SỞ GD&ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT NGA SƠN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2013 - 2014 MƠN: TỐN - KHỐI 10 Thời gian: 180 phút (Khơng kể thời gian giao đề) (Đề có 01 trang gồm 05 câu) Đề thức Câu 1: (4.0 điểm) Tìm tập xác định hàm số sau: a y 3 b y = 4x x x- x- + x2 - x + 1- x - x - Câu 2: (4.0 điểm) a Giải phương trình: 2013 + x - = 2014 - x ìï x b Giải hệ phương trình: ïí x- y- = ïï y + x + y x - xy = ïỵ Câu 3: (4.0 điểm) Cho phương trình bậc hai: x - (m - 1) x + (2m - 8m + 6) = a Tìm m để phương trình có nghiệm b Giả sử x1 , x2 hai nghiệm phương trình Tìm giá trị lớn bé biểu thức A = x1 x2 - 2( x1 + x2 ) Câu 4: ( 4.0 điểm) a Viết phương trình hàm số bậc hai biết đồ thị parabol có đỉnh A(1; -2) parabol chắn đường thẳng (d) : y = x + dây cung MN = 34 (đơn vị độ dài) b Tìm giá trị m thoả mãn để hệ sau có nghiệm: ìï x + x - 12 £ ïí ïï x + 4mx + 3m - 4m - £ ỵ Câu 5: (4.0 điểm) a Trong mặt phẳng Oxy cho hình bình hành ABCD có diện tích Biết đỉnh A(1; 0), B(0; 2) giao điểm I hai đường chéo nằm đường thẳng (d ): y = x Tìm toạ độ đỉnh C D b Cho tam giác ABC M điểm bên tam giác Gọi x, y, z khoảng cách từ M xuống BC, AC, AB Chứng minh: x+ y+ z£ a + b2 + c2 2R ( BC = a; AC = b; AB = c ; R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC) -Hết DeThiMau.vn ĐÁP ÁN MƠN TỐN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2013 – 2014 MƠN TỐN - KHỐI 10 Câu ý Nội dung Điểm 1a Hàm số xác định : 0.25 ìï ïï ïï 1- x ³ 0(1) ïï í x ¹ 0(2) ïï ïï 1- 1- x ïï > 0(3) ïỵ x é ổ 1ự ;0ữ ẩ ỗỗ0; ỳ ữ ữ ỗ 2ú ê ë ø è û Với đk (1) (2) ta được: x Ỵ ê- 0.5 Với đk(3) thực phép nhân liên hợp ta được: 1- x > x - éìï x - < êïí êï1- x ³ êïỵ Û ê Û x£ ìêï x - ³ êïí 2 êï (1- x )> (4 x - 3) ê ëỵïï Kết hợp điều kiện ta có tập xác định hàm số là: 0.5 0.5 0.25 é ổ 1ự ỗ D = ờ- ;0ữ ữ ữẩ çç0; ú ê ú ë ø è û 1b ỉ 1ư Vì x - x + = ỗỗỗ x - ữ ữ ữ + > 0" x Ỵ R è 2ø x- x- = ( ) x - - ³ 0" x ³ Hàm số xác định khi: 0.25 0.25 1.25 1- x - x - ³ Û 1- x ³ x + 2 éì x£ êïï (1- x ) ³ (2 x + 1) Û é ê í ê ê Û êïï x + ³ ëx ³ ỵê ê ë2 x + < 2a Vậy TXĐ : D = [1; + ¥ ) 0.25 ĐK: 2014 ³ x ³ Đặt : 0.25 a= x- b= 2013 + x - 1(a; b ³ 0) 1.0 DeThiMau.vn ìï a + b = 2013 Þ ïí Û (a + b)(a - b + 1) = Û a = b - ïï b - a = 2013 ợ 4027 - 8049 ị x - = 2013 + x - Þ x = 2b ïì x ³ ïïỵ x - y - ³ ĐK: ïí Biến đổi phương trình thứ ta được: ( y + 2) = x Û y + = x Phương trình thứ hai hệ tương đương với : (y + x ) = xy Û y+ 0.25 0.25 0.25 0.25 x= y x Ta hệ là: éìï êïï x = êí ìï y + = x ìï y + = x êïï ï ï êỵï y = Û Û í í ïï y + x = y x ïï y + ( y + 2) = y ( y + 2) ê êìï x = ỵ ỵ êïí êï y = êïỵ ë 3a - Đk: D³ 0.25 0.5 Û m - 30m + 23 £ 23 Û 1£ m £ 3b 0.25 Theo định lí Viét ta có: 0.5 ìï x1 + x2 = m - ïí ïïỵ x1 x2 = 2m - 8m + Þ A = m - 5m + = (m - 1)(m - 4) 4a 1.25 1.0 é 23 ù = - 2m + 10m - = f (m); m Ỵ ê1; ú ê ë 7ỳ ỷ ổ5 MaxA = f ỗỗ ữ ữ ữ= ỗố2 ứ 0.5 MinA = f (1) = 0.5 Phương trình (P) có đỉnh A(1; -2) (P): y = m (x - 1) - (m ¹ 0) (1) Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: m (x - 1) - = x + Û mx - (2m + 1) x - + m = (2) 0.25 D = 16m + 1; D > Û m > Với ¹ m > - 16 0.5 0.25 0.25 - phương trình (2)có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 16 hoành độ giao điểm M, N (d) (P) DeThiMau.vn D m2 M , N Ỵ (d ) Þ y1 - y2 = ( x1 + 1) - (x2 + 1) = x1 - x2 (x1 - x2 ) = Từ (2) suy ra: Þ ( x1 - x2 )2 + ( y1 - y2 )2 = (x1 - x2 )2 ém = ê D Þ MN = 2 Û 17 m - 16m - = Û ê (tm) êm = m ê 17 ë 0.25 0.25 0.25 Vậy: 4b 0.25 y = x2 - x - 1 ( x - x + 35) y= 17 0.25 Ta có: BPT thứ tương đương 0.25 x Ỵ D = [ - 4;3] f ( x) = x + 4mx + 3m - 4m - Hệ có nghiệm khi: GTNN f(x) D 0.25 Minf (x)£ xỴ D Hoành độ (P) x0 = - 2m TH1: - 2m £ - Þ Minf ( x) = f (- 4) = 3m - 20m + 12 £ K / hÞ 2£ m£ 0.25 0.25 TH2: - 2m ³ Û m £ - Þ m inf ( x) = f (3) = 3m + 8m + £ - K /hÞ £ m£ 0.25 TH3: 0.25 - < - 2m < Þ Minf ( x) = f (- 2m) = - (m + 2) Ê 0, " m ẻ R K /hị - < m< 2 é ù Vậy m Î ê- ;6ú ê ë ú û 0.25 0.25 5a Ta có: uuur AB = (- 1; 2) Þ AB = AB : x + y - = I Ỵ d : y = x Þ I (t ; t ) 0.25 0.25 Vì I trung điểm AC BD nên ta có: C (2t - 1; 2t ); D (2t ; 2t - 2) Mà 0.25 DeThiMau.vn S ABCD = AB.CH = Þ CH = (CH chiều cao) 0.25 0.25 é êt = Þ d (C , AB ) = CH Û ê ê ê ët = ỉ5 ỉ8 çç ; ÷ Vậy: C ççç ; ÷ ÷ ÷ ÷; D è ÷hoặc C (- 1;0); D (0; - 2) ỗ3 ứ ố3 ứ 0.25 0.25 0.25 5b Do S MBC + S MAC + S MAB = S 0.25 S MBC S MAC S MAB x y z + + = 1Þ + + =1 S S S hb hc x y z Do vậy: + hb + hc = (ha + hb + hc ).( + + )(1) hb hc Þ 0.25 Mặt khác ta chứng minh được: x (ha + hb + hc ).( + y z + )³ hb hc ( x+ Từ (1) (2) suy ra: + hb + hc ³ y+ ( 0.25 ) z (2) x+ y+ z ) 0.25 h h h Dấu xảy khi: a = b = c x y z 0.25 Trong tam giác ABC ln có: = b sin C ; hb = c sin A; hc =asinB Nên + hb + hc = b sin C + c sin A + a sin B = Theo BĐT côsi suy ra: + hb + hc £ a + b2 + c2 suy ĐPCM 2R bc + ca + ab 2R 0.25 0.25 0.25 Dấu xảy ABC tam giác M tâm tam giác Chú ý: Nếu HS làm cách khác không theo đáp án mà cho điểm tối đa DeThiMau.vn ...ĐÁP ÁN MƠN TỐN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2013 – 2014 MƠN TỐN - KHỐI 10 Câu ý Nội dung Điểm 1a Hàm số xác định : 0.25 ìï ïï ïï 1-... + ¥ ) 0.25 ĐK: 2014 ³ x ³ Đặt : 0.25 a= x- b= 2013 + x - 1(a; b ³ 0) 1.0 DeThiMau.vn ìï a + b = 2013 Þ ïí Û (a + b)(a - b + 1) = Û a = b - ïï b - a = 2013 ợ 4027 - 8049 ị x - = 2013 + x - Þ x... = - 2m + 10m - = f (m); m Ỵ ê1; ú ê ë 7ú û ỉ5 MaxA = f ỗỗ ữ ữ ữ= ỗố2 ứ 0.5 MinA = f (1) = 0.5 Phương trình (P) có đỉnh A(1; -2) (P): y = m (x - 1) - (m ¹ 0) (1) Phương trình hồnh độ giao điểm