(SKKN CHẤT 2020) kinh nghiệm dạy học giải bài tập bất đẳng thức hướng khắc phục sai lầm tạo lập mới hệ thống bài tập

KINH NGHIỆM DẠY- HỌC: GIẢI BÀI TẬP “BẤT ĐẲNG THỨC” HƯỚNG KHẮC PHỤC SAI LẦM - TẠO LẬP MỚI HỆ THỐNG BÀI TẬP Họ tên : Phạm Thị Vỹ Giáo viên trường trung học sở Bn Trấp Trình độ chuyên môn : ĐẠI HỌC SƯ PHẠM – CHUYÊN NGÀNH TỐN I/ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Tốn học môn khoa học tự nhiên, phát sinh từ nhu cầu thực tế người Dạy toán dạy hoạt động toán học cho học sinh, giải tập hình thức chủ yếu, dạy học giải tập có vị trí vơ quan trọng Đặc trưng cua tập bơ mơn toan nói chung, thể loai toan “bất đẳng thức” noi riêng vô cung rộng lớn phong phú ca vê thể loai, nội dung mức độ yêu cầu thểể̉ loại Nó ln sở, tảng vững cho mơn tốn học mơn khoa học tự nhiên khác Loại tập vân dụng cho nhiêu đối tương hoc sinh môt lơp, môt khối va nhiều câp hoc Đặặ̣c biệt dạng tập bất đẳng thức đánh giá loại nhằm phát triểể̉n tư trí tuệ học sinh Nó thường đóng vai trị làm câu khốố́ng chế điểể̉m 9, điểể̉m 10 đề kiểể̉m tra, đề thi năm Nhằm giúố́p giáo viên chúố́ng ta dễ dàng phát hiện, phân loại đốố́i tượng học sinh, chọn lựa học sinh khá, giỏi trình dạy học Nếu học sinh biết giải giải thành thạo loại tốn việc học mơn tốn khơng cịn rào cản hay thách thức đốố́i với học sinh Thế nhưng, theo nhận định chủ quan thân khả nhận thức, vận dụặ̣ng kiến thức mơn tốn vào thực tiễn niềm đam mê toán học học sinh cịn q khiêm tớố́n Toan hoc mơn học mang tinh kê thưa, co năm chăc kiên thưc ban “bất đẳng thức” biết vận dụặ̣ng thành thạo kiến thức việc giải tập thi may mơi co thể mơ rông va nâng cao kiên thưc sau Đó hội đểể̉ bước vào trường chuyên, lớp chọn, tương lai vào trường đại học theo mong ước Người ta thường nói ( móng có tường vững ) Qua nhiêu năm day hoc, qua nhiều kì kiểể̉m tra khơng lần chọn bồi dưỡng học sinh giỏi, ban thân nhân thây khả tiếp thu vận dụặ̣ng kiến thức học sinh việc đê kiểm tra mảng kiên thưc “bất đẳng thức” cua môt số không it học sinh giao viên nhiều lúố́ng túố́ng Đề thường mang tinh khuôn mâu hay chép tư nhiêu tai liêu khac Kêt qua bai lam cua hoc sinh đặt nặng tinh may rui Nếu giáo viên chúố́ng ta nhìn thấy tầm quan trọng loại toán này, biết dưa vao sư phong phú tính đa dang chắn đứng lớp chúố́ng ta co thể tự tin chủ động kiến thức Khôn khéố́o lựa chọn phương pháp giải phù hợp đốố́i với loại tập cụặ̣ thểể̉ Hơn thế, giáo viên chúố́ng ta có thểể̉ linh hoạt việc giúố́p học sinh khắc phụặ̣c sai lầm giải tập Tự cai biên đề bài, đê phù hợp với khả nhiều học sinh Có thểể̉ mơ rơng, nâng cao kiên thưc môt tiêt hoc Viêc lam phu hơp vơi nhiêu đối tương hoc sinh, tạo cho không khí lớp học thêm phần sinh động mà cịn phát huy tớố́ chất tốn học tiềm ẩn học sinh Đáp ứng nhu cầu đổi phương pháp dạy học toán Thuân lơi cho giao viên viêc phụ đao hoc sinh yêu kém, đông thơi bôi dương hoc sinh kha gioi Vây làm đểể̉ giáo viên chúố́ng ta tự tin hơn, làm chủ mảng kiến thức “Bất đẳng thức” truyền tải đến với học sinh, hướng dẫn giúố́p học sinh biết tránh sai - download by : skknchat@gmail.com lầm thường mắc giải loại tập Từ biết cải biên đề bài, tạo hệ thốố́ng tập, biết vận dụặ̣ng khả mở rộng kiến thức nhằm dễ dàng đạt điểể̉m tốố́i đa kiểể̉m tra, thi Giáo viên thực thi tiết dạy, khơng cịn q lệ thuộc vào sách giáo khoa Đặặ̣c biệt hơn, việc đề thi, đề kiểể̉m tra có, hoặặ̣c khơng có trùng lặặ̣p đề năm với đề năm trước, đề kì với đề kì trước Chấm dứt ỉ lai hay mong chờ may rủi thi cử, kiểể̉m tra học sinh Đó li mà đề tài cần quan tâm II/ ĐỐI TƯỢNG, CƠ SỞ VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: 1) Đối tượng nghiên cứu : Hoc sinh sớố́ giáo viên dạy tốn trương trung hoc sơ Buôn Trâp va cac trương lân cân huyên Krông Ana, Tỉnh Đăc Lăc 2) Cơ sở nghiên cứu : Căn cư vao chât lương hoc sinh tư lơp đên lơp va hoc sinh lơp thi vao lơp 10 cac trương THPT, trương THPT chuyên cua cac năm 1996-1997; 1997 1998; 2001- 2002; 2002 - 2003; 2005 - 2006 năm học 3) Phương pháp nghiên cứứ́u : Phốố́i hợp đồng loạt tất phương pháp: “trò chuyện”, “đàm thoại”, “phỏng vấn trực tiếp, gián tiếp”, “điều tra phiếu học tập, thông qua kết kiểể̉m tra 15 phúố́t, 45phúố́t, 90 phúố́t, đề thi học sinh giỏi cấp, đề thi vào lớp 10 THPT qua nhiều năm,v v Tài liệu nghiên cứu: Sách giáo khoa, sách giáo viên toàn cấp học Các đầu sách tham khảo xuất giáo dụặ̣c đào tạo nói Bất đẳng thức Sách nói phương pháp dạy học – dạy học giải tập ( trường đại học sư phạm) v v III/ NỘI DUNG VÀ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU : 1) Nhiệm vụ đề tài : Thực ra, loại tốn có dạng “bất đằng thức” em tiếp cận từ cấp tiểể̉u học Tuy nhiên mức độ yêu cầu tập chỉể̉ dừng lại phạm vi: quan sát so sánh, điền dấu ( >; < ) vào ô trốố́ng hoặặ̣c biểể̉u thức lớn ? ? Đốố́i với học sinh lớp 6, lớp dạng tập bất đẳng thức tăng dần với mức độ từ thấp đến cao, nhiên cụặ̣m từ “bất đẳng thức” cịn bí mật Có chỉể̉ dạng bài: so sánh biểể̉u thức A biểể̉u thức B; khẳng định sau đúố́ng hay sai? Vì sao? ; chứng minh biểể̉u thức A > B hoặặ̣c A < B Lên đến lớp lớp 9, yêu cầu mức độ nhận thức vận dụặ̣ng kiến thức có địi hỏi cao Các em biết vận dụặ̣ng định nghĩa, tính chất sớố́ phương pháp thơng thường đểể̉ giải tập bất đẳng thức, biết tìm điều kiện chữ đểể̉ biểể̉u thức dương, âm, hay biểể̉u thức lớn biểể̉u thức Vấn đề mà đề tài cần quan tâm là: Mức độ hiểể̉u biết, nhận thức khả vận dụặ̣ng kiến thức “bất đẳng thức” đốố́i với giáo viên học sinh cần phải đạt mức cao hơn, linh hoạt, sáng tạo Đốố́i với học sinh, người lĩnh hội kiến thức vận dụặ̣ng kiến thức nhằm phát huy lực, phát triểể̉n trí tuệ Đểể̉ việc tiếp thu vận dụặ̣ng có hiệu mảng kiến thức này, địi hỏi em phải có cần cù, chịu khó, biết liên tướng, ghéố́p nốố́i kiến thức học cách liên tụặ̣c, lơgic, có hệ thớố́ng Kiến thức có trước tiền đề cho kiến thức có sau Và ngược lại, kiến thức có sau kế thừa hoặặ̣c mở rộng từ kiến thức có trước Chính học sinh phải có đam mê việc tự học, tự nghiên cứu vận dụặ̣ng Việc làm này, yêu cầu đốố́i với học sinh thật không dễ chúố́t Đốố́i với giáo viên, người trực tiếp truyền tải kiến thức đến với học sinh, người chịu trách nhiệm việc đề thi, kiểể̉m tra, đánh giá chất lượng học sinh Chất lượng day học thầy đánh giá cân, đo, đong, đếm qua đam mê, tự giác nghiên cứu hiệu vận dụặ̣ng kiến thức học sinh thơng qua kì thi Do đó, ngồi việc chăm lo trang bị cho có nghiệp vụặ̣ sư phạm vững vàng, hành trang kiến thức vững - download by : skknchat@gmail.com chắc, người giáo viên chúố́ng ta cần phải thường xuyên học hỏi, tự trau dồi cho kĩ nghệ thuật sư phạm bụặ̣c giảng Đặặ̣c biệt đốố́i với loại tập “bất đẳng thức”, mệnh danh loại tập khó dạy, khó học Như chúố́ng ta biết, việc giải tập yêu cầu quan trọng đốố́i với học sinh Hơn nữa, loại tập chứng minh “bất đẳng thức” khó nêu lên phương pháp tổng quát đểể̉ chứng minh, tính đa dạng bất đẳng thức phải chứng minh phương pháp chứng minh Vì vậy, dạy tập loại tốn này, người dạy khơng chỉể̉ đơn cung cấp kiến thức mà dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ, tìm đường giải Từ rèn luyện kĩ vận dụặ̣ng kiến thức cách linh hoạt, sáng tạo đểể̉ cải biên đề bài, tạo hệ thốố́ng tập Nhằm hình thành tư duy, phát triểể̉n lực trí tuệ cho học sinh Đó nhiệm vụặ̣ khơng thểể̉ xem nhẹ đốố́i với giáo viên chúố́ng ta A: GIẢẢ̉I BÀI TẬP “BẤT ĐẲNG THỨứ́C” Là giáo viên dạy toán, hẳn thấy việc dạy học sinh biết giải giải thành thạo tập đẳng thức khó việc dạy giải tập “bất đẳng thức” lại khó Bởi lẻ khái niệm bất đẳng thức thức vô phức tạp, bất đẳng thức có thểể̉ đúố́ng, lại có thểể̉ sai, đúố́ng miền xác định lại sai miền xác định khác Ví dụặ̣ : 3x +1 > 2x + có giá trị chân lí đúố́ng với x > , lại sai với x Ngôn ngữ bất đẳng thức lại diễn đạt theo nhiều nghĩa khác ( >; < ; ; lớn , hơn, béố́ hơn, không lớn hơn, không nhỏ hơn) Nếu học sinh không nắm vững định nghĩa, tính chất bất đẳng thức e việc giải tập dạng thật khó khăn Đểể̉ đạt nhiệm vụặ̣ chung nói trên, giáo viên học sinh cần phải hiểể̉u cách sâu sắc nắm vững định nghĩa, tính chất bất đẳng thức *Định nghĩa1:Hai biểể̉u thức A B nốố́i với quan hệ( ; ) ta nói có bất đẳng thức chẳng hạn: (A>B ; A < B ; A B ; A B) bất đẳng thức * Định nghĩa 2: A>B A – B>0; A < B A – B < 0; A B A– B 0; A B A–B * Tính chất quan hệ: Trong quan hệ ( < ; >) có tính chất bắc cầu Trong quan hệ ( ; ) có tính chất phản xạ, phản xứng, bắc cầu * Một sớố́ định lí thường dùng a > b a > b Tổng quát (không trừ vế theo vế) đặặ̣c biệt –a < -b a>b - download by : skknchat@gmail.com * Tổng quát : ( Không chia vế theo vế ) a>b a>b a>b ab>0 Chúố́ ý: a2 với a R a2>0 với a R a * Một sốố́ bất đẳng thức thường dùng giải tập + Bất đẳng thức ( a b)2 với a, b + Bất đẳng thức Côsi ( cauchy) : với a 0, b a + b Dấu “=” xảy chỉể̉ a = b + Bất đẳng thức bunhiacôpxki : hoặặ̣c Dấu “=” xảy chỉể̉ Bài tập toán loại “Bất đẳng thức” đa dạng phong phúố́ Nó phong phú ca vê thể loai nội dung mức độ yêu cầu nên dạy loại toán chúố́ng ta cần nghiên cứu kĩ nội dung đề bài, mức độ yêu cầu đề bài, tìm hiểể̉u xem, người học thuộc đớố́i tượng Từ tìm chọn lựa phương pháp giảng dạy phù hợp cho loại bài, đáp ứng phần lớn nhu cầu đốố́i tượng cần học Cho dù sử dụặ̣ng phương pháp dạy học trước dạy giải tập, giáo viên chúố́ng ta cần phải cho học sinh ôn lại kiến thức lí thuyết bổ trợ cho tập Nắm lý thuyết, hiểể̉u biết vận dụặ̣ng, chắn thành công phần lớn việc giải tập Mặặ̣c dầu chưa có phương pháp tổng quát nói chứng minh: “Bất đẳng thức” Song từ tập cụặ̣ thểể̉ yêu cầu cụặ̣ thểể̉ ta có thểể̉ đưa “Một sớố́” phương pháp đại cương sau dùng đểể̉ giải tập dạng + Phương pháp so sánh +Phương pháp xéố́t hiệu (dựa vào định nghĩa) + Phương pháp biến đổi tương đương (phương pháp biến đổi trực tiếp ) + Phương pháp dùng bất đẳng thức có sẵn + Phương pháp phân tích sớố́ hạng Đểể̉ giúố́p giáo viên học sinh thuận lợi, dễ dàng việc dạy việc học giải tập bất đẳng thức, Ta có thểể̉ tạm chia tập dạng thành hai loại ( Loại có sẵn thuật tốn loại chưa có sẵn thuật tốn ) Sau sốố́ tập cụặ̣ thểể̉ minh họa cho nhận định A.1/ Loại tập có sẵn thuật tốn : Đớố́i với loại tập có thuật toán, dạy giáo viên chúố́ng ta yêu cầu học sinh khơng xem nhẹ sở quan trọng đểể̉ tiến tới giải tập có nội dung khó hơn, phức tạp Do học sinh cần hiểể̉u rõ thuật toán là: + Năm vững quy tắc giải học + Nhận dạng đúố́ng toán - download by : skknchat@gmail.com + Giải theo quy tắc cách thành thạo Đốố́i với học sinh lớp 6, lớp tập “bất đẳng thức” chỉể̉ dạng bài: so sánh biểể̉u thức A biểể̉u thức B; khẳng định sau đúố́ng hay sai? Vì sao? Chứng minh sớố́ A > sớố́ B hoặặ̣c sốố́ A < sốố́ B, cụặ̣m từ “ bất đẳng thức” cịn bí mật Ví dụ 1: a) so sánh : 200300 với 300200 hoặặ̣c chứng minh 200300 > 300200 b) So sánh : -200300 với -300200 hoặặ̣c chứng minh -200300 < -300200 c)So sánh : 200-300 với 300-200 hoặặ̣c chứng minh Đểể̉ dạy loại tập giáo viên chúố́ng ta nên cho học sinh ôn lại kiến thức lũy thừa, nâng lũy thừa lên lũy thừa, so sánh hai lũy thừa có sốố́ hoặặ̣c sốố́ mũ So sánh sốố́ nguyên âm, so sánh nghịch đảo sốố́ nguyên dương Từ hướng dẫn em biến đổi sớố́ cho mụặ̣c đích cần so sánh mình, dùng phéố́p biến đổi vế: A = A1=A2 = = An B = B1 = B2 = = Bn Nếu An > Bn A > B Giải: Câu a) 200300 = 300200 = Vậy 200300 > 300200 Câu b câu c: Từ kết câu a quy tắc so sánh hai sốố́ hai sốố́ nguyên âm, so sánh nghịch đảo hai sốố́ nguyên dương ta suy : b) -200300 < -300200 c) Với loại tập này, giáo viên lưu ý cho học sinh nên tạo lập đề bài, xây dựng thành hệ thốố́ng tập ( cách thay đổi sốố́ hoặặ̣c sốố́ mũ ) Việc làm tạo cho học sinh thói quen ln nghiên cứu, mở rộng khả hiểể̉u biết Nhằm rèn luyện kĩ tư duy, phát triểể̉n trí tuệ cho học sinh Ví dụ 2: Chứng minh biểể̉u thức sau : A = Đây dạng quen thuộc, phổ biến rộng rãi toàn cấp học Vận dụặ̣ng cho nhiều đớố́i tượng học sinh, tính chất giúố́p học sinh phát triểể̉n trí tuệ, hình thành lực tư duy, rèn luyện kĩ trình bày lời giải tập Vì vậy, dạy loại tốn giáo viên chúố́ng ta yêu cầu học sinh nhận xéố́t đặặ̣c điểể̉m phân sớố́, tìm điểể̉m giớố́ng phân sớố́, từ rúố́t công thức tổng quát chung cho phân sốố́, tiến hành thực cơng thức theo thuật giải Ta có : A= với n N* : = = nên Vậy A < Cũng tốn đó, song tùy đốố́i tượng sinh mà giáo viên đặặ̣t mức yêu cầu khác nhau, chẳng hạn + Đốố́i với lớp 6, yêu cầu: Chỉể̉ cơng thức tổng qt, vận dụặ̣ng cơng thức đểể̉ tính giá trị biểể̉u thức A - download by : skknchat@gmail.com + Đốố́i với lớp 8, lớp yêu cầu: Chỉể̉ chứng minh được công thức tổng quát Dựa vào công thức, dùng khả tư duy, lập luận đểể̉ khẳng định A < hoặặ̣c A không sốố́ tự nhiên Tương tự dạng trên, sau giải tập giáo viên cho học sinh nêu hướng tạo lập hệ thớố́ng tập có nội dung tương tự nhằm phát triểể̉n lực trí tuệ em Ví dụ 3: Cho a < b Chứng tỏ : a) 2a +1 < 2b + ; b) 4a + < 4b + ; c) a(a+2) < (a +1)2 Với dạng toán này, yêu cầu học sinh ôn lại kiến thức liên hệ giũa thứ tự phéố́p cộng , phéố́p nhân vận dụặ̣ng tính chất liên hệ thứ tự phéố́p cộng, liên hệ thứ tự phéố́p nhân đểể̉ chứng minh Với câu b cho học sinh dùng thêm tính chất bắc cầu đểể̉ kết luận Mỗi loại tập có thểể̉ triểể̉n khai đồng thời cho nhiều đốố́i tượng học sinh lớp, nhiều lớp khớố́i Chính giáo viên chúố́ng ta trước dạy dạng cần nghiên cứu kĩ, tìm hiểể̉u nội dung, mức độ u cầu cho đớố́i tượng học Đểể̉ từ cân nhắc, chọn lọc, đặặ̣t sốố́ lượng tập từ dễ đến khó, phân chia tập theo nhiều mức độ, đảm bảo tính hệ thớố́ng, lơgic, phù hợp cho đớố́i tượng học sinh Được học trở nên lí thúố́, ćố́n húố́t học sinh, phù hợp phong trào “Xây dựng trường học thân thiện, học sinh tích cực” Giáo viên tăng cường cho học sinh cải biên đề bài, tạo hệ thốố́ng tập ( cách thay đổi sớố́ dự kiện thích hợp ) Việc làm khơng ngồi mụặ̣c đích khích lệ tinh thần tự học, phát huy tính sáng tạo, phát triểể̉n lực trí tuệ, khơi dậy tớố́ chất tốn học tiếm ẩn học sinh  Ưu điểm và hạn chế: Các dạng nêu đơn giản, dễ hiểể̉u, dễ vận dụặ̣ng dễ cải biên đề Kiến thức nâng dần từ dễ đến khó, giúố́p cho học sinh thuộc diện đại trà cảm nhận học tốn khơng phải q khó Từ giúố́p em bớt mặặ̣c cảm lo sợ học tốn Thấy cịn tia hy vọng khả học tốn Phát huy tính tích cực, sáng tạo học sinh giỏi Giúố́p cho giáo viên dễ dàng truyền thụặ̣ kiến thức, đề kiểể̉m tra phù hợp nhiều đốố́i tượng Đap ưng đươc nhu câu đôi mơi phương phap day hoc hiên Hơn thuân lơi cho giao viên viêc phụ đao yêu kém, củng cốố́ kiên thưc ban, bôi dương cho hoc sinh gioi môt tiêt hoc - Han chê : Đôi giao viên không chu đông đươc thơi gian ( vi lương bai tâp đưa qua nhiêu) Nê nêp lơp hoc khơng theo y ḿn A.2/ Loại tập chưa có sẵn thuật tốn: Loại tập chiếm sớố́ lượng lớn, gây cho học sinh giáo viên khơng khó khăn, dẫn đến tâm lí sợ ngại, thiếu tự tin vào khả Đây trở ngại lớn cho chí tiến thủ vươn lên học tập học sinh dạy học giáo viên Khi dạy học sinh giải tập dạng này, giáo viên chúố́ng ta không chỉể̉ đơn cung cấp lời giải mà quan trọng dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ, tìm đường hợp lí đểể̉ giải tốn Bởi “tìm cách giải tốn điều phát minh” ( Pôlia – 1975) Đểể̉ giúố́p giáo viên học sinh thuận lợi trình bày lời giải dạng tốn này, ta có thểể̉ sử dụặ̣ng sốố́ phương pháp đại cương thông thường Thơng qua lượng đồ giải tốn bước Pơlia.như sau B1:Tìm hiểể̉u kĩ nội dung tập B2: Xây dựng chương trình giải B3: Thực chương trình giải B4: Nghiên cứu lời giải Mỗi giáo viên phải hiểể̉u được, khơng phải thuật tốn đểể̉ giải tập, mà chỉể̉ mang tính chất hướng dẫn, gợi ý giúố́p cho giáo viên vận dụặ̣ng vào cụặ̣ thểể̉ Đó sáng tạo dạy học - download by : skknchat@gmail.com Sau sốố́ ví dụặ̣ cụặ̣ thểể̉ minh họa cho nhận định a) Dùng phương pháp xét hiệu : Ví dụ :Chứng minh : a) với a.b>1 b) a2 + b2 với a + b c) a3 + b3 > a2b+ab2 với a>0; b>0 d) a4 + b4 > a3b + ab3 với a>0; b>0 e) ( a10 + b10)(a2 +b2) (a8 + b8)( a4+b4) Đốố́i với loại tập này, giáo viên cho học sinh quan sát kĩ đề bài, tìm hiểể̉u xem tốn cho biết điều gì, yêu cầu ta phải làm ? Đểể̉ giải tập dạng ta cần liên hệ cho cải phải tìm, dùng phương pháp phân tích đểể̉ biết vận dụặ̣ng kiến thức ? Nếu khó q, học sinh khơng thểể̉ trả lời giáo viên chúố́ng ta nên có sớố́ câu hỏi phụặ̣, nhằm gợi ý, giúố́p học sinh xây dựng chương trình giải Sau giáo viên phớố́i hợp với học sinh thực chương trình giải theo hướng định Xéố́t hiệu, biến đổi biểể̉u thúố́c dạng phân thức ( phéố́p tốn thơng thường ) Sau lí luận dấu tử mẫu dẫn tới phân thức không âm kết luận Cụặ̣ thểể̉ : câu a) Xéố́t hiệu : = = Vì ab >1 ab - 1>0; (a –b)2 mẫu thức >0 nên Vậy với ab >1.dấu “ = “ xảy a=b Tương tự với câu c, câu d: Giáo viên cho học sinh xéố́t hiệu, phân tích đa hức thành nhân tử ( phương pháp nhóm, đặặ̣t nhân tử chung ) Lưu ý nhân tử phải có dạng theo mong ḿố́n ( khơng âm hoặặ̣c ln dương ) Sau lập đểể̉ suy điều cần chứng minh Giáo viên nhấn mạnh cho học sinh, phải xéố́t điều kiện đểể̉ dấu “ = “ xảy Chẳng hạn : Câu c: a3 + b3 - a2b - ab2 = Vậy a3 + b3 > a2b+ab2 a>0; b>0 ; (a-b)2 với a>0; b>0 dấu “ = “ xảy a=b Câu d: (a4 + b4) – (a3b + ab3) = (a-b)2 0; (a2+ab+b2)>0 Vậy a4 + b4 > a3b + ab3 với a>0; b>0 dấu “ = “ xảy a=b Câu e:( a10 + b10)(a2 +b2) - (a8 + b8)( a4+b4) = ( a2 –b2 ) 0; (a4 +a2b2 +b4) > Vậy ( a10 + b10)(a2 +b2) a2b2 0; (a8 + b8)( a4+b4) Dấu “ = ” xảy - download by : skknchat@gmail.com b)Phương pháp biến đổi tương đương (phương pháp biến đổi trực tiếp ) Đểể̉ giải loại tập chứng minh bất đẳng thức phương pháp biến đổi tương đương, trước tiên giáo viên cho học sinh hiểể̉u rõ nắm vững quy trình biến đổi tương đương bất đẳng thức sau: Đểể̉ chứng minh A B ta biến đổi tương đương sau: A B C D Cuốố́i bất đẳng thức C D đúố́ng Khi ta kết luận A B đúố́ng ( đpcm) Ví dụ 1: Chứng minh : với a,b,c,d,e, R : a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a ( b+c+d+e) Muốố́n giải tập phương pháp trên, giáo viên cho học sinh nhận xéố́t hạng tử vế trái hạng tử sau khai triểể̉n vế phải, từ giúố́p em thấy cần thiết phải nhân thêm sốố́ vào hai vế Khai triểể̉n, chuyểể̉n vế đưa dạng tổng bình phương biểể̉u thức Sau dùng lập luận kết luận tốn Cụặ̣ thểể̉ toán giải sau a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a( b+c+d+e) 2(a2 + b2 + c2 + d2 + e2) 2a( b+c+d+e) 4(a2+b2+c2+d2+e2) - 4a(b+c+d+e) 0 Vậy a2 + b2 + c2 + d2 + e2 Bất đẳng thức đúố́ng a( b+c+d+e) với a,b,c,d,e, R Dấu “=” xảy chỉể̉ a = 2b = 2c = 2d = 2e hay b = c = d = e = Ví dụ 2: Cho a ; b chứng minh : Vì a ; b a + b ab ( Bất đẳng thức Cơsi) Ta có bất đẳng thức đúố́ng với a, b không âm Vậy với a 0;b Ví dụ : Chứng minh : a) b) Đớố́i với ví dụặ̣ này, giáo viên yêu cầu học sinh biến đổi trực tiếp, khai triểể̉n đẳng thức vế trái, quy đồng, chuyểể̉n vế, phân tích đa thức thành nhân tử nhận xéố́t Minh họa câu b cụặ̣ thểể̉ sau: 3a2 + 3b2 +3c2 a2 + b2 + c2 +2ab + 2ac +2bc đúố́ng Vậy Vậy với a,b không âm Dấu”=” xảy chỉể̉ a = b = c Ví dụ 4: Chứng minh : a2 + 4b2 + 4c2 4ab - 4ac + 8bc Ta nhận thấy hạng tử vế trái có dạng bình phương sốố́ hoặặ̣c biểể̉u thức, hạng tử vế phải sớố́ chẵn ln có dạng hai lần tích hai biểể̉u thức, chuyểể̉n - download by : skknchat@gmail.com vế nhóm hạng tử cách thích hợp có thểể̉ viết dạng bình phương biểể̉u thức Sau lí luận biểể̉u thức khơng âm ta có điều phải chứng minh, Cụặ̣ thểể̉ cách giải sau: Ta có : a2 + 4b2 + 4c2 4ab - 4ac + 8bc : a2 + 4b2 + 4c2 - 4ab + 4ac - 8bc Ví bất đẳng thức sau đúố́ng nên a + 4b2 + 4c2 4ab - 4ac + 8bc đúố́ng dấu “=” xảy chỉể̉ a +2c = 2b * Ưu điểể̉m : Với ví dụặ̣ hai phương pháp giải trên, vận dụặ̣ng phéố́p biến đổi đẳng thức, nhân đơn đa thức, phân tích thành nhân tử đơn giản, dểể̉ hiểể̉u Phù hợp nhiều đốố́i tượng học sinh Thỏa mãn nhu cầu người học Gây nhiều hứng thúố́ cho học sinh học Học sinh tích cực xây dựng bài, đáp ứng đổi phương pháp dạy học giai đoạn * Han chê: Một sốố́ khó nhìn đẳng thức, địi hỏi phải phân tích kĩ học sinh có thểể̉ hiểể̉u, mặặ̣t khác đốố́i tượng học không đồng nên giao viên không chu đông đươc thơi gian Nê nêp lơp hoc không theo y muốn c)Phương pháp dùng bất đẳng thứứ́c có sẵn : Trong giải tập, bất đẳng thức có sẵn đóng vai trị vơ quan trọng Nó cơng cụặ̣ sắc béố́n giúố́p ta giải nhanh, xác nhiều tập mà ta tưởng chừng không thểể̉ giải Vì trước giải loại tập này, giáo viên chúố́ng ta cần cho học sinh hiểể̉u nắm vững sốố́ bất đẳng thức thông dụặ̣ng đốố́i với chương trình thực học + Bất đẳng thức có dạng bình phương : với a, b +Bất đẳng thức Côsi(cau chy): Với hai sốố́ không âm a b ta có Dấu “ =” xảy chỉể̉ a = b +Bất đẳng thức Bunhiacôpxki: hay a + b Dấu “=” xảy chỉể̉ Sau sớố́ ví dụặ̣ minh họa giải phương pháp dùng bất đẳng thức có sẵn Ví dụ : loại bàà̀i dùng bất đẳng thức có “dạng bình phương” a) Mức độ thấp: Chứng minh : a2 + b2 +c2 ab + bc + ca Bất đẳng thức dạng bình phương tổng hoặặ̣c hiệu phổ biến thông dụặ̣ng đốố́i với chương trình cấp trung học sở Vận dụặ̣ng phù hợp cho nhiều đốố́i tượng học sinh Trước dạy giải tập này, giáo viên cho học sinh ôn lại tính chất mở rộng bất đẳng thức Yêu cầu học sinh nhận xéố́t hạng tử hai vế bất đẳng thức, từ nêu hướng sử dụặ̣ng bất đẳng thức Trả lời yêu cầu khơng khó đớố́i với học sinh Do tập dễ dàng giải sau: Ta có: a2 - 2ab + b2 a2 + b2 2ab với a,b Tương tự : b2 + c2 ; c2 + a2 Cộng vế theo vế bất đẳng thức ta : 2( a2 + b2 + c2 ) 2( ab + bc + ca ) a2 + b2 + c2 ab + bc + ca ( đpcm) dấu “ = “ xảy chỉể̉ a = b = c b) Mức độ cao : Chứng minh: - download by : skknchat@gmail.com Đây tập có hai yêu cầu, ta phải giải yêu cầu riêng lẻ, sau kết hợp ta yêu cầu cử Với tập này, chỉể̉ có thểể̉ dùng bất đẳng thức dạng bình phương tổng hoặặ̣c hiệu với a, b Ta có ( x + 1)2 với x 2( x + 1)2 2x2 + 4x + 3x2 + 3x + x2 – x +1 3(x2 + x + 1) x2 – x +1 (*) Vì x2 – x +1 = ( x - )2 + > , chia hai vế bất đảng thức (*) cho x2 – x +1 ta (1) Ta lại có : ( x – 1)2 3(x2 - x + 1) 2( x – 1)2 2x2 - 4x + 3x2 - 3x + x2 + x +1 x2 + x +1 (**) Vì x2 – x +1 = ( x - )2 + > Chia hai vế (**) cho x2 - x +1 ta (2 ) Tử (1) (2) suy * Loại dùng bất đẳng thứứ́c Côsi Đớố́i với chương trình trung học sở, Bất đẳng thức Côsi bất đẳng thông dụặ̣ng thường xuất nhiều hai dạng tập.“chứng minh bất đẳng thức” Tìm giá trị nhỏ hoặặ̣c giá trị lớn nhất” biểể̉u thức Mỗi loại tập có thểể̉ triểể̉n khai đồng thời cho nhiều đốố́i tượng học sinh lớp, nhiều lớp khớố́i Chính giáo viên chúố́ng ta trước dạy loại toán cần nghiên cứu kĩ, tìm hiểể̉u nội dung, mức độ yêu cầu cần truyền thụặ̣ cho đớố́i tượng học Đểể̉ từ cân nhắc, chọn lọc, đặặ̣t sốố́ lượng tập từ dễ đến khó, phân chia tập theo nhiều mức độ, đảm bảo tính hệ thớố́ng, lơgic, phù hợp cho đớố́i tượng học sinh Được học trở nên lí thúố́, ćố́n húố́t học sinh Tạo thân thiện giữ thầy trò */ Dạng 1: Chứng minh bất đẳng thức Ví dụ1: Mức độ ( dành cho nhiều đốố́i tượng ) Cho a,b,c chứng minh : (a + b)( b +c )(c +a ) 8abc Với này, cho học sinh nhận xéố́t cặặ̣p sốố́ đốố́i chiếu điều kiện bất đẳng thức Cơsi, sau áp dụặ̣ng cho cặặ̣p sớố́ Rồi dùng tính chất mở rộng nhân vế theo vế bất đẳng thức ta điều phải chứng minh Cụặ̣ thểể̉ Ta có: a + b ; b +c ;c+a Nhân vế theo vế ta : (a +b)( b +c )( c + a ) (a +b)( b +c )( c + a ) 8abc Dấu “=” xảy chỉể̉ a = b = c Ví dụ 2: Mức độ ( Dành cho học sinh lớp lớn , học sinh , giỏi ) Cho x 3; y , Chứng minh Không phải tập cho sẵn biểể̉u thức thỏa mãn điều kiện đề bài, có thểể̉ dùng bất đẳng thức Cơsi Mà địi hỏi học sinh phải có khơn khéố́o, tính tốn, biến đổi Với này, giáo viên cho học sinh dựa vào điều kiện toán, biến đổi - 10 download by : skknchat@gmail.com biểể̉u thức cho dạng biểể̉u thức không âm dùng bất đẳng thức Côsi mở rộng cho ba biểể̉u thức khơng âm Cụặ̣ thểể̉: Vì x 3 - x – 2x 0 y 4-y 12 -3y (2x + 3y ) Áp dụặ̣ng bất đẳng thức Côsi cho sốố́: – 2x ; 12 – 3y ; 2x + 3y ta có : 63 6( 3- x)(4 – y)(2x +3y) 62 ( 3- x)(4 – y)(2x +3y ) Vậy (3-x)(4–y)(2x+3y) 36 Dấu “=” xảy chỉể̉ 36 ( 3- x)(4 – y)(2x +3y ) thỏa mãn điều kiện ( đpcm) Ví dụ 3: Cho a ; ab 12 Chứng minh a + b Đây chưa có biểể̉u thức thỏa điều kiện bất đẳng thức Côsi, muốố́n sử dụặ̣ng bất đẳng thức Côsi ta phải biến đổi tạo sớố́ khơng âm mà trung bình cộng phải chứa ( a +b), Trung bình nhân hai sớố́ khơng cịn chứa a, b Đểể̉ thỏa yêu cầu trên, ta cần cặặ̣p sốố́ sau: a b +1 Vì a ; ab 12 nên a > , b > b +1 > Áp dụặ̣ng bất đẳng thức Côsi cho hai sớố́ a b + Ta có a + (b +1) a+b=7 Dấu “=” xảy chỉể̉ a = b + a = , b = */ Dạng 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn : Loại tập tìm giá trị nhỏ “min” hay giá trị lớn “max” gọi chung toán cực trị Đểể̉ giải loại tập này, cần nhấn mạnh cho học sinh ngồi việc tìm , tìm max cần xéố́t điều kiện dấu “=” xảy Ví dụ 1: Cho x Tìm Ḿố́n tìm biểể̉u thức ta phải biến đổi biểể̉u thức dạng lớn hoặặ̣c bằngmột sốố́ Xéố́t điều kiện dấu “=” xảy ra, dùng lập luận chỉể̉ giá trị nhỏ sốố́ xảy dấu “=” Đốố́i với này, hai sốố́ x không thỏa điều kiện bất đẳng thức Cơsi Do ḿố́n dùng bất đẳng thức Côsi ta phải tạo hai sốố́ không âm có giá trị nhau, dùng Cụặ̣ thểể̉ cho giải : Cách 1:( phân tích theo x) : Ta có : Dấu “=” xảy chỉể̉ Cách 2: (Phân tích theo ta = Vậy ): Ta có =x+ Suy x + = x = Dùng bất đẳng thức côsi cho sốố́ ( x 2) - 11 download by : skknchat@gmail.com Dấu “=” xảy chỉể̉ Vậy = x = Ví dụ 2: b) Cho a +b = a; b */ Tìm max a.b */ Tìm max a2b5 Do bất đẳng thức Cơ si có chiều “ ”, nên học sinh thường quen với loại tập tìm “min” Khi gặặ̣p u cầu tìm max, học sinh có thểể̉ lúố́ng túố́ng khơng tìm hướng giải Đểể̉ giúố́p học sinh nhanh chóng ổn định tinh thần, giáo viên chúố́ng ta gợi ý cho học sinh đọc yêu cầu toán theo hai chiều ( a b b a) Ḿố́n tìm max ta cần chiều “ ” Nghĩa chiều ngược lại bất đẳng thức Cơsi (Hay tìm max tốn ngược tồn tìm min) Một học sinh thông suốố́t lập luận việc giải tìm max khơng cịn khó khăn Có chỉể̉ u cầu lập luận chặặ̣t chẽ mà Cụặ̣ thểể̉ : */ Vì a +b = a; b Áp dụặ̣ng bất đẳng thức Côsi cho hai sốố́ a b khơng âm, ta có a+b Do a +b = nên dấu “=” xảy chỉể̉ Vậy max a.b = a = b = */ Ta có a2.b5 = a.a.b.b.b.b.b = Áp dụặ̣ng bất đẳng thức Côsi cho sốố́ ta có : Dấu “=” xảy chỉể̉ Vậy max (a2.b5) = Tóm lại: Bài tập dùng bất đẳng thức Côsi đa dạng phong phúố́ Mỗi loại có nhiều dạng khác , dạng lại có nhiều mức độ yêu cầu phù hợp cho nhiều đớố́i tượng học Nhờ có bất đẳng thức Côsi mà chúố́ng ta giải nhiều tập thời gian ngắn Chính mà giáo viên chúố́ng ta dạy giải tập cần tìm tịi, nghiên cứu kĩ phương pháp giải cho dạng, loại cụặ̣ thểể̉ Làm điều này, khơng tự rèn luyện cho có hành trang kiến thức vững vàng, tự tin đứng bụặ̣c giảng mà cịn đểể̉ lại ấn tượng tớố́t đẹp trước học sinh, cha mẹ em d) Phương pháp phân tích sớứ́ hạng: Loại tập dùng phương pháp phân tích sớố́ hạng tập mệnh danh khó đớố́i với học sinh, em không hiểể̉u, không nắm cách phân tích sớố́ hạng gì, có chỉể̉ dự đốn, mị mẫm, may kết đúố́ng Vì - 12 download by : skknchat@gmail.com mà học sinh giáo viên cảm thấy nản chí ḿố́n lùi bước gặặ̣p dạng toán Đểể̉ giúố́p học sinh bớt chán nản, cam đảm, tự tin đốố́i mặặ̣t với loại tập Người thầy phải làm đểể̉ giúố́p cho học sinh biết liên tưởng, ghéố́p nốố́i kiến thức học, tìm dạng tập quen thuộc có cách giải từ dễ đến khó, khơn khéố́o gợi ý cho học sinh biết dựa vào học , tìm điều tương tự có thểể̉ vận dụặ̣ng cho tập Làm nhiều lần, qua nhiều tập tương tự chắn học sinh khơng cịn cảm thấy chán nản hay lười biếng Nhiều em có hứng thúố́ tìm tịi lời giải cho nhiều tập hay khó Ví dụ 1: Chứng minh A = Đây tốn thơng dụặ̣ng nhất, phổ biến nhất, em giải từ học phân sốố́ Ta nhận thấy phân sớố́ phân tích thành hiệu theo cơng thức sau: với n N Việc giải tập khơng khó đớố́i với học sinh (ngay học sinh diện đại trà ) Bởi em giải nhiều lần Nếu em biết liên tưởng kiến thức cũ vận dụặ̣ng cơng thức việc giải tập dạng bớt phần trở ngại, khó khăn Cũng dạng tập này, ta thay đổi phần nhỏ dự kiện giữ ngun dự kiện ta có nhiều tập dạng hay hơn, Đáp ứng nhu cầu nhiều đốố́i tượng học Thuận lợi cho giáo viên việc phụặ̣ đạo học sinh yếu, bồi dưỡng học sinh giỏi Ví dụ 2:( Dành cho học sinh giỏi ) Chứng minh : với n >1 Thực tập khó, mặặ̣c dầu phân sớố́ có gớố́ng ( tử chung, mẫu sớố́ có dạng bình phương sớố́ tự nhiên liên tiếp) dạng Vậy làm đểể̉ tách, tách ? Trả lời câu hỏi không dễ đốố́i với học sinh với giáo viên Muốố́n vậy, đòi hỏi giáo viên chúố́ng ta phải thường xuyên tham khảo tài liệu, sưu tầm phương pháp giải hay phù hợp đốố́i tượng học sinh Minh học cách giải tập sau: Giải : Ta có với k >1 : với k = , 3, Cho k 2, 3, n ta : Do ( đpcm) Ví dụ 3: Chứng minh rằng: với Giải:Ta có với k =1,2,3 - 13 download by : skknchat@gmail.com - Khi k = 1,2 , 3, n ta Vậy */ Bàà̀i tập tương tự :( Tham khảo ) Chứng minh :a) b) với n > với c) < với Gợi ý giải câu c: Mỗi phân sớố́ có dạng cơng thức tổng qt : Thay k sốố́ 1, 2, 3, vào cơng thức tổng qt , ta có điều phải chứng minh = Khi k =2 (đpcm) */ Ưu điểể̉m hạn chế :+ Dạng tập này, giúố́p giáo viên chọ học sinh giỏi xác cách tuyệt đốố́i Học sinh giải tập chưa có gợi ý giáo viên, nhân tài thật +Hạn chế : Bài tập q khó, lực học lớp khơng đồng đều, dểể̉ đưa đến tình trạng học sinh chán nãn, bỏ bê học toán Dạng tập chứng minh bất đẳng thức không chỉể̉ xuất phân môn đại sớố́ mà cịn xuất phân mơn hình học mơn khoa học tự nhiên khác như: ( Mơn hóa học, mơn vật lý v v) Do dạy loại tốn này, giáo viên nên lấy thêm ví dụặ̣ thuộc mơn học nói trên, nhằm tạo cho học sinh hứng thúố́, gây tị mị, ham tìm hiểể̉u Đồng thời giúố́p học sinh thấy cần thiết phải học mơn Có giáo dụặ̣c phát triểể̉n người toàn diện, phù hợp với mụặ̣c tiêu giáo dụặ̣c mà giáo dụặ̣c đào tạo ban hành Toán học gắn liền với môn khoa học khác, gắn liền với đời sốố́ng thực tế Chính lao động làm phát sinh tốn học, ngược lại tốn học bổ trợ cho đời sớố́ng thực tế người Ví dụ: hình học : GT: Cho ABC,AB =c ; BC = a; CA = b - 14 download by : skknchat@gmail.com - M KL: Xác định vị trí M đểể̉ P = Đạt giá trị nhỏ GV: Ḿố́n tìm giá trị nhỏ nhất, ta phải biến đổi P dạng lớn hoặặ̣c sốố́ không đổi, xéố́t điều kiện dấu “=” xảy Ta có : SABC = SMBC +SMCA + S MAB S = a2 +b2+c2 +ab Áp dụặ̣ng bất đẳng thức Cơsi ta có : Do : 2SP P tam giác , Vậy P nhỏ M tâm đường tròn nội tiếp tam giác Ví dụ 2: Cho hai điểể̉m A, B hình vẽ Xác định vị trí điểể̉m M d cho tổng khoảng AM + MB nhỏ Đây tốn có nội dung nhắc đến nhiều thực tế Đểể̉ giúố́p học sinh giải toán này, giáo viên chúố́ng ta cho học sinh ôn lại kiến thức bất đẳng thức tam giác, Gợi ý tạo hình, thay việc tính tổng AM +MB tổng hai đoạn thẳng khác(sao cho đảm bảo khơng tính tổng qt) Dùng tính chất đớố́i xứng qua đường thẳng, tính chất bất đẳng thức tam giác Nếu học sinh nắm vững kiến thức việc giải tập khơng cịn khó khăn Cụặ̣ thểể̉ : Tạo điểể̉m A đớố́i xứng với A’ qua d M thuộc d nên AM = A’M( theo tính chất đớố́i xứng ) AM+MB=A’M+MB Xéố́t Dấu “=” xảy chỉể̉ A’M + MB = A’B giao điểể̉m d A’B ( A’ điểể̉m đốố́i xứng với A qua d ) Qua tập này, giáo viên có thểể̉ giáo dụặ̣c cho học sinh thấy tầm quan trọng tốn học đời sớố́ng thực tế Nhờ có tốn học mà chúố́ng ta làm lợi kính tế cho người, nhà cho tồn xã hội * Ví dụ mơn hóa học : Cho 2,4 gam kim loại hoá trị tác dụặ̣ng với dung dịch chứa 0,18 mol HCl sau phản ứng dư kim loại - 15 download by : skknchat@gmail.com Lượng kim loại cho tác dụặ̣ng với dung dịch chứa 0,22 mol HCl sau phản ứng dư axit Xác định kim loại Đây bất đẳng thức có nội dung hóa học Khi dạy loại tập giáo viên nên cho học sinh ôn lại cách giải tốn cách lập phương trình, lập bất phương trình, tính chất liên hệ thứ tự phéố́p nhân Nếu học sinh nắm lí thuyết, biết vận dụặ̣ng vào thực tế việc giải tốn khơng q khó khăn Từ giúố́p cho học sinh thấy mốố́i quan hệ qua lại môn học, cần thiết phải học môn Sau lời giải toán Giải: Gọi kim loại cần xác định R , đ/k Theo ta có phương trình phản ứng : R + 2HCl RCl2 + H2 Theo phương trình phản ứng sốố́ mol HCl lần sốố́ mol kim loại R Sốố́ mol kim loại là: + Trường hợp 1: 0,18 mol HCl phản ứng vừa đủ với 0,09 mol R + Trường hợp 2:0,22 mol HCl phản ứng vừa đuur với 0,11 mol R Từ (1) (2) ta có : 0,09 < Vậy kim koại cần tìm Ma giê ( Mg = 24) B/ SAI LẦM THƯỜNG GẶP VÀ HƯỚNG KHẮC PHỤC : Trong giải tập, mặặ̣c dầu gặặ̣p dạng quen thuộc, tưởng chừng điểể̉m 10 dễ dàng nắm tay, mà chỉể̉ điều mơ ước học sinh mà Bởi lẻ giải tập, học sinh thường mắc phải khơng sai lầm Có hai ngun nhân dẫn đến học sinh thường mắc phải sai lầm giải tập */ Nguyên nhân lời giải : Sai sót kiến thức toán học ( Hiểể̉u sai định nghĩa khái niệm, giả thiết hay kết luận định lí -Sai sót phương pháp suy luận - Sai sót tính sai, sử dụặ̣ng kí hiệu, ngơn ngữ diễn đạt hay hình vẽ sai */ Nguyên nhân sở lí luận : Học sinh hiểể̉u đúố́ng, khơng trình bày rõ lí ( thời gian hạn chế hoặặ̣c học sinh nghĩ không cần thiết phải trình bày ) -Học sinh tưởng đúố́ng cách vơ lí ( thiếu sở) -Học sinh khơng thấy sở lí luận, lại thấy kết luận đúố́ng nên kết luận bừa **/ Sau sớố́ ví dụặ̣ giải sai lầm thường gặặ̣p hướng khắc phụặ̣c giải tập “bất đẳng thức” Ví dụ 1: Cho x Tìm - 16 download by : skknchat@gmail.com Cách giải sai: Sai lầm học sinh giải này, em áp dụặ̣ng bất đẳng thức côsi cho hai sớố́ x , em khơng chúố́ ý đến giả thiết mà chỉể̉ nhìn thấy, hai sớố́ khơng âm tích hai sớố́ nên ta có : = Vậy =2 Thực chất x khơng khơng dùng bất đẳng thức Côsi Cách giải : Tham khảo phần phương pháp dùng bất đẳng thức Côsi ( phần trên) Ví dụ 2: Cho x Tìm x + Cách giải sai : Do x ta x + Áp dụặ̣ng bất đẳng thức Côsi cho hai sốố́ x2 = Vậy x + = Nguyên nhân sai : Học sinh hiểể̉u nhầm kiến thức x = Côsi nên vận dụặ̣ng sai bất đẳng thức Cách giải : Phân tích x + thành tổng sớố́ , có sớố́ dùng bất đẳng thức si ( Tích ba sớố́ khơng cịn chứa x) Cụặ̣ thểể̉ Ta có : x + = Áp dụặ̣ng bất đẳng thức cho sốố́ dương Vì x ta : Dấu “=” xảy chỉể̉ Vậy x + = x = Ví dụ 3: Cho a.b ; b Chứng minh a +b Cách giải sai thứ : Học sinh giải : Do a.b ;b a nên a +b Nguyên nhân sai: Trong biến đổi học sinh vận dụặ̣ng lập luận sai Cách giải sai thứ hai: Học sinh giải , Áp dụặ̣ng bất đẳng Côsi cho a b ta = a = b a.b = 20 nên a = b = Nếu giả thiết a.b = 20 đúố́ng a + b sai Như vậy, sai lầm đề sai Cách giải đúng: Rõ ràng a.b ;b a >0 , b >0 a +1 >0 Áp dụặ̣ng bất đẳng thức Cô si cho sốố́ b a + ta b + (a +1) a.b = 20 b nên - 17 download by : skknchat@gmail.com hay b + (a +1) = 10 a+b Dấu “=” xảy chỉể̉ Ví dụ 4: Chứng minh Vậy a+b b = a = với a,b dấu Cách giải sai: Áp dụặ̣ng bất đẳng thức Côsi cho ta Đây sai lầm không chỉể̉ dành cho học sinh mà giáo viên ( Sai sót kiến thức thức ) chúố́ng ta không cẩn thận dễ mắc phải , Mặặ̣c dầu hai sốố́ dương Sai lầm thiếu điều kiện đểể̉ dấu “=” xảy Người giải hiểể̉u Cách giải phải : Tùy thuộc vào phương pháp lựa chọn chứng minh ( tham khảo phần trên) Đơn cử cách giải sau : Ta có : Vì a,b dấu nên ab>0 (a-b)2 a, b Do Vậy với a,b dấu Chú ý : Khi giải tập dạng chứng minh bất đẳng thức hoặặ̣c tìm giá trị lớn hoặặ̣c nhỏ Ngồi việc tìm giá trị nhỏ hay lớn , cần chúố́ ý thêm xéố́t điều kiện đểể̉ dấu “=” xảy Ví dụ 5: Đề yêu cầu, chứng minh a2 +b2 +c2 ab +bc +ca (1) Cách giải sai : Khi giải , học sinh suy luận : Từ (1) Học sinh kết luận : (2) đúố́ng nên (1) đúố́ng Đây phéố́p phân tích x́ố́ng nên từ (2) đúố́ng ta chưa có quyền kết luận (1) đúố́ng Sai lầm học sinh chưa nắm vững bất phương trình tương đương Cách giải Cũng phéố́p biến đổi , song thay phéố́p suy (kéố́o theo) phéố́p biến đổi tương đương, ćố́i kết luận (2) đúố́ng nên (1) đúố́ng xéố́t trường hợp dấu “=” xảy Ví dụ : Giải phương trình Cách giải sai: x2 < học sinh mắc sai lầm (về kiến thức ) khơng nắm vững tính chất lũy thừa bậc chẵn bất đẳng thức Cách giải : x2 < -2 < x < x2 > Là giáo viên, người trực tiếp truyền thụặ̣ kiến thức đến với học sinh Mỗi chúố́ng ta cần chịu khó đầu tư nhiều việc tìm tịi, chọn lọc phương pháp dạy học phù hợp cho loại tập, phù hợp cho cách giải khác nhau, kịp thời chỉể̉ sai lầm học sinh thường gặặ̣p, giúố́p em dễ dàng vượt đến đích kiểể̉m tra, thi Đểể̉ - 18 download by : skknchat@gmail.com có tập hồn chỉể̉nh, yêu cầu học sinh nên tập thói quen kiểể̉m tra lại sau giải Đặặ̣c biệt chúố́ ý ( sở lí luận, trình bày Một sốứ́ tập vận dụng Bài Giải nhiều cách Cho x Bài Cho a, b, c > a + b + c Bài Cho a, b, c > a + b + c Hướng giải 3: đểể̉ đảm bảo a = b =c = điều kiện áp dụặ̣ng bất đẳng thức Côsi C1/ Tách a +b +c = 4a + ab +4c -3a -3b -3c C2/ Tách Dùng bất đẳng thức Côsi cho sốố́ Đặặ̣c biệt đốố́i với đốố́i tượng học sinh giỏi, giáo viên chúố́ trọng mức độ đề, đề đòi hỏi học sinh cần có sáng tạo Phải khơn khéố́o, linh hoạt biến đổi làm xuất sốố́ đủ điều kiện có thểể̉ dùng bất đẳng thức Cơsi Vì u cầu học sinh khơng nên tự thỏa mãn trước đạt mà phải thật cần cù, chăm chỉể̉ hơn, đam mê nghiên cứu C/ MỞẢ̉ RỢỘ̣NG TÍNH ĐA DẠNG, PHONG PHÚ CỦA BẤT ĐẲNG THỨứ́C ĐỂ TẠO LẬP ĐỀỀ̀ MỚI ĐỀỀ̀ BÀI : Như chúng ta đa biêt: Kiên thưc mang tinh kê thưa, Viêc năm vưng kiên thưc đông nghia vơi sư cân cu, chăm chỉ tích góp kiên thưc hoc tâp Viêc hiểu sâu săc vê tính chất bất đẳng thức, giúp day, cung hoc dê dang xoay chuyển tinh thê, giai quyêt đươc nhiêu dang bai tâp Đặc biêt, đối vơi thây dê dang hương dân hoc tránh sai lầm thường gặặ̣p Tư cải biên, tao đươc nhiêu dang bai tâp hay va bô ich môt giơ day Phat huy đươc tinh tich cưc, tự giác, đơng, khích lệ tính đam mê sang tao cua nhiêu hoc sinh Giơ hoc trơ nên sinh đông va li thú, phu hơp vơi đôi mơi phương phap day hoc hiên Trên sơ đo, giao viên tạo nhiều đề kiểể̉m tra, đề thi co nhiêu mưc đô yêu câu cung môt đơn vi kiên thưc mà khơng có trùng lặặ̣p tranh đươc sư mong chơ may rui kiểm tra cua hoc sinh Sau la mơt sớ ví dụặ̣ dang bai tập có thểể̉ cải biên tạo hệ thớố́ng tập + Dạng hình học: Nếu thay hai điểể̉m A, B hai khu dân cư Điểể̉m M trạm thủy điện d bờ sơng ta có toán Bài toán giúố́p ta làm lợi kinh tế (do tiết kiệm dây điện ) + Dạng bàà̀i tìm min, tìm max: Đớố́i với tập tìm , max, ngồi việc dạy cho học sinh cách giải tập, giáo viên chúố́ng ta cần gợi ý, hướng dẫn tạo cho em biết vận dụặ̣ng tính chất đặặ̣c biệt bất đẳng thức Cơsi ( Tính bình đẳng a b ) Từ biết cách tách sớố́ cho thành sớố́ mà tích hai, hay nhiều sớố́ ln cho ta sốố́ đểể̉ tạo lập hệ thốố́ng đề tập Học sinh biết đề đồng nghĩa với học sinh biết giải tập Làm tớố́t điều chắn khơng kiến thức em có thực mà cịn gây hứng thúố́, khích lệ đam mê, ham tìm tịi, khơi dậy tiềm ẩn tớố́ chất tốn học - 19 download by : skknchat@gmail.com em Phù hợp với xu đổi phương pháp dạy học Sau ví dụặ̣ minh họa hướng tạo đề bài, hệ thớố́ng đề giúố́p cho giáo viên khơng cịn lệ thuộc vào sách giáo khoa mà tự tin, làm chủ kiến thức ( loại phù hợp với đốố́i tượng học sinh thuộc diện đại trà, lớp đại trà) Cụặ̣ thểể̉ : Ví dụ 1: Cho x Tìm tập sữa phần + Nếu cốố́ định giả thiết (x 2) , thay đổi kết luận tìm ( có loạt tập dạng hoặặ̣c v v) ta + Nếu Cớố́ định kết luận ( tìm của) , thay dự kiện giả thiết ( Sốố́ sớố́ ngun dương khác) ta lại có loạt tập dạng + Nêúố́ thay đổi đồng thời giả thiết kết luận ta lại có hệ thớố́ng tập Ví dụ 2: Xéố́t lại ví dụặ̣1: Chứng minh A = Cũng dạng tập này, ta thay đổi phần nhỏ dự kiện giữ nguyên dự kiện ta có nhiều tập dạng hay hơn, Đáp ứng nhu cầu nhiều đốố́i tượng học Thuận lợi cho giáo viên việc phụặ̣ đạo học sinh yếu, bồi dưỡng học sinh giỏi Ví dụặ̣ :C1: Nếu thay sớố́ tử sốố́ khác giữ nguyên mẫu C2: Giữ nguyên tử thay đổi mẫu tích hai sớố́ ngun chẵn liên tiếp hoặặ̣c tích hai sớố́ ngun lẻ liên tiếp , hoặặ̣c tích hai sớố́ cách C3: Thay đổi cá tử mẫu ta có loạt tập mới, có nhiều mức độ yêu cầu khác Ví dụ 3: Cho a.b ; b Chứng minh a +b ( Đã sửa) Giáo viên gợi ý cho học sinh , yêu cầu học sinh nêu hướng có thểể̉ tạo lập hệ thốố́ng tập tương tự không ? lập cách ? C1/ Cớố́ định giả thiết a.b , thay b a giữ nguyên kết luận a +b , ta có toán tương tự C2/ Thay giả thiết a.b a +b giữ nguyên b ta có tương tự Chẳng hạn : a.b 31 , b Chứng minh a +b C3/ Thay đổi đồng thời giả thiết kết luận ta lại có thêm nhiều tập có nội dung Ví dụ ( giành cho học sinh giỏi ) Cho a +b = a; b Tìm max a2b5 Trên sơ sở có giải sẵn, học sinh có thểể̉ cải biên đề cách : C1/ cốố́ định giả thiết a +b = a; b , thay yêu cầu kết luận ( đổi sốố́ mũ a , b hoặặ̣c a b) ta có nhiều tập tương tự cách giải C2/ Cốố́ định kết luận, thay đổi dự kiện giả thiết a +b sốố́ tự nhiên khác ta lại có hàng loạt tập Tóm lại: Khơng phải tập dạy giáo viên chúố́ng ta bắt buộc học sinh tạo lập đề mà tùy cụặ̣ thểể̉, tùy thuộc đốố́i tượng học Tuy nhiên, tiết dạy đưa yêu cầu vào tiết học trở nên lí thúố́ bổ ích Thu húố́t chý ý học sinh 2) Kết qua nghiên cưu : Loai toan vê bất đẳng thức phổ biến rộng rãi nôi dung đê tai trinh bay Phân lơn hoc sinh hiểu va vân dụng tốt cac bai kiểm tra đinh ki, hoc ki Đặc biêt loai toan co sư dụng bất đẳng thức phân lơn thương đươc đê cac ki - 20 download by : skknchat@gmail.com thi hoc sinh gioi cac câp, ki thi vao cac trương chuyên, lơp chon Qua công tac điêu tra băng nhiêu phương phap:cụ thể như: “Tro chuyên”, “vân đap”, điêu tra phiêu hoc tâp (Thông qua cac bai kiểm tra) Dưa kêt qua thi vao cac trương chuyên, lớp chọn hang năm Ban thân tư đanh gia đươc mưc đô tiêp thu va vân dụng kiên thưc “bất đẳng thức” cua hoc sinh môt cao Mưc đê kiểể̉m tra ngày khó hơn, năm vê sau cao năm trươc Vơi ki đôi mơi viêc đê, đê bai không co sư trung lặp, không co hiên tương chép vây ma số lương hoc sinh lam đươc câu kho cang nhiêu hơn, chât lương đat đươc cua hoc sinh vân cư cao năm trươc - Thông qua ghi chép va theo doi kêt qua thưc hiên mang kiên thưc cua hoc sinh đai tra va kêt qua thi hoc sinh gioi cac câp, thi vao cac trương THPT, trương THPT chuyên hang năm, ban thân thu đươc kêt qua sau : */ Kêt qua cua ba lơp va ba lơp hai năm liên thuôc ba mốc thơi gian thưc day Năm h ( SS:90) Khốố́ i Sốố́ lượng Khốố́ i Sốố́ lượng 9 */ Phân lơn hoc sinh thi hoc sinh gioi, thi vao lơp 10 THPT, THPT chuyên cac trương đêu vân dụng môt cach tương đốố́i giải dạng “ bất đẳng thức” Vi vây số lương hoc sinh gioi hang năm tương đối cao Câp huyên Năm học 1999 -2000 Sốố́ lượng Năm học 1999-2000 Câp tỉnh Sốố́ lượng */ Kêt qua thi vao trương chuyên hang năm : Năm học 1997 -1998 Sốố́ lượng Năm học2001 - 2002 Sốố́ lượng Năm học 2005 -2006 Sốố́ lượng Đốố́i với năm học 2009-2010: Mặặ̣c dầu chưa kết thúố́c năm học song thân nhận định chất lượng mơn tốn học sinh năm học có nhiều tiến so với năm học trước Chất lượng mũi nhọn đạt tương đốố́i cao Học sinh giỏi cấp huyện:Giải nhất- giải ba - 21 download by : skknchat@gmail.com IV/ NHỮNG ĐỀ XUÂT VA KIẾN NGHỊ : 1) Một số đê xuât : Tư thưc tê, trải nghiêm qua nhiêu năm day hoc, rút đươc bai hoc cho ban thân vê tầm quan trọng loại toán “Bất đẳng thức” môn khoa học noi chung va bô môn toan hoc noi riêng Nhơ co “bất đẳng thức” ma ta giai quyêt đươc nhiêu dang bai toan nhiêu linh vưc, đời sớố́ng hàng ngày Vì mà đê tai cua tơi chúố́ trọng viêc không ngưng khai thac kiên thưc, vân dụng hiểu biêt kiên thưc, truyên thụ cung xây dưng mơ rông thống kiên thưc đến với học sinh Giúp cac em thây đươc, nhiêm vụ chinh cua hoc sinh thời đại la: “Hoc, hoc nưa, hoc mai” Để đat đươc mục tiêu, nôi dung va nhiêm vụ ma đê tai nêu trên, thân cân co môt số đê xuât sau : Duy tri giao viên day nhiêu năm môt lơp câp hoc ( Giúp cho hoc sinh lam quen vơi phương phap day hoc, thuân lơi cho giao viên viêc phụ đao yêu, kém va cung cố kiên thưc bôi dương hoc sinh kha, gioi Phat huy đươc vai tro hoc sinh kha gioi, hỗ trợ giúp hoc sinh yêu Biên chê số lương hoc sinh môt lơp cân it so với thực tế ( Thuân lơi cho giao viên dê bao quat lơp, quan tâm, theo doi va giúp đươc tưng em môi tiêt hoc ) Môi gia đinh cân thât sư quan tâm “đúng cach” nhiêu đên em Trang bi đu dung hoc tâp tư đâu năm hoc cho em ( Giúp cho cac em co đươc nê nêp va ngoai giơ hoc tốố́t hơn, nhằm nâng cao hiêu qua hoc tâp ) Bên đoan , đôi : Nên thương xuyên phat đông phong trao thi đua xây dưng thống bai tâp theo tưng mang kiên thưc tưng môn hoc Môi hoc sinh phai tich cưc, tư giac, chiu kho, say mê nghiên cưu tim toi kiên thưc (Giúp cac em đông thực sự, sang tao, tư tin linh hôi vận dụặ̣ng kiên thưc ) 2) Một vai kiến nghi : * Đối vơi lanh đao cấp : - Thường xuyên tổ chức, triểể̉n khai chuyên đề đổi phương pháp dạy học cụặ̣ thểể̉, sát thực Chẳng hạn ( Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụặ̣ng đồ dùng học tập Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh tạo lập hệ thốố́ng đề tâp.v.v) -Tao điêu kiên thuân lơi tối đa thời gian đểể̉ cho giao viên, cán công chức viên chức đươc mở rộng, nâng cao trinh đô chuyên môn nghiêp vụ */ Đối vơi giao viên : Tân tâm nưa vơi nghê day hoc (Đi sâu vào việc tìm tịi biện pháp đểể̉ truyền thụặ̣ kiến thức đến học sinh đạt hiệu hơn, quan tâm thực đến chất lượng học tập học sinh, đồng nghĩa với chăm lo cho thành dạy học Tơn trọng thành đạt học sinh dù la nho nhât V/ KẾT LUÂN : Trên la môt vai kinh nghiêm nho day hoc sinh giai bai tâp vê mang kiên thưc “Bất đẳng thức”, cung việc vận dụặ̣ng tính đa dạng phong phúố́ “bất đẳng thức” viêc cai biên đê bai, lam đê kiểm tra, đê thi hang năm cua giao viên Tuy chưa đem lai hiêu qua cao, mi man cho ban thân va toan thể hoc sinh song đối vơi ban thân thi đo la ca môt qua trinh tim toi, đúc rút qua nhiêu năm thưc day, va ôn luyên hoc sinh gioi Tôi nghi răng, vơi kinh nghiêm nho nhoi không chỉ danh riêng cho mang kiên thưc vê “Bất đẳng thức” ma vân dụng đươc cho nhiêu mang kiên thưc khac bô môn toan noi riêng va cac bô môn khoa hoc khac noi chung Nêu môi giao viên chúng ta cung đông long, nhiệt huyết với phong trào “Xây dựng trường học thân thiện, học sinh tích cực” Tân tâm vơi nghê day hoc Xem hoc sinh em cua minh Xem hoc tro gioi, đông - 22 download by : skknchat@gmail.com nghiêp la ban đông hanh cua minh Cung cơi mơ, chia se, thao luân, xây dưng, mơ rông kiên thưc Ắt kinh nghiêm day hoc môt day dặn Đặc biêt nưa la, môi giao viên chúng ta biêt thương xuyên tich luy, gom nhặt, săp đặt môt cach co thống kiên thưc Biêt vân dụng kiên thưc môt cach đúng lúc, phu hơp, linh hoat sang tao thi hiêu qua day hoc cua bô môn toan chăc chăn se đươc nhân lên Viêc đê thi se không co sư trung lặp hay chép Chât lương bai lam cua hoc sinh không la sư mong chơ may rui Đươc vây thi môt không xa chât lương bô môn toan không chỉể̉ se ngang tâm vơi cac bô môn khoa hoc khac mà cịn có khả dẫn đầu mơn khoa học tự nhiên Kinh nghiêm cua ban thân phiên diên, nặng tinh chu quan, không tranh khoi thiêu sot Rât mong nhân đươc y kiên đong gop bô sung cua ban be, đông nghiêp để kịp thời điêu chỉnh, mong kinh nghiêm day hoc đươc môt hoan thiên Xin chân cam ơn Buôn Trấp tháng 2/2010 Người viết Phạm Thị Vỹ Nhân xét cua hội đồng châm câp trường : Chu tich HĐ( Ký tên, đong dâu) - 23 download by : skknchat@gmail.com ... toán, hẳn thấy việc dạy học sinh biết giải giải thành thạo tập đẳng thức khó việc dạy giải tập ? ?bất đẳng thức? ?? lại khó Bởi lẻ khái niệm bất đẳng thức thức vô phức tạp, bất đẳng thức có thểể̉ đúố́ng,... chuyên đề đổi phương pháp dạy học cụặ̣ thểể̉, sát thực Chẳng hạn ( Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh sử dụặ̣ng đồ dùng học tập Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh tạo lập hệ thốố́ng đề tâp.v.v) -Tao... Đây bất đẳng thức có nội dung hóa học Khi dạy loại tập giáo viên nên cho học sinh ôn lại cách giải tốn cách lập phương trình, lập bất phương trình, tính chất liên hệ thứ tự phéố́p nhân Nếu học