Tài liệu Tuyển tập đề thi đại học môn toán khối A, B, D pdf

Trên đường thẳng vuông góc với mặtphẳng ABC tại điểm A lấy điểm S sao cho góc giữa 2 mặt phẳng ABC và SBC bằng 600.. Viết phương trìnhhình chiếu vuông góc của đường thẳng ∆ trên mặt phẳn

Tôi biên soạn tài liệu này nhằm mục đích thống nhất các đề thi đó với nhau Nội dung đề gồm các phần chính:

- Đề thi dự bị từ năm 2002-2008 (Bạn nào có đề dự bị năm 2009 thì gửi cho mình với )

- Đề thi đại học năm : 2002-2009 (Chưa có năm 2010 D::)

- Đề thi thử đại học (Biên soạn theo cấu trúc đề thi từ năm 2009)

Việc biên soạn trong một thời gian ngắn nên không tránh khỏi thiếu sót Mong các bạn góp ý để tài liệu được đầy đủ và chính xác hơn.

Mọi góp ý xin gửi về:

Th.s Đỗ Minh Tuân, Trường CĐSP Nam Định số 813 Đường Trường Chinh, Tp Nam Định.

Mail: xuxutit@gmail.com

Mobile: 0982843882.

Nam Định, ngày 16 tháng 06 năm 2010

1) Giải phương trình: 16log27x2x − 3log3xx2 = 0.

2) Cho phương trình: 2 sin x + cos x + 1

sin x − 2 cos x + 3= a (2) (a là tham số)a) Giải phương trình khi a = 1

3.b) Tìm a để phương trình (2) có nghiệm

Câu 3: (3 điểm)

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) : x − y + 1 = 0 và đường tròn(C) : x2+ y2+ 2x − 4y = 0 Tìm tọa độ điểm M ∈ (d) mà qua đó ta kẻ được 2 đường thẳngtiếp xúc với (C) tại A và B sao cho \AM B = 600

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng

(d) : 2x − 2y − z + 1 = 0

x + 2y − 2z − 4 = 0 và mặt cầu (S) : x

2+ y2 + z2+ 4x − 6y + m = 0 Tìm m đểđường thẳng (d) cắt (S) tại 2 điểm M, N sao cho MN = 8

3) Tính VABCD, biết AB = a, AC = b, AD = c và [BAC = \DAC = \BAD = 600

Cho hàm số y = (x − m)3− 3x (m là tham số).

1) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0

2) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho khi m = 1

3) Tìm k để hệ bất phương trình sau có nghiệm:







|x − 1|3 − 3x − k < 01

2log2x

2+ 1

3log2(x − 1)3 ≤ 1Câu 2: (2 điểm)

1) Giải bất phương trình: √x + 12 ≥√x − 3 +√2x + 1

2) Giải phương trình: tan x + cos x − cos2x = sin x 1 + tan x tanx

2

!.Câu 3: (3 điểm)

1) Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền BC = a Trên đường thẳng vuông góc với mặtphẳng (ABC) tại điểm A lấy điểm S sao cho góc giữa 2 mặt phẳng (ABC) và (SBC) bằng

600 Tính độ dài đoạn thẳng SA theo a

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng:

(d1) : x − az − a = 0

y − z + 1 = 0 (d2) :

 ax + 3y − 3 = 0

x + 3z − 6 = 0a) Tìm a để đường thẳng (d1), (d2) chéo nhau

b) Với a = 2, viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa (d2) và song song với (d1) Tính khoảngcách giữa (d1), (d2) khi đó

1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1/2 Gọi đồ thị đó là (C)

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến đó song song với đườngthẳng (d) : y = 4x + 2

3) Tìm m ∈ 0;5

6

!sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (1) và các đường thẳng

1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA⊥(ABCD) và SA = a Gọi E làtrung điểm của cạnh CD Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE.2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng

(∆) :  2x + y + z + 1 = 0

x + y + z + 2 = 0 và mặt phẳng (P ) : 4x − 2y + z − 1 = 0 Viết phương trìnhhình chiếu vuông góc của đường thẳng (∆) trên mặt phẳng (P )

(C1) : x2+ y2− 4y − 5 = 0 (C2) : x2+ y2− 6x + 8y + 16 = 0Viết phương trình các tiếp tuyến chung của 2 đường tròn (C1) và (C2)

Câu 5: (1 điểm)

Giả sử x, y là 2 số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y = 5

4.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: S = 4

x+14y

Câu 4: (3 điểm)

1) Cho tứ diện O.ABC có 3 cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau Gọi α, β, γ lầnlượt là các góc giữa mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) Chứngminh rằng cos α + cos β + cos γ ≤√3

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P ) : x − y + z + 3 = 0 và 2 điểmA(−1; −3; −2), B(−5; 7; 12)

a) Tìm tọa độ điểm C đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P )

b) Tìm tọa độ điểm M ∈ (P ) sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất

dx

2) Giải hệ phương trình:  logx(x3+ 2x2− 3x − 5y) = 3

a) Chứng minh rằng ∀m, đường thẳng (dm) luôn cắt (E) tại 2 điểm phân biệt

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (E) đi qua điểm N(1; −3)

Câu 4: (1 điểm) Gọi a1, a2, · · · , an là các hệ số trong khai triển sau:

2 Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB và

ha, hb, hc tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C của tam giác Chứngminh rằng:

! 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 8.

2) Xác định m sao cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt

Câu 2: (2 điểm)

1) Giải bất phương trình: log1 (4x+ 4) ≥ log1 (22x+1− 3.2x)

2) Xác định m để phương trình :

2 sin4x + cos4x
+ cos 4x + 2 sin 2x − m = 0

có ít nhất 1 nghiệm thuộc đoạn 0;π

2) Viết phương trình tiếp tuyến chung của các đường tròn (C1), (C2)

Câu 5: (2 điểm)

1) Giải phương trình: √x + 4 +√

x − 4 = 2x − 12 + 2√x2− 162) Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 họcsinh khối 11 và 5 học sinh khối 10 Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại

hè sao cho mỗi khối có ít nhất một em được chọn

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 đường thẳng:

b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d cắt cả 2 đường thẳng d1, d2 và songsong với đường thẳng (∆) : x − 4

1) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ sốkhác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3

Câu 2: (2 điểm)

1) Giải phương trình: 3 − tan x (tan x + 2 sin x) + 6 cos x = 0

2) Giải hệ phương trình:  logy√xy = log

x√y

2x+ 2y = 3

Câu 3: (3 điểm)

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol (P ) và điểm I(0; 2) Tìm tọa độ 2 điểm M,

N thuộc (P ) sao cho −−→IM = 4−→IN.

2) Trong không gian tọa độ cho tứ diện ABCD với A(2; 3; 2), B(6; −1; −2),

C(−1; −4; 3), D(1; 6; −5) Tính góc giữa 2 đường thẳng AB, CD Tìm tọa độ điểm M ∈ CDsao cho ∆ABM có chu vi nhỏ nhất

3) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy là tam giác cân với AB = AC = a, và góc[

BAC = 1200, cạnh bên BB′ = a Gọi I là trung điểm của CC′ Chứng minh rằng, ∆AB′Ivuông ở A Tính góc ((ABC) , (AB\ ′I))

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tứ diện O.ABC với A(0; 0; a√3), B(a; 0; 0),C(0; a√

3; 0) Gọi M là trung điểm của BC Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng AB,OM

3) Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ Tìm M ∈ AA′ sao cho mặt phẳng BD′M cắt hìnhlập phương theo một thiết diện có diện tích nhỏ nhất

N (5; n) Viết phương trình các đường thẳng d1, d2 qua M tiếp xúc với (E) Tìm n để trong

số các tiếp tuyến qua N có một tiếp tuyến song song với d1, d2

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 điểm I(0; 0; 1), K(3; 0; 0) Viết phương trìnhmặt phẳng đi qua I, K và tạo với mặt phẳng Oxy một góc bằng 300

3) Cho hình chóp đều S.ABC, cạnh đáy bằng a, mặt bên tạo với đáy một góc bằng ϕ (00 <

ϕ < 900) Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC).Câu 4: (2 điểm)

1) Từ một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam cần chọn ra 6 em trong đó số học sinh nữphải nhỏ hơn 4 Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?

2) Trong hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (P ) : 2x + 2y + z − m2− 3m = 0 (m là tham số) vàmặt cầu (S) : (x − 1)2+ (y + 1)2+ (z − 1)2 = 9 Tìm m để mặt phẳng (P ) tiếp xúc với mặtcầu (S) Với m vừa tìm được hãy xác định tọa độ tiếp điểm của (P ) và (S).

3) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và AB = a, BC = 2a, cạnhSA⊥(ABC) và SA = 2a Gọi M là trung điểm SC Chứng minh rằng: tam giác AMB cân

ở M và tính diện tích tam giác AMB theo a

Tìm các góc A, B, C của tam giác ABC để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:

Q = sin2A + sin2B − sin2C

Xác định dạng của tam giác ABC biết

(p − a) sin2A + (p − b) sin2B = c sin A sin B

1) Giải phương trình: 4 sin3x + cos3x
= cos x + 3 sin x.

2) Giải bất phương trình: logπ/4log2 x +√

2x2− x
 < 0

Câu 3: (3 điểm)

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) : x − y + 1 −√2 = 0 và điểmA(−1; 1) Viết phương trình đường tròn đi qua điểm A, qua gốc tọa độ O và tiếp xúc vớiđường thẳng (d)

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có điểm Atrùng gốc tọa độ O, B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A1(0; 0;√

2)a) Viết phương trình mặt phẳng (P ) đi qua A1, B, C và viết phương trình hình chiếu vuônggóc của đường thẳng B1D1 trên mặt phẳng (P )

b) Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và vuông góc với A1C Tính diện tích thiết diện của hìnhchóp A1.ABCD với mặt phẳng (Q)

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức A = x2+ y2− 2x khi m thay đổi

a) Viết phương trình mặt phẳng qua trung điểm M của cạnh AB, song song với 2 đườngthẳng AD, SC.

b) Gọi (P ) là mặt phẳng qua điểm B vuông góc với SC Tính diện tích thiết diện của hìnhchóp S.ABCD với mặt phẳng (P )

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 điểm A(4; 2; 2), B(0; 0; 7), và đường thẳng(d) : x − 3

3) Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a, SA⊥ (ABC) ∆ABC có AB = BC = 2a, [ABC = 1200.Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

Câu 4: (2 điểm)

1) Tính tích phân sau: I =

√ 3

R

1

dx

x + x3.2) Biết rằng : (2 + x)100

= a0+ a1x + · · · a100x100 Chứng minh rằng : a2 < a3 Với giá trị nàocủa k thì ak< ak−1

Câu 5: (1 điểm)

Chứng minh rằng: hàm số f(x) = ex− sin x + x

2

2 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) vàchứng minh rằng phương trình f(x) = 3 có đúng 2 nghiệm

2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 2 điểm cực trị A, B Chứng minh rằng khi đó đường thẳng

AB song song với đường thẳng 2x − y − 10 = 0

Câu 2: (2 điểm)

1) Giải phương trình: sin 4x sin 7x = cos 3x sin 6x

2) Giải bất phương trình: log3x > logx3

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 2 điểm A(2; 0; 0), M(1; 1; 1)

a) Tìm tọa độ điểm O′ đối xứng với gốc tọa độ O qua đường thẳng AM

b) Giả sử (P ) là mặt phẳng thay đổi nhưng luôn chứa đường thẳng AM và cắt trục Oy,

Oz lần lượt tại các điểm B(0; b; 0), C(0; 0; c) với b, c > 0

Chứng minh rằng 2(b + c) = bc và tìm b, c sao cho S∆ABC nhỏ nhất

Câu 5: (1 điểm)

Xét các ∆ABC thỏa mãn điều kiện sau: A ≤ 900 và sin A = 2 sin B sin C tanA

2.Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức 1 − sin

A2sin B

2) Trong hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A(2; 0; 0), B(2; 2; 0), S(0; 0; m).

a) Khi m = 2, tìm tọa độ điểm C đối xứng với O qua mặt phẳng (SAB)

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên SA

Câu 5: (1 điểm) Cho phương trình : x2+ m2− 53! √

x2+ 4 + 2 − m3 = 0Chứng minh rằng: ∀m ≥ 0 phương trình luôn có nghiệm

3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(0; 1; 1) và đường thẳng :

(d) : x + y = 0

2x − z − 2 = 0Viết phương trình mặt phẳng (P ) đi qua A và vuông góc với (d) Tìm hình chiếu vuông góc

H của điểm B(1; 1; 2) trên mặt phẳng (P )

!,phương trình đường thẳng BC : x−2y−4 = 0 và phương trình đường thẳng BG : 7x−4y−8 =

0 Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(1; 1; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2)

a) Viết phương trình mặt phẳng (P ) đi gốc tọa độ O và vuông góc với BC Tìm tọa độgiao điểm AC với mặt phẳng (P )

b) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứdiện O.ABC

Câu 2: (2 điểm)

1) Giải hệ phương trình:

 √2x + y + 1 −√x + y = 13x + 2y = 4

2) Giải phương trình: 2√2cos3 x − π4

!

− 3 cos x − sin x = 0

Câu 3: (3 điểm)

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn

(C) : x2 + y2 − 12x − 4y + 36 = 0 Viết phương trình đường tròn (C1) tiếp xúc với 2 trụctọa độ Ox, Oy đồng thời tiếp xúc ngoài với đường tròn (C)

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho 3 điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), S(0; 0; 4)

a) Tìm tọa độ điểm B thuộc mặt phẳng Oxy sao cho tứ giác O.ABC là hình chữ nhật.Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm O, B, S, C

b) Tìm tọa độ điểm A1 đối xứng với điểm A qua đường thẳng SC



1 + √9y

2

≥ 256Đẳng thức xảy ra khi nào?

2) Giải phương trình: 2√2cos3 x − π4

b) Tìm tọa độ các điểm M ∈ (d1) và N ∈ (d2) sao cho đường thẳng M N song song với mặtphẳng (P ) : x − y + z = 0 và độ dài đoạn MN bằng √2

2) Gọi I là giao điểm của 2 tiệm cận của (C) Chứng minh rằng: không có tiếp tuyến nào của(C) đi qua điểm I.

1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho 2 đường tròn: (C1) : x2+ y2 = 9, (C2) : x2+ y2 −2x − 2y − 23 = 0 Viết phương trình trục đẳng phương (d) của 2 đường tròn (C1), (C2).Chứng minh rằng: nếu K thuộc (d) thì khoảng cách từ K đến tâm của (C1) nhỏ hơn khoảngcách từ K đến tâm của (C2)

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(5; 2; −3) và mặt phẳng (P ) có phươngtrình 2x + 2y − z + 1 = 0

a) Gọi M1 là hình chiếu của M lên mặt phẳng (P ) Xác định tọa độ điểm M1 và tính độdài đoạn MM1

b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và chứa đường thẳng :

1) Tính tích phân: I = π/4R

0

tan x + esin x cos x
dx

2) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ sốkhác nhau và nhất thiết phải có mặt 2 chữ số 1, 5?

a) Tìm tọa độ A1, B1 Viết phương trình mặt cầu qua 4 điểm O, A, B, O1.

b) Gọi M là trung điểm của AB Mặt phẳng (P ) qua M vuông góc với O1A và cắt OA,

OA1 lần lượt tại N, K Tính độ dài đoạn KN

b) Chứng minh rằng tỷ số khoảng cách từ điểm N ∈ AC1 (N 6= A) tới 2 mặt phẳng(AB1D1) và (AM B1) không phụ thuộc vào vị trí điểm N

Câu 4: (2 điểm)

1) Tính tích phân: I = π/2R

0 (2x − 1) cos2xdx2) Tìm số nguyên n > 1 thỏa mãn đẳng thức: 2Pn+ 6A2

8 2) Giải hệ phương trình:  (x2+ 1) + y (y + x) = 4y

(x2+ 1) (y + x − 2) = y (x, y ∈ R)Câu 3: (2 điểm)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có A(0; 0; 0),B(2; 0; 0), A′(0; 0; 2)

1) Chứng minh rằng: A′C⊥BC Viết phương trình mặt phẳng (ABC′)

2) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của B′C′ trên mặt phẳng (ABC′)

Câu 4: (2 điểm)

1) Tính tích phân: I = R6

2

dx2x + 1 +√

4x + 1.2) Cho 2 số thực x, y thay đổi và thỏa mãn điều kiện: x2 + xy + y2 ≤ 3 Chứng minh rằng:

−4√3 − 3 ≤ x2− xy − 3y2 ≤ 4√3 − 3

Phần tự chọn: Thí sinh chọn câu 5a hoặc câu 5b

Câu 5a: (2 điểm)

1) Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho elip (E) : x

100C0

100

12

!99

− 101C1

100

12

!100

+ · · · − 199C99

100

12

!198

+ 200C100

100

12

2 và góc

\

BAD = 600 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh A′D′ và A′B′ Chứng minh

AC′⊥(BDMN) Tính VA.BDM N

Câu 3: (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

(α) : 3x + 2y − z + 4 = 0 và 2 điểm A(4; 0; 0), B(0; 4; 0) Gọi I là trung điểm AB

1) Xác định tọa độ giao điểm AB và (α)

2) Xác định tọa độ điểm K sao cho KI⊥(α) đồng thời K cách đều gốc tọa độ O và (α).Câu 4: (2 điểm)

1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x2−x+3 và đường thẳng (d) : y = 2x+1.2) Cho các số thực x, y, z thay đổi thỏa mãn : 3−x + 3−y + 3−z = 1 Chứng minh rằng:

Phần tự chọn: Thí sinh chọn câu 5a hoặc câu 5b

Câu 5a: (2 điểm)

1) Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng (d) :

x − 4y − 2 = 0, cạnh BC song song với d Đường cao BH : x + y + 3 = 0 và trung điểm củacạnh AC là M(1; 1) Tìm tọa độ A, B, C

2) Từ các số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau? Tínhtổng tất cả các số tự nhiên đó

3 Mặt phẳng(BCM ) cắt cạnh SD tại N Tính VS.BCM N

2) Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua A(0; −5).

2) Xác định điểm A ∈ ∆1, B ∈ ∆2 sao cho đoạn AB có độ dài nhỏ nhất

t4 1 + 7

x2

!, x > 0

Phần tự chọn: Thí sinh chọn câu 5a hoặc câu 5b

Câu 5a: (2 điểm)

1) Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân tại B và A(1; −1), C(3; 5) và đỉnh

B nằm trên đường thẳng (d) : 2x − y = 0 Viết phương trình AB, BC

2) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số chẵn, mỗi số có 5 chữ số khácnhau, trong đó có đúng 2 chữ số lẻ và 2 chữ số lẻ đó đứng cạnh nhau

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Cho mặt phẳng (P ) : 2x + y − z + 5 = 0 và các điểmA(0; 0; 4), B(2; 0; 0).

1) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của AB trên mặt phẳng (P )

2) Viết phương trình mặt cầu đi qua O, A, B và tiếp xúc với mặt phẳng (P )

Câu 4: (2 điểm)

1) Tính tích phân: I =

√ e

2) Cho 2 số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y ≥ 4

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 3x

2+ 44x +

2 + y3

y2

Phần tự chọn: Thí sinh chọn câu 5a hoặc câu 5b

Câu 5a: (2 điểm)

1) Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 1), đường cao qua đỉnh

B có phương trình là x − 3y − 7 = 0 và đường trung tuyến qua đỉnh C có phương trình

x + y + 1 = 0 Xác định tọa độ các đỉnh B, C của tam giác

2) Cho 2 đường thẳng song song d1, d2 Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, trên đườngthẳng d2 có n điểm phân biệt (n ≥ 2) Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đãcho Tìm n

2) Tìm trên đồ thị (C) 2 điểm phân biệt M, N đối xứng nhau qua trục tung.

Câu 2: (2 điểm)

1) Giải phương trình: cos3x + sin3x + 2sin2x = 1

2) Giải hệ phương trình:  x2− xy + y2 = 3 (x − y)

x2+ xy + y2 = 7(x − y)3 (x, y ∈ R)Câu 3: (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Cho mặt phẳng

2) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trên (P ), đồng thời ∆ cắt cả d1, d2

Câu 4: (2 điểm)

1) Tính tích phân: I = π/2R

0

(x + 1) sin 2xdx

2) Giải phương trình : 4x− 2x+1+ 2 (2x− 1) sin (2x+ y − 1) + 2 = 0

Phần tự chọn: Thí sinh chọn câu 5a hoặc câu 5b

Câu 5a: (2 điểm)

1) Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho đường thẳng (d) : x − y + 1 − √2 = 0 và điểmA(−1; 1) Viết phương trình đường tròn (C) qua A, O và tiếp xúc với (d)

2) Một lớp học có 33 học sinh, trong đó có 7 nữ Cần chia lớp thành 3 tổ, tổ 1 có 10 học sinh,

tổ 2 có 11 học sinh, tổ 3 có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh nữ Hỏi

có bao nhiêu cách chia như vậy?

Câu 5b: (2 điểm)

1) Giải phương trình: log3(3x− 1) log3(3x+1− 3) = 6

2) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a Gọi SH là đường cao của hìnhchóp Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt (SBC) bằng b Tính thể tích khối chópS.ABCD

2) Cho điểm M0(x0, y0) ∈ (C) Tiếp tuyến của (C) tại M0 cắt các tiệm cận của (C) tại cácđiểm A và B Chứng minh M0 là trung điểm AB.

Câu 5a: (2 điểm)

1) Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, lập phương trình chính tắc của elip (E) có độ dài trụclớn bằng 4√2, các đỉnh trên trục nhỏ và các tiêu điểm của (E) cùng nằm trên một đườngtròn

2) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn có 5 chữ số khácnhau và mỗi số lập được đều nhỏ hơn 25000?

2) Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đồ thị hàm số đến các đườngtiệm cận của nó là hằng số.

1) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (P )

2) Tìm tọa độ điểm M ∈ (P ) sao cho MA + MB nhỏ nhất

Câu 4: (2 điểm)

1) Tính tích phân: I = R4

0

√2x + 1

1 +√2x + 1dx

2) Giải hệ phương trình :  x +

√

x2− 2x + 2 = 3y−1+ 1

y +py2− 2y + 2 = 3x−1+ 1 (x, y ∈ R)

Phần tự chọn: Thí sinh chọn câu 5a hoặc câu 5b

Câu 5a: (2 điểm)

1) Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 = 1 Đường tròn (C′) tâmI(2; 2) cắt (C) tại các điểm A, B sao cho AB =√

2 Viết phương trình đường thẳng AB.2) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn lớn hơn 2007 mà mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau?

A tới mặt phẳng (A1BM )

Câu 1: (2 điểm)

Cho hàm số y = x + m + m

x − 2 (Cm)1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1

2) Tìm m để đồ thị (Cm) có cực trị tại các điểm A, B sao cho đường thẳng AB đi qua gốc tọa

độ O

Câu 2: (2 điểm)

1) Giải phương trình: 2cos2x + 2√

3 sin x cos x + 1 = 3 sin x +√

3 cos x

.2) Giải hệ phương trình:  x4− x3y + x2y2 = 1

x3y − x2+ xy = 1 Câu 3: (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0),C(2; 4; 6) và đường thẳng (d) :  6x − 4y + 2z = 0

6x + 3y + 2z − 24 = 01) Chứng minh rằng : các đường thẳng AB, OC chéo nhau

2) Viết phương trình đường thẳng (∆)// (d) và cắt các đường thẳng AB, OC

Phần tự chọn: Thí sinh chọn câu 5a hoặc câu 5b

Câu 5a: (2 điểm)

1) Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(−2; 0) biết phươngtrình các cạnh AB, AC theo thứ tự là 4x + y + 14 = 0, 2x + 5y − 2 = 0 Tìm tọa độ cácđỉnh A, B, C

2) Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD lần lượt cho 1, 2, 3, n điểm phânbiệt khác A, B, C, D Tìm n biết số tam giác có 3 đỉnh lấy từ n + 6 điểm đã cho là 439.Câu 5b: (2 điểm)

1) Giải phương trình: log4(x − 1) + 1

Câu 1: (2 điểm)

Cho hàm số y = −2x3+ 6x2− 5

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2) Viết phương trình các tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua A(−1; −13)

x2+ 1 −√x = m có nghiệm

Câu 3: (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A(−3; 5; −5), B(5; −3; 7)

và mặt phẳng (P ) : x + y + z = 0

1) Tìm giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng (P )

2) Tìm điểm M ∈ (P ) sao cho MA2+ M B2 nhỏ nhất

Câu 4: (2 điểm)

1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng y = 0 và y = x (1 − x)

x2+ 1 2) Chứng minh rằng hệ

Phần tự chọn: Thí sinh chọn câu 5a hoặc câu 5b

Câu 5a: (2 điểm)

Câu 1: (2 điểm)

Cho hàm số y = −x + 1 + m

2 − x (Cm)1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 1

2) Tìm m để đồ thị (Cm) có cực đại tại điểm A sao cho tiếp tuyến với (Cm) tại A cắt trục Oytại B mà ∆OBA vuông cân

Câu 2: (2 điểm)

1) Giải phương trình: sin 2x

cos x +

cos 2xsin x = tan x − cot x

2) Tìm m để phương trình: √4

x4− 13x + m + x − 1 = 0 có đúng 1 nghiệm

Câu 3: (2 điểm)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho các điểm A(2; 0; 0), M(0; −3; 6)

1) Chứng minh rằng mặt phẳng (P ) : x + 2y − 9 = 0 tiếp xúc với mặt cầu tâm M bán kính

M O Tìm tọa độ tiếp điểm

2) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa A, M và cắt các trục Oy, Oz tại các điểm tươngứng B, C sao cho VO.ABC = 3

Phần tự chọn: Thí sinh chọn câu 5a hoặc câu 5b

Câu 5a: (2 điểm)

1) Tìm hệ số của x8 trong khai triển : (x2 + 2)n, biết: A3

n− 8C2

n+ C1

n = 49

2) Cho đường tròn (C) : x2 + y2 − 2x + 4y + 2 = 0.Viết phương trình đường tròn (C′) tâm

M (5; 1) biết (C′) cắt (C) tại các điểm A, B sao cho AB =√

((SAB) , (SBC)) = 600 Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB, SC Chứng minh

∆AHK vuông và tính VS.ABC?

Câu 1: (2 điểm)

Cho hàm số y = −x + 1

2x + 1 (C)1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2) Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua giao điểm của đườngtiệm cận và trục Ox

Câu 2: (2 điểm)

1) Giải phương trình: 2√2 sin x − 12π

! cos x = 1

2) Tìm m để phương trình: p

x − 3 − 2√x − 4 +px − 6√x − 4 + 5 = m có đúng 2 nghiệm.Câu 3: (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz

2) Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trên (P ) sao cho ∆⊥ d và khoảng cách từ M đến ∆bằng√42

Câu 5a: (2 điểm)

1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta luôn có:

nCn0− (n − 1) Cn1+ · · · + (−1)n−2Cnn−2+ (−1)n−1Cnn−1= 02) Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2; 1) lấy B ∈ Ox có xB ≥ 0 và C ∈ Oy có yC ≥ 0 saocho ∆ABC vuông tại A Tìm B, C sao cho S∆ABC lớn nhất

Câu 5b: (2 điểm)

1) Giải bất phương trình: log1

2

√2x2− 3x + 1 + 1

2log2(x − 1)2 ≥ 1

2.2) Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông, AB = AC = a, AA1 =

a√

2 Gọi M , N lần lượt là trung điểm của đoạn AA1, BC1 Chứng minh rằng MN là đườngvuông góc chung của các đường thẳng AA1 và BC1

Tính VM.A 1 BC 1

Câu 1: (2 điểm)

Cho hàm số y = x

x − 1 (C)1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2) Lập phương trình tiếp tuyến (d) của (C) sao cho (d) và 2 tiệm cận của (C) cắt nhau tạothành một tam giác cân

Câu 2: (2 điểm)

1) Giải phương trình: (1 − tan x) (1 + sin 2x) = 1 + tan x

2) Tìm m để hệ phương trình:  2x − y − m = 0

x + √xy = 1 có nghiệm duy nhất

Câu 3: (2 điểm) Cho mặt phẳng (P ) : x − 2y + 2z − 1 = 0 và các đường thẳng :

2) Tìm các điểm M ∈ (d1), N ∈ (d2) sao cho M N song song với (P ) và cách (P ) một khoảngbằng 2

Phần tự chọn: Thí sinh chọn câu 5a hoặc câu 5b

Câu 5a: (2 điểm)

1) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm

4 chữ số khác nhau?

2) Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm A(2; 1), B(2; −1) và các đường thẳng:

(d1) : (m − 1) x + (m − 2) y + 2 − m = 0 và (d2) : (2 − m) x + (m − 1) y + 3m − 5 = 0Chứng minh (d1), (d2) luôn cắt nhau Gọi P là giao điểm của 2 đường thẳng, tìm m sao cho

Câu 1: (2 điểm)

Cho hàm số y = x3+ 3mx2+ (m + 1)x + 1 (1), m là tham số thực

1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1

2) Tìm các giá trị của tham số m để tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm có hoành độ

x = −1 đi qua điểm A(1; 2)

2) Gọi I = d1 ∩ d2 Tìm tọa độ các điểm A ∈ d1, B ∈ d2 sao cho ∆IAB cân tại I và

S∆IAB =

√41

42 Câu 4: (2 điểm)

4) = tan x

Phần tự chọn: Thí sinh chọn câu 5a hoặc câu 5b

Câu 5a: (2 điểm)

1) Cho tập hợp E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ sốkhác nhau được thành lập từ các chữ số của E

2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ∆ABC với đường cao kẻ từ đỉnh B và đường phângiác trong của góc A lần lượt có phương trình là 3x + 4y + 10 = 0; điểm M(0; 2) ∈ AB đồngthời cách C một khoảng √2 Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác

2) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại đỉnh B,

BA = BC = 2a, hình chiếu vuông góc của S trên mp (ABC) là trung điểm E của AB,

SE = 2a Gọi I, J là trung điểm EC, SC; M di động trên tia đối của tia BA sao cho

\

ECM = α α < 900

và H là hình chiếu vuông góc của S lên MC Tính VEHIJ và tìm α

để VEHIJ lớn nhất

2

2) Giải bất phương trình: 1

1 − x2+ 1 > √ 3x

1 − x2.Câu 3: (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng

(P ) : 2x+3y −3z +1 = 0, đường thẳng d : x − 32 = y

9=

z + 5

1 và 3 điểm A(4; 0; 3), B(−1; −1; 3),C(3; 2; 6)

1) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P ).2) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bánkính lớn nhất

Phần tự chọn: Thí sinh chọn câu 5a hoặc câu 5b

Câu 5a: (2 điểm)

1) Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển nhị thức Newton của (1 + 3x)2n, biết rằng

A3

n+ 2A2

n= 100

2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y2 = 1 Tìm các giá trị của

m để trên đường thẳng y = m, tồn tại đúng 2 điểm mà từ mỗi điểm có thể kẻ được 2 tiếptuyến với (C) sao cho góc giữa 2 tiếp tuyến đó bằng 600

Câu 5b: (2 điểm)

1) Giải phương trình: 3 + 1

log3x= logx 9x − 6x

!

2) Cho hình chóp S.ABC mà mỗi mặt bên là một tam giác vuông,

SA = SB = SC = a Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC; D làđiểm đối xứng của S qua E; I là giao điểm của đường thẳng AD với mặt phẳng (SMN).Chứng minh rằng : AD⊥SI Tính VM BSI