đề thi HSG toán lớp 12 Câu 1. Cho hàm số ( ) 2 sin 2 cos x f x x + = . Xét các khẳng định sau: 1, Hàm số đã cho xác định trên D = R. 2, Đồ thị hàm số đã cho có trục đối xứng. 3, Hàm số đã cho là hàm số chẵn. 4, Đồ thị hàm số đã cho có tâm đối xứng. 5, Hàm số đã cho là hàm số lẻ. 6, Hàm số đã cho là hàm số không chẵn không lẻ. Số khẳng định đúng trong sáu khẳng định trên là: A. 3 . B. 2 . C. 4 . D. 1. Câu 2. Cho A , B là hai biến cố xung khắc. Đẳng thức nào sau đây đúng? A. P A B P A P B ( ) ( ) ( ) ∪ = + . B. P A B P A P B ( ) ( ) ( ) ∪ = . . C. P A B P A P B ( ) ( ) ( ) ∪ = − . D. P A B P A P B ( ) ( ) ( ) ∩ = + . Câu 3. Cho cấp số cộng ( ) n u với 1 u = − 3; d = 2 . Số −2021 là số hạng thứ mấy của ( ) n u ? A. Số hạng thứ 1012. B. Số hạng thứ 1010. C. Số hạng thứ 1013. D. Số hạng thứ 1009. Câu 4. Cho hình lập phương ABCD A B C D . ′ ′ ′ ′ (hình vẽ bên dưới). Góc giữa hai đường thẳng AC và A D′ bằng A. 45°. B. 30°. C. 60°. D. 90°. Câu 5. Hỏi hàm số nào sau đây nghịch biến trên ? A. . 2 1 . 2 3 x y x + = − B. 2 1 1 y x = + . C. 3 y x x = − . D. y x x = − cos 2 . Câu 6. Cho hàm số y f x = ( ) có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Mệnh đề nào sau đây đúng? (−∞ + ∞ ; ) Trang 240 – Thanh Hóa Toán A. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 . B. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 . C. Hàm số đạt cực đại tại x = 4 . D. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 . Câu 7. Hàm số ( )2 2 y x = − + 4 1 có giá trị lớn nhất trên đoạn −1;1 là: A. 10. B. 12 . C. 14 . D. 17 . Câu 8. Đồ thị hàm số 2 3 2 2 1 x y x x + = + − có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang. A. 1 B. 4 C. 3 D. 2 Câu 9. Một hình lăng trụ tam giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A. 3 . B. 4 . C. 5 . D. 6 . Câu 10. Cho hình chóp tứ giác S ABCD . có đáy ABCDlà hình vuông cạnh a , cạnh bên SAvuông góc với mặt phẳng đáy và SA a = 2 . Thể tích V của khối chóp S ABCD . bằng A. 3 2a . B. 3 2 3 a . C. 3 2 4 a . D. 3 2 6 a . Câu 11. Cho hàm số ( ) ( )2 2 sin 2020 cos 2021 6 2 1 cos sin cos x x y m x m x x + = − + + − . Tập hợp tất cả các giá trị của m để hàm số đã cho xác định trên R là m a b ∈( ) ; . Tính a b + 2 . A. −1. B. −5. C. 5 . D. 2 . Câu 12. Từ một hộp chứa 11 quả cầu màu đỏ và 4 quả cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả cầu. Xác suất để lấy được 3 quả cầu màu xanh A. 33 91 B. 24 455 C. 4 165 D. 4 455 Câu 13. Cho đường tròn ( ) C1 có tâm 1 I , bán kính R cm = 86 ( ) và một điểm A nằm trên đường tròn ( ) 1 C . Đường tròn ( ) C2 có tâm 2 I và đường kính 1 I A, đường tròn ( ) C3 có tâm 3 I và đường kính 2 I A, , ... đường tròn (Cn ) có tâm n I và đường kính 1 , n I A− .... Với mỗi số nguyên dương n , ký hiệu 1 2 3 , , , , , n S S S S ... ... lần lượt là diện tích của các tam giác đều nội tiếp đường tròn ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 , , , , , C C C C ... ... n . Đặt 1 2 ... n S S S S = + + + + ⋯ . Khi đó, giá trị S bằng A. ( ) 2 7396 3 cm B. ( ) 7396 3 2 3 cm C. ( ) 29584 2 3 cm D. ( ) 29584 2 9 cm Câu 14. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình 3 2 s t t = −3 (t tính bằng giây, s tính bằng mét). Tìm mệnh đề đúng. A. Vận tốc của chuyển động khi t s =3 là 24 m s B. Gia tốc của chuyển động khi t s = 4 là 2 9 m s . C. Vận tốc của chuyển động khi t s =3 là 12 m s. D. Gia tốc của chuyển động khi t s = 4 là 2 18 m s . Trang 340 WordToan Câu 15. Cho hình chóp S ABCD . có đáy là hình thoi tâm O , ∆ABD đều cạnh a 2 , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và 3 2 2 a SA = (minh họa như hình bên). Góc giữa đường thẳng SO và mặt phẳng ( ) ABCD bằng A. 45° . B. 30° . C. 60° . D. 90°................................................................................................................................................................................................................................................................................................
TỐN THANH HĨA ĐỀ THI SỐ: 04 NHĨM SOẠN ĐỀ: 04 ĐỀ THI THỬ HSG LỚP 12 NĂM HỌC 2021 – 2022 MƠN THI: TỐN Số câu: 50 câu trắc nghiệm Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề) ĐỀ BÀI Câu Câu sin x + Xét khẳng định sau: cos x 1, Hàm số cho xác định D = ℝ 2, Đồ thị hàm số cho có trục đối xứng 3, Hàm số cho hàm số chẵn 4, Đồ thị hàm số cho có tâm đối xứng 5, Hàm số cho hàm số lẻ 6, Hàm số cho hàm số không chẵn không lẻ Số khẳng định sáu khẳng định là: A B C D Cho A , B hai biến cố xung khắc Đẳng thức sau đúng? A P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) B P ( A ∪ B ) = P ( A ) P ( B ) Cho hàm số f ( x ) = C P ( A ∪ B ) = P ( A) − P ( B ) Câu Câu Câu Cho cấp số cộng ( un ) với u1 = 3; d = − Số −2021 số hạng thứ ( un ) ? A Số hạng thứ 1012 B Số hạng thứ 1010 C Số hạng thứ 1013 D Số hạng thứ 1009 Cho hình lập phương ABCD A′B′C′D′ (hình vẽ bên dưới) Góc hai đường thẳng AC A′D A 45° B 30° C 60° Hỏi hàm số sau nghịch biến ( −∞; + ∞ ) ? D 90° 2x +1 B y = C y = x − x3 2x − x +1 Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ bên D y = cos x − x A y = Câu D P ( A ∩ B ) = P ( A ) + P ( B ) Mệnh đề sau đúng? Trang 1/40 – Thanh Hóa -Toan A Hàm số đạt cực đại x = C Hàm số đạt cực đại x = Câu ( Hàm số y = − x ) A 10 B Hàm số đạt cực tiểu x = D Hàm số đạt cực tiểu x = + có giá trị lớn đoạn [ −1;1] là: B 12 C 14 D 17 3x + có tất đường tiệm cận đứng đường tiệm cận ngang 2x +1 − x A B C D Câu Một hình lăng trụ tam giác có mặt phẳng đối xứng? A B C D Câu 10 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA = a Thể tích V khối chóp S ABCD 2a 2a 2a A 2a3 B C D sin 2020 x + cos 2021x Câu 11 Cho hàm số y = Tập hợp tất giá trị m để hàm − ( m + 1) cos x + m ( sin x − cos x ) Câu Đồ thị hàm số y = số cho xác định ℝ m ∈ ( a; b ) Tính a + 2b A −1 B −5 C D Câu 12 Từ hộp chứa 11 cầu màu đỏ cầu màu xanh, lấy ngẫu nhiên đồng thời cầu Xác suất để lấy cầu màu xanh 33 24 4 A B C D 91 455 165 455 Câu 13 Cho đường trịn ( C1 ) có tâm I1 , bán kính R = 86 ( cm ) điểm A nằm đường tròn ( C1 ) Đường trịn ( C2 ) có tâm I đường kính I1 A, đường trịn ( C3 ) có tâm I đường kính I A, … , đường trịn ( Cn ) có tâm I n đường kính I n −1 A,… Với số nguyên dương n , ký hiệu S1 , S , S3 , … , S n , … diện tích tam giác nội tiếp đường tròn ( C1 ) , ( C2 ) , ( C3 ) , … , ( Cn ) , … Đặt S = S1 + S2 + ⋯ + S n + Khi đó, giá trị S 7396 29584 29584 cm ) C D cm ) ( ( ( cm ) 3 Câu 14 Cho chuyển động thẳng xác định phương trình s = t − 3t ( t tính giây, s tính mét) Tìm mệnh đề A Vận tốc chuyển động t = 3s 24 m / s A 7396 ( cm ) B B Gia tốc chuyển động t = s m / s C Vận tốc chuyển động t = 3s 12 m / s D Gia tốc chuyển động t = s 18 m / s Trang 2/40 – Thanh Hóa - Tốn Câu 15 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi tâm O , ∆ ABD cạnh a , SA vng góc với mặt 3a phẳng đáy SA = (minh họa hình bên) Góc đường thẳng SO mặt phẳng ( ABCD ) A 45° B 30° C 60° D 90° Câu 16 Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Hỏi hàm số y = f ( x ) đồng biến khoảng nào? A ( −∞ ; − 1) Câu 17 Cho hàm số y = A −1 B ( −1;0 ) C (0;1) D ( −∞ ; − 2) x2 − 4x + có hai điểm cực trị x1 , x2 Tích x1 x2 có giá trị bằng: x+1 B −2 C −5 D −4 2x + m [ 2;5] ? x −1 A m = 18 B m = C m = D m = −3 Câu 19 Cho hàm số y = ax + bx + cx + d , ( a ≠ ) có đồ thị hình Câu 18 Tìm giá trị tham số m biết giá trị lớn hàm số y = Hỏi đồ thị hàm số g ( x ) = A f ( x) ( x + 1) B (x − x + 3) có đường tiệm cận đứng? C D Trang 3/40 - WordToan Câu 20 Với giá trị tham số m ( Cm ) : y = x − ( m + 1) x + ( m + 4m + 1) x − 4m ( m + 1) cắt trục hồnh ba điểm phân biệt có hồnh độ lớn 1? 1 A < m ≠ B m > C m ≥ D m ≠ 2 Câu 21 Đồ thị hàm số có dạng đường cong hình bên? A y = x + x + B y = x − x + C y = x − x + D y = − x3 + x + Câu 22 Khối mười hai mặt có số cạnh A 20 B 12 C 30 D Câu 23 Hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a cạnh bên tạo với đáy góc 450 Tính theo a thể tích khối chóp S ABC a3 a3 a3 a3 B C D 12 24 Câu 24 Nếu tăng chiều cao khối chóp hai lần, đồng thời tăng cạnh đáy hai lần, thể tích khối chóp A Tăng bốn lần B Tăng tám lần C Tăng hai lần D Tăng sáu lần Câu 25 Cho khối lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cân với AB = AC = a , BAC = 1200 Mặt phẳng ( AB′C ′) tạo với đáy góc 600 Tính thể tích V khối lăng trụ cho A 9a a3 3a C V = D V = 8 3π π Câu 26 Cho phương trình + 10sin − x + 20 cos + x = m Tìm tất giá trị nguyên tham 3π số m cho phương trình cho có 10 nghiệm phân biệt thuộc khoảng −π ; A 11 B 10 C D 12 Câu 27 Từ chữ số , , , , , lập số tự nhiên có sáu chữ số khác số có tổng ba chữ số đầu lớn tổng ba chữ số cuối đơn vị số lập chia hết cho 12 ? A 36 B 108 C 24 D 72 A V = 3a Trang 4/40 – Thanh Hóa - Tốn B V = Câu 28 Có ghế kê thành hàng ngang, xếp ngẫu nhiên học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C, ngồi vào hàng ghế đó, cho ghế có học sinh Xác suất để học sinh lớp C ngồi cạnh học sinh lớp B 1 A B C D 15 20 Câu 29 Cho hình chóp S ABC có SC ⊥ ( ABC ) tam giác ABC vuông B Biết AB = a ; AC = a Tính độ dài SC theo a 19 B SC = 2a C SC = a D SC = a A SC = 6a Câu 30 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục R Đồ thị hàm số y = f ′(2 − x ) hình vẽ bên Hỏi hàm số y = f ( x ) đồng biến khoản đây? góc hai mặt phẳng ( SAB ) , ( SAC ) α với cosα = A ( −2; 4) B ( − 1; 3) A m ∈ [ −1; +∞ ) B m ∈ ( −∞;0] C ( −2; 0) D (0;1) Câu 31 Tìm tất giá trị thực m để hàm số y = x − ( m + 1) x + ( m + 2m ) x − nghịch biến khoảng ( 0;1) C m ∈ [ 0;1] D m ∈ [ −1;0] Câu 32 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm ℝ có bảng xét dấu f '( x) sau biến thiên sau: Hỏi hàm số y = f ( x − x) có điểm cực tiểu A B C D Câu 33 Biết tồn giá trị m = m0 để giá trị lớn hàm số y = x3 − x + 2m − đoạn [ 0;2] nhỏ Mệnh đề đúng? B m0 ∈ [ −1; 0] A m0 ∈ ( 0;1) 2 C m0 ∈ ;2 3 D m0 ∈ − ; −1 Câu 34 Có giá trị nguyên tham số a ∈ [ −2021; 2021] để đồ thị hàm số y = tiệm cận ngang? A 2022 B 2021 C 4042 x − x2 + ax + có D 2020 Câu 35 Cho hàm số liên tục ℝ có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên tham số m π để phương trình f f ( cos x ) = m có nghiệm x ∈ ; π 2 ( ) Trang 5/40 - WordToan y −2 −1 O −1 x −2 A B C ax − Câu 36 Cho hàm số f ( x ) = ( a, b, c ∈ ℝ ) có bảng biến thiên sau: bx − c Trong số a , b, c có số âm? A B C D D Câu 37 Cho hàm số y = − x3 + 3x2 + x có đồ thị ( C ) Gọi A, B , C , D bốn điểm đồ thị ( C ) với hoành độ a , b, c, d cho tứ giác ABCD hình thoi đồng thời hai tiếp tuyến A C ( C ) song song với đường thẳng AC tạo với hai trục tọa độ tam giác cân Tính tích abcd B 120 C 144 D 180 A 60 Câu 38 Cho tứ diện ABCD có AB = AD = a , BC = BD = a CA = CD = x Khoảng cách từ B đến a a3 mặt phẳng ( ACD ) Biết thể tích khối tứ diện Góc hai mặt phẳng 12 ( ACD ) ( BCD ) A 60° B 45° C 90° D 120° Câu 39 Cho tứ diện ABCD có ABC ABD tam giác cạnh a , BCD tam giác vng Tính thể tích khối tứ diện a3 2a a3 a3 A B 12 C 12 D Câu 40 Cho hình lăng trụ ABC A ′B ′C ′ tích V Gọi M , N , P trung điểm cạnh AB, A ′C ′, BB ′ Thể tích khối tứ diện CMNP A V B V C 5V 24 D 7V 24 Câu 41 Cho ∆ABC Trên cạnh AB lấy 16 điểm phân phân biệt ( khác A, B ) nối chúng với C Trên cạnh BC lấy điểm phân biệt ( khác B, C ) nối chúng với A Lấy ngẫu nhiên tam giác tam giác tạo hình Tính xác suất để lấy tam giác có đỉnh B khơng có đỉnh C A B C D 119 2020 1140 238 Câu 42 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh 4a , ∆SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy, BAD = 1200 Gọi M điểm cạnh CD cho CM = 3a Khoảng cách hai đường thẳng SB AM Trang 6/40 – Thanh Hóa - Toán 51 51 51 51 a a a a B C D 17 12 17 Câu 43 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục R Đồ thị hàm số y = f ′( x ) hình vẽ A Hàm số g ( x) = f (1 − x) + x3 − 21x2 + x đồng biến khoảng A (1; 2) B (2;3) C (0;1) D ( −1; 2) Câu 44 Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục ℝ có bảng biến thiên hình vẽ Có giá trị ngun tham số m ∈ [ −10;10] để hàm số g ( x ) = f ( x ) − mf ( x ) có nhiều điểm cực trị A 11 B C 20 D 10 Câu 45 Cho hàm số f ( x ) liên tục ℝ , có đồ thị hình vẽ 8x + m − có giá trị lớn x +1 Có tất giá trị nguyên tham số m để hàm số y = f không vượt 2020 ? A 4029 B 4035 C 4031 D 4041 x −1 Câu 46 Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) Gọi I giao điểm hai tiệm cận ( C ) Xét tam giác x+2 ABI có hai đỉnh A , B thuộc ( C ) , đoạn thẳng AB có độ dài A B C D 2 Trang 7/40 - WordToan Câu 47 Cho hai hàm số đa thức bậc bốn y = f ( x) y = g ( x) có đồ thị hình vẽ bên dưới, đường đậm đồ thị hàm số y = f ( x) Biết hai đồ thị tiếp xúc với điểm có hồnh độ −3 cắt hai điểm có hồnh độ −1 Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m để bất phương trình f ( x) ≥ g ( x) + m nghiệm với x ∈[ − 3;3] 12 − A −∞; 12 − 10 ; +∞ B 12 − 10 C −∞; 12 − ; +∞ D Câu 48 Cho hàm số f ( x ) = x + x + Tổng giá trị nguyên tham số m để phương trình ( −4 x + 18 x + m − ) f ( −4 x + 18 x + m − ) + A 20 B −20 16 x + m − f ( 16 x + m − ) = có nghiệm C 10 D Câu 49: Cho khối lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác vuông A , AB = 2, AC = Góc CAA ' = 900 , BAA ' = 1200 Gọi M trung điểm BB ' Biết CM vng góc với A ' B Tính thể tích khối lăng trụ cho ( ) ( ) + 33 + 33 + 33 + 33 B V = C V = D V = 8 Câu 50 Cho tứ diện ABCD có ABC , ABD , ACD tam giác vuông tương ứng A , B , C Góc AD ( ABC ) 45 , AD ⊥ BC khoảng cách AD BC a Tính thể tích khối A V = tứ diện ABCD a3 A B 3a C a3 HẾT - Trang 8/40 – Thanh Hóa - Tốn D 2a 1.B 11.D 21.C 31.D 41.D 2.A 12.D 22.C 32.A 42.A 3.C 13.A 23.B 33.A 43.A 4.C 14.D 24.B 34.A 44.D BẢNG ĐÁP ÁN 5.D 6.B 15.C 16.B 25.A 26.B 35.B 36.D 45.C 46.B 7.D 17.C 27.C 37.B 47.A 8.D 18.B 28.B 38.C 48.B 9.B 19.B 29.A 39.B 49.C 10.B 20.A 30.D 40.C 50.D LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu sin x + Xét khẳng định sau: cos x 1, Hàm số cho xác định D = ℝ 2, Đồ thị hàm số cho có trục đối xứng 3, Hàm số cho hàm số chẵn 4, Đồ thị hàm số cho có tâm đối xứng 5, Hàm số cho hàm số lẻ 6, Hàm số cho hàm số không chẵn không lẻ Số khẳng định sáu khẳng định là: A B C D Lời giải Chọn B π Hàm số cho xác định cos x ≠ ⇔ x ≠ + k π, k ∈ Z Vậy khẳng định sai π Ta có tập xác định hàm số D = R \ + k π | k ∈ Z tập đối xứng 2 Cho hàm số f ( x ) = sin ( − x ) + sin x + f (−x) = = = f ( x) cos ( − x ) cos x Câu Từ hàm số cho hàm số chẵn Suy đồ thị hàm số đối xứng qua trục Oy Vậy có khẳng định khẳng định Từ ta Chọn B Cho A , B hai biến cố xung khắc Đẳng thức sau đúng? A P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) B P ( A ∪ B ) = P ( A ) P ( B ) C P ( A ∪ B ) = P ( A ) − P ( B ) D P ( A ∩ B ) = P ( A ) + P ( B ) Lời giải Chọn A Ta có P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) Vì A , B hai biến cố xung khắc nên A ∩ B = ∅ Từ suy P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) Câu Cho cấp số cộng ( un ) với u1 = 3; d = − Số −2021 số hạng thứ ( un ) ? A Số hạng thứ 1012 C Số hạng thứ 1013 B Số hạng thứ 1010 D Số hạng thứ 1009 Lời giải Chọn C Ta có un = u1 + (n − 1) d ⇒ n = Câu un − u1 + = 1003 d Cho hình lập phương ABCD A′B′C′D′ (hình vẽ bên dưới) Góc hai đường thẳng AC A′D Trang 9/40 - WordToan A 45° B 30° C 60° Lời giải D 90° Ta có AC // A′C′ nên ( AC , A′D ) = ( A′C ′, A′D ) = DA′C ′ = 60 o ( tam giác DA′C′ đều) Câu Hỏi hàm số sau nghịch biến ( −∞; + ∞ ) ? A y = 2x +1 2x − B y = x +1 C y = x − x3 D y = cos x − x Lời giải Chọn D A loại điều kiện xác định hàm số x ≠ B loại y′ = −2 x (x + 1) = ⇔ x = y′ đối dấu qua x = nên hàm số không nghịch biến (−∞; ∞) 1 C loại y′ = − x = ⇔ x = x = − 3 y′ đối dấu qua hai nghiệm nên hàm số không nghịch biến (−∞; +∞) Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ bên Mệnh đề sau đúng? A Hàm số đạt cực đại x = B Hàm số đạt cực tiểu x = C Hàm số đạt cực đại x = D Hàm số đạt cực tiểu x = Lời giải Chọn B Dựa vào đồ thị ta thấy, hàm số y = f ( x ) đạt cực đại x = đạt cực tiểu x = Câu Hàm số y = ( − x ) + có giá trị lớn đoạn [ −1;1] là: Trang 10/40 – Thanh Hóa - Tốn π Đặt t = f (cos x), x ∈ ; π ⇒ cos x ∈ ( −1; 0] ⇒ t ∈ [ 0; ) 2 Yêu cầu đề tương đương với tìm m để phương trình f ( t ) = m có nghiệm t ∈ [ 0; ) π Từ đồ thị suy phương trình cho có nghiệm x ∈ ; π m ∈ [ −2; ) 2 Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu Câu 36: Cho hàm số f ( x ) = ax − bx − c ( a, b, c ∈ ℝ ) có bảng biến thiên sau: Trong số a , b, c có số âm? A B C Lời giải D Chọn D Nhận thấy b = không thỏa mãn toán Từ bảng biến thiên hàm số, ta thấy đồ thị có hai đường tiệm cận, tiệm cận đứng đường thẳng x = −2 tiệm cận ngang đường thẳng y = c b = −2 c = −2b ⇒ Suy a =1 a = b b (1) ( 2) Lại có hàm số nghịch biến khoảng xác định nên f ′ ( x ) = − ac + 6b ( bx − c ) < 0, ∀x ≠ c b ⇒ −ac + 6b < ( 3) Thay (1) , ( ) vào ( 3) ta có: 2b + 6b < ⇔ −3 < b < ⇒ a < 0, c > Vậy số a , b, c có hai số âm Lưu ý: Có thể dùng giao điểm đồ thị với trục hoành suy dấu a , từ suy dấu b, c Câu 37: Cho hàm số y = − x3 + 3x2 + x có đồ thị ( C ) Gọi A, B , C , D bốn điểm đồ thị ( C ) với hoành độ a , b, c, d cho tứ giác ABCD hình thoi đồng thời hai tiếp tuyến Trang 26/40 – Thanh Hóa - Tốn A C ( C ) song song với đường thẳng AC tạo với hai trục tọa độ tam giác cân Tính tích abcd A 60 B 120 C 144 D 180 Lời giải Chọn B Đặt A ( a; y ( a ) ) , B ( b; y ( b ) ) , C ( c; y ( c ) ) , D ( d ; y ( d ) ) Theo giả thiết y′ ( a ) = y′ ( c ) ⇔ −3a + 6a + = −3c + 6c + ⇔ a + c = (vì a ≠ c ) Do đường thẳng AC cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác cân nên hệ số góc đường thẳng AC: k = ±1 TH1: k = ⇒ y (c) − y ( a ) −c3 + 3c + 9c + a − 3a − 9a =1⇔ = ⇔ ac = −10 c−a c−a Do ABCD hình thoi nên ta có : b + d = a + c = b − a = c − d AB = DC ⇒ ⇔ y ( d ) − y (b) ⇒ bd = −12 (với k BD hệ số góc đường = −1 AC ⊥ BD k BD = −1 d −b thẳng BD ) Do abcd = 120 TH2: k = −1 Lập luận tương tự ta thu abcd = 120 Câu 38 Cho tứ diện ABCD có AB = AD = a , BC = BD = a CA = CD = x Khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( ACD ) ( ACD ) A 60° a a3 Biết thể tích khối tứ diện Góc hai mặt phẳng 12 ( BCD ) B 45° C 90° Lời giải D 120° Chọn C A K B D H C Gọi H trung điểm cạnh CD K trung điểm cạnh AD 3V Ta có VABCD = S ACD d ( B, ( ACD ) ) ⇔ S ACD = d ( B, ( ACD ) ) Trang 27/40 - WordToan ⇔ 3a 3 AD.CK = ⇔ 2x − a = a ⇔ x = a 12 a Tam giác ACD có CA = CD = x = a ; AD = a ⇒ tam giác ACD vuông cân C a ⇒ HK ⊥ CD HK = Mà: BC = BD ⇒ BH ⊥ CD nên (( ACD ) , ( BCD )) = BHK Mặt khác Tam giác ABD có BK = Tam giác BHK có BH = ( AB + BD ) − AD = a ⇒ BK = a a a , HK = BH + HK = BK 2 ⇒ tam giác BHK vuông H ⇒ BHK = 90° hay (( ACD ) , ( BCD )) = 90° Câu 39 Cho tứ diện ABCD có ABC ABD tam giác cạnh a , BCD tam giác vng Tính thể tích khối tứ diện a3 A 2a B 12 a3 D a3 C 12 Lời giải Chọn B Vì ABC ABD tam giác cạnh a nên AB = AC = AD = BC = BD = a Do hình chiếu vng góc A lên ( BCD ) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Lại có tam giác BCD vng B nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD trung điểm H CD ⇒ AH ⊥ CD Xét tam giác ACD vuông cân A có AC = AD = a nên AH = a a2 Tam giác BCD vuông cân B có BC = BD = a nên S∆BCD = BC.BD = 2 Trang 28/40 – Thanh Hóa - Tốn Vậy VABCD = 1 a a a3 AH S ∆BCD = = 3 2 12 Câu 40 Cho hình lăng trụ ABC A ′B ′C ′ tích V Gọi M , N , P trung điểm cạnh AB, A ′C ′, BB ′ A Thể tích khối tứ diện CMNP V B V C 5V 24 D 7V 24 Lời giải Chọn C Gọi E trung điểm AC Gọi G trọng tâm tam giác ABC , gọi I giao điểm NP EB PB / / NE nên PB đường trung bình tam giác IEN , suy B trung điểm EI Ta có PB = NE Suy IG = GB 5 Suy S∆IMC = S∆MBC = S∆ABC →VN IMC = VN ABC = Ta có V 12 VN MCP NP 1 5V = = →VN MCP = VN MCI = VN MCI NI 2 24 Câu 41 Cho ∆ABC Trên cạnh AB lấy 16 điểm phân phân biệt ( khác A, B ) nối chúng với C Trên cạnh BC lấy điểm phân biệt ( khác B, C ) nối chúng với A Lấy ngẫu nhiên tam giác tam giác tạo hình Tính xác suất để lấy tam giác có đỉnh B khơng có đỉnh C A 119 B 2020 C 1140 D 238 Lời giải Chọn D Trang 29/40 - WordToan Xét phép thử: “Lấy ngẫu nhiên tam giác tam giác tạo hình” Kể đỉnh tam giác, cạnh AB có 18 điểm phân biệt, cạnh BC có điểm phân biệt Nhận thấy tam giác tạo hình có cạnh qua A , cạnh cịn lại qua C có cạnh qua C , cạnh lại qua A *) Trường hợp 1: Tam giác có cạnh qua A , khơng có cạnh AC Có C42 17 (tam giác) *) Trường hợp 2: Tam giác có cạnh qua C , khơng có cạnh AC Có C172 (tam giác) *) Trường hợp 3: Tam giác có cạnh AC Chọn cạnh qua A : Có cách Chọn cạnh cịn lại qua C : Có 17 cách ⇒ có x17 (tam giác) Suy n ( Ω ) = C42 17 + C172 + 4.17 = 714 Gọi T biến cố: “Lấy tam giác có đỉnh B khơng có đỉnh C ” Đây tam giác có cạnh qua A có cạnh AB Suy n (T ) = Vậy xác suất cần tìm là: P (T ) = n (T ) = = n ( Ω ) 714 238 Câu 42 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh 4a , ∆SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy, BAD = 1200 Gọi M điểm cạnh CD cho CM = 3a Khoảng cách hai đường thẳng SB AM A 51 a 17 Trang 30/40 – Thanh Hóa - Tốn B 51 a 12 51 a 17 Lời giải C D 51 a ( SAB ) ⊥ ( ABCD ) Ta có: ( SAB ) ∩ ( ABCD ) = AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) Trong ( SAB ) , SH ⊥ AB Theo giả thiết ta có: AB = BC = 4a BAD = 1200 ⇒ ABD = 300 ⇒ ABC = 600 nên ∆ABC tam giác đều, cạnh 4a ⇒ S ABC ( 4a ) = = 3a SH = 4a = 3a 2 2 Ta có: AM = AD + DM − AD.DM cos ADM = ( 4a ) + a − 2.4a.a.cos 60° = 13a ⇒ AM = a 13 Trên tia đối tia CD lấy điểm E cho CE = a Khi đó, tứ giác AMEB hình bình hành ⇒ BE = AM = a 13 2 Mặt khác, ∆ADM = ∆BCE ⇒ S AMEB = S ABCD = 2S ABC = 2.4 3a = 3a AM ⊄ ( SBE ) ⇒ AM // ( SBE ) Ta có: AM // BE BE ⊂ SBE ( ) Do d ( AM , SB ) = d ( AM , ( SBE ) ) = d ( A, ( SBE ) ) Ta lại có: d ( A, ( SBE ) ) d ( H , ( SBE ) ) = AB = ⇒ d ( A, ( SBE ) ) = 2d ( H , ( SBE ) ) HB Trong ( ABCD ) , gọi K F hình chiếu H A lên BE ⇒ HK = 1 S 3a 39a AF = AMEB = = (do HK đường trung bình ∆ABF ) 2 EB a 13 13 BE ⊥ HK BE ⊥ SH ( Do SH ⊥ ( ABCD ) ⊃ BE ) ⇒ BE ⊥ SHK Ta có: ( ) HK , SH ⊂ ( SHK ) HK ∩ SH = H Mà BE ⊂ ( SBE ) ⇒ ( SBE ) ⊥ ( SHK ) Ta lại có: ( SBE ) ∩ ( SHK ) = SK Trang 31/40 - WordToan Trong ( SHK ) , kẻ HI ⊥ SK ( I ∈ SK ) ⇒ HI ⊥ ( SBE ) ⇒ d ( H , ( SBE ) ) = HI Tam giác SHK vuông H , đường cao HI nên 1 1 17 = + = + = 2 2 HI SH HK 48a 39a 3a 13 ( Do đó: HI = ) 51 a 17 Vậy d ( AM , SB ) = 51 a 17 Câu 43 Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục R Đồ thị hàm số y = f ′( x ) hình vẽ Hàm số g ( x) = f (1 − x) + x3 − 21x + x đồng biến khoảng A (1; 2) B (2;3) C (0;1) Lời giải D ( −1; 2) Chọn A Ta có g ′ ( x ) = −6 f ′ (1 − x ) + 24 x − 42 x + Xét g ′ ( x ) > ⇔ f ′ (1 − x ) < x − x + 1− t 1− t 3 1− t Đặt t = − x ⇒ x = ⇒ f ′ ( t ) < + ⇔ f ′ ( t ) < t + t − (∗) − 2 2 −3 < t < −1 −3 < − x < −1 1 < x < ⇔ ⇔ Từ đồ thị ( ∗ ) ta có: t > 1 − x > x < Câu 44 Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục ℝ có bảng biến thiên hình vẽ Trang 32/40 – Thanh Hóa - Tốn Có giá trị nguyên tham số m ∈ [ −10;10] để hàm số g ( x ) = f ( x ) − mf ( x ) có nhiều điểm cực trị A 11 B C 20 D 10 Lời giải Chọn D f / ( x) = Ta có g ( x ) = f ( x ) f ( x ) − m f ( x ) ; g ( x ) = ⇔ f ( x) = m / / / / x = −1 Ta có f / ( x ) = ⇔ x = m ≥ m Phương trình f ( x ) = ⇔ f ( x) = Xét hàm số h ( x ) = f ( x ) có h / ( x ) = m f / ( x ) f ( x) f ( x) , x ∈ ℝ Nhận thấy h / ( x ) đổi dấu qua nghiệm phương trình sau: x = −1 x = / f ( x) = ⇔ x = a ∈ ( −∞; −1) f ( x ) = x = b ∈ ( −1; ) x = c ∈ ( 2; +∞ ) Trong a , b, c ba nghiệm phương trình f ( x ) = Do ta có bảng biến thiên hàm số h ( x ) sau: Trang 33/40 - WordToan Hàm số g ( x ) = f ( x ) − mf ( x ) có nhiều điểm cực trị pt f ( x ) = m có nhiều nghiệm Khi < m m < ⇔ < < ⇔ < m < 27 Mà m ∈[ −10;10] ⇒ m ∈[1;10] 3 Vì m ∈ ℤ nên có 10 giá trị Cách 2: f ′( x) = Ta có: g ′ ( x ) = ⇔ 3 f ( x) = m Ta có BBT sau: Vậy từ BBT dẫn đến để g ( x ) có số điểm cực trị nhiều (là 8) số nghiệm phương trình f ( x ) = m phải nhiều nghiệm (các nghiệm khác −1; ) ⇒ < m < 27 Mà m ∈ [ −10;10] , m nguyên ⇒ m ∈ {1; 2;3; 4;5;6;7;8;9;10} thỏa mãn tốn Câu 45 Cho hàm số f ( x ) liên tục ℝ , có đồ thị hình vẽ 8x + m − có giá trị lớn x +1 Có tất giá trị nguyên tham số m để hàm số y = f không vượt 2020 ? Trang 34/40 – Thanh Hóa - Tốn A 4029 B 4035 C 4031 D 4041 Lời giải Chọn C Đặt t = 8x − 8x2 + ′ Ta có: ; t ′ = ⇔ x = ±1 t = 2 x2 + x + ( ) BBT: ⇒ t ∈ [ − 4; 4] 8x + m − trở thành g ( t ) = f ( t ) + m − , t ∈ [ − 4; 4] x +1 Hàm số y = f Đặt h ( t ) = f ( t ) + m − 1, t ∈ [ − 4; ] , ta có: h′ ( t ) = f ′ ( t ) t = − ∈ [ − 4; 4] h′ ( t ) = ⇔ f ′ ( t ) = ⇔ t = − ∈ [ − 4; 4] t = ∈ [ − 4; 4] Ta có: h ( − ) ≈ 0,8 + m − = m − 0, ; h (4) = + m − = m + ; h ( − ) ≈ 1, + m − = m + 0, ; h (2) = − + m − = m − { } Max y = Max h ( t ) = Max m + ; m − [ −4;4] ℝ m + ≤ 2020 Yêu cầu toán ⇔ m − ≤ 2020 −2020 ≤ m + ≤ 2020 ⇔ −2020 ≤ m − ≤ 2020 − 2025 ≤ m ≤ 2015 ⇔ − 2015 ≤ m ≤ 2025 ⇔ −2015 ≤ m ≤ 2015 Vậy có tất 4031 giá trị nguyên tham số m thỏa mãn u cầu tốn x −1 có đồ thị ( C ) Gọi I giao điểm hai tiệm cận ( C ) Xét tam giác x+2 ABI có hai đỉnh A , B thuộc ( C ) , đoạn thẳng AB có độ dài Câu 46 Cho hàm số y = A B C Lời giải D 2 Chọn B Trang 35/40 - WordToan x −1 = 1− x+2 x+2 I ( −2;1) giao điểm hai đường tiệm cận ( C ) (C ) : y= Ta có: A a;1 − ∈ ( C ) , B b;1 − ∈ (C ) a+2 b+2 IA = a + 2; − , IB = b + 2; − a+2 b+2 Đặt a1 = a + , b1 = b + ( a1 ≠ , b1 ≠ ; a1 ≠ b1 ) Tam giác ABI a1 + = b12 + a1 b1 a1 + a = b1 + b IA2 = IB 1 ⇔ a1b1 + ⇔ a1b1 cos IA, IB = cos 60° IA.IB = = IA.IB 2 a + a2 ( ) (1) ( 2) 1 1 Ta có (1) ⇔ a12 − b12 + − = ⇔ a12 − b12 − − = a1 b1 b1 a1 a1 = b1 a = −b a = b a −b ⇔ ⇔ a12 − b12 − 2 = ⇔ ( a12 − b12 ) − 2 = ⇔ 2 a b = a1 b1 = 1 a1 b1 a1 b1 a1b1 = −3 Trường hợp a1 = b1 loại A ≡/ B ; a1 = −b1 , a1b1 = −3 (loại khơng thỏa ( ) ) 2 2 = ⇔ a + = 12 Do a1b1 = , thay vào ( ) ta a12 a12 + 2 a1 3+ Vậy AB = IA = a12 + =2 a12 Câu 47: Cho hai hàm số đa thức bậc bốn y = f ( x ) y = g ( x ) có đồ thị hình vẽ bên dưới, đường đậm đồ thị hàm số y = f ( x) Biết hai đồ thị tiếp xúc với điểm có hồnh độ −3 cắt hai điểm có hồnh độ −1 Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m để bất phương trình f ( x) ≥ g ( x) + m nghiệm với x ∈ [ − 3;3] Trang 36/40 – Thanh Hóa - Toán 12 − A −∞; 12 − 10 12 − 10 ; +∞ C −∞; B 9 Lời giải 12 − ; +∞ D Chọn A Từ đồ thị hai hàm số ta có: f ( x ) − g ( x ) = k ( x + 3) ( x + 1)( x − 3) −1 ⇒ f (0) − g (0) = k 9.1.(−3) ⇒ = −27k ⇒ k = 27 −1 Do f ( x) − g ( x) = ( x + 3)2 ( x + 1)( x − 3) 27 Theo đề bài: f ( x ) ≥ g ( x ) + m, ∀ x ∈ [ − 3;3] ⇔ f ( x ) − g ( x ) ≥ m, ∀ x ∈ [ − 3;3] (*) Gọi u ( x ) = f ( x ) − g ( x ) Khi (*) ⇔ u ( x) ≥ m , ∀ x ∈ [ − 3;3] hay m ≤ Min u ( x ) (1) x∈[ − 3;3] −1 −1 ( x + 3)2 ( x + 1)( x − 3)) ' = (4 x3 + 12 x − 12 x − 36) 27 27 Xét hàm u ( x) ta có: u '( x) = ( x = ± u '( x) = ⇔ x = −3 BBT: Do (1) ⇔ m ≤ 12 − Câu 48: Cho hàm số f ( x ) = x + x + Tổng giá trị nguyên tham số m để phương trình ( −4 x 16 x + m − + 18 x + m − ) f ( −4 x + 18 x + m − ) + A 20 f B −20 ( 16 x + m − ) = có nghiệm C 10 Lời giải D Chọn B Nhận xét: f ( − x ) = − x + x + = = x + x +1 , ∀x ∈ ℝ f ( x) Khi đó: ( −4 x + 18 x + m − ) f ( −4 x + 18 x + m − ) + 16 x + m − f ( 16 x + m − ( ) = (Đk: x ≥ ⇔ ( −4 x + 18 x + m − ) f ( −4 x + 18 x + m − ) = − 16 x + m − f − 16 x + m − ( Xét hàm số g ( t ) = t f ( t ) = t t + t + Có g ′ ( t ) = 2t + t + + t t2 +1 (t + = ) 4−m ) 16 (1) ) t2 +1 t2 +1 ) > 0, ∀t ∈ ℝ nên g ( t ) đồng biến ℝ Trang 37/40 - WordToan PT (1) ⇔ −4 x + 18 x + m − = − 16 x + m − ⇔ x − 18 x − m + = 16 x + m − ( 2) Đặt t = 16 x + m − , t ≥ Ta có m = t − 16 x + () Phương trình trở thành: t = x − 18 x + − (t − 16 x + 4) ⇔ x − t = x + t t = −2 x ⇔ (2 x + t )(2 x − t − 1) = ⇔ ⇔ t = x − x ≤ m = x − 16 x + 16 x + m − = −2 x ⇔ x ≥ 16 x + m − = x − m = x − 20 x + −4 < m < Từ đồ thị, phương trình có nghiệm ⇔ m = −20 Do m thuộc ℤ nên m ∈ {−3; − 2; − 1;0;1; 2;3; −20} Tổng giá trị m −20 Câu 49: Cho khối lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác vuông A , AB = 2, AC = Góc CAA ' = 900 , BAA ' = 1200 Gọi M trung điểm BB ' Biết CM vng góc với A ' B Tính thể tích khối lăng trụ cho A V = + 33 B V = ( + 33 ) C V = Lời giải Chọn C Ta có CA ⊥ AB CA ⊥ AA ' nên CA ⊥ ( ABB ' A ' ) CA ⊥ ( ABB ' A ') suy CA ⊥ A ' B Mà A ' B ⊥ CM nên A ' B ⊥ AM H hay AH ⊥ A ' B Trang 38/40 – Thanh Hóa - Tốn ( + 33 ) D V = + 33 nên AH ⊥ A ' B Ta có V = 3.VA ' ABC = 3.VC ABA ' = .S ∆ABA ' CA = S ∆ABA ' CA = 3.S ∆ABA ' Ta có ∆HA ' A ∼ ∆HBM theo tỉ số nên HA ' = HB 3−x AH AH =2 = tan AA ' H = tan 600 − ABH = HB HA ' + 3x 11 − x= 3−x ⇔ 3x + 3x − = ⇔ Suy x = + 3x − 11 − (l ) x = + 33 + 33 15 − 33 HB = , HA2 = − = 6 11 − + 33 suy cos ABH = tan ABH = 24 ( Đặt x = tan ABH ta có x = V = ( S ∆ABA ' ) Suy V = ) 27 + 33 15 − 33 + 33 = = HA2 9.HB = 4 6 ( + 33 ( ) ) Câu 50 Cho tứ diện ABCD có ABC , ABD , ACD tam giác vuông tương ứng A , B , C Góc AD ( ABC ) 45 , AD ⊥ BC khoảng cách AD BC a Tính thể tích khối tứ diện ABCD A a3 B 3a C a3 D 2a Lời giải Chọn D Dựng hình chữ nhật ABHC ta có: AB ⊥ BD ⇒ AB ⊥ ( BDH ) ⇒ AB ⊥ DH AB ⊥ BH Trang 39/40 - WordToan AC ⊥ CH ⇒ AC ⊥ ( CDH ) ⇒ AC ⊥ DH AC ⊥ CD ⇒ DH ⊥ ( ABCD ) ⇒ AH hình chiếu AD lên (ABC) ⇒ ∠ ( AD; ( ABC ) ) = ∠ ( AD; AH ) = ∠DAH = 450 BC ⊥ DH ( DH ⊥ ( ABCD ) ) Ta có: ⇒ BC ⊥ ( ADH ) ⇒ BC ⊥ AH BC ⊥ AD ( gt ) ⇒ ABHC hình vng (Tứ giác có hai đường chéo vng góc) Gọi O = AH ∩ BC , (ADH) kẻ OK ⊥ AD ( K ∈ AD ) ta có: OK ⊥ AD ⇒ d ( AD; BC ) = OK = a OK ⊥ BC ( BC ⊥ ( ADH ) ) Xét tam giác OKA vng K có ∠OAK = 450 nên tam giác OAK vuông cân K ⇒ OA = OK = a ⇒ AH = 2OA = 2a Lại có tam giác AHD vuông cân H nên HD = AH = 2a Ta có: S ABHC = 1 AH = 2a = 4a ⇒ S ABC = 2a 2 ( ) 1 2a Vậy VABCD = HD.S ABC = 2a.2a = 3 - Hết - Trang 40/40 – Thanh Hóa - Toán ... 2.4! = 48 cách xếp chỗ Suy số cách xếp thỏa mãn 48 + 12 + 12 + 12 + 12 + 48 = 144 cách Vậy xác suất để học sinh lớp C ngồi cạnh học sinh lớp B 144 = 6! Câu 29 Cho hình chóp S ABC có SC ⊥ ( ABC... 1 Ta có (1) ⇔ a12 − b12 + − = ⇔ a12 − b12 − − = a1 b1 b1 a1 a1 = b1 a = −b a = b a −b ⇔ ⇔ a12 − b12 − 2 = ⇔ ( a12 − b12 ) − 2 = ⇔ 2 a b = a1 b1... ngẫu nhiên học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C, ngồi vào hàng ghế đó, cho ghế có học sinh Xác suất để học sinh lớp C ngồi cạnh học sinh lớp B 1 A B C D 15 20 Câu 29