Miền siêu giả lồi
Hàm đa điều hòa dưới
Trong phần này, chúng ta sẽ trình bày một số tính chất cơ bản của hàm đa điều hòa dưới Trước tiên, cần nhắc lại một vài định nghĩa và định lý liên quan đến hàm đa điều hòa dưới, và chứng minh cho các định lý này có thể tham khảo trong tài liệu của Kenzo Adachi ([4], phần 1.2 Đặc trưng của tính giả lồi) Định nghĩa 1.1 cho biết rằng, giả sử Ω là tập con mở trong C n, hàm u: Ω → R được gọi là đa điều hòa dưới nếu
(i) u là nửa liên tục trên trong Ω, tức là với mọi c ∈ R : {z ∈ Ω : u(z) < c} là tập mở.
(ii) Với bất kì z ∈ Ω và ω ∈ C n thì u(z + ζω) là điều hòa dưới trên {ζ ∈ C : z + ζω ∈ Ω}.
Ta chú ý một vài tính chất cơ bản của hàm đa điều hòa dưới sau đây. Định lý 1.1 Cho Ω ⊂C n , u : Ω → R , u ∈ C 2 (Ω) Khi đó,
(i) u là đa điều hòa dưới nếu và chỉ nếu n
(ii) ulà đa điều hòa dưới chặt nếu và chỉ nếu n
Ví dụ 1.1 Xét không gian phứcC 2 , chou(z, ω) = |z| 2 +|ω| 2 và v(z, ω) = |z| 2 + |ω| 4
4 với (z, ω) ∈ C 2 Khi đó, u là hàm đa diều hòa dưới chặt còn v là hàm đa điều hòa dưới.
Thật vậy, u, v là các hàm trơn và ma trận Hessian phức của u và v lần lượt là
! Cả hai ma trận trên đều là ma trận Hermit Ma trận H u là xác định dương chặt và ma trận H v là xác định dương.
Miền giả lồi
Cho Ω ⊂ C n là tập mở Ta nói rằng Ω có biên lớp C k (k ≥ 2) nếu tồn tại một lân cận U của∂ Ω và một hàm r xác định lớp C k trên U sao cho
• dr 6= 0 trên ∂Ω, ta có dr(z) = n
Giả sử Ω là một miền bị chặn trong C n (với n ≥ 2) có biên trơn D Nếu r là một hàm xác định trên D, thì D được gọi là miền giả lồi tại điểm p thuộc biên ∂Ω nếu dạng Levi thỏa mãn điều kiện nhất định.
∂z i ∂z j (p)ω i ω j ≥ 0 với mọi ω ∈ T p (1,0) (∂ Ω) Ω được gọi là miền giả lồi chặt nếu L(r, ω) là xác định dương với mọi ω 6= 0.
Ví dụ 1.2 Xét không gian phức C 2 và hình cầu đơn vị B 2 = {(z, ω) ∈ C 2 :
Miền B2 được xác định bởi điều kiện |z|^2 + |ω|^2 < 1 là một miền giả lồi chặt Hàm xác định của biên ∂B2 được chọn là r(z, ω) = |z|^2 + |ω|^2 − 1 Hàm này là một hàm đa điều hòa và được xác định dưới chặt tại mọi điểm (z, ω) thuộc ∂B2.
Toán tử Laplace-Beltrami trên đa tạp K¨ ahler
Giả sử M là một đa tạp Riemann định hướng n chiều, với Ω p (M) là không gian p-dạng trên M Toán tử vi phân thông thường được định nghĩa là d: Ω p (M) −→ Ω p+1 (M) với p ≥ 0 Hơn nữa, giả sử rằng ds² = P i,j g ij dx i ⊗ dx j là một metric Riemann trên T ∗ M ⊗ T ∗ M.
Chương 1 Kiến thức cơ bản g ij là ma trận thực cấp n và xác định dương chặt Khi đó ds 2 chứa một metric Riemann trên T ∗ M ⊗ T ∗ M xác định bởi dS 2 =X i,j g ij ∂
∂x j trong đó (g ij ) là ma trận nghịch đảo của (g ij ).
Giả sử d ∗ là toán tử liên hợp của d trên Ln p=0 Ω p (M ) tương ứng với metric P i,j g ij dx i ⊗ dx j nghĩa là d ∗ : Ω p (M ) −→ Ω p−1 (M) và
M hdα, βi ds 2 mọi α ∈ Ω p−1 M, β ∈ Ω p M, trong đó ∗ là toán tử Hogde. Định nghĩa 1.3 Toán tử Hogde-Laplace trên Ω p M là
Toán tử Hogde-Laplace được liên hệ với toán tử Laplace-Beltrami như sau: Với mọi hàm trơn f ta có thể định nghĩa gradient của nó là
∂x j trong đó g = det(g ij ), khi đó với mọi trường vecto X ta có hgrad f, X i = X(f ) = df (X).
Mặt khác, toán tửdiv tác động lên một trường vectoZ = Z i ∂
∂x i được định nghĩa là divZ =: 1 g
∂x j ( √ gZ j ). Định nghĩa 1.4 Toán tử Laplace-Beltrami trên Ω p (M ) là
Khi đó, chúng ta biết rằng trên không gian các hàm khả vi trên M ta có
Dễ dàng nhận thấy rằng
Vì (g ij) xác định dương, nên −4f là một toán tử elliptic Định nghĩa 1.5 cho biết rằng nếu M là một đa tạp phức với tọa độ địa phương z = (z1, , zn), thì một metric Hermit trên M được xác định bởi h jk(z)dz j ⊗ dz k, trong đó h jk(z) là ma trận Hermit xác định dương phụ thuộc vào z.
Ngoài ra, các thành phần h jk (z) là các hàm trơn Dạng vi phân song bậc (1, 1) xác định bởi i
Metric Hermit h jk (z) được gọi là metric Kähler nếu tồn tại một lân cận U của z và một hàm F: U −→ R sao cho điều kiện i được thỏa mãn.
2 h jk (z)dz j ∧ dz k = ∂∂F, ∂∂F được gọi là dạng K¨ahler, F gọi là thế vị K¨ahler.
Giả sử h jk (z) là một metric Kähler trên đa tạp phức M Mỗi metric Hermit đều sinh ra một metric Riemann, từ đó cho phép định nghĩa toán tử Laplace-Beltrami tương ứng với metric Riemann hv, ωi R,h Trong bối cảnh này, toán tử Laplace-Beltrami có dạng cụ thể.
Miền siêu giả lồi
Miền siêu giả lồi chặt được định nghĩa là một miền trơn, bị chặn trong C^n, trong đó tồn tại một hàm xác định đa điều hòa dưới chặt r ∈ C^4(D) với điều kiện L^2[r] > 0 (hoặc L^2[r] ≥ 0) trên biên ∂D.
L 2 [r] =: 1 + |∂ r | 2 r n(n + 1) 4elog J(r) − 2Re R log J (r) n + 1 − |∂ r | 2 r | 5e log J (r)| 2 , (1.1) với 4e = n
Chương 1 Kiến thức cơ bản Định nghĩa 1.8 Cho D là một miền trơn, bị chặn, giả lồi chặt trong C n , r ∈
C ∞ (D) là một hàm xác định trên D sao cho u = − log(−r) là hàm đa điều hòa dưới chặt Ta nói rằng metric K¨ahlerg[u]cảm sinh bởiulà siêu tiệm cận Einstein nếu
(i) Độ cong Ricci R ij ≥ −(n + 1)g ij trên D.
Giả sử J là toán tử Fefferman thì
Nhân hàng đầu với −u i rồi cộng vào hàng i + 1, i = 2, n, ta sẽ được
Công thức xấp xỉ
Cho miền D bị chặn trong C n với biên trơn và hàm r ∈ C 2 (D) xác định trên D, có giá trị thực và âm Toán tử Fefferman được định nghĩa để tác động lên hàm r trong bối cảnh này.
∂z i ∂z j là ma trận Hessian phức cỡ n × n của r.
Giả sử rằng H(r) = [r ij ] là khả nghịch, một cách đặc biệt giả sử nó là xác định dương, thì ta sử dụng kí hiệu [r ij ] t =: H(r) −1 và
Ta dễ dàng tính được
=det H(r)(−r + |∂r| 2 r ) (1.4) Nhận xét 1.1 Khi H(r) không xác định dương trên ∂D, ta có thể thay r bởi r[a] := r(z) + a
Khi đó r[a] là xác định dương với a đủ lớn và
Xuyên suốt trong luận văn này, ta sẽ luôn giả sử rằng r(z) ∈ C ∞ (D) là hàm xác định cho miền D, và nhận giá trị âm sao cho
Chương 1 Kiến thức cơ bản là đa điều hòa dưới chặt trongD Bằng tính toán trực tiếp ở phần 1.4 chương 1 và xem các bài báo [2, 8, 9, 10], ta nhận được det H(`(r)) = J(r)e (n+1)`(r) (1.8)
Từ đó, ta có kết luận sau
(i) u := `(r) là đa điều hòa dưới chặt trên D nếu và chỉ nếu J(r) > 0 trên D. (ii) J(r) = 1 nếu và chỉ nếu det H(u) = e (n+1)u với u := `(r).
Chúng tôi sẽ khẳng định và chứng minh các công thức xấp xỉ sau đây Định lý 1.2 chỉ ra rằng, với D là một miền trơn, bị chặn giả lồi trong C n, và r(z) là hàm trơn xác định âm trên D, thì `(r)` là đa điều hòa dưới chặt trong D Hơn nữa, chúng ta có thể định nghĩa ρ 1 (z) = r(z)J(r) n+1 −1 e −B(z).
Hơn nữa, nếu J(r) = 1 + O(r 2 ) thì ρ 1 = r + O(r 3 ) và
Chứng minh Trước hết, ta chọn a ≥ 0 đủ lớn để r[a] là đa điều hòa dưới chặt.
Từ định nghĩa của r[a] và tính toán trực tiếp, ta có
Vì vậy, ta có thể viết
B (z) = (−r)B 0 (z) với B 0 (z) ∈ C ∞ (D) Tính toán trực tiếp, từ công thức trên, ta nhận được
Với mỗi z = z 0 cố định, bằng cách sử dụng phép quay phức (nếu cần), ta có thể giả sử rằng ∂r
∂z j (z 0 ) = 0 với 1 ≤ j ≤ n − 1 và H(r)(z 0 ) là đường chéo, khi đó tr(H(`(r))) −1 H(B) = −nB(z) + (−r)B 0 + O(r 2 )
= −(n − 1)B + O(r 2 ) (1.15) Mặt khác, ta tính được
Chú ý rằng, e (n+1)`(ρ 1 ) = e (n+1)B J (r)e (n+1)`(r) , từ đó ta có
KhiJ (r) = 1 + Ar 2 với A trơn trên D,dễ dàng chứng minh B = B 1 r 2 với B 1 trơn trên D gồm ∂D Dễ dàng thấy rằng ρ 1 [r] = r + O(r 3 ) và J (ρ 1 [r]) = 1 + O(r 3 )
Mệnh đề 1.1 Cho D là một miền trơn bị chặn giả lồi chặt trong C n Cho u là nghiệm đa điều hòa dưới của phương trình
Khi đó, với bất kỳ hàm xác định trơn r của D sao cho `(r) là đa điều hòa dưới chặt trong D, ta có det H(ρ) = J (r) n+1 −n det
(1.16) trên ∂D, trong đó B(z) = B [r](z) như trong công thức (1.10).
Chương 1 Kiến thức cơ bản
Chứng minh Đặt ρ 1 (z) := ρ 1 [r] := r(z)J (r) n+1 −1 e −B (1.17) Định lý 1.2 suy ra rằng ρ(z) = ρ 1 (z) + O(r(z) 3 ) Bằng tính toán trực tiếp, ta nhận được det H(ρ) =det H(ρ 1 ), z ∈ ∂D (1.18) Bởi vì B(z) = (−r)B 0 (z), ta dễ dàng thấy rằng ρ 1 (z) = r(z)J(r) n+1 −1 − r(z)J (r) n+1 −1 B(z) + O(r(z) 3 ) (1.19) và det H(ρ 1 ) = det H r(z)J(r) n+1 −1 − r(z)J (r) n+1 −1 B(z)
, z ∈ ∂D (1.20) Với bất kì z ∈ ∂D, bởi (1.20), ta có det H(ρ 1 )(z) =det
(1.21) Đó là điều phải chứng minh
Với mỗi j = 1, 2, cho trước các miền D j ⊂ C n , gọi u D j là hàm thế vị cho metric K¨ahler - Einstein của D j và cho ρ D j (z) = −e −u Dj (z) , j = 1, 2 (1.22) Khi đó, ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.2 Cho φ : D 1 → D 2 là ánh xạ trơn song chỉnh hình Khi đó ρ D 1 (z) = ρ D 2 (φ(z))|detφ 0 (z)| n+1 −2 (1.23) Đặc biệt, nếu det φ 0 (z) là hằng số c thì det H(ρ D 1 )(z) = |c| n+1 2 det H(ρ D 2 )(φ(z)) (1.24)
Chứng minh.Vì u D j là hàm thế vị cho metric K¨ahler - Einstein củaD j nên u D j là nghiệm đa điều hòa dưới duy nhất cho phương trình Monge-Ampère
Do φ : D 1 → D 2 là song chỉnh hình, ta có u D 1 (z) = u D 2 (φ(z)) + 1 n + 1 log |det φ 0 (z)| 2 , z ∈ D 1 , (1.25) và ρ D 1 (z) = ρ D 2 (φ(z))|det φ 0 (z)| n+1 −2 (1.26) Đặc biệt, khi det φ 0 (z) = c, ta có det H(ρ D 1 )(z) = |c| −2n n+1 det H(ρ D 2 )(φ(z))|c| 2
= |c| n+1 2 det H(ρ D 2 )(φ(z)). Đó là điều phải chứng minh
Chúng ta cũng cần công thức đổi biến chỉnh hình sau đây.
Bổ đề 1.1 Cho z 0 ∈ ∂D, và δ 0 > 0 nào đó, nếu z = φ(w) : B (0, δ 0 ) → B(z 0 , 1) là ánh xạ chỉnh hình một - một với φ(0) = z 0 và r(z) =e r(w) thì ρ 1 (φ(w)) = |detφ 0 (w)| n+1 2 e r(w)
Hơn nữa, nếu |detφ 0 (z)| 2 là một hằng số trên B (0, δ 0 ) thì det H(ρ 1 )(z 0 )|det φ 0 (0)| n+1 2 = det H e r
! (1.28)Chứng minh Bổ đề được suy ra từ Định lý 1.2 và Mệnh đề 1.1
Phương trình Fefferman trên miền siêu giả lồi và ứng dụng
Kết quả chính đầu tiên trong chương này là để chứng minh rằng nghiệm của phương trình Fefferman trên một miền trơn, bị chặn, giả lồi chặt D trong
Trong không gian C^n, một miền D được coi là siêu giả lồi nếu và chỉ nếu nó thỏa mãn điều kiện là miền siêu giả lồi, theo Định lý 2.2 Mục tiêu chính của chương này là thiết lập mối liên hệ giữa các miền siêu giả lồi và các miền lồi, được thể hiện qua Định lý 2.1 Định lý này khẳng định rằng nếu D là một miền trơn và bị chặn trong C^n, thì những tính chất liên quan sẽ được chứng minh.
(i) Với n = 1, D là siêu giả lồi chặt (siêu giả lồi) nếu và chỉ nếu D là lồi chặt (lồi).
(ii) Với n > 1, nếu D là lồi và nếu có một hàm xác định đa điều hòa dưới chặt r ∈ C 4 (D) sao cho n − 1 + |∂r| 2 n a kl [r]h
∆re kl − a iq [r]r pj r ijk r pql − ( ∆re k )( ∆re l )i
− 2Re r k ∆re k > 0 thì D là siêu giả lồi chặt.
(iii) Tính lồi không suy ra tính siêu giả lồi và tính siêu giả lồi không suy ra tính lồi.
Chứng minh Định lý 2.1 sẽ được chia thành hai phần Phần đầu tiên, "Mối liên hệ giữa các miền siêu giả lồi và các miền lồi", sẽ trình bày chứng minh cho các phần (i) và (ii) Phần thứ hai, "Các phản ví dụ", sẽ giới thiệu chứng minh cho phần (iii) thông qua các phản ví dụ.
Hàm đa điều hòa dưới chặt và miều siêu giả lồi
Kết quả đầu tiên của luận văn chứng minh rằng nghiệm của phương trình Fefferman trên miền trơn, bị chặn, giả lồi chặt D trong C n là đa điều hòa dưới trong D nếu và chỉ nếu D là miền siêu giả lồi Định lý 2.2 chỉ ra rằng nếu D là miền trơn, bị chặn, giả lồi chặt trong C n và eρ ∈ C 4 (D) là hàm xác định trong D với e u = − log(− ρ) e là đa điều hòa dưới chặt, thì nếu metric Kähler g[e u] cảm sinh bởi e u là siêu tiệm cận Einstein, thì hai khẳng định sau là đúng.
(i) e ρ là đa điều hòa dưới chặt trên D nếu và chỉ nếu D là siêu giả lồi chặt. Đặc biệt, nếu ρ e = ρ(z) là nghiệm của phương trình Fefferman
(det J(ρ) = 1, z ∈ D ρ = 0, z ∈ ∂D thì ρ là đa điều hòa dưới chặt trong D khi D là siêu giả lồi chặt.
(ii) Nếu D là siêu giả lồi thì λ 1 (∆ g[ u] e ) = n 2 , trong đó
Chứng minh Lấy r ∈ C ∞ (D) là hàm xác định đa điều hòa dưới chặt bất kì cho miền D Đặt ρ 1 (z) = r(z)J (r) n+1 −1 e −B(z) , (2.1) trong đó,
Theo Định lý 1.2, ta có
Gọi ρ = ρ D là nghiệm của phương trình Fefferman sao cho `(ρ) là đa điều hòa dưới chặt trong D Khi đó det H(ρ)(z) =det H(ρ 1 )(z) trên ∂D (2.4) Bởi Mệnh đề 1.1 và
Chương 2 Phương trình Fefferman trên miền siêu giả lồi và ứng dụng trong đó
Do đó, với z 0 ∈ ∂D, ta có
−r + |∂r| 2 r Khi đó, dễ dàng thấy rằng | ∇e r r| 2 = 0 trên ∂D Vì vậy, bởi (1.21) ta có detH(ρ 1 )(z) = J(r) n+1 −n det
Mặt khác, Bổ đề 3.1 trong [8] nói rằng det(I n − A ∗ B − B ∗ A) = |1 − hA, Bi| 2 − |A| 2 |B| 2 với A = (A 1 , , A n ), B = (B 1 , , B n ) Do vậy, tại z = z 0 ∈ ∂D, ta nhận được det H(ρ)(z 0 )J (r) n+1 n (z 0 ) = det H(r)
Giả sử D là siêu giả lồi chặt, theo định nghĩa, tồn tại hàm đa điều hòa dưới chặt r ∈ C 4 (D) sao cho bất đẳng thức đúng trên ∂D Ngược lại, nếu e ρ là hàm trơn trên D với metric Kähler cảm sinh bởi e u = − log(− ρ) e là siêu tiệm cận Einstein, thì detH(ρ) = e detH(ρ) > 0 trên ∂D Theo Bổ đề 2 trong [14], detH(ρ) đạt cực tiểu trên D tại một điểm nào đó trong ∂D Do đó, detH(e ρ) > 0 trên D, hoàn thành chứng minh (i) của Định lý 2.2.
Phần (ii) của Định lý 2.2 là hệ quả của phần (i) và kết quả trong [13] và
Mối liên hệ giữa các miền siêu giả lồi và các miền lồi
Trong phần này, chúng ta sẽ tiến hành chứng minh các khẳng định (i) và (ii) của Định lý 2.1 Trước khi bắt đầu chứng minh, cần nhắc lại một số ký hiệu và khái niệm quan trọng, trong đó có công thức log J(r) = logdet H(r) + log(−r + |∂r|^2 r ).
∂z k = −r k + ∂ k (r ij )r i r j + r ij r ik r j + r ij r i r kj
= −r iq r pj r pqk r i r j + r ij r ik r j
Chương 2 Phương trình Fefferman trên miền siêu giả lồi và ứng dụng trong đó
Mệnh đề dưới đây đưa ra chứng minh của khẳng định (i) trong Định lý 2.1.
Mệnh đề 2.1 Cho D là một miền trơn, bị chặn trong không gian phức C Khi đó D là siêu giả lồi (chặt) nếu và chỉ nếu D là lồi (chặt).
Chứng minh rằng hàm trơn Chor xác định điều hòa dưới chặt trên miền D ⊂ C Theo các công thức (2.12) và (2.13), ta có a 11 [r] = 0 và E(r) = 0 trên biên ∂D Do đó, miền D là siêu giả lồi chặt nếu và chỉ nếu điều kiện này được thỏa mãn.
Tại mỗi điểm z = z 0 ∈ ∂D bất kỳ cho trước, bằng cách sử dụng phép quay (nếu cần), ta có thể giả sử rằng r n (z 0 ) = r 1 (z 0 ) > 0 Do đó,
S r (z 0 ) = r 11 −Re r 11 (z 0 ) (2.15) là dương với mọi z 0 ∈ ∂D nếu và chỉ nếu ∂D là lồi chặt; và không âm với mọi z 0 ∈ ∂D nếu và chỉ nếu ∂D là lồi
Bây giờ ta đánh giá E(r)e
Mệnh đề 2.2 Với kí hiệu trên, z ∈ ∂D, ta có
∆re kl − a iq [r]r pj r ijk r pql − ( ∆re k )( ∆re l ) − n r i r ik r j r jl
∆re kl + a iq [r]r p r j r ijk r pql + 2a iq [r] r ik r ql
− 2Re r k ∆re k (n + 1) (2.17) Chứng minh Ta sử dụng hai đồng nhất thức sau
(r i ) l = (r iq r q ) l = r q (r iq ) l + r iq r ql = −r it r sq r stl r q + r iq r ql
= −r it r s r stl + r iq r ql và
(r j ) l = (r pj r p ) l = −r q r ij r iql + δ jl Theo (2.9) và (2.10), với z ∈ ∂D, ta có
= ∆re kl − r ijk r iq r pj r pql
= ∆re kl − r ijk r iq r pj r pql
|∂r| 2 r r j (−r it r s r stl + r iq r ql ) + r i (−r q r pj r pql + δ jl )
|∂r| 2 r i r ikl + r ik (−r it r s r stl + r iq r ql )
= ∆re kl − r iq r pj r ijk r pql − 1
|∂r| 2 r i r ikl − r it r s r stl r ik + r iq r ql r ik
= ∆re kl − r iq r pj r ijk r pql − r i r j r p r q
|∂r| 2 r (r i r pj r pk r ijl + r j r iq r ql r ijk ) + 1
Chương 2 Phương trình Fefferman trên miền siêu giả lồi và ứng dụng do đó
∆ loge J(r)(z) ≥a kl [r] ∆re kl − a kl [r]a iq [r]a pj [r]r ijk r pql
=a kl ∆re kl − a kl [r]a iq [r]r pj r ijk r pql và
∆ loge J (r)(z) ≤ a kl ∆re kl + 2a kl [r]a iq [r] r ik r ql
|∂r| 2 + a kl [r]a iq [r]r p r j r ijk r pql Hơn nữa,
∆re kl − a iq [r]r pj r ijk r pql
∆re kl − a iq [r]r pj r ijk r pql − ( ∆re k )( ∆re l ) − n r i r ik
∆re kl + a iq r p r j r ijk r pql + 2a iq [r] r ik r ql
Do vậy, chứng minh của mệnh đề đã hoàn thành
Sử dụng mệnh đề trên, ta nhận được hệ quả sau đây và thực chất là chứng minh cho khẳng định (ii) trong Định lý 2.1.
Hệ quả 2.1 Cho D là miền lồi trơn, bị chặn trong C n Nếu có một hàm xác định đa điều hòa dưới r ∈ C 4 (D) sao cho n − 1 n + 1 + |∂r| 2 a kl [r] n(n + 1)
∆re kl − a iq [r]r pj r ijk r pql − ( ∆re k )( ∆re l )
(2.18) thì D là siêu giả lồi chặt.
Chứng minh Nếu ∂D là lồi thì với bất kì hàm xác định đa điều hòa dưới chặt r ∈ C 4 (D), ta có
E(r) +e 1 n + 1 a kl [r]r i r ik r j r jl = |∂r| 2 a kl [r] n(n + 1) × ∆re kl − a iq [r]r pj r ijk r pql − ( ∆re k )( ∆re l )
− 2Re r k ∆re k n + 1 và 1 − 2 n + 1 = n − 1 n + 1, bởi (2.12), (2.18) và (2.19) ta có detH(ρ) > 0trên∂D Điều này suy ra ρ là đa điều hòa dưới chặt trên D bởi Bổ đề 2 trong [14].
Các phản ví dụ
Trong phần này, chúng ta sẽ xem xét hai ví dụ trong C 2 nhằm chứng minh phần (iii) của Định lý 2.1 Để chỉ ra rằng tính lồi chặt không đồng nghĩa với tính siêu giả lồi, chúng ta sẽ xây dựng một phản ví dụ Cụ thể, với δ = 4 − 12, chúng ta chọn hàm g(t) := g δ (t) :=.
Chương 2 Phương trình Fefferman trên miền siêu giả lồi và ứng dụng
Ví dụ 2.1 Lấy D = {z ∈C : r(z) < 0} Khi đó
(ii) Nếu ρ D là nghiệm của phương trình Fefferman, thì ρ D không là đa điều hòa dưới trong D.
Chú ý là theo Định lý 2.2 phần (i) miền D không là siêu giả lồi, bởi vì nếu
D là siêu giả lồi thì ρ là đa điều hòa dưới.
Chứng minh Ta dễ dàng tính được
=8x 1 y 1 g(|z 1 | 2 ) + 16|z 1 | 2 x 1 y 1 g 0 (|z 1 | 2 ) + 4|z 1 | 4 x 1 y 1 g 00 (|z 1 | 2 ); ngoài ra, ta cũng tính được
Do đó, D 2 r(z) = 2I n + D 2 (|z 1 | 4 g(|z 1 | 2 )) là xác định dương trên R 4 Vì vậy, D là lồi chặt Hơn nữa, H(r)(0) = I 2 Vậy nên detH(ρ D )(0) < 0.
Bởi (2.10), ta suy ra rằng ∂ log J(r)
(0) = 0 với 1 ≤ j ≤ 2 Theo (2.13) và (2.17), ta có r 1111 (0) = −32e −1 , E(r)(0) =e |∂r| 2
Suy ra ρ D không là đa điều hòa dưới trong D Để chứng minh rằng tính siêu giả lồi không suy ra tính lồi, ta có phản ví dụ sau.
Khi đó D là siêu giả lồi, nhưng D không lồi.
Chứng minh Tại điểm z = (0, 0, , 0) ∈ ∂D, ta có ∂
∂y n là các vectơ tiếp xúc trên ∂D với 1 ≤ j ≤ n − 1 Chú ý rằng
Chương 2 Phương trình Fefferman trên miền siêu giả lồi và ứng dụng cho thấy rằng hàm ∂D không lồi tại z = 0, dẫn đến kết luận rằng ∂D không lồi.
H(r) = I n + 4CDiag(|z 1 | 2 , , |z n | 2 ), trong đó Diag(|z 1 | 2 , , |z n | 2 )là ma trận đường chéo với các phần tử trên đường chéo lần lượt là |z 1 | 2 , , |z n | 2 Khi đó
∂z i ∂z j = (α + 2Cz 2 j )δ ij Với mỗi i, ta tính được r i = r i
(x 2 j + y j 2 ) 2 < 0. Điều này suy ra rằng
Ta sẽ chứng minh rằng
Thật vậy, giả sử ngược lại, 4C|z k | 2 ≥ 1
(1 + α)(9 − 8α) Điều này là mẫu thuẫn với điều điện 4C|z k | 2 ≥ 1
8 Vì vậy, khẳng định là đúng Chú ý rằng a kl [r]r l = 0 với mọi 1 ≤ k ≤ n Do đó, ta có r kl − r k r l
Chương 2 Phương trình Fefferman trên miền siêu giả lồi và ứng dụng
!2 r lk z k δ ik δ jk z l δ pl δ ql
Do đó, từ (2.19) ta có r kl − r k r l
E(r)e ≥ − 2Re r k ∆re k n + 1 − a ke l [r] r i r ik r j r jl
20 Do đó, theo (1.1) trong Định nghĩa 1.7 và (2.12) và (2.13),
D là siêu giả lồi chặt
Luận văn này trình bày lại các kết quả chính sau đây trong bài báo [7].
Nghiệm của phương trình Fefferman trên miền trơn, bị chặn, giả lồi chặt D trong C n là đa điều hòa dưới trong D nếu và chỉ nếu D là miền siêu giả lồi.
Luận văn trình bày điều kiện cần và đủ để các miền siêu giả lồi trở thành miền lồi Ngoài ra, tác giả cũng chỉ ra rằng các khái niệm này không tương đương bằng cách xây dựng các phản ví dụ, trong đó có miền lồi không siêu giả lồi và miền D là siêu giả lồi nhưng không phải là miền lồi.
[1] S Y Cheng,Eigenvalue comparison theorems and its geometric application, Math Z., 143, 289–297 (1975)
[2] S Y Cheng and S T Yau, On the existence of a complex K¨ahler metric on noncompact complex manifolds and the regularity of Fefferman’s equation, Comm Pure Appl Math 33, 507–544 (1980).
[3] C Fefferman, Monge-Ampère equations, the Bergman kernel, and geometry of pseudoconvex domains, Ann Math 103, 395–416 (1976)
[4] Kenzo Adachi, Several complex variables and integral formular, Nagasaki University, Japan , (2007)
[5] L Hormander, An introduction to Complex Analysis in several Variables,
[6] J M Lee and R Melrose,Boundary behavior of the complex Monge-Ampère equation, Acta Math 148, 159–192 (1982)
[7] S Y Li, Plurisubharmonicity for the solution of the Fefferman equation and applications, Bull Math Sci (2016) 6: 287-309
[8] S Y Li, On the K¨ahler manifolds with the largest infimum of spectrum of Laplace-Beltrami operators and sharp lower bound of Ricci or holomorphic bisectional curvatures, Comm Anal Geom 18, 555– 578 (2010)
[9] S Y Li, Characterization for balls by potential function of K¨ahler-Einstein metrics for domains in C n , Comm Anal Geom 13(2), 461–478 (2005)
[10] S Y Li, On the existence and regularity of Dirichlet problem for complex Monge-Ampère equations on weakly pseudoconvex domains, Calc Var PDEs