Đề thi học sinh giỏi khối 11 – Môn: Toán53964

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 11 – NĂM HỌC 2008 – 2009 MƠN: TỐN Thời gian 120 phút Câu 1: (2 điểm )       sin  x    sin  x    2sin  x    3 6 6    Tính góc  ABC biết 3A AC A B sin  sin  sin  2 2 Câu 2: (2 điểm ) U1   Cho dãy số (Un) có  U n 1  U n  n n   Tìm nlim Un  Giải phương trình : Tìm  x4 x6 lim x    x  x x   Câu 3: ( điểm) Trên đoạn [0; 1], phương trình x 1  x  x  x  1  có nghiệm? Câu 4: ( điểm) Cho ba số x, y, z dương thoả mãn x  y  z  xyz x y z Tìm giá trị lớn biểu thức A    x  yz y  xz z  xy n Chứng minh C21n  3C23n  5C25n    2n  1 C22nn 1  4n ( n  N , n  ) Câu 5: ( điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = h vng góc mặt phẳng (ABCD), M điểm thay đổi CD Kẻ SH vng góc với BM Tìm tập điểm H M thay đổi CD Xác định vị trí điểm M để diện tích tam giác ABH lớn Hết DeThiMau.vn ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11 (Năm học 2008 – 2009) CÂU Ý NỘI DUNG     Do sin  x    cos  x   nên pt cho trở thành: 6 3         sin  x    cos  x    2sin  x    3 3 6              sin  x   cos  cos  x   sin   2sin  x    3 3 6         sin  x    sin  x    2 6        2sin  x   cos  x    6 3      sin  x           cos  x        k   x  18  k  Z    x    l l  Z  12 2 3A   3A   cos   Do sin  nên toán trở thành : 2  ĐIỂM 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 B C   3A   2A  B  C   cos     2sin   cos 4 2    B C   3A    3A   1- 2sin      2sin    cos 4  4   B C B C  1 B C   3A    3A   sin    cos   cos 0   sin    cos  4  2 4  4   BC BC    3A   sin     cos   sin  4     (*) BC BC    3A  Do sin    nên VT (*)  ; sin   cos  4 4     không âm  BC sin  Suy (*) xảy dấu “=”   sin    A   cos B  C    4  0.25  A  1000 Giải hệ phương trình ta   B  C  40 DeThiMau.vn 0.25 0.25 2 1 2 nên với n  U  U  n  n 2n 2n U 22  U12  U 32  U 22  Khi U n2  U n21  n 1 1 U n2  U12     n 1 2 Suy 1 1  = +    n 1  1  n  2   Do U n 1  U n2  1  Vậy lim U n  lim 1  n   n  n    Đặt  y Do x + nên y  Bài toán trở thành x I  lim y 0  0.25 0.25 0.25 0.25     12  y  4    lim   y 0  y  1  y   (1  y )  1  y   y  1  y 2       12   2 3 0.25 1 y  1 y y2   y  1  y   y  1  y    lim    y 0 y2 y2      y 12  y  4 y    lim    y 0  y  1  y  y y  (1  y )  1  y   y  1  y        0.25    Do x   0;1 nên đặt x  sin t , suy t  0;  Pt (1) cho trở thành:  2 8sin t 1  2sin t  8sin t  8sin t  1   8sin t.cos 2t.cos 4t  (2) Nhận thấy cost = nghiệm, ta có: (2)  8cos t.sin t.cos 2t.cos 4t  cos t  sin8t  cos t   k 2 t  18  , k  Z  t    l 2 , l  Z  14 DeThiMau.vn 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25   Vì t  0;  k= 0, k = 1, l = 0, l = thoả mãn  2   Mặt khác: số nghiệm pt (2) với t  0;  số nghiệm pt (1)  2 với x   0;1 Vậy, đoạn  0;1 pt (1) c0s bốn nghiệm  5  5 x  sin ; x  sin ; x  sin ; x  sin 18 18 14 18 *Với x, y, z ta có: x  y  z  xy  yz  zx (1) Đẳng thức xảy x = y = z *Áp dụng BĐT Côsi BĐT (1), kết hợp giả thiết x  y  z  xyz , ta có x y z A   x yz y xz z xy 1 1        y z z x x y   1  yz  zx  xy      2 x y z  xyz 0.25 0.25 0.25 x2  y  z   0.25 2 xyz Nhận thấy A   x  y  z  0.25 Vậy max A   x  y  z  2n 2n 0.25 Ta thấy 1  x   1  x   2(C21n  C23n  C25n   C22nn 1 ) Lấy đạo hàm hai vế : n 1 n [C21n  3C23n x  5C25n x    2n  1 C22nn 1 x n 1 ]= 2n 1  x   2n 1  x  0.25 Cho x = 1, ta [C21n  3C23n  5C25n    2n  1 C22nn 1 ]= 2n.2 n 1 0.25 n n 0.25  [C21n  3C23n  5C25n    2n  1 C22nn 1 ]= DeThiMau.vn S A K D M H B C Do SA  (ABCD) nên AH hình chiếu SH (ABCD), mà BM  AH (gt)  BM  AH N ln nhìn AB góc vng  tập hợp điểm H đường trịn đường kính AB thuộc mp(ABCD) Giới hạn tập hợp: Khi M  C H  B (chứng minh BC  (SAB), M  D H  O ( O tâm hv ABCD) Vậy quĩ tích điểm H cung BO đường trịn nói Phần đảo : Gọi K hình chiếu H AB Diện tích tam giác ABH S  AB.HK Smax  HK max Trong AHB gọi ฀ ABM   (    900 ) Khi AH BH AB.sin  AB.cos   HK  AB AB AB.sin 2 AB   2 AB Nhận thấy HKmax   sin 2    = 450 Vậy diện tích tam giác ABH lớn M  D DeThiMau.vn 0.25 0.5 0.5 0.25 0.25 0.75 0.25 0.25 ...ĐÁP ÁN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11 (Năm học 2008 – 2009) CÂU Ý NỘI DUNG     Do sin  x    cos  x   nên pt cho trở... sin    A   cos B  C    4  0.25  A  1000 Giải hệ phương trình ta   B  C  40 DeThiMau.vn 0.25 0.25 2 1 2 nên với n  U  U  n  n 2n 2n U 22  U12  U 32  U 22  Khi U n2... t.cos 2t.cos 4t  cos t  sin8t  cos t   k 2 t  18  , k  Z  t    l 2 , l  Z  14 DeThiMau.vn 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25   Vì t  0;  k= 0, k = 1, l = 0, l = thoả mãn  2  