(SKKN CHẤT 2020) một số bài toán thường gặp về viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

MỘT SỐ BÀI TỐN THƯỜNG GẶP VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ A, PHẦN THỨ NHẤT I, ĐẶT VẤN ĐỀ 1.Chúng ta biết rằng: dạy học tốn dạy cho người học có lực trí tuệ, lực giúp họ học tập tiếp thu kiến thức tự nhiên xã hội.Vì vậy, dạy tốn khơng đơn dạy cho học sinh nắm kiến thức, định lý tốn học.Điều quan trọng dạy cho học sinh có lực, trí tuệ Năng lực hình thành phát triển học tập.Vì cần giúp học sinh phát triển lực trí tuệ chung, bồi dưỡng giới quan vật biện chứng 2.Trong xu chung năm gần đây, viêc đổi phương pháp dạy học vấn đề cấp bách, thiết thực nhằm đào tạo người có lực hoạt động trí tuệ tốt Đổi phương pháp dạy học không giảng lý thuyết, mà luyện tập Luyện tập việc rèn luyện kỹ tính tốn, kỹ suy luận cần giúp học sinh biết tổng hợp, khái quát kiến thức học, xếp kiến thức học cách hệ thống, giúp học sinh vận dụng kiến thức học vào giải tập cách động sáng tạo Có thể nói, tốn viết phương trình tiếp tuyến hàm số tốn thường gặp kì thi tốt nghiệp THPT tuyển sinh ĐHCĐ năm gần đây,thế khơng học sinh cịn lúng túng khơng có nhìn thấu đáo vế tốn này, em thường khơng nhận dạng tốn chưa có phương pháp giải tốn cho dạng tốn khả phân tích đề cịn nhiều khó khăn Sở dĩ học sinh chưa làm tập viết phương trình tiếp tuyến hàm số vì: - Thứ nhất: Bài tốn viêt phương trình tiếp tuyến trình bày cuối chương trình 11 nên nhiều học sinh quên phương pháp cho toán - Thứ hai: Các em thiếu nhiều tập để rèn lun kĩ phân tích trình bày tốn - Thứ ba: học sinh chưa có phương pháp khái quát toán thường gặp viết phương trình tiếp tuyến hàm số Chính vậy, thơi thúc tơi tìm hiểu viết đề tài “Một số toán thường gặp viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số ” nhằm giúp em học sinh nắm kiến thức tốn viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số, để em có chuẩn bị tốt cho kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia ĐHCĐ Trang download by : skknchat@gmail.com LÝ THUYẾT: 1.Tiếp tuyến đường cong phẳng Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho đường cong (C): y = f(x) ; f (x M(x Đường thẳng MM’ cát tuyến ( C) Khi x M’(x; f(x)) di chuyển ( C) tới M(x Giả sử MM’ có vị trí giới hạn, kí hiệu MT MT gọi tiếp tuyến ( C) M Điểm M gọi tiếp điểm “Sau ta không xét trường hợp tiếp tuyến song song trùng với oy” Định lý 1: Cho hàm số y = f(x) Phương trình tiếp tuyến Định lý 2: Cho hàm số (C) đường thẳng (d) có phương trình: y = f(x) y = kx + b (C) (d) Đường thẳng d tiếp xúc với (C) hệ sau có nghiệm: Khi nghiệm x hệ phương trình hồnh độ tiếp điểm B.BÀI TỐN Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: y =f(x) ( C ) Trang download by : skknchat@gmail.com I Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: y =f(x) ) thuộc đồ thị hàm số ( C ) * M(x ;y Phương pháp: - Viết phương trình tiếp tuyến -Với: f -Tính: f -Kêt luận:… Nhận xét:+bài tốn có phương trình tiếp tuyến Ví dụ 1`( Đề TNTHPT-2007 ) Cho hàm số (C): y = x+1 tiếp tuyến với đồ thị (C) A(0;3) Ta có: y’= 1+ Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) A(0;3) có dạng: y = 5(x-0) + hay y = 5x + Ví dụ 2: ( Đề TNTHPT-2006 ) Cho hàm số (C): y = x3-6x2+9x Hãy viết phương trình tiếp tuyến điểm uốn đồ thị (C) Ta có: y’=3.x2-12x +9 ; y”=6x-12 ; y”=0 Với: x = Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) y = -3(x-2) + Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: y =f(x) điểm có hồnh độ x=x AI Phương pháp: -Với: x =x - Viết phương trình tiếp tuyến dạng: * →y Nhận xét:+áp dụng tương tự với tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có tung độ: y= y →y =f(x ) →x =? ( toán dạng tiếp tuyến điểm ) Ví dụ: ( Đề TNTHPT-2008 ) Cho hàm số (C): y = x4-2x2 Hãy viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có hoành độ x= -2 Giải Trang download by : skknchat@gmail.com Ta có: y’=4x3- 4x Với: x = -2 Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) y = -24( x + ) + y = y’(- III.Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: y =f(x) có hệ số góc k *Phương pháp: -Tính: f -Hệ số góc tiếp tuyến là: f - Viết phương trình tiếp tuyến (x) =? → f y=k.( x-x )+y Nhận xét: +Số nghiệm x phương trình: f (x ) = k số phương trình tiếp tuyến có hệ số góc k +Tiếp tuyến song song với đường thẳng: y = kx +b→ f (x ) = k→ x =? →y =f(x )=? +Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng: y= kx +b→ f =? y =f(x (x )= - )=?→Phương trình tiếp tuyến : y=- →x (x- x )+y +Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục ox góc Phương trình tiếp tuyến : y= (x- x )+y thì: Ví dụ: ( Đề TNTHPT-2009 ) Cho hàm số (C): y = Hãy viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) ,biết hệ số góc tiếp tuyến -5 Giải Ta có: y’= Ta có hệ số góc tiếp tuyến: = -5 x=1 x=3 -Với x=1 y=-3 Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm A(1;-3) có dạng: y = -5( x -1 ) - hay y = -5x + -Với x=3 y=7 Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm B( 3;7 ) có dạng: y = -5( x -3 ) +7 hay y = -5x + 22 IV Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: y =f(x) qua điểm A(x ;y ) Trang download by : skknchat@gmail.com *Phương pháp: -Tính : f -Gọi đường thẳng qua A(x (x) =? y=k.(x- x )+y -Để đường thẳng tiếp tuyến đồ thị hàm số thì: có nghiệm -Thay (2) vào (1)ta có: f(x) = f (x) (x- x )+ y (3)→x = ? thay vào(2)→k = ? -Kết luận: +Nhận xét:-số nghiệm x phương trình(3) số tiếp tuyến đồ thị hàm số qua A(x ;y ) Ví dụ: ( Đề TNTHPT-2004 ) Cho hàm số (C): y = A(3;0) x3-x2 Hãy viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) qua điểm Giải Ta có: y’= x2-2x -Gọi đường thẳng qua A(3;0) có hệ số góc k→phương trình có dạng: y=k.(x- 3)+0 -Để đường thẳng tiếp tuyến đồ thị hàm số thì: có nghiệm -Thay (2) vào (1)ta có →x=0 x= -Với x=0 thay vào(2)→k = Phương trình tiếp tuyến: y = -Với x= thay vào(2)→ k= Phương trình tiếp tuyến: y = 3.(x-3) = 3x – -Vậy có hai phương trình tiếp tuyến qua A(3;0) là: y=0 y = 3x – Ví dụ: ( Đề TS ĐH khối A-2009 ) Cho hàm số (C): y = Hãy viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) ,biết tiếp tuyến cắt trục hoành,trục tung A B cho tam giác AOB cân O Giải Phân tích: tiếp tuyến (d)cần tìm thỏa mãn*(d)là tiếp tuyến ( C) Trang download by : skknchat@gmail.com Cách 1: Vì (d) cắt ox (d) cắt oy B nên Để tam giác AOB cân O OA=OB *Với a = b ta có phương trình đường thẳng (d) có dạng: y=-x+a Để (d) tiếp tuyến (C) thì: có nghiệm Từ (2) ta có: x = -2 x = -1 -Với x = -2 thay vào (1) ta có: a = -2 thay vào phương trình tiếp tuyến (d) có dạng: y = -x - -Với x = -1 thay vào (1) ta có: a = (loại) *Với a = -b ta có phương trình đường thẳng (d) có dạng: y=x-a Để (d) tiếp tuyến (C) thì: có nghiệm Từ (2) suy hệ vơ nghiệm Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm (d): y = -x - Cách 2: Vì tam giác AOB cân O nên tiếp tuyến đồ thị hàm số tạo với ox góc 450 1350 khơng qua gốc tọa độ O -Tiếp tuyến đồ thị hàm số tạo với ox góc 450 ta có: phương trình vô nghiệm - Tiếp tuyến đồ thị hàm số tạo với ox = -1 góc 1350 ta có: = -2 Trang download by : skknchat@gmail.com Với tọa độ O) Với Kết luận: Phương trình tiếp tuyến cần tìm : y= -x - NHẬN XÉT: - Với cách 1: học sinh thường thiếu điều kiện a b để A BO tam giác -Với cách 2: đơn giản xong học sinh hay bỏ qua điều kiện tiếp tuyến đồ thị hàm số không qua gốc tọa độ O ******************************** C) BÀI TÂP CHUYÊN ĐỀ 1: TIẾP TUYẾN HÀM ĐA THỨC BẬC I, Bài tốn 1: Phương trình tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị Bài 1: Viết p.tr tiếp tuyến đồ thị (C): y = f(x) = x3 – 3x + biết: 1, Hoành độ tiếp điểm là: x1 = -1; x2 = 2, Tung độ tiếp điểm : y1 = 5; y2 = Bài 2: Cho (C): y = f(x) = 2x3 – 3x2 + 9x – Viết p.tr tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với đồ thị sau: 1, Đường thẳng d: y = 7x + 2,Parapol P: y = -x2 + 8x – 3, Đường cong (C): y = x3 -4x2 + 6x – Bài 3: Học viện quân y – 98 Cho hàm số: (Cm): y= x3 + – m(x + 1) 1,Viết p.tr tiếp tuyến (Cm) giao điểm (Cm) với oy 2, Tìm m để tiếp tuyến nói chắn trục toạ độ tam giác có diện tích Bài 4: ĐH Thương Mại - 20 Cho điểm A(x 0;y0) đồ thị (C): y = x3 – 3x + Tiếp tuyến với (C) A(x0;y0) cắt đồ thị (C) điểm B khác điểm A Tìm tọa độ điểm B Bài 5: ĐH Y Hà nội – 96 Cho (C): y = x3 + 3x2 + 3x + 1, CMR không tồn điểm (C) để tiếp tuyến với 2, Tìm k để (C) ln có điểm cho tiếp tuyến điểm với đường thẳng: y = kx + m Bài 6: Cho (Cm): y = f(x) = x3 + 3x2 + m + 1, Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = điểm phân biệt C(0;1),D, E 2, Tìm m để tiếp tuyến với (Cm) D E vuông góc với Bài 7: ĐH Quốc gia TP.HCM – 96 Cho (Cm): y = f(x) = x3 + mx2 + Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = -x + điểm phân biệt A(0;1), B,C cho tiếp tuyến với (Cm) B C vng góc với Bài 8: HV Cơng nghệ BCVT HN – 01 Trang download by : skknchat@gmail.com = = -2 Cho hàm số (C) : y = x3 – 3x 1, Cmr: đt ( m): y = m(x+1) + cắt (C) điểm A cố định 2, Tìm m để ( m) cắt (C) A, B,C phân biệt cho tiếp tuyến với đồ thị B C vng góc với Bài 9: ĐH Ngoại ngữ HN – 01 Tìm điểm đồ thị (C): y = x3 – x + mà tiếp tuyến với đường thẳng y = Bài 10: Cho đồ thị (C): y = f(x) = x3 – 3x2 + Cmr (C) có vô số cặp điểm mà tiếp tuyến cặp điểm song song với đồng thời đường thẳng nối cặp tiếp điểm đồng quy điểm cố định Bài 11: Cho đồ thị (C): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a 0) Cmr (C) có vơ số cặp điểm mà tiếp tuyến cặp điểm song song với đồng thời đường thẳng nối cặp tiếp điểm đồng quy điểm cố định Bài 12: ĐH ngoại thương TP.HCM – 98 Cho đồ thị (C): y= x3 + 3x2 – 9x + Tìm tiếp tuyến với (C) có hệ số góc Bài 13: HV QHQT – 01 Cho đồ thị (C): y = x3 – mx2 –x + m – Tìm t.tuyến với (C) có hệ số góc Bài 14: ĐH mỏ địa chất – 94 Cho đồ thị (C): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a 0) Cmr tất tiếp tuyến đồ thị (C), tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc a>0 lớn a