Đề kiểm tra chất lượng ôn thi đại học đợt 2 Môn Toán52732

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT QUỲNH LƯU ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ÔN THI ĐẠI HỌC ĐỢT - NĂM 2014 Mơn TỐN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề I Phần chung cho thí sinh (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm): Cho hàm số y  x3  3mx  (Cm ) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = Tìm tất giá trị m để (Cm ) có hai điểm cực trị A, B cho diện tích ΔIAB với I(1;1) Câu II (2,0 điểm): Giải phương trình: 3sin x  cos x   cos x  sin x  2 x   x  y  x  y  Giải hệ phương trình:  ( x, y  R ) 3 2 x  y  1 Câu III (2,0 điểm): Tính tích phân: I    x ln x   x  x2  dx Câu IV (2,0 điểm): Cho S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB =a, AD = a (a > 0), mặt phẳng (SAC) mặt phẳng (SBD) vng góc với đáy, SD tạo với (ABCD) góc 60 Tính thể tích S.ABCD Tính khoảng cách hai đường thẳng SB AC Câu V (2,0 điểm): Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn: a  b  c   b  c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  1    2 (1  a ) (1  b) (1  c) (1  a )(1  b)(1  c) II Phần riêng (3,0 điểm): (Thí sinh làm hai phần: phần A phần B) Phần A Câu 1a (1,0 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hình thang ABCD với hai đáy AB CD Biết B(3;3), C(5;-3), gọi I giao điểm AC BD Biết I nằm đường thẳng Δ: 2x + y – = 0, CI = 2BI, diện tích tam giác ACB 12, hồnh độ I dương hoành độ A âm Tìm tọa độ A D Câu 2a (1,0 điểm): Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; 2; ) mặt phẳng (P): x + y + z + = Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A vng góc với (P) Biết (Q) cắt Ox, Oy M, N cho OM = ON  n 1  Câu 3a (1,0 điểm): Tìm hệ số x 20 khai triển nhị thức Newton biểu thức P( x)    x  với n x  n 1 n2 2n 100 nguyên dương thỏa mãn: C2 n 1  C2 n 1   C2 n 1   Phần B Câu 1b (1,0 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 6), chân đường phân giác 3    kẻ từ A D  2;   , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC I   ;1 Tìm tọa độ đỉnh B C 2     1 Câu 2b (1,0 điểm): Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A   ;0;  , (P): 2x + 2y – z + = mặt cầu  2 2 (S): ( x  1)  ( y  1)  ( z  2)  Viết phương trình mp (  ) qua A, vng góc với (P) tiếp xúc với (S) log ( y  x  7)  Câu 3b (1,0 điểm) : Giải hệ phương trình:  x y2 y  x 1 2.8   17.2 - Hết DeThiMau.vn ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM – mơn TỐN – THI THỬ ĐỢT Đáp án Câu I Điểm Cho hàm số y  x3  3mx  (Cm ) (2,0 HS tự giải điểm) 1đ Tìm tất giá trị m để (Cm ) có hai điểm cực trị A, B cho diện tích ΔIAB với I(1;1) y '  x  3m; y '   x  m (1) (Cm ) có hai điểm cực trị A, B PT (1) có nghiệm phân biệt m > Khi đó: A    0,25  m ; 2m m  , B  m ; 2m m  => Ptđt AB: y  2mx  hay 2mx  y   Ta có: AB  4m  4m  1 , d  I ; AB   2m 4m   2m 4m  1 2m 4 SV ABI  AB.d  I ; AB   4m  4m  1 2 4m   4m m  ( Do m  0) 0,25 0,25  m m  2  m  (TM ) II (2,0 điểm) Kết luận: m = Giải phương trình: 3sin x  cos x   cos x  sin x  Phương trình cho tương đương: 3sin x  2sin x cos x  cos x   (1  2sin x)   2sin x  3sin x   cos x(1  2sin x)   (sin x  1)(2sin x  1)  cos x(1  2sin x)   (2sin x  1)(sin x  cos x  1)   sin (1) x     sin x  cos x   (2)    x    k 2 (1)   (k  Z )  x  7  k 2    (2)  sin  x    1 4   x  k 2 (k  Z )   x  3  k 2  DeThiMau.vn 0,25 0,5 0,25 0,25 Kết luận: Các họ nghiệm phương trình là:  7 3 x    k 2 ; x   k 2 ; x  k 2 ; x   k 2 (k  Z ) 6 2 x   x  y  x  y  Giải hệ phương trình:  ( x, y  R ) 3 2 x  y  ĐK:  x  y  x  y  (*) C1: Pt x   x  y  x  y   x  y  x2  y   x 1  x   2 2  x  y  x  y  (1  x)  x   5 x  x  y  y   (2)  Mặt khác từ x3  y  => y < x Thế  x3  y vào (2) ta được: x3  x  x  y  y  y  x3  x  x  2( y  1)3  5( y  1)  3( y  1) (3) 0,25 0,25 5 từ y  x3  => y   5 0,25 Xét hàm số f (u )  2u  5u  3u với u  f ' (u )  6u  10u   nên hàm f (u ) đồng biến liên tục Do x  (; 5 ) , từ (3) x = y +  3  y  Thế vào pt: x3  y  => 2( y  1)3  y   y  y      3  y   3  -)Với y  => x > (loại) 3  3 -)Với y  , thử lại: TM  x  6   3   Vậy hệ có nghiệm ( x; y )   ;  6    x    x  3x  y  y  C2: Từ đk (*) Khi hệ tương đương  3 2 x  y   DeThiMau.vn 0,25  x3  x  x  y  y  y   x3  x  x   y  1   y  1   y  1   x  ( y  1)   y  (2 y  3) x  (2 y  y )   (4) Tacó: y  (2 y  3) x  (2 y  y )  x(2 x  y  3)  y (2 y  1) Do y  x   x(2 x  y  3)  0, y (2 y  1)  nên (4) x = y + Thế vào pt 3  3 x3  y  ta đc nghiệm : x  ,y 6 III (1,0 điểm) Tính tích phân I    x ln x   x  x2  dx   u  ln x   x dx   du   x2   Đặt  x dx dv   v   x   x2 Khi  I   x ln x   x   0,25       dx  2.ln   (1  0)  2.ln   0,5  Vậy I  2.ln   0,25 IV (1,0 điểm) E S M A D O B a a C Gọi O  AC  BD Do (SBD) (SAC) vng góc với (ABCD) => SO  ( ABCD) => SO đường cao hình chóp S.ABCD OD hình chiếu SD lên (ABCD) =>  SD;( ABCD)   SDO  600 DeThiMau.vn 0,25 Ta có: AC  AD  DC  4a  AC  2a  BD  2a  OD  a => SO  OD.tan 600  a 1 VS ABCD  S ABCD SO  a.a 3.a  a 3 Gọi M trung điểm SD => SB // OM => SB // (ACM) => d  SB; AC   d  SB;( ACM )   d  B;( ACM )  Do O trung điểm BD => d  B;( ACM )   d  D;( ACM )  =d 0,25 0,25 Gọi DE  ( ABCD), OM  DE  E  ( ACM )  ( ACE ) DE  SO  a V (1,0 điểm) 1 1 1 a 15         d  2 2 d DA DC DE 3a a 3a 3a 0,25 a 15 Vậy d ( SB; AC )  Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn: a  b  c   b  c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P 1    2 (1  a ) (1  b) (1  c) (1  a )(1  b)(1  c) Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có: P   (1  a ) (1  b)(1  c) (1  a )(1  b)(1  c) Do (b  c)   b  c  nên từ điều kiện ta suy ra: a (b  c)  2a  b  c   2a (b  c)  b  c  Cũng theo bất đẳng thức Cơ-si ta lại có: 0,25 a 1  (1  a ) (1  b)(1  c)  (2  b  c)      4 a a2 Do đó: 2a  4a 2a  6a  a  P   (1  a ) (1  a )3 (a  1)3 2a  6a  a  với a > (a  1)3 2(5a  1) ' 0,25 Ta có: f ' (a )  ; f (a )   a  (a  1)   91 Lập bảng biến thiên ta có: P  f (a )  f      108 91 0,25 Vậy giá trị nhỏ P , giá trị đạt a  ; b  c  108 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hình thang ABCD với hai đáy AB CD Biết B(3;3), C(5;-3), gọi I giao điểm AC BD Biết I nằm đường thẳng Δ: 2x + y – = 0, CI = 2BI, diện tích tam giác ACB 12, hồnh độ I dương hồnh độ A âm Tìm tọa độ A D Xét hàm số: f (a )  Câu 1a 0,25 DeThiMau.vn A B(3;3) d 0,25 I D C(5;-3) t  I V  I (t ;3  2t ) với t > Từ CI = 2BI  3t  2t     t   (loai )   I (1;1) uur I (1;1)  IC  (4; 4)  IC : x  y   0(V')  d ( B; AC )  1.3  1.3  2 0,25 2 SV ABC  12  AC.d ( B;; AC )  24  AC  Do A V  A( x;  x) với x  Từ AC   x  11( L) => ( x  5)  36    A(1;3)  x  1 Câu 2a 0,25 uuur A(1;3)  AB  (4;0) uur A(-1 ;3) BI  (2; 2)  BI : x  y  0,25 DC / / AB  DC : y  3 x  y   D(3; 3) Tọa độ điểm D nghiệm hệ :   y  3 Vậy A(-1 ;3) D(-3 ;-3) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; 2; ) (P): x + y + z + = Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua A vng góc với (P) Biết (Q) cắt Ox, Oy M, N cho OM = ON  Gọi (Q) : ax  by  cz  d   a  b  c   0,25 A(3; 2; 2)  (Q)  3a  2b  2c  d  (Q)  ( P)  a  b  c    d  M   ;0;0    M  (Q)  Ox   a    d  0, OM= ON  Gọi  d    N  (Q)  Oy  N 0;  ;0    b  DeThiMau.vn 0,25 2 d  d  Do d  0; OM  ON         a  b a b 0,25 -) a = b => c = -2a, d = -1, chọn a = => (Q): x  y  z   -) a = -b, tương tự ta có: (Q): -x + y + = Vậy có hai mp (Q) là: (Q): x  y  z   (Q): -x + y + = 0,25 n Câu 3a 1  Tìm hệ số x 20 khai triển nhị thức Newton biểu thức P( x)    x  với n nguyên x  n 1 n2 2n 100 dương thỏa mãn: C2 n 1  C2 n 1   C2 n 1   n C22nn11  Cnk  Cnn  k ; Cnk  2n Ta có: C n 1 n 1 C n2 n 1   C k 0 2n n 1  2100  0,25  C20n 1  C21n 1   C2nn11   C22nn11  2101  22 n 1  2101  n  50 50 50 1  Với n = 50  P( x)    x   C50k x5 k 150 x  k 0 20 Số hạng chứa x  5k  150  20  k  34 0,25 0,25 Vậy hệ số số hạng chứa x 20 C5034 Câu 1b 0,25 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 6), chân đường phân giác kẻ 3    từ A D  2;   , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC I   ;1 Tìm tọa độ đỉnh B 2    C A I B D C IA= 5 E 1 125  Gọi đường tròn ngoại tiếp V ABC (C) => (C ) :  x    ( y  1)  2  » Gọi E  AD  (C ) Do BAE  CAE  E điểm BC DeThiMau.vn 0,25  1 125  x    ( y  1)  AD: x = => Tọa độ E nghiệm hệ :  2  E (2; 4) x   ;E=(2;6) (loai :trùng A) Câu 2b uur  r uur  E(2;-4) => IE   ; 5  BC qua D có vtpt n  IE  (1; 2)  BC : x  y   2   1 125  B(5;0), C (3; 4)  x    ( y  1)  Tọa độ B C nghiệm hệ:  2   C (5;0), B(3; 4) x  y    B(5;0), C (3; 4) Kết luận: C (5;0), B(3; 4) 0,25 0,25 0,25  1 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho A   ;0;  , (P): 2x + 2y – z + = mặt cầu (S):  2 2 ( x  1)  ( y  1)  ( z  2)  Viết PT mp(  ) qua A, vng góc với (P) tiếp xúc với (S) Pt ( ) có dạng : ax  by  cz  d  (a  b  c  0) 1 ac Do A  ( )   a  c  d   d  2 2a  c ( )  ( P)  2a  2b  c   b  Do ( ) tiếp xúc với mc (S) có tâm I(1;1;-2) có bán kính R = 0,25  d  I ;( )    a  4c  8a  4ac  5c  a  4ac  11c  a  c    a   11 c   )a  c , chọn c= => a = => d = 0, b    ( ) : x  y  z  0,5 0,25 11 )a   c , chọn c = -7 => ( ) : 22 x  29 y  14 z  18  Vậy có hai phương trình mp ( ) :2 x  y  z  ( ) : 22 x  29 y  14 z  18  Câu 3b log ( y  x  7)  Giải hệ phương trình:  x y2 y  x 1 2.8   17.2 3 x  y    (1)  ĐK: y + 3x + > Hệ tương đương:  2.8 x  22 y  17.2 y 3 x 1 (2) Từ (1)  y   x Thế vào (2): => 2.23 x  233 x  17 (3)   t  Đặt  t (t  0), (3) trở thành: 2t  17t     t   3x 0,25 0,25 0,25 0,25 DeThiMau.vn ) t   x   y  2 1 ) t   x    y  2 (TM ) (TM )   Vậy nghiệm hệ ( x; y )  (1; 2),   ;    DeThiMau.vn ...  Cnk  Cnn  k ; Cnk  2n Ta có: C n 1 n 1 C n? ?2 n 1   C k 0 2n n 1  21 00  0 ,25  C20n 1  C21n 1   C2nn11   C22nn11  21 01  22 n 1  21 01  n  50 50 50 1... phương trình:  x y? ?2 y  x 1 ? ?2. 8   17 .2 3 x  y    (1)  ĐK: y + 3x + > Hệ tương đương:  ? ?2. 8 x  22  y  17 .2 y 3 x 1 (2) Từ (1)  y   x Thế vào (2) : => 2. 23 x  23 3 x  17 (3)...  k 2? ??    (2)  sin  x    1 4   x  k 2? ?? (k  Z )   x  3  k 2? ??  DeThiMau.vn 0 ,25 0,5 0 ,25 0 ,25 Kết luận: Các họ nghiệm phương trình là:  7 3 x    k 2? ?? ; x   k 2? ?? ;