chuong-1_2

Trần Quốc Chiến Lý thuyết đồ thị ứng dụng CHƯƠNG I ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐỒ THỊ I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN Đồ thị vô hướng đồ thị có hướng  Định nghĩa 1.1.1 Đồ thị vơ hướng G = (V,E) gồm tập V đỉnh tập E cạnh Mỗi cạnh e  E liên kết với cặp đỉnh v, w (không kể thứ tự) hình sau v e w  Ví dụ 1.1.1 Hình 1.1.1.a đồ thị đỉnh cạnh Hình 1.1.1.b đồ thị đỉnh cạnh (a) (b) Hình 1.1.1  Định nghĩa 1.1.2 Đồ thị có hướng G = (V,E) gồm tập V đỉnh tập E cạnh có hướng gọi cung Mỗi cung e  E liên kết với cặp đỉnh (v, w) có thứ tự hình sau v e w  Ví dụ 1.1.2 Hình 1.1.2 đồ thị có hướng gồm đỉnh cung Hình 1.1.2 Cho đồ thị có hướng G=(V, E) Nếu ta thay cung G cạnh, đồ thị vơ hướng nhận gọi đồ thị lót đồ thị có hướng G Chương I Đại cương đồ thị I.1 Trần Quốc Chiến Lý thuyết đồ thị ứng dụng  Ví dụ 1.1.3 Hình 1.1.3 đồ thị lót đồ thị có hướng cho Hình 1.1.2 Hình 1.1.3  Ghi Đồ thị vơ hướng coi đồ thị có hướng cạnh e=(v,w) tương ứng với hai cung (v,w) (w,v) Cho đồ thị (có hướng vơ hướng) G = (V,E) Nếu cạnh e liên kết đỉnh v, w ta nói cạnh e liên thuộc đỉnh v, w, đỉnh v, w liên thuộc cạnh e, đỉnh v, w đỉnh biên cạnh e đỉnh v kề đỉnh w Nếu có cạnh e liên kết với cặp đỉnh v, w , ta viết e=(v,w) Nếu e cung v gọi đỉnh đầu w gọi đỉnh cuối cung e Nếu có nhiều cạnh liên kết với cặp đỉnh ta nói cạnh song song Cạnh có hai đỉnh liên kết trùng gọi khuyên Đỉnh không kề với đỉnh khác gọi đỉnh cô lập Số đỉnh đồ thị gọi bậc đồ thị, số cạnh số cung đồ thị gọi cỡ đồ thị Đồ thị hữu hạn đồ thị có bậc cỡ hữu hạn Đồ thị đơn đồ thị khơng có khun khơng có cạnh song song Đồ thị vơ hướng đủ đồ thị mà cặp đỉnh kề Đồ thị có hướng đủ đồ thị có đồ thị lót đủ  Ví dụ Đồ thị sau đồ thị đơn, đồ thị đủ Đồ thị sau đồ thị đủ, đồ thị đơn Chương I Đại cương đồ thị I.2 Trần Quốc Chiến Lý thuyết đồ thị ứng dụng Đồ thị sau đồ thị đủ đơn Bậc, nửa bậc vào, nửa bậc Cho đồ thị G = (V, E)  Định nghĩa 1.1.3 Giả sử đỉnh vV có p khuyên q cạnh liên thuộc (khơng phải khun) Khi bậc đỉnh v 2p+q ký hiệu degG(v) đơn giản deg(v) Số bậc đỉnh lớn G ký hiệu (G), số bậc đỉnh nhỏ G ký hiệu (G) Từ định nghĩa suy đỉnh cô lập đồ thị đơn đỉnh có bậc Đỉnh có bậc gọi đỉnh treo  Định nghĩa 1.1.4 Cho G=(V,E) đồ thị có hướng, vV Nửa bậc đỉnh v, ký hiệu degO(v), số cung từ đỉnh v (v đỉnh đầu), nửa bậc vào đỉnh vV, ký hiệu degI(v), số cung tới đỉnh v (v đỉnh cuối)  Ví dụ 1.1.4 Cho đồ thị x2 e1 x6 e4 x1 x4 e2 e3  x5 x3 Hình 1.1.4 Chương I Đại cương đồ thị I.3 Trần Quốc Chiến Lý thuyết đồ thị ứng dụng Trong đồ thị ta có deg(x1) = 6; deg(x2) = deg(x3) = 4; deg(x4) = 3; deg(x5) = 0; deg(x6) =  (G) = 6, (G) = Đỉnh x1 có hai khuyên liên thuộc Có hai cạnh song song liên thuộc đỉnh x x Đỉnh x5 đỉnh cô lập Đỉnh x6 đỉnh treo Đồ thị đồ thị đơn, đồ thị đủ  Ví dụ 1.1.5 Xét đồ thị có hướng sau x2 x6 x1 x4 x3 x5 Hình 1.1.5 Trong đồ thị có hướng ta có degI(x1) = 0; degI(x3) = 2; degI(x5) = 1; degO(x1) = 2; degO(x3) = 1; degO(x5) = 1; degI(x2) = 1; degI(x4) = 2; degI(x6) = 2; degO(x2) = 2; degO(x4) = 2; degO(x6) = 0;  Định lý 1.1.1 (Bổ đề bắt tay - Hand Shaking Lemma) Cho đồ thị G = (V,E) Khi (i) Tổng bậc đỉnh đồ thị số chẵn  deg( v) = 2.card(E) vV (ii) Nếu G đồ thị có hướng,  deg vV O (v) =  deg (v) vV I = card(E) card(E) ký hiệu số phần tử tập E Chứng minh (i) Mỗi cạnh e = (u, v)  E tham gia tính bậc đỉnh u bậc đỉnh v Từ suy công thức (i) (ii) Mỗi cung e = (u, v)  E tham gia tính bậc đỉnh u bậc vào đỉnh v Từ suy cơng thức (ii)  Hệ 1.1.2 Số đỉnh bậc lẻ đồ thị vô hướng số chẵn Chứng minh Chương I Đại cương đồ thị I.4 Trần Quốc Chiến Lý thuyết đồ thị ứng dụng Cho đồ thị G = (V,E) Ký hiệu V1 tập số đỉnh bậc lẻ, V tập số đỉnh bậc chẵn Theo bổ đề ta có card(E) =  deg( v) =  deg( v) +  deg( v) vV  vV1  deg( v) = card(E)   deg( v) vV1 vV2 số chẵn Các số hạng deg(v) tổng cho tổng vV2  deg( v)  deg( v) số lẻ Vì để vV1 số chẵn số số hạng phải số chẵn, tức card(V1) vV1 số chẵn Suy số đỉnh bậc lẻ V số chẵn  Ghi chú: Bổ đề có tên bổ đề bắt tay từ tốn thực tế sau: Trong hội thảo, đại biểu bắt tay Khi tổng số lần bắt tay tất đại biểu số chẵn  Định nghĩa 1.1.5 Đồ thị Kn đồ thị đơn, đủ n đỉnh (mỗi cặp đỉnh có cạnh liên kết)  Ví dụ 1.1.6 Hình sau đồ thị K5 Hình 1.1.6  Mệnh đề 1.1.3 Mọi đỉnh đồ thị Kn có bậc n1 Kn có n(n1)/2 cạnh  Định nghĩa 1.1.6 Đồ thị lưỡng phân G =(V,E) đồ thị mà tập đỉnh phân làm tập rời V1 V2 cho cạnh liên kết với đỉnh thuộc V đỉnh thuộc V2, ký hiệu G = ({V1,V2},E) Đồ thị Km,n đồ thị lưỡng phân ({V1,V2},E) với tập V1 có m đỉnh tập V2 có n đỉnh đỉnh V nối với đỉnh V cạnh  Ví dụ 1.1.7 Hình sau đồ thị K3,3 Chương I Đại cương đồ thị I.5 Trần Quốc Chiến Lý thuyết đồ thị ứng dụng a x b c y z Hình 1.1.7  Mệnh đề 1.1.4 Cho đồ thị lưỡng phân đủ Km,n = ({V1,V2},E) với tập V1 có m đỉnh tập V2 có n đỉnh Khi đỉnh V1 có bậc n đỉnh V2 có bậc m Km,n có m.n cạnh  Định nghĩa 1.1.7 Cho đơn đồ thị G Vectơ bậc d(G) đồ thị G dãy bậc tất đỉnh G xếp giảm dần Vectơ v gồm số tự nhiên gọi vectơ đồ thị tồn đơn đồ thị có vectơ bậc v  Ghi Từ bổ đề bắt tay suy vectơ đồ thị số thành phần lẻ số chẵn  Ví dụ 1.1.8 Vectơ [3, 3, 2, 2] vectơ đồ thị vectơ bậc đồ thị sau Hình 1.1.8 Ngược lại, vectơ [3,3,3,1] khơng phải vectơ đồ thị tồn đồ thị G (4 đỉnh) có vectơ bậc [3,3,3,1], sau loại đỉnh bậc cạnh liên thuộc ta nhận đồ thị đỉnh khơng đơn có đỉnh bậc 3, suy G khơng đơn Tuy nhiên, vecto có số chiều lớn, ta khơng dễ dàng chứng minh vecto đồ thị hay vecto đồ thị Xét vectơ v = [5, 4, 4, 3, 3, 3, 2] Đây có phải vecto đồ thị hay khơng ? Tiếp theo, tìm hiểu thuật tốn giải toán Định lý sau sở thuật toán  Định lý 1.1.5 (Hakimi-Havel) Cho v = [d1, d2, , dn], n  2, vectơ n số tự nhiên thoả n   d1  d2   dn  Cho v’ vectơ nhận từ v cách bỏ thành phần d 1, trừ bớt d1 thành phần Ký hiệu v vectơ v’ thành phần xếp giảm dần Khi đó, v vectơ đồ thị v vectơ đồ thị Chương I Đại cương đồ thị I.6 Trần Quốc Chiến Lý thuyết đồ thị ứng dụng Chứng minh (i) Giả sử v1 vectơ đồ thị Khi tồn đồ thị G bậc n1 có vectơ bậc v1 Ta ký hiệu lại đỉnh G x2, x3, , xn cho [d(x2), d(x3), , d(xn)] = v’ Từ đồ thị G ta xây dựng đồ G cách thêm đỉnh x vào G1 nối x1 với d1 đỉnh dãy x 2, x3, , xn Ta có degG(x1) = d1 degG(xi) = deg(xi) + = di i=2, , d1 Các đỉnh cịn lại có bậc trùng với k  (d1 + 1) thành phần lại v Như d(G) = v, v vectơ đồ thị (ii) Bây ta giả sử v vectơ đồ thị Khi đó, tồn đồ thị với tập đỉnh V = [x1, x2, , xn] cho deg(xi) = di i=1,2, ,n Trong đồ thị ta chọn đồ thị G có tổng bậc đỉnh kề x lớn Ta x1 kề với d1 dỉnh dãy x 2, x3, , xn Giả sử điều khơng Khi tồn j, k thoả < j  d1 + < k & x1 không kề xj & x1 kề xk Nếu dj = dk , ta hốn vị hai đỉnh x j xk x1 kề xj Vì giả thiết dj > dk Như tổng bậc đỉnh kề x dk + t với t  Vì dj > dk , nên tồn đỉnh xi kề xj mà không kề xk Ta xây dựng đồ thị H từ đồ thị G cách loại bỏ hai cạnh (x i, xj), (x1, xk) thêm vào hai cạnh (x i, xk), (x1, xj) Đồ thị H có vectơ bậc d(H) = v tổng bậc đỉnh kề x dj + t > dk + t Điều mâu thuẫn với việc chọn đồ thị G có tổng bậc đỉnh kề x lớn Bây ta xây dựng đồ thị G’ từ đồ thị G cách loại đỉnh x cạnh liên thuộc x1 Hiển nhiên vectơ bậc d(G’) = v 1, tức v1 vectơ đồ thị  Sử dụng định lý Hakimi-Havel ta đưa thuật tốn kiểm tra xem vectơ có phải vectơ đồ thị khơng sau  Thuật toán 1.1.1 Kiểm tra vectơ đồ thị  Đầu vào : Vectơ v = [d1, d2, , dn] gồm n số nguyên giảm dần  Đầu : Kết luận v vectơ đồ thị hay v không vectơ đồ thị  Các bước : Bước (Khởi tạo) Đặt k := n u := v = [d1, d2, , dk] Bước (Kiểm tra đồ thị đơn) Nếu u có thành phần lớn (k1) nhỏ 0, sang bước Ngược lại, sang bước Bước Nếu thành phần u số 0, sang bước Ngược lại, sang bước Bước (bước lặp) Cho u’ vectơ nhận từ u cách bỏ thành phần d1, trừ bớt d1 thành phần Ký hiệu u vectơ u’, thành phần xếp giảm dần Đặt k := k1 u := u1 Quay lại bước Bước Kết luận: v vectơ đồ thị Kết thúc Bước Kết luận: v vectơ đồ thị Kết thúc  Ví dụ 1.1.9 Kiểm tra vectơ v = [5, 4, 4, 3, 3, 3, 2] Chương I Đại cương đồ thị I.7 Trần Quốc Chiến Lý thuyết đồ thị ứng dụng Bước 0: Đặt k := 7, u := [5, 4, 4, 3, 3, 3, 2] Bước lặp 1: k = 7, u = [5, 4, 4, 3, 3, 3, 2]  u’ = [3, 3, 2, 2, 2, 2], u1 = [3, 3, 2, 2, 2, 2] Bước lặp 2: k = 6, u = [3, 3, 2, 2, 2, 2]  u’ = [2, 1, 1, 2, 2], u1 = [2, 2, 2, 1, 1] Bước lặp 3: k = 5, u = [2, 2, 2, 1, 1]  u’ = [1, 1, 1, 1], u1 = [1, 1, 1, 1] Bước lặp 4: k = 4, u = [1, 1, 1, 1]  u’ = [0, 1, 1], u1 = [1, 1, 0] Bước lặp 5: k = 3, u = [1, 1, 0]  u’ = [0, 0], u1 = [0, 0] Kết luận v vectơ đồ thị Đồ thị sau có vectơ bậc v E D A B F C G Hình 1.1.9 Chương I Đại cương đồ thị I.8 Trần Quốc Chiến Lý thuyết đồ thị ứng dụng Đường đi, chu trình, tính liên thơng  Định nghĩa 1.1.8 Cho đồ thị G=(V,E) Dây  từ đỉnh v đến đỉnh w tập hợp đỉnh cạnh nối tiếp đỉnh v kết thúc đỉnh w Số cạnh dây  gọi độ dài dây  Dây  từ đỉnh v đến đỉnh w độ dài k biểu diễn sau  = (v, e1, v1, e2, v2, , vk-1, ek, w) vi (i = 1, , k1) đỉnh dây ei (i=1, ,k) cạnh dây liên thuộc đỉnh kề trước sau Các đỉnh cạnh dây lặp lại Đường từ đỉnh v đến đỉnh w dây từ đỉnh v đến đỉnh w, cạnh không lặp lại Đường sơ cấp đường không qua đỉnh lần  Ghi Trong đồ thị n đỉnh, đường sơ cấp hai đỉnh khác có nhiều n1 cạnh Vịng dây có đỉnh đầu đỉnh cuối trùng Chu trình đường có đỉnh đầu đỉnh cuối trùng Chu trình sơ cấp chu trình khơng qua đỉnh q lần  Ghi Trong đồ thị n đỉnh, chu trình sơ cấp có nhiều n cạnh  Ví dụ Cho đồ thị sau E D A B F C G Ta có số dây từ B đến E: 1 = (B,G,C,A,F,C,A,E), 2 = (B,A,C,F,A,E), 3 = (B,A,C,F,E), 4 = (B,A,E) 1 khơng phải đường đi, có cạnh CA lặp lại Độ dài 1 2 đường đi, khơng sơ cấp, có đỉnh A lặp lại Độ dài 2 3 4 đường sơ cấp Ta có vòng sau: 1 = (A,B,C,G,B,C,A), 2 = (A,B,C,G,B,D,A), 3 = (A,B,C,A) 1 khơng phải chu trình, có cạnh BC lặp lại 2 chu trình, khơng sơ cấp, có đỉnh B lặp lại 3 chu trình sơ cấp Chương I Đại cương đồ thị I.9 Trần Quốc Chiến Lý thuyết đồ thị ứng dụng Dây có hướng đồ thị có hướng dãy đỉnh cung nối tiếp (e1, e2, , ek) thoả mãn đỉnh cuối cung ei đỉnh đầu cung ei+1 , i=1, , k-1 Đường có hướng đồ thị có hướng dây có hướng, cung khơng lặp lại Đường có hướng sơ cấp đường có hướng khơng qua đỉnh q lần Vịng có hướng dây có hướng có đỉnh đầu đỉnh cuối trùng Chu trình có hướng đường có hướng có đỉnh đầu đỉnh cuối trùng Chu trình có hướng sơ cấp chu trình có hướng khơng qua đỉnh q lần Đồ thị vô hướng gọi liên thông, cặp đỉnh có đường nối chúng với Đồ thị có hướng gọi liên thơng mạnh, cặp đỉnh (u,v) tồn đường có hướng từ u đến v từ v đến u Đồ thị có hướng gọi bán liên thông, với cặp đỉnh (u,v) tồn đường có hướng từ u đến v từ v đến u Đồ thị có hướng gọi liên thơng yếu, đồ thị lót (vơ hướng) liên thơng  Ghi Đồ thị liên thông mạnh  Đồ thị bán liên thông  Đồ thị liên thông yếu  Định lý 1.1.6 (i) Trong đồ thị vô hướng dây từ đỉnh v đến w chứa đường sơ cấp từ v đến w (ii) Trong đồ thị có hướng dây có hướng từ đỉnh v đến w chứa đường có hướng sơ cấp từ v đến w Chứng minh (i) Cho  = (v, e1, v1, e2, v2, , v n-1, en, w) dây từ v đến w Nếu v1, , vn-1 khác  đường sơ cấp Ngược lại tồn i, j, < i < j < n, thoả vi = vj Ta loại đỉnh vi+1, , vj khỏi dây  nhận dây từ v đến w có số cạnh Vì số cạnh hữu hạn, nên tiếp tục q trình trên, đến lúc dây khơng có đỉnh lặp nữa, ta nhận đường sơ cấp từ v đến w (ii) Chứng minh tương tự (i)   Định lý 1.1.7 Đồ thị G lưỡng phân G khơng chứa chu trình (sơ cấp) độ dài lẻ Chứng minh Điều kiện cần: hiển nhiên Điều kiện đủ: Cho G=(V,E) đồ thị khơng chứa chu trình độ dài lẻ Khơng tính tổng qt ta giả thiết G liên thông (nếu không ta xét thành phần liên thông) Ta xây dựng tập V + V_ V sau Chương I Đại cương đồ thị I.10