(SKKN CHẤT 2020) khai thác những kiến thức hình học để giải một số bài tập đại số 9

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN Lời giới thiệu: Trong trường phổ thơng mơn Tốn có vị trí quan trọng Các kiến thức phương pháp Tốn học cơng cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt môn học khác, hoạt động có hiệu lĩnh vực Đồng thời mơn Tốn cịn giúp học sinh phát triển lực phẩm chất trí tuệ; rèn luyện cho học sinh khả tư tích cực, độc lập, sáng tạo; giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức thẩm mỹ người công dân Ở trường THCS, dạy học Tốn, với việc hình thành cho học sinh hệ thống vững khái niệm, định lí việc dạy học giải tốn có tầm quan trọng đặc biệt vấn đề trung tâm phương pháp dạy học Tốn trường phổ thơng Đối với học sinh THCS, coi việc giải tốn hình thức chủ yếu việc học tốn Trong chương trình Toán THCS toán đa dạng, phong phú có ý nghĩa quan trọng em học sinh bậc học Để giải toán, người ta phải cách giải thơng minh nhất, tìm biện pháp hữu hiệu phù hợp với trình độ kiến thức bậc học THCS để giải quết toán loại Do đó, địi hỏi người học phải có cách suy nghĩ logic sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức cách logic có hệ thống Vì để giúp giáo viên em học sinh khắc phục khó khăn tơi tìm tịi, nghiên cứu đề tài “ Khai thác kiến thức hình học để giải số tập đại số 9” từ thực tế kinh nghiệm nhiều năm giảng dạy sở tài liệu hệ thầy, trước Đó nội dung đề tài sáng kiến kinh nghiệm muốn giới thiệu Trong tiết ôn tập cho học sinh lớp 9, tốn sau: Cho phương trình : x2 – (m – 1)x + 2m – = Tìm m để nghiệm phương trình kích thước hình chữ nhật download by : skknchat@gmail.com Khi gặp toán này, nhiều em lúng túng, bối rối khơng định hướng cho phải giải toán hướng suy nghĩ nào, dẫn đến em không giải tốn trên, có phải học sinh gặp toán đại số nghĩ đến kiến thức, công cụ môn đại số hay không? Nhưng ta thử đơn giản nghĩ lại rằng, kích thước hình chữ nhật số dương nên câu hỏi tốn hiểu là: Tìm m để phương trình có nghiệm dương Với câu hỏi chắn tốn trở thành quen thuộc học sinh Như cần lưu tâm đến kiến thức nhỏ hình học tốn việc nhẹ nhàng Khơng tốn mà thực tế nhiều toán khác, học sinh gặp bỡ ngỡ Nhưng em nhớ đến vận dụng kiến thức nhỏ hình học tốn trở nên dễ dàng Vì lý qua thời gian cơng tác giảng dạy, đúc rút kinh nghiệm “Khai thác kiến thức hình học để giải số tập đại số 9” Tên sáng kiến: “ Khai thác kiến thức hình học để giải số tập đại số 9” Tác giả sáng kiến: - Họ tên: Nguyễn Thị Đoàn - Địa tác giả sáng kiến: Giáo viên- Trường THCS Đôn Nhân- Sông Lô- Vĩnh Phúc - Số điện thoại: 0979 584 887 Email: nguyenthidoan.gvc2donnhan@vinhphuc.edu.vn Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Nguyễn Thị Đoàn Lĩnh vực áp dụng sáng kiến Sáng kiến áp dụng công tác giảng dạy mơn Tốn lớp trường THCS, bồi dưỡng học sinh thi vào lớp 10 THPT, bồi dưỡng học sinh giỏi Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: download by : skknchat@gmail.com Ngày bắt đầu áp dụng đề tài: 29/8/2019 Đề tài áp dụng năm học Mô tả chất sáng kiến: * Nội dung sáng kiến Phần I ĐẶT VẤN ĐỀ Cơ sở lý luận: Một mục tiêu nhà trường đào tạo xây dựng hệ học sinh trở thành người phát triển tồn diện, có đầy đủ phẩm chất đạo đức, lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế Muốn giải thành công nhiệm vụ quan trọng này, trước hết phải tạo tiền đề vững lâu bền phương pháp học tập học sinh phương pháp giảng dạy giáo viên mơn nói chung mơn tốn nói riêng Tốn học mơn khoa học tự nhiên quan trọng Trong trình học tập học sinh trường phổ thơng, địi hỏi tư tích cực học sinh Để giúp em học tập mơn tốn có kết tốt, có nhiều tài liệu sách báo đề cập tới Giáo viên không nắm kiến thức, mà điều cần thiết phải biết vận dụng phương pháp giảng dạy cách linh hoạt, truyền thụ kiến thức cho học sinh dễ hiểu Chương trình tốn rộng, em lĩnh hội nhiều kiến thức, kiến thức lại có mối quan hệ chặt chẽ với Do học, em nắm lý thuyết bản, mà phải biết tự diễn đạt theo ý hiểu mình, từ biết vận dụng để giải loại toán Qua cách giải toán rút phương pháp chung để giải dạng bài, sở tìm lời giải khác hay hơn, ngắn gọn Cơ sở thực tiễn: Thực tế số giáo viên trọng việc truyền thụ kiến thức đầy đủ theo bước, chưa ý nhiều đến tính chủ động sáng tạo học sinh Thơng qua q trình giảng dạy mơn tốn lớp 9, đồng thời qua trình kiểm tra đánh giá tiếp thu học sinh vận dụng, khai thác kiến thức download by : skknchat@gmail.com hình học để giải số tập đại số Tôi nhận thấy học sinh vận dụng kiến thức hình học để giải số tập đại số cịn nhiều hạn chế thiếu sót Giải tập đại số cách vận dụng kiến thức hình học Đây phần kiến thức khó em học sinh lớp 9, lẽ từ trước đến em quen giải dạng toán đại số kiến thức phép biến đổi đại số Mặt khác khả tư em hạn chế nên sau đọc đề đại số định hướng để giải tập dùng kiến thức đại số làm công cụ Các tập dạng không nằm chương, phần cụ thể Xuất phát từ thực tế nên giải số tốn em chưa có cách làm tối ưu chí không giải dẫn đến kết học tập em chưa cao Do việc hướng dẫn em có kỹ khai thác sử dụng kiến thức hình học vào giải tập đại số cần thiết Giúp em phát triển khả tư duy, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh học nhằm nâng cao chất lượng học tập Mục đích nghiên cứu : Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích giúp giáo viên nắm rõ phương pháp Khai thác kiến thức hình học vào giải số tập đại số Để từ giáo viên giúp học sinh biết cách khai thác kiến thức hình học để giải tập đại số cho phù hợp Nhiệm vụ đề tài Đưa loại tập đại số giải cách khai thác kiến thức hình học, có tập minh họa Phạm vi đối tượng đề tài Qua thực tế vài năm giảng dạy mơn tốn lớp 9, thân tơi gặp tốn đại số khó mà giải kiến thức đại số dài phức tạp chí khơng giải Nhưng biết tích hợp kiến thức hình học biết vào lời giải tốn trở lên đơn giản nhiều Do đó, phạm vi nghiên cứu chương trình tốn Bản thân tơi mong rằng: có sáng tạo q thầy giáo, giáo đề tài giúp học sinh lớp vận dụng sáng tạo kiến thức liên mơn hình học đại số, phát triển tư duy, download by : skknchat@gmail.com làm dùng đề tài để dạy tự chọn mơn tốn 9, ơn thi vào THPT, thi học sinh giỏi… Cũng từ thực tế giảng dạy, tơi ln suy nghĩ bước để hồn thiện phương pháp mình, nên thân tơi tâm huyết với đề tài Mặt khác, theo suy nghĩ riêng tôi, người cần tập trung suy nghĩ thấu đáo vấn đề nhiều người góp lại chắn hiệu giáo dục qua năm nâng lên rõ rệt Từ suy nghĩ tơi áp dụng đề tài suốt năm học 2019- 2020, đồng thời tiếp tục áp dụng năm học Bản thân cố gắng nghiên cứu bổ sung nội dung để đề tài đáp ứng chương trình đổi sách giáo khoa lớp chương trình tự chọn lớp Rất mong quý thầy giáo đóng góp thêm ý kiến đọc đề tài Phương pháp nghiên cứu Để nghiên cứu đề tài này, sử dụng phương pháp sau: a Phương pháp nghiên cứu lý thuyết Kết hợp kinh nghiệm giảng dạy có với nghiên cứu tài liệu, sử dụng tài liệu như: - Sách giáo khoa Toán - Sách tập Toán - Bồi dưỡng học sinh giỏi toán – NXB Đại học quốc gia Hà Nội - Tuyển chọn 10 năm toán tuổi thơ - NXB Giáo dục b Phương pháp nghiên cứu thực tiễn Tôi tiến hành dạy thử nghiệm học sinh lớp - Trường THCS Đôn Nhân năm học 2019-2020 c Phương pháp đánh giá Trước sau thực đề tài học sinh lớp 9, tơi có tiến hành kiểm tra đánh giá mức độ nhận thức suy luận em download by : skknchat@gmail.com PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Xuất phát từ thực tế em học sinh ngại khó giải tốn, tơi thấy cần phải tạo cho em có niềm u thích say mê học tập, tự đặt câu hỏi tự tìm câu trả lời Khi gặp tốn khó, phải có nghị lực, tập trung tư tưởng, tin vào khả trình học tập Việc phát cách giải tập đại số việc khai thác kiến thức hình học khơng phải việc làm đơn giản Bên cạnh sử dụng kiến hức hình học để giải việc khó với học sinh Để giúp học sinh bớt khó khăn cảm thấy dễ dàng việc “Khai thác kiến thức hình học để giải số tập đại số 9” yêu cầu em phân tích đề cách kỹ càng, xem xét yếu tố liên quan đến toán, định hướng cách làm, lựa chọn cách làm tối ưu, yêu cầu học sinh có kỹ thực hành giải tốn cẩn thận Việc hướng dẫn học sinh tìm phương pháp giải toán phù hợp với dạng vấn đề quan trọng, phải tích cực quan tâm thường xun, khơng giúp em nắm lý thuyết mà phải tạo cho em có phương pháp học tập cho thân, rèn cho em có khả thực hành Nếu làm điều chắn kết học tập em đạt mong muốn Sau xin giới thiệu số dạng toán thường gặp Dạng Sử dụng điều kiện điểm nằm điểm lại - Ta biết điểm M nằm hai điểm A B MA + MB = AB (tức A, B, M thẳng hàng) - Điểm M không nằm A B MA+ MB AB - Nếu ba điểm cho điểm nằm hai điểm cịn lại ba điểm khơng thảng hàng Ví dụ1: Trên mặt phẳng toạ độ cho ba điểm A(2;3), B(-1; -3), C(3;5) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng Nhận xét: Nhiều em học sinh gặp ví dụ bỡ ngỡ, lúng túng chứng minh theo cách - Nếu giải kiến thức đại số thì: + Viết phương trình đường thẳng qua ba điểm download by : skknchat@gmail.com + Kiểm tra xem điểm cịn lại có thuộc đường thẳng không + Kết luận: Nếu điểm thứ ba thc đường thẳng điểm có thẳng hàng Nếu điểm thứ ba khơng thc đường thẳng điểm không thẳng hàng - Nếu khai thác kiến thức hình học vào giải tốn thì: Ta biết điểm A, B, C thẳng hàng xảy ba trường hợp: AC=AB+BC AB=AC+BC BC = AB+ AC Từ kiến thức hình học dẫn ta suy nghĩ theo hướng tính độ lớn đoạn thẳng so sánh tổng đoạn thẳng với đoạn cịn lại Như ta có lời giải thật ngắn gọn Lời giải: Độ dài đoạn thẳng là: AB= = AC= = BC= = Ta có : AB + AC = + = = =4 =BC Vậy A, B, C thẳng hàng Từ ví dụ ta chứng minh điểm khơng thẳng hàng ví dụ sau: Ví dụ 2: Trên mặt phẳng toạ độ cho điểm M(2;5) , N(1;2) , P(0;1) Chứng minh ba điểm không thẳng hàng Lời giải: MN= = NP= = MP= = download by : skknchat@gmail.com Từ ta có MN + NP MP , NP + MP MN , MN + MP NP khơng có điểm nằm hai điểm cịn lại nên M, N, P khơng thẳng hàng Và ta cần thay đổi chút có tốn ví dụ sau: Ví dụ 3: Trên mặt phẳng cho điểm A(1;-4) , B(7;8) , M(4;2) Chứng minh M trung điểm AB Lời giải Ta có: MA = MB = AB = Ta có: + = Vậy điểm M nằm A B Ta lại có: MA = MB = Như cần tính độ dài đoạn thẳng sử dụng điều kiện điểm nằm hai điểm lại ta giải nhiều toán Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Trên mặt phẳng toạ độ cho ba điểm M(1; 1), N(-1; -3), I(2; 3) Chứng minh ba điểm M, N, I thẳng hàng Bài tập 2: Trên mặt phẳng toạ độ cho điểm M(-2; 1), N(-3; 2), P(0; 1) Chứng minh ba điểm không thẳng hàng Bài tập 3: Trên mặt phẳng cho điểm A(1; 3) , M(0; 1) , B(-1;-1) Chứng minh M trung điểm AB Dạng Sử dụng bất đẳng thức cạnh tam giác - Cho tam giác ABC ta có: AB < AC + BC - Nếu cho điểm A, B, C mặt phẳng toạ độ ta ln có AB AC + BC download by : skknchat@gmail.com Bây ta áp dụng kiến thức hình học để giải số tốn Ví dụ 4: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh: (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) abc (Đề thi chọn hsg toán thành phố HCM năm học 1999-2000) Lời giải: Đặt x = a + b - c y=b+c-a z=c+a-b Vì a, b, c cạnh tam giác nên x, y, z > Ta có: b= ,c= ,a= Bất đẳng thức tương đương với: xyz ( )( )( ) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho cặp số dương x, y; y, z; z, x ta x+y x+y x+y ( )( )( ) ( xyz ( )( )( Vậy (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b) )( )( ) = xyz ) abc (đpcm) Nhận xét: Ở để áp dụng bất đẳng thức Cơsi phải lý luận để x, y, z > mà điều có a, b, c cạnh tam giác Ví dụ 5: Cho phương trình: x2 + (a + b + c)x + ab + ac + bc = Với a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh phương trình vô nghiệm (Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội năm học 20022003) Lời giải: = (a + b + c)2 – 4(ab + ac + bc) = a2 + b2 + c2 - 2ab – 2bc – 2ca download by : skknchat@gmail.com = a[a – (b + c)] + b[b – (a + c)] + c[c – (a + b)] Vì a, b, c độ dài cạnh tam giác, nên: a – (b + c) < b – (a + c) < c – (a + b) < Vì vậy: = a[a – (b + c)] + b[b – (a + c)] + c[c – (a + b)] < nên phương trình vơ nghiệm Nhận xét: Bài sử dụng bất đẳng thức cạnh tam giác chứng minh 0 Lời giải: +) Nếu a2+b2-c2 =0 phương trình cho có nghiệm x=0 ( Tam giác vng ) +) a2+b2-c2 tính =(a+b+c) (a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c) Vì a, b, c ba cạnh tam giác nên sử dụng bất đẳng thức tam giác ta có: (a+b+c)>0 (a+b-c)>0 (a-b+c) >0 (-a+b+c)>0 =(a+b+c) (a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c)>0 Phương trình cho có nghiệm phân biệt Vậy phương trình cho có nghiệm Ví dụ 7: Với a, b, c, d số dương, chứng minh: + 10 download by : skknchat@gmail.com Hướng dẫn học sinh suy nghĩ: Ở để giải ta phải nhớ lại dấu hiệu nhận biết hình bình hành Trong dấu hiệu nhận biết hình bình hành, ta sử dụng tứ giác có cặp cạnh đối hiệu Vì ta dễ dàng tính độ dài đoạn thẳng Lời giải: Trên mặt phẳng toạ độ ta xác định điểm A, B, C, D Ta thấy khơng có ba điểm thẳng hàng Và tính AB = CD = AD = CB = Ta có: AB = CD = Ví dụ 12: Hai vật chuyển động đường trịn, đường kính 20cm Xuất phát lúc, điểm Nếu chuyển động chiều sau 20s chúng gặp nhau, chuyển động ngược chiều sau 4s chúng gặp Tính vận tốc vật (Bài tập 37 trang 24 toán tập II) Hướng dẫn học sinh suy nghĩ: Để giải ta phải sử dụng kiến thức hình học độ dài đường tròn Lời giải: Độ dài đường tròn C = d = 20 (cm.) Gọi x(cm/s), y(cm/s) vận tốc vật (x, y > 0) Sau 20s chúng chuyển động chiều gặp quãng đường vật nhanh lớn quãng đường vật cịn lại độ dài đường trịn Nên ta có: 20x – 20y = 20 Sau 4s chúng chuyển động ngược chiều gặp tổng quãng đường vật độ dài đường tròn, nên: 4x + 4y = 20 Ta có hệ: 20x – 20y = 20 x= 14 download by : skknchat@gmail.com (thỏa mãn điều kiện) 4x + 4y = 20 y=2 Vậy vận tốc vật thứ Vận tốc vật thứ cm/s cm/s Ví dụ 13: Cho phương trình: x2- 2(m-1)x+2m-7 = Tìm m để nghiệm phương trình kích thước hình chữ nhật Hướng dẫn học sinh suy nghĩ: Tôi ôn tập cho học sinh câu học sinh ngỡ ngàng, lúng túng khơng hiểu hai kích thước hình chữ nhật nên làm từ đâu Nhưng ta cần lưu ý chiều dài chiều rộng hình chữ nhật số dương tốn đơn giản Như ta cần tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm dương Lời giải = (m-1)2- (2m-7) = (m-2)2 + > m Nên phương trình ln có nghiệm phân biệt Để nghiệm phương trình kích thước hình chữ nhật phương trình phải có nghiệm dương Hay Vậy với m > 3,5 nghiệm phương trình kích thước hình chữ nhật Từ ví dụ thay đổi chút ta có tốn hóc búa hơn, ví dụ 13 đây: Bài tập áp dụng: Bài 6: Gọi a, b, c độ dài ba cạnh p nửa chu vi tam giác Chứng minh rằng: (p-a)(p-b)(p-c) abc 15 download by : skknchat@gmail.com Hướng dẫn: Tính p-a= >0 , tương tự với p-b, p-c Áp dụng BĐT Co-si điều phải chứng minh Dấu “=” xảy a=b=c hay tam giácđã cho tam giác Dạng Bài tập tổng hợp Đó vận dụng nhiều kiến thức hình học lúc định nghĩa, dấu hiệu, diện tích, định lý Pitago số tập sau: Ví dụ 14: Cho phương trình : x2- 2(m-1)x +2m-7 =0 Tìm m để hai nghiệm phương trình kích thước hình chữ nhật có độ dài đường chéo Lời giải: Tương tự lời giải trên, để hai nghiệm kích thước hình chữ nhật m > 3,5 Để hai nghiệm kích thước hình chữ nhật có độ dài đường chéo x12 + x22 = 34 ( x1 + x2 )2 - 2x1x2 = 34 [2(m-1)]2 - 2(2m-7) = 34 m2 – 3m – = giải phương trình ta có: m1 = -1 m2 =4 Đối chiếu với điều kiện m >3,5 ta có m = thỏa mãn điều kiện Vậy với m = hai nghiệm phương trình kích thước hình chữ nhật có độ dài đường chéo Ở ví dụ ngồi sử dụng kiến thức ví dụ cịn sử dụng đến kiến thức định lý Pitago Ví dụ 15: Cho a > c, b > c, c > Chứng minh rằng: + C (Đề thi HSG lớp TP HCM năm học 2002 – 2003) Hướng dẫn: 16 A Ở H B toán ta phải vẽ hình sử dụng định lý Pitago để khẳng định tồn cách dựng hình Ngồi ta cịn sử dụng đến cơng thức tính diện tích tam giác Lời giải Ta có: a – c > 0; b – c > Đặt AC = ; BC = Ta có: 2(S +S Do đó: ; CH = ) = 2S AH = BH = mà 2S + Nên: + (điều phải chứng minh) Ví dụ 16: Trên mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng (m-2)x +(m-1)y = (d) (trong m tham số) Tìm giá trị m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng (d) lớn Lời giải y A H B (d): (m-2)x +(m-1)y = (m-1)y= (2-m)x+1 +) Trường hợp 1: m=1 (d) trở thành đường thẳng x=-1 17 download by : skknchat@gmail.com O x Khi khoảng cách từ O đến (d) +) Trường hợp 2: m=2 (d) trở thành đường thẳng y=1 Khi khoảng cách từ O đến (d) +) Trường hợp 3: m 2, m Gọi A giao điểm (d) với trục tung Ta cho x = y= OA= nên Gọi B giao điểm (d) với trục hoành Ta cho y = x = OB= nên Khoảng cách từ gốc đến (d) OH Ta có tam giác OAB tam giác vuông với đường cao OH nên ta có: = + Nên ta có OH hay = (m-1) + (m-2) = 2(m- ) + Giá trị lớn cuả OH là: OH = Vậy giá trị lớn cuả OH là: OH = xảy m= xảy m= Như ta phải sử dụng kiến thức hình học sử dụng hệ thức tam giác vng Ví dụ 17: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho Parabol (P): y= x2 hai điểm A(-1;1) B(3;9) nằm (P) Gọi M điểm thay đổi (P) có hồnh độ m (−1