Đề thi thử học sinh giỏi lần 7 năm học 20132014 môn toán thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề53460

SỞ GD&ĐT HỒ BÌNH TRƯỜNG THPT 19-5 ĐỀ THI THỬ HỌC SINH GIỎI LẦN NĂM HỌC 2013-2014 Mơn TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề, khơng sử dụng máy tính bỏ túi Câu 1: (5,0 điểm) 1) Cho hàm số y =  x3  3x2 + mx + 4, m tham số thực Tìm tất giá trị tham số m để hàm số cho nghịch biến khoảng (0 ; + ) 2) Cho hàm số y  2x  (C ) Gọi M điểm đồ thị (C), tiếp tuyến x 1 M cắt tiệm cận (C) A, B CMR diện tích tam giác ABI (I giao hai tiệm cận) không phụ thuộc vào vị trí M Câu II: (6,0 điểm) Giải phương trình, hệ phương trình 3  1) 2 cos x  sin x cos( x  )  sin( x  )  4 2) log x x  14 log16 x x  40 log x x   log  y  x   log y  3)   2  x  y  25 ( x, y  ฀ ) Câu III(4, điểm) a ฀  SAC ฀  30 Gọi , SA  a , SAB M trung điểm SA , chứng minh SA  ( MBC ) Tính VSMBC Câu IV( 2,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a, BC = Cho đường tròn ( C) x  y  x  y   điểm A (-2; 3) tiếp tuyến qua A ( C) tiếp xúc với ( C) M, N Tính diện tích tam giác AMN Câu V: (3,0 điểm) 1) Cho hàm số f ( x)  e x  sin x  x2  Tìm giá trị nhỏ f (x) chứng minh f ( x)  có hai nghiệm 2) Cho x, y số thực thỏa mãn x  y  Tìm giá trị lớn nhỏ của: P  2( x3  y )  xy HẾT DeThiMau.vn HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ Câu 1)Hàm số cho nghịch biến khoảng (0 ; + )  y’ = – 3x2 – 6x + m  0,  x > 0 3x2 + 6x  m,  x > Ta có bảng biến thiên hàm số y = 3x2 + 6x (0 ; + ) Từ ta : (*)  m  2/ Gọi (*) x y  2a   M  a;    C  a  1  a 1  Tiếp tuyến M có phương trình: y   2a   x  a  a 1  a  1 2a  10   x  1 A  1;  a 1   Giao điểm với tiệm cận ngang y  B  2a  1;2  Giao điểm với tiệm cận đứng Giao hai tiệm cận I(-1; 2) IA  12 1 ; IB   a  1  S IAB  IA AB  24  12  dvdt  Suy đpcm a 1 2 Câu 3  )  sin( x  )  4 3 3    sin x sin )  4(sin x cos  cos x sin )  2 cos x  sin x (cos x.cos 4 4 1/ 2 cos x  sin x cos( x  s inx+cosx=0 (2)   4(cosx-sinx)-sin2x-4=0 (3) PT (2) có nghiệm x     k 3  k 2  3 KL: Họ nghiệm hệ PT là: x    k , x  k 2 vµ x=  k 2 2/ Giải phương trình log x x  14 log16 x x  40 log x x  Điều kiện: Với t=-1 ta tìm nghiệm x : x  k 2 hc x= x  0; x  ; x  1 ;x  16 Dễ thấy x = nghiệm pt cho Với x  Đặt t  log x biến đổi phương trình dạng 42 20   0  t 4t  2t  1 1 ;t  2  x  4; x  Vậy pt có nghiệm x =1; x  4; x  2 a Câu Cho h×nh chãp S.ABC cã AB = AC = a, BC = , SA  a , S ฀  SAC ฀  30 SAB Gọi M trung điểm SA , chứng minh SA  ( MBC ) TÝnh VSMBC M Giải ta c t Theo định lí côsin ta có: ฀  3a  a  2.a 3.a.cos30  a SB  SA  AB  2SA.AB.cos SAB Suy SB  a T­¬ng tù ta cịng cã SC = a A C N B DeThiMau.vn Gọi M trung điểm SA , hai tam giác SAB SAC hai tam giác cân nên MB SA, MC  SA Suy SA  (MBC) Hai tam giác SAB SAC có ba cặp cạnh tương ứng nên chúng Do MB = MC hay tam giác MBC cân M Gọi N trung điểm BC suy MN  BC Tương tự ta có MN  SA 2 a  a   a  3a  MN  MN  AN  AM  AB  BN  AM  a        16 4   2 2 2 1 a a a a3 (®vtt)  SM MN BC  32 Câu Cho đường tròn ( C) x  y  x  y   điểm A (-2; 3) tiếp tuyến qua A ( C) Do ®ã VS MBC  tiếp xúc với ( C) M, N Tính diện tích tam giác AMN +) Ta có (C ) có Tâm I(1; 2) bán kính R = Và dễ thấy có tiếp tuyến vng góc với Ox qua A d: x= -2 +)Gọi d’ dường thẳng qua A ( -2; 3) có hệ số góc k ta có d’ y = k(x + 2) + d’ tiếp tuyến ( C ) d( I, d’ ) = R  3k  k 1 3 k  + ta có tiếp điểm d (C ) M(-2; 0), d’ (C ) N ( + Ta có AM = 3, d ( N , d )  2  7 57 ; ) 5  Vậy S AMN  AM d ( N , d )  (dvdt ) 5 10   x  cos a; y  sin a  a   0;   2 cos a sin a cos3 a  sin a  sin a  cos a 1  sin a.cos a  T    sin a cos a sina.cos a sin a.cos a t2 1   Đặt t  sin a  cos a  sin  a    sin a.cos a  Với 4  Câu 1/ Đặt 0a  1 t  t  3t  f t  ; t2 1 t    f  t   f f 't   2  t  1;  t  1 Khi T  Vậy f  t   f  t 1;   2  1/ Cho hàm số f ( x)  e x  sin x  x y  2  Hay T  2 x y x2  Tìm giá trị nhỏ f (x) chứng minh f ( x)  có hai nghiệm  Ta có f ( x )  e x  x  cos x Do f '  x    e x   x  cos x  Hàm số y  e x hàm đồng biến; hàm số y   x  cosx hàm nghịch biến y'  1  sin x  ,x Mặt khác x  nghiệm phương trình e x   x  cos x nên nghiệm DeThiMau.vn  Lập bảng biến thiên hàm số y  f  x  (học sinh tự làm) ta đến kết luận phương trình f ( x)  có hai nghiệm  Từ bảng biến thiên ta có f  x   2  x  2/ DeThiMau.vn ... nghiệm DeThiMau.vn  Lập bảng biến thi? ?n hàm số y  f  x  (học sinh tự làm) ta đến kết luận phương trình f ( x)  có hai nghiệm  Từ bảng biến thi? ?n ta có f  x   2  x  2/ DeThiMau.vn... a  a 1  a  1 2a  10   x  1 A  1;  a 1   Giao điểm với tiệm cận ngang y  B  2a  1;2  Giao điểm với tiệm cận đứng Giao hai tiệm cận I(-1; 2) IA  12 1 ; IB   a  1  S IAB... 1 3 k  + ta có tiếp điểm d (C ) M(-2; 0), d’ (C ) N ( + Ta có AM = 3, d ( N , d )  2  ? ?7 57 ; ) 5  Vậy S AMN  AM d ( N , d )  (dvdt ) 5 10   x  cos a; y  sin a  a   0;   2