2x2yz).(0,5x3y2z2).(3yz) - Để nhân hai hay nhiều đơn thức ta nhân hệ số với nhân phần biến loại với áp dụng: (- 2x2yz).(0,5x3y2z2).(3yz) = (-2 0,5 3)(x2x3)(yy2y)(zz2z) = - 3x5y4z4 19 Thế đơn thức đồng dạng ? Cho ví dụ - Hai đơn thức đồng dạng hai đơn thức có hệ số khác có phần biến + VD: 5x2y3; x2y3 - 3x2y3 đơn thức đồng dạng www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com 20 Nêu quy tắc cộng, trừ đơn thức đồng dạng áp dụng tính: 1 3x2yz + x2yz ; 2xy2z3 - xy2z3 3 - Để cộng (hay trừ) đơn thức đồng dạng, ta cộng (hay trừ) hệ số với giữ nguyên phần biến 1 10 + VD: 3x2yz + x2yz = x yz x yz 3 1 2xy2z3 - xy2z3 = x yz x yz 3 21 Có cách cộng, trừ hai đa thức, nêu bước thực cách ? *Có hai cách cộng, trừ hai đa thức là: - C1: Cộng, trừ theo hàng ngang (áp dụng cho tất đa thức) + B1: Viết hai đa thức cho dạng tổng hiệu, đa thức để ngoặc đơn + B2: Bỏ ngoặc Nếu trước ngoặc có dấu cộng giữ nguyên dấu hạng tử ngoặc Nếu trước ngoặc có dấu trừ đổi dấu tất hạng tử ngoặc từ âm thành dương, từ dương thành âm + B3 Nhóm đơn thức đồng dạng + B4: Công, trừ đơn thức đồng dạng để có kết - C2: Cộng trừ theo hàng dọc (Chỉ áp dụng cho đa thức biến) + B1: Thu gọn xếp hạng tử đa thức theo luỹ thừa tăng (hoặc giảm) biến + B2: Viết đa thức vừa xếp dạng tổng hiệu cho đơn thức đồng dạng thẳng cột với + B3: Cộng, trừ đơn thức đồng dạng cột để kết Chú ý: p(x) – Q(x) = P( x) Q( x) 22 Khi số a gọi nghiệm đa thức P(x) ? *áp dụng: Cho đa thức P(x) = x3 + 7x2 + 7x – 15 Trong số - 5; - 4; - 3; - 2; - 1; 0; 1; 2; 3; 4; số nghiệm đa thức P(x)? Vì - Nếu x = a, đa thức P(x) có giá trị ta nói a (hoặc x = a) nghiệm đa thức - áp dụng: Thay số cho vào đa thức, số thay vào đa thức mà đa thức có giá trị nghiệm đa thức Do số nghiệm đa thức P(x) là: - 5; - 3; B/ Phần hình học Hai góc đối đỉnh hai góc mà cạnh góc tia đối cạnh góc - Hai góc đối đỉnh Hai đường thẳng vng góc hai đường thẳng cắt tạo thành bốn góc vng Đường trung trực đoạn thẳng đường thẳng qua trung điểm vuông góc với đoạn thẳng Hai đường thẳng song song hai đường thẳng khơng có điểm chung *Tính chất hai đường thẳng song song - Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b góc tạo thành có cặp góc so le thì: + Hai góc so le cịn lại + Hai góc đồng vị + Hai góc phía bù *Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song - Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b góc tạo thành có: + Một cặp góc so le + Hoặc cặp góc đồng vị + Hoặc hai góc phía bù a b song song với - Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba chúng song song với www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com - Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba chúng song song với Tiên đề - clit đường thẳng song song - Qua điểm ngồi đường thẳng có đường thẳng song song với đường thẳng Từ vng góc đến song song - Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba chúng song song với - Một đường thẳng vng góc với hái đường thẳng song song cng vng góc với đường thẳng - Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba chúng song song với Tổng ba góc tam giác - Tổng ba góc tam giác 1800 - Trong tam giác vng,hai nhọn phụ - Góc ngồi tam giác góc kề bù với góc tam giác - Mỗi góc ngồi mmọt tam giác tổng hai góc khơng kề với Các trường hợp hai tam giác thường *Trường hợp 1: Cạnh – cạnh – cạnh - Nếu cạnh tam giác cạnh tam giác hai tam giác *Trưịng hợp 2: Cạnh – góc – canh - Nếu hai cạnh góc xen tam giác hai cạnh góc xen tam giác hai tam giác *Trường hợp 3: Góc – cạnh – góc Nếu cạnh hia góc kề tam giác cạnh hai góc kề tam giác hai tam giác Các tam giác đặc biệt a/ Tam giác cân - Định nghĩa: Tam giác cân tam giác có hai cạnh - Tính chất: Trong tam giác cân hai góc đáy - Cách chứng minh tam giác tam giác cân + C1: Chứng minh tam giác có cạnh Tam giác tam giác cân + C2: Chứng minh tam giác có góc Tam giác tam giác cân + C3: Chứng minh tam giác có bốn đường (đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao xuất phát từ đỉnh đường trung trực ứng với cạnh đối diện đỉnh này) trùng Tam giác tam giác cân b/ Tam giác vuông cân - Định nghĩa: Tam giác vng cân tam giác vng có hai cạnh góc vng - Tính chất: Trong tam giác vng cân hai góc đáy 450 - Cách chứng minh tam giác tam giác vng cân + C1: Chứng minh tam giác có góc vng hai cạnh góc vng Tam giác tam giác vng cân + C2: Chứng minh tam giác có hai góc 450 Tam giác tam giác vng cân c/ Tam giác - Định nghĩa: Tam giác tam giác có ba cạnh - Tính chất: Trong tam giác ba góc 600 - Cách chứng minh tam giác tam giác + C1: Chứng minh tam giác có ba cạnh Tam giác tam giác + C2: Chứng minh tam giác cân có góc 600 Tam giác tam giác + C3: Chứng minh tam giác có hai góc 600 Tam giác tam giác Các trường hợp hai tam giác vng *Trường hợp 1: Hai cạnh góc vng - Nếu hai cạnh góc vng tam giác vng hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng *Trường hợp 2: Cạnh góc vng góc nhọn kề - Nếu cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vng cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vng hai tam giác vng www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com *Trường hợp 3: Cạnh huyền góc nhọn - Nếu cạnh huyền góc nhọn tam giác vng cạnh huyền góc nhọn tam giác vng hai tam giác vng *Trường hợp 4: Cạnh huyền cạnh góc vng - Nếu cạnhu huyền cạnh góc vng tám giác vng cạnh huyền mộtcạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng Định lí Pytago thuận, đảo *Định lí Pytago thuận (áp dụng cho tam giác vng) - Trong tam giác vng, bình phương cạnh huyền tổng bình phương hai cạnh góc vng Nếu tam giác ABC vng A ta có: BC2 = AB2 + AC2 *Định lí Pytago đảo (áp dụng để kiểm tra tam giác có phải tam giác vng khơng biết độ dài cạnh) - Trong tam giác, bình phương cạnh tổng bình phương hai cạnh cịn lại tam giác tam giác vng (Nếu tam giác ABC có BC2 = AB2 + AC2 tam giác ABC tam giác vng A) Định lí quan hệ góc cạnh đối diện tam giác *Định lí 1: Trong tam giác, góc đối diện với cạnh lớn góc lớn Nếu tam giác ABC có AB > AC Cˆ Bˆ *Định lí 2: Trong tam giác, cạnh đối diện với góc lớn cạnh lớn ˆB ˆ BC > AC Nếu tam giác ABC có A 10 Định lí mối quan hệ đường vng góc đường xiên, đường xiên hình chiếu * Định lí 1: Trong đường xiên đường vng góc kẻ từ điểm đường thẳng đến đường thẳng đường vng góc đường ngắn *Định lí 2: Trong hai đường xiên kè từ 11 Định lí mối quan hệ ba cạnh tam giác, bất đẳng thức tam giác *Định lí: Trong tam giác, tổng độ dài hai cạnh lớn độ dài cạnh lại *Hệ quả: Trong tam giác, hiệu độ dài hai cạnh lớn độ dài cạnh lại *Nhận xét: Trong tam giác, độ dài cạnh lớn hiệu nhỏ tổng độ dài hai cạnh lại Trong tam giác ABC, với cạnh BC ta có: AB – AC < BC < AB + AC 12 Các đường đồng quy tam giác a/ Tính chất ba đường trung tuyến tam giác - Đường trung tuyến tam giác đoạn thẳng nối từ đỉnh tam giác tới trung điểm cạnh đối diện - Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm Điểm cách đỉnh khoảng độ dài đường trung tuyến qua đỉnh - Giao điểm ba đường trung tuyến tam giác gọi trọng tâm tam giác b/ Tính chất tia phân giác *Tính chất tia phân giác góc - Định lí 1: Điểm nằm tia phân giác góc cách hai cạnh góc - Định lí 2: Điểm nằm bên góc cách hai cạnh góc nằm tia phân giác góc - Nhận xét: Tập hợp điểm cách nằm bên góc cách hai cạnh góc tia phân giác góc * Tính chất ba đường phân giác tam giác - Định lí: Ba đường phân giác tam giác qua điểm Điểm cách ba cạnh tam giác c/ Tính chất đường trung trực *Tính chất đường trung trực đoạn thẳng - Định lí 1: Điểm nằm đường trung trực đoạn thẳng cách hai mút đoạn thẳng www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com - Định lí 2: Điểm cách hai mút đoạn thẳng nằm đường trung trực đoạn thẳng - Nhận xét: Tập hợp điểm cách hai mút đoạn thẳng đường trung trực đoạn thẳng *Tính chất ba đường trung trực tam giác - Đường trung trực tam giác đường trung trực cạnh tam giác - Ba đường trung trực tam giác qua điểm Điểm cách ba đỉnh tam giác - Giao điểm ba đường trung trực tam giác tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác d/ Tính chất đường cao tam giác - Đường cao tam giác đoạn thẳng vng góc kẻ từ đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện - Ba đường cao tam giác qua điểm - Giao điểm ba đường cao tam giác gọi trực tâm tam giác *Về đường cao, trung tuyến, trung trực, phân giác tam giác cân - Tính chất tam giác cân: Trong tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời đường phân giác, đường trung tuyến, đường cao xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh - Nhận xét (Cách chứng minh tam giác tam giác cân): Trong tam giác, hai bốn loại đường (đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao xuất phát từ đỉnh đường trung trực ứng với cạnh đối diện đỉnh này) trùng tam giác tam giác cân www.thuvienhoclieu.com Trang ... cách lấy tổng tích chia cho tổng tần số (N) 16 Thế đơn thức ? Bậc đơn thức ? Cho ví dụ - Đơn thức biểu thức đại số gồm số, biến, tích số biến + VD: 2; - 3; x; y; 3x2 yz5; - Bậc đơn thức có hệ... 3x2 yz5; - Bậc đơn thức có hệ số khác tổng số mũ tất biến có đơn thức + VD: Đơn thức -5x3 y2z2xy5 có bậc 12 17 Thế đơn thức thu gọn ? cho ví dụ - Đơn thức thu gọn đơn thúc gồm tích số với biến,... trừ hai đa thức, nêu bước thực cách ? *Có hai cách cộng, trừ hai đa thức là: - C1: Cộng, trừ theo hàng ngang (áp dụng cho tất đa thức) + B1: Viết hai đa thức cho dạng tổng hiệu, đa thức để ngoặc