ÔN TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC (Trung tâm Luyện thi đại học Vónh Viễn) Giả sử : y = ax3 + bx2 + cx + d với a có đồ thị (C) y’ = 3ax2 + 2bx + c, y” = 6ax + 2b b 1) y” = x = (a ) 3a b x= hoành độ điểm uốn Đồ thị hàm bậc nhận điểm uốn làm tâm đối xứng 3a 2) i) ii) iii) Để vẽ đồ thị hàm số bậc 3, ta cần biết trường hợp sau : a > y’ = vô nghiệm hàm số tăng R (luôn tăng) a < y’ = vô nghiệm hàm số giảm (nghịch biến) R (luôn giảm) a > y’ = có nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2 hàm số đạt cực đại x1 đạt cực tiểu x2 Ngoài ta có : + x1 + x2 = 2x0 với x0 hoành độ điểm uốn + hàm số tăng (, x1) + hàm số tăng (x2, +) + hàm số giảm (x1, x2) iv) a < vaø y’ = có nghiệm phân biệt x1, x2 với x1 < x2 hàm đạt cực tiểu x1 đạt cực đại x2 thỏa điều kiện x1 + x2 = 2x0 (x0 hoành độ điểm uốn) Ta có : + hàm số giảm (, x1) + hàm số giảm (x2, +) + hàm số tăng (x1, x2) 3) Giả sử y’ = có nghiệm phân biệt y = k(Ax + B)y’ + r x + q với k số khác 0; phương trình đường thẳng qua điểm cực trị y = r x + q 4) (C) cắt Ox điểm phân biệt y' có nghiệm phân biệt x1 , x y(x1 ).y(x ) 5) i) Giả sử a > ta có : (C) cắt Ox điểm phân biệt > y' có nghiệm phân biệt thỏa x1 x y() y(x1 ).y(x ) ii) (C) cắt Ox điểm phân biệt < y' có nghiệm phân biệt thỏa x1 x y() y(x1 ).y(x ) Tương tự a < 6) Tiếp tuyến : Gọi I điểm uốn Cho M (C) Nếu M I ta có tiếp tuyến qua M Nếu M khác I ta có tiếp tuyến qua M DeThiMau.vn Biện luận số tiếp tuyến qua điểm N không nằm (C) ta có nhiều trường hợp 7) (C) cắt Ox điểm phân biệt cách y’ = có nghiệm phân biệt y(x0) = (x0 hoành độ điểm uốn) 8) Biện luận số nghiệm phương trình : ax3 + bx2 + cx + d = (1) (a 0) x = nghiệm (1) Nếu x = nghiệm (1), ta coù ax3 + bx2 + cx + d = (x - )(ax2 + b1x + c1) nghiệm (1) x = với nghiệm phương trình ax2 + b1x + c1 = (2) Ta có trường hợp sau: i) (2) vô nghiệm (1) có nghiệm x = ii) (2) có nghiệm kép x = (1) có nghiệm x = iii) (2) có nghiệm phân biệt (1) có nghiệm phân biệt iv) (2) có nghiệm x = nghiệm khác (1) có nghiệm v) (2) có nghiệm kép (1) có nghiệm BÀI TẬP ÔN VỀ HÀM BẬC Cho họ đường cong bậc ba (Cm) họ đường thẳng (Dk) có phương trình y = x3 + mx2 m vaø y = kx + k + (I) PHẦN I Trong phần cho m = Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số 1) Gọi A B điểm cực đại cực tiểu (C) M điểm cung AB với M khác A , Bø Chứng minh (C) ta tìm hai điểm có tiếp tuyến vuông góc với tiếp tuyến M với (C) 2) Gọi đường thẳng có phương trình y = Biện luận số tiếp tuyến với (C) vẽ từ E với (C) 3) Tìm E để qua E có ba tiếp tuyến với (C) có hai tiếp tuyến vuông góc với 4) Định p để (C) có tiếp tuyến có hệ số góc p, trường hợp chứng tỏ trung điểm hai tiếp điểm điểm cố định 5) Tìm M (C) để qua M có tiếp tuyến với (C) (II) PHẦN I I.Trong phần cho tham số m thay đổi 6) Tìm điểm cố định (Cm) Định m để hai tiếp tuyến hai điểm cố định vuông góc 7) Định m để (Cm) có điểm cực trị Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị 8) Định m để (Cm) cắt Ox điểm phân biệt 9) Định m để : a) hàm số đồng biến (1, 2) b) hàm số nghịch biến (0, +) 10) Tìm m để (Cm) cắt Ox điểm có hoành độ tạo thành cấp số cộng 11) Tìm điều kiện k m để (Dk) cắt (Cm) điểm phân biệt Tìm k để (Dk) cắt (Cm) thành hai đoạn 12) Viết phương trình tiếp tuyến với (Cm) qua điểm (-1, 1) 13) Chứng minh tiếp tuyến với (Cm) tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc lớn BÀI GIẢI PHẦN I : m = Khảo sát vẽ đồ thị (độc giả tự làm) 1) Gọi n hoành độ M Vì hàm số đạt cực tiểu x = đạt cực đại x = nên < n < 2; y' = – 3x2 + 6x hệ số góc tiếp tuyến M k1 = – 3n2 + 6n (0, 3] (vì n (0, 2)) Đường thẳng vuông góc với tiếp DeThiMau.vn (với < k1 3) Hoành độ tiếp k1 tuyến vuông góc với tiếp tuyến M nghiệm – 3x2 + 6x = (= k2) k1 3x2 – 6x = Phương trình có a.c < 0, k1 (0, 3] nên có k1 tuyến M có hệ số góc k2 = nghiệm phân biệt, k1 (0, 3] Vậy (C) có điểm phân biệt mà tiếp tuyến vuông góc với tiếp tuyến M 2) E (e, 1) Phương trình tiếp tuyến qua E có dạng y = h(x – e) + (D) x3 3n h(x e) (D) tiếp xúc (C) hệ có nghieäm 3x 6x h Phương trình hoành độ tiếp điểm (D) (C) laø : – x3 + 3x2 – = (– 3x2 + 6x)(x – e)+ (1) – x3 + 3x2 – = x(– 3x + 6)(x – e) (x – 2)(x2 – x – 2) = 3x(x – 2)(x – e) x = hay x2 – x – = 3x2 – 3ex x = hay 2x2 – (3e – 1)x + = (2) (2) coù = (3e – 1) – 16 = (3e – 5)(3e + 3) (2) có nghiệm x = – 2(3e – 1) + = e = Ta coù > e < – hay e > Biện luận : i) Neáu e < – hay < e < hay e > (1) có nghiệm phân biệt có tiếp tuyến ii) Nếu e = – hay e = hay e = (1) có nghiệm có tieáp tuyeán iii) Neáu – < e < (1) có nghiệm có tiếp tuyến Nhận xét : Từ đồ thị, ta có y = tiếp tuyến (2, 1) nên phương trình (1) chắn có nghiệm x = 2, e 3) Vì y = tiếp tuyến qua E (e, 1), e đường x = không tiếp tuyến nên yêu cầu toán (2) có nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa : y'(x1).y'(x2) = – DeThiMau.vn 4) 5) i) ii) e e x , x nghiệ m (2) (3x 6x )(3x 6x ) 1 1 2 e hay e 3e x1 x x x 9x1.x (x1 2)(x 2) 1 e 1 hay e [1 (3e 1) 4] 1 55 55 e= Vậy E ,1 27 27 Tiếp điểm tiếp tuyến (với (C)) có hệ số góc p nghiệm : y' = p 3x2 – 6x + p = (3) Ta coù ' = – 3p > p < Vậy p < có tiếp tuyến song song có hệ số góc p Gọi x3, x4 nghiệm (3) Gọi M3 (x3, y3); M4 (x4, y4) tiếp điểm Ta có : x3 x b 1 2a y3 y (x33 x34 ) 3(x32 x 24 ) 1 2 Vậy điểm cố định (1, –1) (điểm uốn) trung điểm M3M4 Cách : Đối với hàm bậc (a 0) ta dễ dàng chứng minh : M (C), ta có : Nếu M khác điểm uốn, ta có tiếp tuyến qua M Nếu M điểm uốn, ta có tiếp tuyến qua M Cách : Gọi M(x0, y0) (C) Phương trình tiếp tuyến qua M có dạng : y = k(x – x0) x30 3x 20 (D) Phương trình hoành độ tiếp điểm (D) (C) : x x (3 x x)( x x0 ) x03 x02 (5) x3 x30 3(x x 20 ) (x x )(3x 6x) x x x xx x 20 3x 3x 3x 6x x x hay 2x (3 x )x x 20 3x x x hay (x x )(2x x 3) DeThiMau.vn x0 Do đó, có tiếp tuyến qua M (x0, y0) (C) x0 x0 x0 Suy ra, y0 = Vậy M(1, –1) (điểm uốn) Nhận xét : x0 hoành độ tiếp điểm nên pt (5) chắn có nghiệm kép x0 Phần II : Tham số m thay đổi y' = – 3x2 + 2mx 6) (Cm) qua (x, y), m y + x3 = m (x2 – 1) , m x x x 1 hay y 1 y y x x x hay x Vaäy (Cm) qua điểm cố định H(1, –1) K(–1, 1) Vì y' = – 3x2 + 2mx nên tiếp tuyến với (Cm) H K có hệ số góc : a1 = y'(1) = – + 2m vaø a2 = y'(–1) = –3 – 2m tiếp tuyến H K vuông góc 10 a1.a2 = – – 4m2 = – m = 7) Hàm có cực trị y' = có nghiệm phân biệt 3x2 = 2mx có nghiệm phân biệt 2m x = x = nghiệm phân biệt m Khi đó, ta có : 2 1 y m x m x m y' 9 3 phương trình đường thẳng qua cực trị laø : y m x m (với m 0) 8) Khi m 0, gọi x1, x2 nghiệm y' = 0, ta có : 2m x1.x2 = x1 + x2 = 2 y(x1).y(x2) = m x1 m m x m 9 = m (x1 x ) m = m m 27 Với m 0, ta có y(x1).y(x2) < DeThiMau.vn m 1 27 27 3 m Vậy (Cm) cắt Ox điểm phân biệt y' có nghiệm phân biệt x1 , x y(x1 ).y(x ) m2 m Nhận xét : 3 3 phương trình y = có nghiệm âm nghiệm dương 3 Khi m phương trình y = có nghiệm dương nghiệm âm a) Hàm đồng biến (1,2) – 3x2 + 2mx 0, x (1,2) Nếu m ta 2m có hoành độ điểm cực trị 2m ,0 Vậy loại trường hợp m < Nếu m < hàm đồng biến Nếu m = hàm nghịch biến (loại) i) Khi m ii) 9) i) ii) 2m iii) Neáu m > hàm đồng biến 0, 2m Do đó, ycbt m > vaø [1,2] 0, 2m 2 m3 b) Từ câu a, ta loại trường hợp m > 2m Khi m ta có hàm số nghịch biến , hàm số nghịch biến [0, +) Vậy để hàm nghịch biến [0, +) m Ghi : nên lập bảng biến thiên để thấy rõ ràng 10) y" = – 6x + 2m , y" = x = m (Cm) cắt Ox điểm cách y = có nghiệm phân biệt điểm uốn nằm trục hoành DeThiMau.vn ... nghiệm BÀI TẬP ÔN VỀ HÀM BẬC Cho họ đường cong bậc ba (Cm) họ đường thẳng (Dk) có phương trình y = x3 + mx2 m vaø y = kx + k + (I) PHẦN I Trong phần cho m = Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số 1)... cắt Ox điểm phân biệt 9) Định m để : a) hàm số đồng biến (1, 2) b) hàm số nghịch biến (0, +) 10) Tìm m để (Cm) cắt Ox điểm có hoành độ tạo thành cấp số cộng 11) Tìm điều kiện k m để (Dk) cắt... điểm uốn có hệ số góc lớn BÀI GIẢI PHẦN I : m = Khảo sát vẽ đồ thị (độc giả tự làm) 1) Gọi n hoành độ M Vì hàm số đạt cực tiểu x = đạt cực đại x = nên < n < 2; y' = – 3x2 + 6x hệ số góc tiếp tuyến