Các đề thi thử Toán tổng hợp từ VMF49700

CÁC ĐỀ THI THỬ TỔNG HỢP TỪ VMF Các tập tài liệu lấy từ box luyện thi đại học diendantoanhoc.net như: BĐT chuẩn bị cho kì thi THPT QG 2015-2016, PT HPT qua đề thi thử đại học, Topic tổng hợp toán HHP đề thi thử đại học Mục đích việc tổng hợp muốn có tài liệu dạy cho học sinh, thơi gửi lên diễn đàn cho anh em muốn xem tải đọc tham khảo Còn tài liệu xấu quá, ngu Latex mong anh em cố đọc! (Nguyễn Công Định, Đầm Dơi) 1 Cho x, y, z số thực dương thỏa√mãn: x2 + y + 6z = 4z(x + y) Tìm giá trị nhỏ x2 +y y3 x3 biểu thức: P = y(x+z) + x(y+z)2 + z x2 + y + x + y = x(x + y + 1) + y(y + 1) = Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC I (-2;1) thỏa mãn điều kiện góc AIB = 90 độ, chân đường cao kẻ từ A đến BC D (-1;-1), đường thẳng AC qua điểm M (-1;4) Tìm tọa độ đỉnh A, B biết đỉnh A có hồnh độ dương Hướng dẫn Từ giả thiết ta có ( xz )2 + ( yz )2 + = 4( xz + yz ) Đặt xz = a, yz = b ⇒ a2 + b2 + = 4(a + b) 4(a + b) = a2 + b2 + 2ab + 2(a + b) ab + ⇒ ⇒ 4(a + b) = a2 + b2 + 2(a + b) + a+b √ a3 b3 Ta có P = b(a+1)2 + a(b+1)2 + a2 + b2 √ (a+b)2 a3 b3 ⇒P Q+ + a(b+1) + b(a+1)2 Xét Q, áp dụng AM-GM ta có 3a a3 + a+1 + ab+b b(a+1)2 8 Giải hệ phương trình: b3 a(b+1)2 3b + ab+a + b+1 8 Cộng bất đẳng thức lại ta a+b Q a+b − ab −1 − 2(a+b)−3 − 41 = 12 4√ 4 + ⇒P Đẳng thức xảy a = b = 1, hay x = y = z > Hệ cho tương đương với: x2 + y + x + y = x2 + y + x + y + xy = ⇔ Suy (x + y)2 + (x + y) − 2xy = xy = −2 x+y =0 xy = −2 x + y = −1 xy = −2 ⇔ √ x= √ ∨ y=− √ x=√ − ∨ y= x=1 ∨ y = −2 ThuVienDeThi.com y = −2 x=1 √ √ √ √ Vậy hệ có nghiệm (x; y) = ( 2; − 2); (− 2; 2); (1; −2); (−2; 1) Từ điều kiện AIB = 90◦ => ACB = 21 AIB = 45◦ => Tam giác ADC vuông cân D => DI vng góc với AC √ √ => pt AC qua M :x − 2y + = d(D, AC) = √105 = 5⇒ AD = 10 Gọi A(2a − 9, a) ⇒ (2a − 8)2 + (a + 1)2 = 40=> a=5 a=1 Do A có hồnh độ >0 nên A(1, 5) => B(2, −2) Cho a,b,c số thực khơng âm thoả c b a Tìm GTNN bc ac ab + a+c + a+b + 2(a+b+c) + a+b+c b+c Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân B nộp tiếp đường trịn (C) có phương trình x2 + y2 – 10y – 25 = I tâm đường tròn (C) Đường thẳng BI cắt đường tròn (C) M (5; 0) Đường cao kẻ từ C cắt đường trịn (C) (-17/5; -6/5 ) Tìm tọa độ A, B, C biết hoành độ điểm A dương Giải hệ phương trình: x2 − y(x + y) + = (x2 + 1)(x + y − 2) + y = Hướng dẫn Do điều kiện c b a sửa nên ta chứng minh ab bc ca a+b+c + c+a + a+b b+c bc ca ab − a2 ) + ( c+a − 2b ) + ( a+b − 2c ) ⇔ ( b+c + bc−ab + ca−bc ⇔ ab−ac b+c c+a a+b 1 1 − a+b ) ⇔ (ab − ac)( b+c − c+a ) + (bc − ca)( c+a a(a−b)(b−c) c(a−b)(b−c) ⇔ (b+c)(c+a) − (c+a)(a+b) Do a b c nên ta cần chứng minh c a c a − (c+a)(a+b) ⇔ b+c (b+c)(c+a) a+b Nhưng bất đẳng thức giả thiết √ 11(a+b+c) 11 a+b+c a+b+c + + = + ⇒P 2(a+b+c) 18 2(a+b+c) √ Đẳng thức xảy a = b = c = 1111 Trước hết ta tìm √ B(−5, 10)Gọi E giao BM với DC => Tam giác BDE cân B =>⇒ BD = BE = 128 Gọi E(a, − a) ⇒ 2(a + 5)2 = 128 → a = a= -13 Với a=3 => E(3, 2) => C(7,4) => A(1,-2) ( thỏa mãn ) Với a=-13 loại A có hoành độ dương PT (1) ⇒ y(x + y) = x2 + = ⇒ y = 0(3) Thay vào PT(2) ta có : y(x + y)(x + y − 2) + y = ⇔ y [(x + y)2 − 2(x + y) + 1] = ⇔ (x + y − 1)2 = (vì y = ) ⇔ x + y = (4) Thay vào (3), ta có : y = x2 + (5) Từ (4) (5), ta tính x, y Vậy PT có nghiệm (x, y) (0; 1), (−1; 2) Cho a, b số thực dương a2 + b2 = a + b 16 16 + √3a+1 Tìm GTNN P = 3a + 2b + √a+3b Trong MPTĐ Oxy,cho tam giác ABC vuông cân A Điểm K thuộc đoạn BC cho CK= ThuVienDeThi.com −→ −−→ 3KB Điểm G thuộc AK cho AG = 2GK Điểm D thuộc BC cho GB=GD Biết D(7;-2) , phương trình AK 3x-y-13=0 điểm A có tung độ âm Viết phương trình AB 2y(4y √ + 3x2 ) = x4 (x2 + 3) Giải hệ phương trình: x 2012 ( 2y − 2x + − x + 1) = 4024 Hướng dẫn Dự đoán đẳng thức xảy a = b = nên viết lại biểu thức cho thành: 16 16 + 3a + + √3a+1 − (a + b) − P = a + 3b + √a+3b Từ giả thiết cho suy ra: a + b = a2 + b2 ≥ (a+b)2 ⇔a+b≤2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 16 8 a + 3b + √a+3b = a + 3b + √a+3b + √a+3b ≥ 12 16 8 3a + + √3a+1 = 3a + + √3a+1 + √3a+1 ≥ 12 Do đó: P ≥ 24 − − = 21, dấu xảy a = b = Gọi M trung điểm BC Từ giả thiết toán => G trọng tâm tam giác AMB.=> GA=GB=GD => DG vng góc AK phương trình √ DG:x + 3y − = 0⇒ G(4, −1) GA = GD = 10(a − 4)2 + (3a − 12)2 = 10 ⇔ (a − 4)2 = =>a=5 a=3 Do A có tung độ âm nên A(3,-4) => AB Từ PT (1) suy y > Biến đổi PT (1) tương đương với 8y + 6x2 y = x6 + 3x4 ⇔ x6 − 8y + 3x4 − 6x2 y = ⇔ (x2 − 2y) (x4 + 2x2 y + 4y + 3x2 ) = ⇒ 2y = x2 Thay vào PT(2), thu√được x2 − 2x + − x + = 4024 2012x Nhận xét x > x < không thỏa mãn x = nghiệm PT Do đó, nghiệm hệ x = 1; y = 21 Cho a, b > a + b + = 3ab 3a 3b Tìm GTLN P = b(a+1) + a(b+1) + a+b − a2 − b2 y = x3 (9 − x ) Giải hệ phương trình sau R : x2 y + y = 6x Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có A (-1;2) Gọi M, N trung điểm cạnh AD DC; K giao điểm BN với CM Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác BMK, biết BN có phương trình 2x + y – = điểm B có hồnh độ lớn Hướng dẫn √ √ Đặt t = ab, a + b = 3t − ≥ ab = t ⇒ t ≥ 2 1 − 9t −8t+1 = f (t) + 3t−1 = 5t−1 + 3t−1 P = 3(12t 4t−9t+1) t2 4t2 f (t) ≤ ⇔ (t − 1)(18t − 7t + 1) ≥ P (1, 1) = 23 max P = 23 Nhận xét x = ⇒ y = nghiệm hệ Xét x = ⇒ y = Chia hai vế PT(1) cho x3 PT(2) cho xy ta thu x3 + xy = x + xy = y6 ⇔ x+ y x − 3y x + x + xy = y6 y x =9 ThuVienDeThi.com a3 − 3ay = a = y6 a3 − 18 = a=3 x + xy = ⇔ ⇔ y=2 ay = y=2 x=1 x=2 Từ thu thêm hai nghiệm hệ y=2 y=2 Gọi I trung điểm MB ta có Tam giác BMK vng K nên I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK √ √ −→ Tính cosABK = 55 => Gọi AB = (a, b), a2 + b2 > √ |2a+b| √ = 55 ⇔ 3a2 + 4ab = Đặt a = x + xy Ta ⇔ (a2 +b2 ) ) => a=0 3a= -4b => pt ABy − = 4x − 3y + 10 = 0B(3, 2) (t/m) B( 75 , 26 (Loại) )=> kết pt AI: x − 2y + = 0.=>IA = IB => I(1, 3) I( 51 , 13 5 (x2 + 1)y + = 2xy (y − 1)(1) (với x, y ∈ R) xy (3xy − 2) = xy (x + 2y) + 1(2) −−→ −−→ Cho hình chữ nhật ABCD có ACD = α cos α = √15 Điểm H thỏa mãn HB + 2HC = AH cắt BD K Biết H 31 , −4 K(1, 0) (yB > 0) Tìm tọa độ đỉnh hình chữ nhật 3 = Tìm GTNN P = 1+x Cho a, b > 2(a2 + b2 ) + ab + 1+y − 1+2xy Hướng dẫn Lấy (1)-(2) ta y (1 − 2xy) = xy (2 − 3xy) y=0 không nghiệm hệ, ta 3(xy)2 − 4xy + = ⇔ xy = ∨ xy = 13 Th1: xy = ⇔ x = y1 (y = 0) Thay vào (1) ta Giải hệ phương trình: √ √ Thay vào (1) ta được y = (y + 1)2 ⇔ y = 1±2 → x = −1±2 Th2:xy = 31 ⇔ x = 3y 3y = −(y + 3) (loại) Bài dài Cho phép tớ nêu hướng : -Ta tính tan α= 2=> AD =2DC =>tanBAH = 34 => cosBAH = 53 -Viết pt AK => toạ độ A chứa tham số −−→ −−→ Mặt khác AD = 23 BH => AK = 32 KH => toạ độ A => PT AB (gồm pt) + toạ độ B chứa tham số Ta có độ dài KH => độ dài AH => AB => B Tính độ dài cạnh => D,C ≥ 2t ⇒ 41 ≤ t ≤ Đặt t = ab, x2 + y = 5t−1 2t 3(2+x2 +y ) 9t−1 P = 1+x y +x2 +y − 1+2xy = 2t3 +7t−1 − 1+2t ≥ ⇔ (t − 1)(10t + 27t − 19t + 4) ≤ ⇔ 10t3 + 27t2 − 19t + ≥ 93 ) (10t + 33) + 10 (1 − t) + 100 >0 10t3 + 27t2 − 19t + = (t − 10 5 P (1, 1) = P = Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD Qua B kẻ đường thằng vng góc với AC H GỌi E,F,G trung điểm đoạn thẳng CH,BH AD.Cho E( 17 ; 29 ), F ( 17 ; )vG(1; 5) Tìm tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABE 5 5 Giải phương trình √ √ x + + x2 + 4x + = (x + 2)3 ThuVienDeThi.com Cho x,y,z ∈ [0; 4] thoả xyz=1 Tìm GTLN biểu thức : √ 1+x2 + √1 1+y + √1 1+z Hướng dẫn −→ −→ +) EF đường trung bình tam giác ABC nên EF = 21 BC = 12 AD = AG ⇒ AG = F E ⇔ −→ − xA = 17 − 17 5 ⇔ A(1, 1) +) EF (0, −4) vecto pháp tuyến AB mà AB qua 29 − yA = − −→ A(1, 1) nên (AB) : y − = +) AE( 12 , 24 ) vecto pháp tuyến BH mà BH qua 5 F 17 , nên (BH) : 3x + 6y − 21 = +) Do AB cắt BH B nên tọa độ B nghiệm hệ 5 (AB) : y = pt: ⇔ B(5, 1) +) Gọi I(a, b) tâm đường tròn ngoại tiếp tam (BH) : 3x + 6y − 21 = (1 − a)2 + (1 − b)2 = (5 − a)2 + (5 − b)2 Trừ theo giác ABE ⇒ IA2 = IB = IE ⇔ 2 − a + 29 −b (5 − a)2 + (5 − b)2 = 17 5 Khi thay lại vào hệ pt ta a = b = Vậy I(3, 3) vế pt ta được: a = 33−4b √ √ 2 Đặt x + = a, x + 4x + = b Ta có (b2 − a2 )3 = (x + 1)3 (x + 2)3 với (x + 2)3 = (a + b)2 , (x + 1)3 = a6 Thay vào ta (b − a)3 (b + a)3 = a6 (a + b)2 a + b = không nghiệm Ta đc (b − a)2 (b2 − a2 ) = a6 ⇔ (b − a)2 = a4 ⇔ b − a = a2 (b> a) Từ √ √ (x=-1 ko nghiệm) (x + 1)(x + 3) − x + = x + ⇔ x = 5−3 √ z+1 1 1 √ √ √1 √ √ P = 1+x2 + √ + 1+z TH1:z ≥ 1, xy ≤ √1+x + ≤ = f (z) + 1+z z+1 1+y 1+y √ √ f (z) ≤ ⇔ ( z − 2)2 ≥ TH2: z ≤ 1, xy√ ≥ 1.Giả √ sử x ≥ y,ta1 có yz ≤ 1, x ≥√1 1 1 1 √ + √ + √1+z ≤ √1+x + √ + √1+z2 ≤ P = ⇔ x = y = , z = max P = 1+x2 1+y 1+y Giải hệ phương trình : √ √ (23 − 3x) − x + (3y − 20) − y = 0(1) √ √ 2x + y + − −3x + 2y + + 3x − 14x − = 0(2) Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM đường cao AH có phương trình 13x-6y-2=0,x-2y-14=0 Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC biết tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC I(-6;0) 2 Cho a b c > tìm GTNN của: P= (3ab+bc) + a2 +b121b +c2 +8ac b4 Hướng dẫn √ √ f ′ (t) > nên (1) → [2 + 3(7 − x)] − x = [2 +√3(6 − y)] √6 − y Xét f (t) = (2 + 3t2 )t, √ − x = − y ⇔ y = x − thay vào (2) 3x + − − x + 3x2 − 14x − = ⇔ 3x + − + √ √ + 1+x−5 + (x − 5)(3x + 1) = ⇔ x = 5(− 31 ≤ x ≤ 4) − − x + 3x2 − 14x − = ⇔ √3(x−5) 3x+1+4 6−x Ta tìm đc A(-4;-9) Gội G trọng tâm,K trực tâm tam giác ABC −→ −→ Dễ dàng cm đc K,G,I thẳng hàng IG = 13 IK (theo đường thẳng ơle) −−→ −−→ tìm đc điểm K,lại có AK = 2IM ,tìm đc M ta viếtđc pt BC Tọa độ B,C ngiệm hệ gồm pt BC pt đường tròn Đặt x = ab , y = cb , x ≥ ≥ y P = (3x + y)2 + x2 +y2121 +8xy+1 x2 + y + 8xy + = t; (3x + y)2 = 6x2 + x2 + 2x2 + 6xy + y ≥ + x2 + 8xy + y = t + = f (t) P ≥ t + + 121 t f (t) ≥ 27 ⇔ (t − 11)2 = ThuVienDeThi.com P = 27 ⇔ a = b = c Vậy P = 27 (x4 + y) 3y−x = 1(1) (x4 + y) − 6x −y = 0(2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có đỉnh A(- 3; 5) có diện tích 25 Tìm tọa độ đỉnh B, C, D hình vng biết tâm I hình vng nằm đường thẳng d: x + y – = có hồnh độ dương Cho số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức y2 z2 x2 P = x+y + y+z + z+x2 Hướng dẫn Đặt x4 + y = a, x4 − y = b (1) → a = 3b (2) → 8a − 6b = ⇔ 8a − a.2b = ⇔ a = ∨ b = x4 + y = 27 Th1: a=0 (loại) Th2: b=3, thay vào (1) Ta đc hệ x4 − y = √ Điểm I giao điểm đường trịn tâm A, bán kính r = 2 với đường thẳng d (Lấy điểm có hồnh độ dương) Điểm C đối xứng A qua I √ B, D giao điểm đường trịn tâm I bán kính r = 2 với đường thẳng qua I vuông với AC √ √ √ y x √ xy xy x2 √ Ta có: x+y x+z y+x z ≤ (x + y + z)(xy + yz + zx) ≤ = x− x+y ≥ x− xy = x− y Giải hệ phương trình sau: (x + y + z)2 = Tương tự ta có: √ √ √ y x+z y+x z − √ √ z y y2 z2 ≥ y − y+z z+x2 √ √ √ y x+z y+x z Áp dụng = 3− P ≥ x+y+z √ √ y x + z y + x z ≤ (x + y + z)(xy + yz + zx) ≤ Vậy minP = 23 x = y = z = ≥ z− √ x z Cộng vế với vế ta có: bất đẳng thức Buniakovsky ta có: (x + y + z)2 = Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vng C, D có BC = AD = 2DC ,đỉnh C(3;-3) , đỉnh A nằm đường thẳng d : 3x + y - = , phương trình đường thẳngDM : x - y - = với M điểm thỏa mãn de-thi-thu-thpt-quoc-gia-mon-toan-nam-20 Xác định tọa độ điểm A, D, B Giải bất phương trình: √ x2 + < 2x + x3 + Cho số thực dương a, b thỏa mãn ab + a + b = 3a 3b ab Chứng minh rằng: b+1 + a+1 + a+b ≤ a2 + b2 + 32 Hướng dẫn Bài cần tìm đc M tìm đc tất điểm cần tìm Gọi N trung điểm BC ANCD hình vuông , M trung điểm CN Gọi E trung điểm AN ⇒ DM ⊥ CE → −−→ ⇒− n− CE = uDM = (1; 1) ⇒ CE : x + y = H = DM ∩ CE ⇒ H(1; −1) = CM = 12 ⇒ 2HM = CH Ta có: ∆CHM ∼ ∆DCM ⇒ HM CH DC ThuVienDeThi.com √ = 2 ⇔ |t − 1| = M ∈ M D ⇒ M (t; t − 2) ⇒ (t − 1)2 + (t − + 1) √ x3 + ⇔ (x2 − 3x + 2) < (x + 2) (x2 − 2x + Bất phương trình tương đương với (x − 3x + 2) < √ √ Đặt a = x + 2; b = x − 2x + Ta thu Bất PT (b2 − a2 ) < 3ab ⇔ (a + b) (b − 4a) < ⇔ b < 4a Đến có lẽ√ổn rồi???? √ Kết quả: − 109 < x < + 109 Từ giả thiết suy ra: (a + 1)(b + 1) = 2 ab Khi đó: V T = 3a(a+1)+3b(b+1) + a+b ≤ 3a +3b +a+b 4 Viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành: 3a2 + 3b2 + 4(a + b) ≤ 4(a2 + b2 ) + ⇔ 4(a + b) ≤ a2 + b2 + 2(ab + a + b) hay 2(a + b) ≤ (a + b)2 ⇔ (a + b)(a + b − 2) ≥ (1) Mặt khác, từ giả thiết có: = 2ab + 2a + 2b ≤ 2ab + a2 + + b2 + ⇔ ≤ a + b Do (1) đúng, bất đẳng thức chứng minh 10 Giải phương trình 2x3 + x2 y + xy + x + y2 √ √ + x + 2y − = 5(2) = y3 − 3y (1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vng A D; diện tích hình thang 6; CD =2AB, B(0;4) Biết điểm I(3;-1), K(2;2) nằm đường thẳng AD DC Viết phương trình đường thẳng AD biết AD không song song với trục tọa độ Cho số thực x, y, z thuộc đoạn [0; 2] thỏa mãn x + y + z = 3.Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = x2 + y + z − xy − yz − zx Hướng dẫn Điều kiện : x ≥ −2 ∧ y ≥ 21 2 (1) ⇔ 2x3 + x2 y + xy + x2 + xy + y4 = y − 3y4 ⇔ x3 − y + x3 + x2 y + xy + x2 + xy + y = ⇔ (x3 − y ) + x(x2 + xy + y ) + (x2 + xy + y ) = ⇔ (2x − y + 1)(x2 + xy + y ) = Do x2 + xy + y = x2 + xy + 14 y + 34 y = (x + 21 y)2 + 34 y > nên (2x − y + 1)(x2 + xy + y ) = ⇔ 2x − y + = ⇔ y = 2x + 1, vào (2) Hướng giải: Gọi vec tơ pháp tuyến AD (A;B)=> DC (-B;A) (tất nhiên A2+B2 khác 0) => PT AD DC (có chứa A,B) K/c từ B đến AD = BA ,K/c từ B đến DC = đường cao hình thang có S= => pt A,B Cho A giá trị => B Giả sử: y = {x, y, z} , y ≤ 0≤z =3−x−y ≤2⇒1≤x+y ≤3⇒1−y ≤x≤3−y P = (x + y + z)2 − 3(xy + yz + zx) = − 3(xy + yz + zx) −(xy+yz+zx) = −x(y+z)−y(3−x−y) = (x2 +y )−3(x+y)+xy = x2 +(y−3)x+y −3y = f (x) − y ≤ x ≤ ⇒ f (x) ≤ max {f (1 − y), f (2)} = −y + y + = y(1 − y) + ≥ 3(y−1)2 ) − +3≤3 f (x) = −(x + y−3 ≤ P ≤ 3;P (1, 1, 1) = 0, P (2, 1, 0) = ThuVienDeThi.com P = 0; max P = 11 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có đỉnh A(- 3; 5) có diện tích 25 Tìm tọa độ đỉnh B, C, D hình vng biết tâm I hình vng nằm đường thẳng d: x + y – = có hồnh độ dương Giải phương trình √ −2x3 + 10x2 − 17x + = 2x2 5x − x3 Cho số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = y2 x2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x+y + y+z + z2 z+x2 Hướng dẫn √ Điểm I giao điểm đường trịn tâm A, bán kính r = 2 với đường thẳng d (Lấy điểm có hồnh độ dương) Điểm C đối xứng A qua I B, D giao điểm đường tròn tâm √ I bán kính r = với đường thẳng qua I vuông với AC √ = 5t2 − Nhận xét x=0 không nghiệm, chia cho x3 , đặt x1 = t Ta đc pt 8t3 −17t2 +10t−2 √ √ √ ⇔ (2t − 1)3 + 2(2t − 1) = 5t2 − + 5t2 − ⇔ 2t − = 5t2 − ⇔ t = 17+16 97 Ta có: √ √ √ y x √ xy xy x2 √ = x − y x + z y + x z ≤ (x + y + z)(xy + yz + zx) ≤ = x − ≥ x − 2 x+y x+y 2 xy (x + y + z)2 = Tương tự ta có: z2 z+x2 ≥z− √ x z y2 y+z ≥y− √ z y Cộng vế với vế ta có: P ≥ x + y + z − √ √ √ y x+z y+x z =3− Áp √ dụng√bất đẳng √ thức Buniakovsky ta có: y x + z y + x z ≤ (x + y + z)(xy + yz + zx) ≤ Vậy P = 32 x = y = z = √ √ √ y x+z y+x z (x + y + z)2 = 12 Tìm nghiệm dương phương trình 2x + x−1 x = 1− x +3 x− x Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vng C, D có BC = AD = 2DC ,đỉnh C(3;-3) , đỉnh A nằm đường thẳng d : 3x + y - = , phương trình đường thẳngDM −−→ −−→ : x - y - = với M điểm thỏa mãn BC = −4CM Xác định tọa độ điểm A, D, B Cho số thực dương a, b thỏa mãn ab + a + b = 3b ab 3a + a+1 + a+b ≤ a2 + b2 + 32 Chứng minh rằng: b+1 Hướng dẫn = Điều kiện xác định x ≥ x ≤ 0; x ≥ −1 Phương trình tương đương 2x + x−1 x √ x−1 + (x−1)(x+1) Đặt x−1 = t.Phương trình viết lại 2x + t2 = t + 3t x + 1.Coi x x x √ √ phương √ trình bậc ẩn t, tham số x Có ∆ = ( x + + 3) ⇒ t = 2(1 + x + 1) t = x + 1√− TH1 Dễ thấy với√điều kiện xác định phương trình vơ nghiệm TH2 ⇒ x−1 = x+2−2 +1) = x + ⇔ (x− x1 )2 −2(x− x1 )+1 = ⇔ (x− x1 −1)2 = x + ⇔ (x+ x x √ √ ⇒ x = 1+2 (n) x = 1−2 (l) Gọi N trung điểm BC ANCD hình vng , M trung điểm CN ThuVienDeThi.com Gọi E trung điểm AN ⇒ DM ⊥ CE → −−→ ⇒− n− CE = uDM = (1; 1) ⇒ CE : x + y = H = DM ∩ CE ⇒ H(1; −1) = CM = 12 ⇒ 2HM = CH Ta có: ∆CHM ∼ ∆DCM ⇒ HM CH DC √ M ∈ M D ⇒ M (t; t − 2) ⇒ (t − 1)2 + (t − + 1)2 = 2 ⇔ |t − 1| = Từ giả thiết suy ra: (a + 1)(b + 1) = 2 ab + a+b ≤ 3a +3b +a+b Khi đó: V T = 3a(a+1)+3b(b+1) 4 Viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành: 3a2 + 3b2 + 4(a + b) ≤ 4(a2 + b2 ) + ⇔ 4(a + b) ≤ a2 + b2 + 2(ab + a + b) hay 2(a + b) ≤ (a + b)2 ⇔ (a + b)(a + b − 2) ≥ (1) Mặt khác, từ giả thiết có: = 2ab + 2a + 2b ≤ 2ab + a2 + + b2 + ⇔ ≤ a + b Do (1) đúng, bất đẳng thức chứng minh 13 Cho hình thang vng ABCD vng A,D, có phương trình AB x-y+2=0, điểm D (1;2), M ǫ AD Tìm B,C cho SBMC ( BMC vng M) Giải hệ phương trình: √ √ 2x − 3y + − x + y = √ √ − x + y − 2x − y − = Cho số thực x, y, z thuộc đoạn [0; 2] thỏa mãn x + y + z = 3.Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = x2 + y + z − xy − yz − zx Hướng dẫn Ta xét tốn Cho hình thang vng ABCD A ,D ,AB//DC Điểm M nằm AD cho BM C = 900 Bài có cách giải Cách 1: Gọi AB=x,DC=y,AM=a,DM=b Cần tìm x,y để SBMCmin Ta có SBMC=MB.MC= (a2 + x2 )(b2 + y ) ≥ (ab + xy) dấu = xảy ab=xy (Lưu ý ABM DMC đồng dạng nên ab=xy) =>SBMC≥2ab Dấu = xảy x=a, y=b Cách Đặt M CD = BM A=α Ta có a b sinα ≥ 2ab SABC= 12 cosα Dấu = xảy M CD = BM A=450 Chắc hẳn đến người tìm điểm M [:icon6:] Từ áp dụng giải tốn tọa độ ĐK: : 2x ≥ 3y, − x − y ≥ 0, 2x − y − ≥ Với điều kiện trên, ta có: √ √ 2x − 3y + − x + y = √ √ − x + y − 2x − y − = ⇔ √ 4(2x − 3y) = (7 − − x + y)2 √ x − y − = (3 − x + y − 1)2 ThuVienDeThi.com √ 14 − x + y = −9x + 13y + 54(∗) ⇔ √ − x + y = −11x + 10y + 49 = −11x+10y+49 ⇔ −9x+13y+54 ⇔ y = 50x−181 31 Thay vào (∗): 5−x+ 14 50x−181 31 = 54 − 9x + 13( 50x−181 ) 31 ⇔ 53x − 97 = 31(19x − 26) ⇔ x = 3, y = −1 Thế x = 3, y = −1 vào hệ thấy thỏa mãn Vậy, (x, y) = (3, −1) Giả sử y = {x, y, z} , y ≤ 0≤z =3−x−y ≤2⇒1≤x+y ≤3⇒1−y ≤x≤3−y P = (x + y + z)2 − 3(xy + yz + zx) = − 3(xy + yz + zx) −(xy+yz+zx) = −x(y+z)−y(3−x−y) = (x2 +y )−3(x+y)+xy = x2 +(y−3)x+y −3y = f (x) − y ≤ x ≤ ⇒ f (x) ≤ max {f (1 − y), f (2)} = −y + y + = y(1 − y) + ≥ 2 )2 − 3(y−1) +3≤3 f (x) = −(x + y−3 ≤ P ≤ 3;P (1, 1, 1) = 0, P (2, 1, 0) = P = 0; max P = 14 √ 2y − 7y + 10 − x(y + 3) + y + = x + 1 Giải hệ phương trình sau tập số thực: √ y + + x+1 = x + 2y Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD H(1, 2) hình chiếu vng góc A xuống BD M 92 , trung điểm BC Trung tuyến kẻ từ A tam giác ADH (d) : 4x + y − = Viết phương trình BC Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Tìm GTNN biểu thức P = 4y 4z √ √ 4x + z(2√1+8z +4y−2) + x(2 1+8x3 +4z−2) y(2 1+8y +4x−2) Hướng dẫn ĐKXĐ : x = −1, y ≥ −1, 2y − 7y + 10 − x(y √ + 3) ≥ (1) ⇔ 2y − 7y + 10 − x(y + 3) = x +√1 − y + ⇒ 2y − 7y + 10 − x(y + 3) = (x + − y + 1)2√ ⇔ 2y − 8y +√ − x(y + 3) = x2 + 2x − 2(x + 1) y + 1(∗) (2) ⇔ (x +√1) y + + = (x + 1)(x + 2y) ⇔ (x + 1) y + = x2 + 2xy + x + 2y − 3(∗∗) Thế (∗∗) vào (∗): 2y − 8y + − x(y + 3) = x2 + 2x − 2(x2 + 2xy + x + 2y − 3) ⇔ 2y − 4y + 3xy + x2 − 3x + = ⇔ (x + 2y − 2)(x + y − 1) = ⇔ x + 2y − = ∨ x + y − = Với x + 2y − = ⇔ y = 2−x , vào (2) : 4−x + x+2 =2 Đặt a = x + 4−x + x+2 =2 10 ThuVienDeThi.com = − a3 (a ≥ 23 ) ⇔ 5−a ⇔ a3 + 3a2 − 24a + 18 = ⇔ (a − 3)(a2 + 6a − 6) = ·a = ⇔ x = 2, y = √ √ ·a2 + 6a −√ = ⇔ a = −3 + 15 ∨ a = −3 15 √ √ a = −3 + 15 ⇒ x = −4 + 15, y = 6−2√15 √ √ a = −3 − 15 ⇒ x = −4 − 15, y = 6+2 15 √ √ Do 2y − 7y + 10 − x(y + 3)+ y + = x+1 mà 2y − 7y + 10 − x(y + 3) ≥ 0, y + ≥ nên x ≥ −1 Với x + y − =√0 ⇔ y = − x, −x2 + x − (∗∗) ⇔ (x + 1) − x = √ ⇔ x2 − x + + (x + 1) −√x = √ Mà: x2 − x + > 0, (x + 1) − x ≥ 0(Do x ≥ −1) nên x2 − x + + (x + 1) − x > 0, trường hợp vô nghiệm Thử lại nghiệm trên, ta có nghiệm hệ phương trình là: (x, y) = (2, 0) Ta có −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ AK = (AD + AH) = 12 (BC + AH) (K trung điểm DH) −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −→ KM = KD + DM = HD + (DB + DC) = 21 (HB + AB) (M trung điểm BC) −−→ −−→ −−→ −→ AH.AB = BH.BC (∆ABC ∼ ∆BHA); cos(BC; BH) = cos(AH; AB) −−→ −→ −−→ −−→ −−→ −−→ ⇒ AK.KM = 14 (A.AB cos(AH; AB) − BC.BH cos(BC; BH)) = ⇒ AK ⊥ KM − M K qua M 29 ; nhận → u AK (1; −4) làm VTPT 15 ⇒ M K : x − 4y + = K = M K ∩ AK⇒ K 21 ; K trung điểm DH ⇒ D(0; 2) Biết B, D ⇒ BD : y − = Gọi B(b; 2) ⇒ C(9 − b; 4) −−→ −−→ b=5 DC ⊥ BC ⇒ BC.DC = ⇔ b = 17 Từ tìm B Biết B, M lập phương trình BC 3.Ta có + 8y = (1 + 2y)(4y − 2y + 1) ≤ 2y + ⇒ √ 4x2 ≥ y(y2x+x) = y1 − y(2 y y +x y 1+8y +4x−2) √ ≥ −2 x P ≥ ( x1 − 2√1 x ) = ( √1x − 1)2 + 9√ √1 ≥ ≥ √ x+y+z =3 x x P ≥ 32 ; P = P = 23 3 √1 x −3 ⇔x=y=z=1 15 Cho hình bình hành ABCD có AC: x-y+1=0, G(1;4) trọng tâm tam giác ABC, E(0;-3) thuộc đường cao kẻ từ D tam giác ACD.Tìm tọa độ đỉnh hình bình hành biết diện tích AGCD 32 A có tung độ dương Giải hệ phương trình √ + xy + xy = x √ √ √ + y y = √1x + y x x Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x(x − 1) + y(y − 1) + z(z − 1) ≤ 11 ThuVienDeThi.com 1 + y+z+1 + z+x+1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x+y+1 Hướng dẫn * Tìm D: - Viết phương trình đường thẳng d qua E vng góc với AC - Viết phương trình đường thẳng d’ ảnh AC phép vị tự tâm G tỉ số - D giao điểm d d’ * Tìm B: B ảnh D qua phép vị tự tâm G, tỉ số -1/2 * Tìm I tham số hóa tọa độ A, C Diện tích AGCD 2/3 diện tích hình bình hành Từ tính AC Giải pt thức với ẩn (tham số A) tìm A C √ √ + a2 b2 + ab = a2 ( a1 + b)3 − ab ( a1 + b) = a1 + 3b Đặt x = a, y = b(a > 0, b ≥ 0) Hệ thành ⇔ + b3 = a1 + 3b ( a1 + b)2 − ab = a3 u(u2 − v) − 2uv = u + 2b(1) Đặt a1 +b = u, ab = v Hệ thành Thay (2) vào (1) ⇔ uv+2b = u2 − v = 1(2) ⇔ ( a1 + b) ab + 2b = ⇔ b = 0(a > 0, b ≥ 0) ⇔ y = 0, x = Từ giả thiết ta có x2 + y + z + x + y + z 2 ⇒ + x + y + z (x+y+z) Áp dụng AM-GM ta có x2 + y + z (x+y+z) 3 ⇒x+y+z 1 + 1+y+z + 1+z+x 1+x+y 3+2(x+y+z) Đẳng thức xảy x = y = z = 16 Trong mặt phẳng Oxy có tam giác ABC với A(2,-1) , B(1,-2), trọng tâm G tám giác ABC thuộc đường thẳng x+y-2=0 TÌM tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC= 13,5 Giải phương trình 5 √ √ x2 + − x + x2 + + x = 123 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc = 1.Tìm biểu thức: 1 √ P = + + 2a + 2b + (2c + 1) 6c + Hướng dẫn - Tham số hóa tọa độ G - Áp dụng công thức tọa độ trọng tâm -> Tìm tọa độ C theo tham số - Tính diện tích tam giác ABC + Đoạn AB tính + Đường cao CH tính (cịn tham số) - Giải phương √ trình S = 13,5 tìm √ tham số 2 Giải: Đặt x + − x = a x2 + + x = b ta có: a5 + b5 = 123 (1) a2 b2 = (2) Từ (2), để ý a, b > ta được: a = 1b , vào (1) ta có: b15 + b5 = 123 tương đương với: √ √ b = 12 (3 − 5) b = 12 (3 + 5) Từ dễ dàng tìm x TH1:c ≤ ⇒ 4ab ≥ √ 2(c 6c+3+1) 2√ 2√ √ P ≥ 2+a + 2+b2 + (2c+1) 6c+3 ≥ 2+ab + (2c+1) 6c+3 = (2c+1) 6c+3 = f (c) √ f (c) ≥ ⇔ (4 − c) 6c + ≤ ⇔ (c − 1) (6c − 33) ≤ 1 TH2: c ≥ ⇒ 4ab ≤ ⇒ 2a+1 + 2b+1 ≥ > 98 P = 89 ⇔ a = b = c = 12 ThuVienDeThi.com P = 17 Giải hệ phương trình √ √ √ x +√y + √x − y = y x + 5y = Cho tam giác ABC có đỉnh A(2;-2), trọng tâm G(0;1) trực tâm H( 12 ;1) Tìm tọa độ đỉnh B,C tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Cho a, b, c > a + b + c = Tìm giá trị lớn của: √ abc √ P = + + ab + bc + ca + abc Hướngdẫn x > √ √ √ Đk: y > Thấy y=0 không nghiệm hệ ⇒ pt1⇔ √x+y−(x−y) = y ⇔ y = x+y− x−y  x=y √ √ √ √ √ x + y− x − y ⇔ y+ x − y = x + y ⇒ y+x−y+2 y(x − y) = x+y ⇔ y(x − y) = y √ √ √ √ ⇔ x − y = y ⇒ 4(x − y) = y ⇔ 5y = 4x Thay vào pt2 x + x = ⇔ x = ⇒ y = 54 −→ −−→ + Gọi M trung điểm BC Do G trọng tâm nên AM = 23 AG nên suy M (−1; 52 ) + BC vuông với đường cao AH nên có phương trình BC : x − 2y + = + Gọi B(2b − 6; b) M trung điểm BC nên C(−2b + 6; − b) −−→ −→ + Áp dụng BH.AC = cho ta phương trình 5b2 − 25b + 30 = → b = b = + Tìm B, C tâm đường tròn ngoại tiếp giao điểm hai đường trung trực AB, BC mà thơi Ta có √ abc √ √ P ≤ + 2 a b c + + abc √ Đặt t = abc, suy < t ≤ t Khi xét hàm số f (t) = + với < t ≤ + 3t t+1 √ √ 7+1− 7−1 f ′ (t) = t = √ √ 7+1− 7−1 Lập bảng biến thiên ta Pmax = √ +√ √ √ ( + − − 1)2 + 7+4− 7−1 18 Trong mp Oxy cho ∆ABC, AB, AC lấy E, D cho ABD = ACE Đường tròn ngoại tiếp ∆ADB cắt CE M(1;0) N(2;1) Đường tròn ngoại tiếp ∆ACE cắt BC I(1;2) K viết pt đường tròn ngoại tiếp ∆M N K Giải hệ phương trình √ + xy + xy = x √ √ √ + y y = √1x + y x x 13 ThuVienDeThi.com Cho a, b, c ≥ a + b + c = Tìm giá trị nhỏ của: √ P = a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 + (ab + bc + ca) + a2 + b2 + c2 Hướng dẫn Gọi J tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD AL đường kính đường trịn Khi đó: A3 + C4 = B2 + B1 = 90o Do AJ⊥M N Suy AM = AN Chứng minh tương tự ta có: AI = AK Vậy bốn điểm M, N, I, K thuộc đường tròn tâm A Bài toán trở nên dễ dàng, kể việc tìm tọa độ điểm A √ Đặt √1x = a > 0; y = b ≥ hệ trở thành: + ab + ab = a12 a3 + b3 = a + 3b từ PT(1) ta có: (1) ⇔ a2 + b2 + ab = ⇔ a2 + b2 = − ab vào PT(2) ta dc: (2) ⇔ (a + b)(a2 − ab + b2 ) = a + 3b ⇔ (a + b)(1 − 2ab) = a + 3b ⇔ −ab(a + b) = b b = 0(n) ⇔ a(a + b) = −1(l) với b = y = 0; x = hệ có nghiệm (1; 0) √ Ta cóP ≥ (ab+bc+ca)2 +3(ab+bc+ca)+ − 2(ab + bc + ca) = t2 +3t+2 − 2t = f (t) Với t = ab + bc + ca Từ điều kiện toán suy t thuộc đoạn [0; ] ′ = g(t) Ta có f (t) = 2t + − √ − 2t √ g ′ (t) = + > 0, suy hàm g(t) đồng biến nêng(t) ≥ g(0) = > (1 − 2t) − 2t Suy f (t).đồng biến fmin = t = Vậy Pmin = (a, b, c) = (0, 0, 1) hoán vị 19 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A(5;2), đường trung trực d đoạn BC có phương trình x + y – = đường trung tuyến kẻ từ C có phương trình 2x – y + = Tìm toạ độ điểm B và√C Giải phương trình (x2 + 1)2 = − x 2x2 + 4, (xǫR) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức 14 ThuVienDeThi.com 1 P = x23 + y23 + z23 + x2 −xy+y + y −yz+z + z2 −zx+x Hướng dẫn -Tham số hóa điểm M trung điểm AB => tọa độ B -Tham số hóa điểm N tđ BC => C mà C thuộc denta => pt -Kẻ AH vng góc vs D => pt AH.AH //BC => 1pt -Giải hệ => B,C √ Đặt x2 = t Th1: x ≥ pt ⇔ (t + 1)2 = − t(2t + 4) Bình phương vế t = −1 ± → √ x = ± −1 + √ Th2:x < pt ⇔ (t + 1)2 = + t(2t + 4) ⇔ t = −4 ∨ t = → x = ± √ √ Thử lại: nghiệm x = − 2, x = −1 + 3 Giả sử x + y + z = k3 (k ≥ 1) a = kx, b = ky, c = kz ⇒ a + b + c = 3; P (x, y, z) ≥ P (a, b, c) + ≥ a3 a3 1 P ≥ a6 + 6b + 6c + a2 −ab+b + b2 −bc+c2 + c2 −ca+a2 − 12 = A ab + bc + ca = q, abc = r; q ≤ 3; (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c) = 9abc ⇒ q ≥ 9r 1 + b2 −bc+c + c2 −ca+a2 ≥ 2(a2 +b2 +c2 )−(ab+bc+ca) = 18−5q a2 −ab+b2 + 1b + 1c = qr ≥ 9q a + 18−5q − 12 A ≥ 54 q A ≥ ⇔ (q − 3)(35q − 108) ≥ P =9⇔x=y=z=1 P = 20 Cho đường tròn (C) : (x − 4)2 + y = 25 M (1; −1) Viết pt đường thẳng qua M cắt (C) điểm phân biệt A; B cho M A = 3M B Giải hệ phương trình sau (x − 1)(y − 1)(x + y − 2) = x2 + y − 2x − 2y − = Cho số thực x, y thỏa (x − 4)2 + (y − 4)2 + 2xy ≤ 32 Tìm giá trị nhỏ của: P = x3 + y + (xy − 1) (x + y − 2) Hướng dẫn Goi A(a;b) ⇒ AM = (1 − a; −1 − b) mà M ∈ (C) nên AM = 3M B ⇒ B( − a −4 − b ; ) 3 Ta có : (a − 4)2 + b2 = 25 P T (2) − P T (1) ⇒ 3a + b = 17 ⇒ b = 17 − 3a Xong (a + 8)2 + (b + 4)2 = 225 Biến đổi hệ phương trình thành : (x − 1)(y − 1)(x + y − 2) = (x − 1)2 + (y − 1)2 = Đặt x − = a; y − = b , ta có : (a + b)2 − 2ab = ab(a + b) = 15 ThuVienDeThi.com Đặt tiếp , a + b = S; ab = P , ta có : S − 2P = , rút P pt (2) vào pt (1) , ta có : PS = S − 5S − 12 = ⇔ S = ⇒ P = Ta có (x − 4)2 + (y − 4)2 + 2xy ≤ 32 ⇔ (x + y − 4)2 ≤ 16 ⇔ ≤ x + y ≤ P = (x + y)3 − 3(x + y) − 6xy + x + y = t(0 ≤ t ≤ 8) P ≥ t3 − 23 t2 − 3t + = f (t) f ′ (t) = 3(t2 √ − t − 1) √ 1+ f (t) ≥ f (√ ) = 17−5 √ 1+ P = 17−5 ⇔ x = y = 4 √ P = 17−5 16 ThuVienDeThi.com ... √3a+1 = 3a + + √3a+1 + √3a+1 ≥ 12 Do đó: P ≥ 24 − − = 21, dấu xảy a = b = Gọi M trung điểm BC Từ giả thi? ??t toán => G trọng tâm tam giác AMB.=> GA=GB=GD => DG vng góc AK phương trình √ DG:x + 3y −... =>SBMC≥2ab Dấu = xảy x=a, y=b Cách Đặt M CD = BM A=α Ta có a b sinα ≥ 2ab SABC= 12 cosα Dấu = xảy M CD = BM A=450 Chắc hẳn đến người tìm điểm M [:icon6:] Từ áp dụng giải toán tọa độ ĐK: : 2x ≥ 3y,... x + xy = y6 ⇔ x+ y x − 3y x + x + xy = y6 y x =9 ThuVienDeThi.com a3 − 3ay = a = y6 a3 − 18 = a=3 x + xy = ⇔ ⇔ y=2 ay = y=2 x=1 x=2 Từ thu thêm hai nghiệm hệ y=2 y=2 Gọi I trung điểm MB ta có