Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 26 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
26
Dung lượng
1,19 MB
Nội dung
Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp ” PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẬP THẠCH TRƯỜNG THCS LẬP THẠCH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: RÈN KỸ NĂNG GIẢI BÀI TỐN " PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ " Người thực hiện : Nguyễn Trần Kiên Đơn vị công tác : Trường THCS Lập Thạch Năm học : 2017 - 2018 Phần thứ : MỞ ĐẦU Nguyễn Trần Kiên Trường THCS Lập Thạch download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp ” I Lí chọn đề tài: Luật Giáo dục năm 2005 xác định “ Mục tiêu giáo dục phổ thông giúp học sinh phát triển tồn diện đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ kĩ , phát triển lực cá nhân , tính động sáng tạo , hình thành nhân cách người việt nam XHCN , xây dụng tư cách trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên vào sống lao động, tham gia xây dụng bảo vệ tổ quốc” Mục tiêu mơn tốn trường THCS : hình thành rèn luyện kĩ : tính tốn, thực phép biến đổi, chứng minh , trình bày cho học sinh Để có kĩ phải trải qua q trình luyện tập tích cực, cách theo Đề - Leibnitz nói : “ Giải toán nghệ thuật thực hành giống bơi lội, trượt tuyết , hay chơi đàn học nghệ thuật , cần bắt chước theo mẫu mực đắn thường xuyên thực hành khơng có chìa khố thần kì để mở cửa ngõ, khơng có hịn đá thần kì để biến kim loại thành vàng” Là giáo viên , nhận thấy: Công tác bồi dưỡng học sinh, đặc biệt bồi dưỡng học sinh giỏi nhà trường coi công việc quan trọng, thường xuyên , xuyên suốt Qua thực tiễn giảng dạy tơi nhận thấy : - Trong chương trình đại số , dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử nội dung quan trọng , việc áp dụng dạng toán phong phú đa dạng rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức nhiều phân thức, giải phương trình, … - Việc phân tích đa thức thành nhân tử khơng khó, cịn nhiều học sinh làm sai chưa thực chưa nắm vững phương pháp phân tích dạng , chưa có kỹ biến đổi linh hoạt vào cụ thể, chưa nhiều thời gian luyện tập - Ngồi đề thi hsg tốn 8,9 có liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử mức độ khó để giải ngồi phương pháp mà Sgk giới thiệu em học sinh cần phải biết thêm phương pháp khác như: Tách hạng tử, thêm bớt hạng tử, đổi biến, xét giá trị riêng, đồng nhất… Nhằm giúp học sinh tháo gỡ giúp hs giải tốt khó khăn, vướng mắc đồng thời cao chất lượng mơn đặc biệt chất lượng mũi nhọn nên chọn đề tài “ Rèn kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử” cho học sinh lớp Nguyễn Trần Kiên Trường THCS Lập Thạch download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp ” II Mục đích nghiên cứu: Nhằm nâng cao chất lượng dạy học: Từ mục tiêu “Học để biết, học để làm, học để chung sống học để làm người”, trước hết giáo dục nhà trường phải hình thành bồi dưỡng cho học sinh lực tự học, tự giải vấn đề Việc trang bị tốt lực hoạt động trọng tâm việc đổi phương pháp dạy học điều kiện đổi chương trình phổ thơng Vì cốt lõi đổi phương pháp dạy học hướng tới hoạt động học tập tích cực, chủ động, sáng tạo học sinh, chống lại thói quen học tập thụ động Đổi phương pháp dạy học bao gồm đổi nội dung hình thức hoạt động giáo viên học sinh, đổi hình thức tổ chức dạy học, đổi hình thức tương tác xã hội dạy học, đổi kĩ thuật dạy học với định hướng: Bám sát mục tiêu giáo dục phổ thông, phù hợp với nội dung dạy học cụ thể, phù hợp với đặc điểm lứa tuổi học sinh, điều kiện dạy học nhà trường, ứng dụng công nghệ thông tin Khi vận dụng giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử, em lúng túng Phải điểm xuất phát từ học sinh làm quen với phân tích đa thức thành nhân tử, em chưa hiểu rõ hết chất vấn đề, chưa nắm rõ phương pháp phân tích, quy tắc toán học nên dẫn đến nhầm lẫn giải tốn Chính vậy, từ phân tích đa thức thành nhân tử giáo viên cần phải nghiên cứu để giúp học sinh hiểu rõ chất việc phân tích đa thức thành nhân tử, nắm thật vững kiến thức để hạn chế nhầm lẫn, sai sót sau III Đối tượng nghiên cứu: - Dạng tốn “phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8” - Học sinh lớp trường THCS Lập Thạch IV Phạm vi nghiên cứu: - Đề tài xoay quanh dạng “Tốn phân tích đa thức thành nhân tử” chương trình tốn học bậc THCS - Học sinh THCS, đặc biệt học sinh giỏi lớp trường trung học sở Lập Thạch - Huyện lập Thạch V Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu tài liệu: Đọc tạp chí dạy học ngày nay; tạp chí giáo dục; vấn đề đổi giáo dục trung học sở; sách giáo khoa toán 8; sách tập Toán 8; hướng dẫn thực chuẩn kiến thức, kĩ mơn Tốn THCS làm sở thực giải pháp Điều tra: Qua dạy, dự học hỏi kinh nghiệm đồng nghiệp, trao đổi với học sinh để đưa biện pháp thực Thống kê: Thống kê số liệu học sinh qua theo dõi Nguyễn Trần Kiên Trường THCS Lập Thạch download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp ” PHẦN II: NỘI DUNG I Cơ sở lý luận Bất môn khoa học trường phổ thơng có vai trị tầm quan trọng Riêng mơn Tốn có vai trị quan trọng có khả to lớn góp phần thực nhiệm vụ chung nhà trường Các kiến thức Tốn học cơng cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt môn học khác, giúp em hoạt động có hiệu lĩnh vực Mơn Tốn có khả to lớn giúp học sinh phát triển lực phẩm chất trí tuệ Thật vậy, tính trừu tượng cao độ Tốn học, mơn Tốn giúp nhiều cho học sinh việc rèn luyện khả tư duy, sáng tạo Do tính xác cao, suy luận logic, chặt chẽ, mơn “Thể thao trí tuệ”, Tốn học có khả phong phú làm cho học sinh tư xác, tư hợp với logic Việc tìm kiếm, tìm lời giải tốn có tác dụng to lớn việc cho học sinh phương pháp khoa học suy nghĩ, suy luận, học tập việc giải vấn đề, rèn luyện cho học sinh trí thơng minh, sáng tạo Mơn Tốn cịn có khả đóng góp tích cực vào việc giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức sống lao động Vì dạy Toán làm cho học sinh nắm cách xác, vững có hệ thống kiến thức kĩ Toán học phổ thơng Có lực vận dụng tri thức vào tình cụ thể khác nhau, vào đời sống, vào lao động sản xuất vào học tập môn học khác Phát triển học sinh lực phẩm chất trí tuệ giúp học sinh biến tri thức thu nhận thành riêng thân mình, thành cơng cụ để nhận thức hành động đắn lĩnh vực hoạt động học tập mãi sau Giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức thẩm mỹ người công dân, phát triển học sinh khả tiếp thu môn Tốn Các mục đích nói khơng thể tách rời mà có mối quan hệ mật thiết, hỡ trợ, bổ sung cho nhau, thể thống trí dục đức dục, dạy học phát triển, nâng cao dân trí đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài trình dạy học môn trường phổ thông II Cơ sở thực tiễn Thực tiễn vấn đề nghiên cứu: Do học sinh cịn yếu tính tốn, kĩ quan sát nhận xét, biến đổi thực hành giải toán nên gặp tập, em thường lúng túng, chưa tìm hướng giải thích hợp, khơng biết áp dụng phương pháp trước, phương pháp sau, phương pháp phù hợp nhất, hướng giải tốt Do đó, dẫn đến việc vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cịn nhầm lẫn Ngồi ra, vài học sinh cịn chưa xác định rõ phân tích đa thức thành nhân tử nào? Và làm để phân tích đa thức cho thành nhân tử Nguyễn Trần Kiên Trường THCS Lập Thạch download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp ” Mặt khác, phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng nhiều dạng tốn sau như: Tính nhanh giá trị biểu thức, tốn tìm x, rút gọn phân thức đại số, giải phương trình tích… Sự cần thiết đề tài: Xuất phát từ tình hình thực tế trường yêu cầu nội dung kiến thức, tơi nhận thấy việc “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8” thực cần thiết Bởi vì, cách giúp học sinh rèn kĩ quan sát, nhận xét vận dụng linh hoạt phương pháp học vào tập cụ thể Từ đó, giúp em tìm tịi, phát chiếm lĩnh tri thức cách tốt Không thế, giải pháp giúp em hứng thú học toán, xem việc giải tập cách giải trí sau học mơn khác III Nội dung vấn đề Vấn đề đặt Để phân tích đa thức thành nhân tử học sinh cần phải nắm vững phương pháp như: Đặt nhân tử chung; dùng đẳng thức; nhóm hạng tử; phối hợp nhiều phương pháp Ngoài ra, học sinh khá, giỏi giới thiệu thêm hai phương pháp phân tích (nâng cao): Tách hạng tử; thêm bớt hạng tử Vì vậy, giáo viên phải thực số việc sau: - Xây dựng phương pháp giải phân tích đa thức thành nhân tử - Củng cố phương pháp phân tích - Sắp xếp tốn theo mức độ, dạng toán - Chữa sai lầm thường gặp học sinh giải tốn - Tìm tịi cách giải hay, khai thác toán - Giới thiệu thêm phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (Nâng cao) - Một số lưu ý q trình phân tích đa thức thành nhân tử Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 2.1 Phương pháp đặt nhân tử chung Phương pháp chung : - Tìm nhân tử chung hệ số (ƯCLN hệ số) - Tìm nhân tử chung biến (mỡi biến chung lấy số mũ nhỏ ) Nhằm đưa dạng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D) Chú ý: Nhiều để làm xuất nhân tử ta cần đổi dấu hạng tử : A = - (-A) Ví dụ 1: Phân tích đa thức 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử Gợi ý: - Tìm nhân tử chung hệ số 14, 21, 28 hạng tử ? (ƯCLN(14, 21, 28 ) = ) - Tìm nhân tử chung biến x2y, xy2, x2y2 ? (biến chung : xy ) Nguyễn Trần Kiên Trường THCS Lập Thạch download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp ” - Nhân tử chung hạng tử đa thức cho 7xy Giải: 2 2 14x y – 21xy + 28x y = 7xy.2x -7xy.3y + 7xy.4xy = 7xy.(2x – 3y + 4xy) Ví dụ 2: Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử Gợi ý: - Tìm nhân tử chung hệ số 10 ? ( ƯCLN(10, ) = 2) - Tìm nhân tử chung x(x – y) y(y – x) ? - Hãy thực đổi dấu tích 10x(x – y) tích – 8y(y – x) để có nhân tử chung (y – x) (x – y)? Giải: 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y) = 2(x – y).5x + 2(x – y).4y = 2(x – y)(5x + 4y) Ví dụ 3: Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử Các sai lầm học sinh thường mắc phải : 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 (đổi dấu sai ) = (x – y)[9x + 10(x – y)] = (x – y)(19x – 10y) (kết sai ) Lời giải đúng: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2 = (x – y)[9x – 10(x – y)] = (x – y)(10y – x) Chú ý: Tích khơng đổi dấu ta đổi dấu hai nhân tử tích (một cách tổng qt, tích khơng đổi dấu ta đổi dấu số chẵn nhân tử tích đó) Bài tập áp dụng: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 1) x y xy 5) x y 15 x y 21xy 2) 3x( x 1) x ( x 1) 6) x( x 2) (2 x)2 3) 4x( x a) 5a(a x) 7) 3x( x 1)2 (1 x)3 4) -7x y5 - 14x y4 - 21y3 8) 2a2b x y 4a3b x y Bài 2: Tính nhanh 1) 21,3.128 - 21,3.28 2) 7,2.137+28.13,7 3) 14.15,2 + 43.30,4 4) 52.143 - 52.39 - 8.26 Bài 3: Tìm x, biết: 1) 2x 10x2 2) 4x(x+1) = 8(x+1) 3) 5x(x - 2) - (2 - x) = 4) x3 x5 2.2 Phương pháp dùng đẳng thức Phương pháp chung: Biến đổi để xuất đẳng thức đáng nhớ A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 Nguyễn Trần Kiên Trường THCS Lập Thạch download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp ” A2 – B2 = (A – B)(A + B) A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3 A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = (A – B)3 A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) Ví dụ 1: Phân tích đa thức x2 xy y thành nhân tử Ta có: x2 xy y = x 2.x.3 y (3 y)2 ( x y)2 Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 1) 10x 25 x2 2) x3 3) x3 12 x y xy y Giải: 1) 10 x 25 x2 x2 10 x 25 x 10 x 25 x 5 1 1 2) 8x3 x 3 x x x 2 3 3) 8x 12 x y xy y x x y 3.2 x y y3 x y Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử: 3 3 3 1) a b c 3abc 2) x y z x y z Giải: 1)a3 b3 c3 3abc a b 3a 2b 3ab c3 3abc [ a b c3 ]-3ab(a+b+c) =(a+b+c)[(a+b) -c(a+b)+c ]-3ab (a+b+c)(a b c ab bc ca) 2) x y z x3 y3 z 3 x y z x3 y3 z 2 y z x y z xy yz zx x xy xz x y z y yz z y z 3x2 3xy yz 3zx y z x x y z x y 3 y z x y x z Bài tập áp dụng: Bài 1:Phân tích đa thức thành nhân tử x y3 6) x 125 y 64 1) 25a2 1 5) 2) a 2b 4b2 Nguyễn Trần Kiên Trường THCS Lập Thạch download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp ” 3) x xy y 7) x3 15x2 75x 125 4) 25 x 20 xy y 8) 27a3 54a2b 36ab2 8b3 Bài 2: Tìm x,biết : 1) x2 36 2) x2 10 x 25 3) x3 6x2 12x 4) (2 x 5)2 2(2 x 5)( x 1) ( x 1) 49 Bài 3:Phân tích đa thức thành nhân tử 1) a b b c c a 3 2 2 2 2) a b c a b c 3 3) a b c a b c b c a c a b 3 4) Cho a b c 4 Tính B a3 b3 c3 3abc a b b c c a 2 3 6) Cho a, b, c khác thoả: a b c 3abc a b c Tính E 1 1 1 b c a 7) Cho a, b, c khác thoả: a 8b 27c 18abc a 2b 3c Tính K 1 1 1 a 2b 3c 2.3 Phương pháp nhóm hạng tử Phương pháp chung Lựa chọn hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất nhân tử chung đẳng thức Thông thường ta dựa vào mối quan hệ sau: - Quan hệ hệ số, biến hạng tử tốn - Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn: + Mỗi nhóm phân tích + Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực * Nhóm hạng tử nhằm xuất nhân tử chung: Ví dụ 1: Phân tích đa thức x2 – 3x + xy – 3y thành nhân tử Giải: x2 – 3x + xy – 3y = (x2 – 3x) + (xy – 3y) = x(x – 3) + y(x – 3) = (x – 3)(x + y) * Nhóm nhằm xuất đẳng thức: Nguyễn Trần Kiên 3 Trường THCS Lập Thạch download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp ” Ví dụ 2: Phân tích đa thức x2 – 2x + – 4y2 thành nhân tử Giải: x2 – 2x +1– 4y2 = (x2 – 2x +1) – (2y)2 = (x – 1)2 – (2y)2 = (x – 1– 2y)(x –1+2y) Ví dụ 3: Phân tích đa thức x2 + 2xy + 4x + 4y + y2 thành nhân tử Giải x2 + 2xy + 4x + 4y + y2 = (x2 + 2xy + y2) + (4x + 4y) = (x + y)2 + 4(x + y) = (x + y)(x + y + 4) Lưu ý: Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích thành nhân tử khơng thực nữa, cách nhóm sai, phải thực lại Bài tập áp dụng: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 1) x3 x2 x 6) 25 x xy y 2) x3 3x2 3x 7) x y z t xz yt 3) 3x 3xy 5x y 8) ax2 bx2 2ax 2bx 3a 3b 2 4) x x y 9) ax bx cx 2a 2b 2c 2 5) x – 2x – 4y – 4y 10) ax bx 2cx 2a 2b 4c Bài 2: Tính nhanh 1) 16,87.91 6, 2.188 16,87.97 0,67.188 2) 562 312 132 56.62 Bài :Tìm x, biết : 1) x4 5x3 8x 40 2) x4 4x3 16x 16 2.4 Phối hợp nhiều phương pháp Phương pháp chung: Là kết hợp nhuần nhuyễn phương pháp nhóm nhiều hạng tử, đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức Vì vậy, học sinh cần nhận xét toán cách cụ thể, mối quan hệ hạng tử tìm hướng giải thích hợp Thơng thường ta xét theo thứ tự phương pháp: Đặt nhân tử chung; dùng đẳng thức; nhóm nhiều hạng tử? Ví dụ : Phân tích đa thức sau thành nhân tử 1) x5 x y x x3 y 2) x xy y x y (Đề thi hsg huyện Thanh Chương năm 2012-2013) Giải 1) x5 x y x x3 y x3 ( x xy x y) x3[( x xy ) (2 x y)] =x 3[x(x-y)+2(x-y)]=x ( x y)( x 2) Nguyễn Trần Kiên Trường THCS Lập Thạch download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp ” x xy y x y ( x xy y ) (4 x y ) 2) ( x y )2 4( x y ) [( x y ) 4( x y ) 4]-9 =(x-y+2) 32 ( x y 3)( x y 3) ( x y 5)( x y 1) Bài tập áp dụng: Bài 1:Phân tích đa thức sau thành nhân tử 1) x4 2x3 x2 6) x2 2a b xy 2aby2 2) x xy y 25 7) ab x2 y xy a2 b2 3) x2 2x a2 2ab b2 4) x2 a b 2xy a b ay2 by 5) x3 x y xy x 8) x2 12 xy y 9) 12 x y 12 x3 y 3x y 10) x xy y a 2ab b2 2.5 phương pháp tách hạng tử Ví dụ : Phân tích đa thức f(x) = 3x2 – 8x + thành nhân tử Giải: Cách 1: (tách hạng tử : 3x2 = 4x2 – x2) 3x2 – 8x + = 4x2 – 8x + – x2 = (2x – 2)2 – x2 = (2x – – x)( 2x – + x)= (x – 2)(3x – 2) Cách 2: (tách hạng tử : – 8x = – 6x – 2x) 3x2 – 8x + = 3x2 – 6x – 2x + = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2) Cách (tách hạng tử : = 16 – 12) 3x2 – 8x + = 3x2 – 12 – 8x + 16 = 3(x2 – 22 ) – 8(x – 2) = 3(x – 2)(x + 2) – 8(x – 2) = (x – 2)(3x + – 8) = (x – 2)(3x – 2) Nhận xét: Từ ví dụ trên, ta thấy việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử nhằm: - Làm xuất đẳng thức hiệu hai bình phương (cách 1) - Làm xuất hệ số mỗi hạng tử tỷ lệ với nhau, nhờ làm xuất nhân tử chung x – (cách 2) - Làm xuất nhân tử chung đẳng thức (cách 3) Nguyễn Trần Kiên 10 Trường THCS Lập Thạch download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp ” * Phương pháp nhẩm nghiệm - Nhận xét : Nếu đa thức f x a xn a xn1 a x a có nghiệm ngun x x0 x0 ước hệ số tự a0 , phân tích f(x) nhân tử f(x) có chứa nhân tử x x0 Vì đa thức biến bậc cao, ta nên tìm lấy nghiệm để định hướng cho việc phân tích nhân tử n n1 Ví dụ 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: f(x) = x3 - x2 – Gợi ý Ta kiểm tra với x = 1; 2; 4 ta thấy f(2) = Do đa thức f(x) có nghiệm x = 2, phân tích nhân tử, f(x) chứa nhân tử x – Từ ta tách hạng tử sau : f(x) = x3 - x2 - = x3 - 2x2 + x2 - 2x + 2x - = x2(x - 2) + x (x - 2) + (x - 2) = (x - 2)(x2 + x + 2) - Chú ý : xét nghiệm đa thức ta nhớ định lí sau: a) Nếu f(x) có tổng hệ số nghiệm f(x), f(x) có chứa nhân tử x – b) Nếu f(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ -1 nghiệm f(x), f(x) có chứa nhân tử x + Ví dụ 2: x3 + 5x2 + 8x + Nhận xét: Tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ nên đa thức có chứa nhân tử x + Do Ta tách sau: x3 + 5x2 + 8x + = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1) = (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2 - Chú ý 2: Để nhanh chóng loại trừ ước hệ số tự mà không nghiệm đa thức ta dùng nhận xét sau: Nếu a nghiệm nguyên f(x) f(1); f(- 1) khác f(1) f(-1) số nguyên a-1 a+1 Ví dụ 3: Phân tích đa thức f(x) = 4x3 13x2 9x 18 thành nhân tử: Ta thấy ước 18 là: 1, 2, 3, 6, 9, 18 Tính f(1) = -18; f(-1) = -44 nên -1 không nghiệm đa thức Nguyễn Trần Kiên 12 Trường THCS Lập Thạch download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp ” Ta thấy : 18 18 18 44 18 , , , không nguyên nên : 3, 6, 9, 18 ,2 không 3 6 9 18 1 nghiệm f(x) Chỉ -2 3; kiểm tra ta thấy nghiệm f(x), ta tách hạng tử sau: x3 13x x 18 x3 12 x x 3x x 18 x ( x 3) x( x 3) 6( x 3) ( x 3)(4 x x 6) p (dạng q tối giản) p ước hệ số tự a0 q ước dương hệ số cao an - Nhận xét : Nếu đa thức f x a xn a xn1 a x a có nghiệm hữu tỉ x n n1 Khi phân tích f(x) nhân tử f(x) có chứa nhân tử qx – p Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử: f(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - Giải: f(x) = 3x – 7x + 17x – Ta thấy số 1; 5 không nghiệm đa thức Như đa thức khơng có nghiệm ngun, đa thức có nghiệm hữu tỉ khác 3 Xét số ; , ta thấy nghiệm đa thức, phân tích nhân tử, đa thức chứa nhân tử 3x – Từ đó: f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – = (3x3 – x2) – (6x2 – 2x) + (15x – 5) = x2(3x – 1) – 2x(3x – 1) + 5(3x – 1) = (3x – 1)(x2 – 2x + 5) Bài tập áp dụng: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) x3 2x 2) x3– 6x2 +11x – 3) x3 9x2 6x 16 4) x3 6x2 x 30 5) 27 x3 27 x2 18x 6) x3 x2 5x 7) x5 + 6x4 +13x3 +14x2 +12x + 8) 2x + 7x3 - 2x2 -13x + 2.6 Phương pháp thêm bớt hạng tử Phương pháp thêm bớt hạng tử nhằm sử dụng phương pháp nhóm để xuất nhân tử chung dạng đẳng thức Ví dụ 1: Phân tích đa thức x4 + thành nhân tử Gợi ý: Thêm 4x2 bớt 4x2 : (làm xuất đẳng thức) Nguyễn Trần Kiên 13 Trường THCS Lập Thạch download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp ” Giải: x4 + = x4 + 4x2 + – 4x2 = (x2 + 2)2 –(2x)2 = (x2 + – 2x)(x2 + + 2x) Khai thác toán: * Thay “4” thành “ 64y4 ”, ta có toán: x4 + 64y4 Hướng dẫn giải: Thêm 16x2y2 bớt 16x2y2 : (làm xuất đẳng thức) x4 + 64y4 = (x4 + 16x2y2 + 64y4 ) – 16x2y2 = (x2 + 8y2)2 – (4xy)2 = (x2 + 8y2 – 4xy)(x2 + 8y2 + 4xy) Ví dụ 2: Phân tích đa thức x4 + x2 + thành nhân tử Ta phân tích: Cách 1: Thêm x2 bớt x2 : (làm xuất đẳng thức) Giải: x4 + x2 + = x4 + x2 + x2 +1 – x2 = x4 + 2x2 +1 – x2 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = (x2 + 1)2 – x2 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1) Cách 2: Thêm x bớt x:(làm xuất đẳng thức nhân tử chung) Ta có x4 + x2 + = x4 – x + x2 + x + = (x4 – x) + (x2 + x + 1) Giải: x4 + x2 + = x4 – x + x2 + x + = (x4 – x) + (x2 + x + 1) = x(x3 – 1) + (x2 + x + 1) = x(x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x2 – x + 1) Ví dụ 3: Phân tích đa thức x4 2013x2 2012x 2013 thành nhân tử (Đề thi hsg huyện Việt Yên năm 2012 - 2013) Giải x 2013x 2012 x 2013 x x 2013x 2013x 2013 ( x x) (2013x 2013x 2013) x( x3 1) 2013( x x 1) x( x 1)( x x 1) 2013( x x 1) ( x x 1)( x x 2013) Nguyễn Trần Kiên 14 Trường THCS Lập Thạch download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp ” Chú ý: Các đa thức có dạng x4+ x2+1, x5+ x+1, x5+ x4+ 1, x7+ x5+1,…; tổng quát đa thức dạng x3m+2 + x3n+1 +1 x3 – 1, x6 – có chứa nhân tử x2 + x + Trên vài ví dụ điển hình giúp em học sinh giải khó khăn q trình giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử Bài tập áp dụng: Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) 4x4 4) x8 64 5) x4 5x3 10x 2) x y 3) x4 324 Bài 2:Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) x5 x 2) x8 x7 3) x10 x8 4) x11 x4 5) x11 x7 6) x8 x 7) x11 x10 8) x4 2002x2 2001x 2002 9) x4 2005x2 2004x 2005 10) x4 2007 x2 2006x 2007 11) x4 1996x2 1995x 1996 12) x4 1999x2 1998x 1999 2.7 Phương pháp đặt biến phụ * Dạng 1: Đưa dạng tam thức bậc hai Phương pháp: Trong số toán, ta nên đưa biến phụ vào để việc giải toán gọn gàng, tránh nhầm lẫn Đặt ẩn phụ để đưa dạng tam thức bậc hai sử dụng phương pháp khác tiếp tục phân tích Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) 6x4 + 19x2 + 15 2) x x x x 12 2x 3) x 1 x2 x 10 Giải: 1) P(x) = 6x4 + 19x2 + 15 Đặt y = x2 , ta có: Q(y) = 6y2 + 19y + 15= 6y2 + 9y + 10y + 15 = 3y(2y + 3) + 5(2y +3) = (2y + 3)(3y + 5) Do ®ã : P(x) = 6x4 + 19x2 + 15 = ( 2x2 + 3)(3x2 + 5) 2) x x x x 12 Đặt x2 x t Nguyễn Trần Kiên 15 Trường THCS Lập Thạch download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp ” x x x x 12 t 4t 12 t 2t 6t 12 t t 2 t 2 t 2t 6 x x x x x x x x 1 x 1 x x x 1 x x x 3) x x 1 x x 4 10 2 2 2 2 2 x x x 2 Đặt 2x2 x 1 t x x 1 x x 10 t t 3 10 t 3t 10 t 5t 2t 10 t t 5 t t t x x x x x x x x 1 x x 3x x x 1 x x x x x 1 x x 3 x x 1 2 2 2 2 1) 4x 37 x 2) x 3x x 21x 10 2 3) x xy y x y 15 4) x 8xy 16 y x y 2 Bài tập áp dụng: 6) x2 xy y 10 x y 7) x2 x 1 x2 x 2 12 8) x2 x 3 x x 2 9) x2 x x2 x 3 12 5) x xy y x 14 10) x2 x 1 x2 x4 10 Ví dụ 2: Đa thức dạng ( x + a )( x + b )( x + c )( x + d ) +e ( với a + b = c + d ) Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) P(x) = (x +1)(x + 2)(x +3)(x + 4) – 15 2) x 2 x 3 x 4 x 5 24 Giải: 1) (x +1)(x + 2)(x +3)(x + 4) – 15 = (x + 1)(x + 4)( x + 2)( x + 3) – 15 = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) 15 Đặt y = x2 + 5x + P(x) trở thành Q(y) = y(y + 2) – = y2 +2y – 15 = y2 – 3y + 5y – 15 = y(y – 3) + 5( y – 3) = (y – 3)(y + 5) Do ®ã: P(x) = (x2 +5x + 1)(x2 + 5x + 9) 1) x x 4 x 6 x 10 128 2) x 1 x 3 x 5 x 7 20 3) x x 1 x 1 x 2 4) x 7 x 5 x 4 x 2 72 5) x2 8x 12 x2 12 x 32 16 Nguyễn Trần Kiên Bài tập áp dụng: 6) x2 x 3 x2 x 8 24 7) x2 x 5 x2 10 x 21 20 8) x2 x x2 x 18 28 9) x2 5x 6 x2 15x 56 144 10) x2 11x 28 x2 x 10 72 16 Trường THCS Lập Thạch download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp ” Ví dụ 3: Đa thức dạng (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2) víi a1b1 = c1d1 vµ a2b2 = c2d2 Phân tích đa thức thành nhân tử: P(x) = (3x + 2)( 3x – 5)( x – 9)( 9x + 10) + 24x2 Giải: DÔ thÊy a1b1 = 3.3 = 9.1 = c1d1 vµ a2b2 = 2.(-5) =(-1).10 =c2d2 P(x) = (9x2 – 9x – 10)(9x2 + 9x – 10) + 24x2 Đặt y = (3x +2)(3x 5) = 9x2 9x 10 P(x) trở thành: Q(y) = y(y + 10x) + 24x2 = y2 + 10xy + 24x2 Tìm m.n = 24x2 m + n = 10x ta chọn đ-ợc m = 6x , n = 4x Ta đ-ợc: Q(y) = y2 + 10xy + 24x2 = (y + 6x)(y + 4x) Do ®ã: P(x) = ( 9x2 – 3x – 10)(9x2 – 5x – 10) Bài tập áp dụng: 1) x 1 x 2 x 3 x 6 32x 5) x 2 x 4 x 5 x 10 54x2 2) x 1 x 4 x 2 x 8 4x2 6) x 2 x 4 x 6 x 12 36x2 3) x 2 x 3 x 6 x 4 72x2 7) x 5 x 6 x 10 x 12 3x2 4) x 3 x 1 x 5 x 15 64x2 8) x 2 x 3 x 8 x 12 4x2 Dạng 2: Đặt biến phụ dạng đẳng cấp Phương pháp: Một số đa thức có bậc cao, nhờ đặt biến phụ đưa đa thức có bậc thấp để thuận tiện cho việc phân tích nhân tử, sau phân tích nhân tử đa thức mới, thay trở lại biến cũ để đa thức với biến cũ Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) x 1 3x x 1 x Giải: 1) x 1 3x x 1 x Đặt x2 t x 2) 10 x x 3 x x x 3 x 4 1 3x x 1 x t 3xt x t xt xt x 2 t t x x t x t x t x x 2x x x x 2x x x x 1 2) 10 x x 3 x x x 3 x Đặt x2 2x t Nguyễn Trần Kiên 17 Trường THCS Lập Thạch download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp ” 10 x x 3 x x x 3 x 10t x 2t x 10t 10 x 2t x 2t x 4 10t t x x t x t x 10t x t x t x 10t x x x x x x x 10 x x 3 x x x 3 x 3x 3 10 x x 3 x 1) x x 8 3x x x 8 x 2 Bài tập áp dụng: 6) x x 1 x x x 1 x 2 2) x x 3 26 x x x 3 x 7) x x 3x x x x 3) x 1 x x 1 x 8) x x 3 26 x x x 3 x 4) x x 8 3x x x 8 x 9) 6 x x 1 x x x 1 5x 5) x x 1 x x x 1 x Dạng 3: Đặt biến phụ dạng hồi quy 10) x x 1 x x x 1 12 x 4 2 4 2 4 Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) x4 6x3 11x2 6x Giải: 1) x4 6x3 11x2 6x Giả sử x , ta viết dạng: 2) 2x4 5x3 27 x2 25x 50 1 A x x 11x x x x x 11 x x x 11 x x x x 1 Đặt x t x t Do x x A x t 6t 11 x t 3 xt 3x 2 2 2 1 x x 3x x 3x 1 x 2) 2x4 5x3 27 x2 25x 50 Giả sử x , ta viết dạng: 25 50 25 5 A x x 27 x 25 x 50 x x x 27 x x x 27 x x x x 25 Đặt x t x t 10 Do x x 2 A x t 10 5t 27 x 2t 20 5t 27 x 2t 5t x t 1 2t 5 x x 1 x x x x x 10 x x 1) x x 4x x 2) x4 6x3 x2 6x Nguyễn Trần Kiên Bài tập áp dụng: 5) x4 x3 14x2 14x 6) x4 10x3 26x2 10x 18 Trường THCS Lập Thạch download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp ” 3) x4 5x3 12x2 5x 4) 6x4 5x3 38x2 5x 7) x4 10x3 15x2 20x 8) 3x4 6x3 33x2 24x 48 2.8 Phương pháp hệ số bất định Phương pháp: NÕu trªn tập hợp số mà hai đa thức f(x) g(x) đồng với nhau, tức ứng với giá trị biến lấy tập hợp số đà cho mà f(x) g(x) có giá trị hệ số hạng tư cïng bËc lµ b»ng f ( x) an x n an1 x n1 a1 x a0 g ( x) bn x n bn1 x n1 b1 x b0 f ( x) g ( x) an bn ; an1 bn1 ; ; a1 b1 ; a0 b0 Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) h(x) = x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + 2) f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + Giải: 1) h(x) = x4 + 6x3 + 7x2 + 6x + Dễ thấy nghiệm đa thức nên đa thức nghiệm nguyên, nghiệm hữu tỷ Nh- đa thức đà cho phân tích thành nhân tử phải có dạng: (x2 + ax + b)( x2+ cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad +bc)x +bd §ång hệ số đa thức với đa thức đà cho, ta cã: x4 + 6x3 +7x2 + 6x + =x4 +(a + c)x3 + (ac + b +d)x2 + (ad + bc)x +bd ac6 ac b d Ta có: ad bc bd Nguyễn Trần Kiên 19 Trường THCS Lập Thạch download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp ” Từ hệ ph-ơng trình ta tìm đ-ợc: a = b = d = 1, c = VËy h(x) = x4 + 6x3 +7x2 + 6x + = (x2 + x + 1)(x2 + x + 5) 2) f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + Nhận xét: Các số 1; 3 nghiện đa thức f(x) nên đa thức khơng có nghiệm ngun, khơng có nghiệm hữu tỉ Như f(x) phân tích thành nhân tử phải có dạng: (x2 + ax + b)( x2 + cx + d), với a, b, c, d Z Khai triển dạng ta đa thức: x4 + (a+c)x3 + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x + bd Đồng đa thức với f(x) ta hệ điều kiện: a c 6 ac b d 12 ad bc 14 bd Xét bd = 3, với b, d Z, b {1; 3} Với b = d = 1, hệ điều kiện trở thành: a c 6 ac a 3c 14 Từ ta tìm được: a = -2; c = -4 Vậy f(x) = (x2 - 2x + 3)( x2 - 4x + 1) Ta trình bày lời giải sau: f(x) = x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = (x4 - 4x3 + x2) - (2x3+ 8x2 - 2x) + (3x2 -12x +3) = x2(x2 - 4x + 1) - 2x(x2 - 4x + 1) + 3(x2 - 4x + 1)= (x2 - 4x + 1)(x2 - 2x +3) Bài tập áp dụng: 2) x 6x 12x 14x 3) x 8x 63 5)3x x3 x 2 4) x x3 x 6) 3x4 5x3 18x2 3x 7) 2x4 x3 6x2 2x 8) x4 5x3 x2 2.9 Phương pháp xét giá trị riêng Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) 2) Q = a(b + c - a)2 + b(c + a - b)2 + c(a + b - c)2 + (a + b - c)( b + c - a)( c + a - b) Giải: 1) P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) Nhận xét: Nếu thay x y P = 0, nên P chia hết cho x - y Hơn thay x y, y z, z x P khơng thay đổi ( Ta nói đa thức P hốn vị vịng quanh) Do đó: P chia hết cho x - y P chia hết cho y - z z - x Nguyễn Trần Kiên 20 Trường THCS Lập Thạch download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp ” Từ đó: P = a(x - y)(y - z)(z - x); a số, khơng chứa biến P có bậc tập hợp biến Ta có: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = a(x - y)(y - z)(z - x) (*) với x,y, z R nên ta chọn giá trị riêng cho x, y, z để tìm số a xong Chú ý: Các giá trị x, y, z ta chọn tùy ý, cần chúng đôi khác để tránh P = Chẳng hạn: Chọn x = 2; y = 1; z = thay vào đẳng thức (*), ta tìm a = - Vậy: P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = -(x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z) 2) Q = a(b + c - a)2 + b(c + a - b)2 + c(a + b - c)2 + (a + b - c)( b + c - a)( c + a - b) Nhận xét: với a = Q = 0, a nhân tử Q Do vai trị bình đẳng a, b, c nên b c nhân tử Q, mà Q có bậc tập hợp biến nên Q = k.abc Chọn a = b = c = k = Vậy Q = 4abc Bài tập áp dụng: Phân tích đa thức sau thành nhân tử 1) ab a b bc b c ca c a 2) a bb c c a b c c a a b c a a b b c 3) ab a b bc b c ac a c 4) a2 b c b2 c a c2 a b 5) a4 b c b4 c a c4 a b 6) a3 b2 c2 b3 c2 a c3 a b2 7) x3 y z y3 z x2 z x y xyz xyz 1 8) x y z y z x z x y x3 y3 z 4xyz 9) ab a b bc b c ca c a 2abc 10) 3a2b ab2 b2c 3bc2 9c2a 9ca2 6abc 2 Nguyễn Trần Kiên 21 Trường THCS Lập Thạch download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp ” IV.Kết sáng kiến kinh nghiệm: Sau áp dụng sáng kiến kinh nghiệm trình bồi dưỡng hoùc sinh nhn thấy em đà có chun biÕn râ rƯt : Các em hiểu nắm phương pháp giải dạng “ Toán phân tích đa thức thành nhân tử” , kỹ vận dụng phương pháp giải linh hoạt hơn, xác , kỹ trình bày khoa học , logic Qua em kh«ng lúng túng thiếu tự tin nh- tr-ớc m dần thích thú say mê gặp dạng toán Kết cụ thể: LỚP 8A 8B 8C GIỮA HKI (trước áp dụng đề tài ) TS Đạt TB↑ TL% 28 35 18 23 HKI ( sau áp dng ti) t TB TL% 27 34 Năm học 2017 - 2018, đ-ợc nhà tr-ờng giao nhiệm vụ dạy môn Toán lp kt qu t c sau áp dụng sáng kiến kinh nghiệm : - Số học sinh đạt loại giỏi chiếm : Nguyễn Trần Kiên 0 22 Trường THCS Lập Thạch download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp ” - Học sinh giỏi cấp huyện : em có : Giải em; giải nhì : Giải ba (1 em); Giải khuyến khích (1 em) Phạm vi áp dụng: Giải pháp áp dụng tốt đơn vị áp dụng cho số đơn vị huyện, tỉnh V Bi hc kinh nghiờm: Ch-ơng trình SGK cô đọng, xúc tích ngắn gọn phù hợp cho học sinh đại trà Nh-ng em học sinh giỏi ham thích môn toán đòi hỏi cn phi tìm hiểu sâu kiến thức Nên muốn giảng dạy có hiệu nh- mong muốn thỡ ngi giỏo viờn cần phải: - Đổi ph-ơng pháp nghiên cứu, phng phỏp giảng dạy - Th-ờng xuyên suy nghĩ trau dồi kiến thức, sáng tạo giảng dạy, có phân dạng tập thành hệ thống liên kết với để học sinh thấy đ-ợc vận dụng sáng tạo kiến thức vào dạng tập cụ thể - Qua kết thu đ-ợc từ thực nghiệm năm học tr-ớc đúc rút thành kinh nghiệm cho giảng dạy năm học đ-ợc hoàn chỉnh hơn, điều chỉnh nội dung ph-ơng pháp phù hợp với đối t-ợng, đặc điểm học sinh lp, tng nm hc, tng địa ph-ơng Nguyn Trn Kiờn 23 Trng THCS Lập Thạch download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp ” Phần thứ ba : KẾT LUẬN Trong việc dạy học tốn việc rèn luyện kỹ giải toán cho học sinh cần thiết giúp học sinh phát triển khả tư , suy luận hợp lơgíc, khả quan sát, dự đốn Bước đầu hình thành thói quen tự học, tự nghiên cứu mục tiêu quan trọng Do việc áp dụng đề tài dạy học toán kh thi Trên mt số dạng toán th-ờng gỈp phần phân tích đa thức thành nhân tử Mỗi dạng toán có đặc điểm khác chia nhỏ dạng dạng Việc phân dạng nh- giúp học sinh dễ tiếp thu thấy đ-ợc toán ta nên áp dụng kiến thức cho phù hợp Mỗi dạng toán chọn mt số toán điển hình để học sinh hiểu cách làm từ bit dng làm tập mang tính t-ơng tự dần nâng cao lên Nhng kiờn nghị - Đề xuất: Nguyễn Trần Kiên 24 Trường THCS Lập Thạch download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp ” - Đối với nhà trường: Cần tổ chức hoạt động tổ - nhóm chun mơn với thời lượng nhiều hơn, hoạt động có chiều sâu - Với cấp quản lí giáo dục: +, Cần cung cấp thêm tài liệu tham khảo đồ dùng dạy học +, Cần tăng cường lớp tập huấn cho giáo viên đổi phương pháp giảng dạy, đổi kiểm tra đánh giá, tập huấn sử dụng phần mềm hỡ trợ cho giảng dạy - học tập Mặc dù đề tài đạt số kết định song không tránh khỏi thiếu sót, hạn chế Rất mong nhận đ-ợc ý kiến góp ý bạn đồng nghiệp để đề tài phong phú hn, có hiệu Lp thch, ngày tháng Ng-ời viết năm 2018 Nguyễn Trần Kiên TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa đại số – Nhà xuất giáo dục Sách giáo viên đại số – Nhà xuất giáo dục Thực hành dạy toán THCS – Nhà xuất giáo dục Tổng hợp kiến thức Toán THCS – Phạm Phu – Nhà xuất đại học sư phạm – Xuất năm 2005 Nguyễn Trần Kiên 25 Trường THCS Lập Thạch download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm: “Rèn kĩ phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp ” Bài tập nâng cao số chuyên đề Toán – Bùi Văn Tuyên – Nhà xuất giáo dục – Xuất năm 2004 Sách bồi dưỡng lực tự học toán – Nhà xuất ĐHQG TP HCM Sách nâng cao phát triển tốn - Vũ Hữu Bình - Nhà xuất giáo dục Nguyễn Trần Kiên 26 Trường THCS Lập Thạch download by : skknchat@gmail.com ... phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (Nâng cao) - Một số lưu ý q trình phân tích đa thức thành nhân tử Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử 2.1 Phương pháp đặt nhân tử chung... nhóm phân tích + Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực * Nhóm hạng tử nhằm xuất nhân tử chung: Ví dụ 1: Phân tích đa thức x2 – 3x + xy – 3y thành. .. có chứa nhân tử x2 + x + Trên vài ví dụ điển hình giúp em học sinh giải khó khăn q trình giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử Bài tập áp dụng: Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) 4x4