PHÒNG GD&ĐT THANH OAI TRƯỜNGTHCSTÂN ƯỚC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2014 - 2015 Mơn thi: Tốn Thời gian làm :150 phút( Khơng kể thời gian giao đề) Câu ( điểm) Bài ( điểm) x2 Cho biểu thức P = x x 1 x 1 : x x 1 x x với x > 0, x a, Rút gọn P b, Tìm x để P = c, So sánh P2 với 2P Bài ( điểm) Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn : ( x2 - 3) ( xy + 3) Câu ( điểm) Bài ( điểm) Giải phương trình (x + y + z) x - 2008 + y - 2009 + z - 2010 + 3012 = Bài ( điểm) Cho a + b + c = a2 + b2 + c2 = 14 Tính giá trị biểu thức: B = a + b4 + c4 Câu 3:( điểm) Bài (1,5 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình x2+ 2y2 + 2xy + 3y- = Bài 2.(1,5 điểm) Cho a, b c số thực không âm thỏa mãn a b c Chứng minh ab bc ca c 1 a 1 b 1 Câu 4: (6 điểm) Cho đường trịn (O,R) điểm A ngồi đường trịn, từ điểm M di động đường thẳng d OA A, vẽ tiếp tuyến MB,MC với đường tròn (B,C tiếp điểm) Dây BC cắt OM OA H K a) Chứng minh OA.OK khơng đổi từ suy BC ln qua điểm cố định b) Chứng minh H di động đường tròn cố định c) Cho biết OA= 2R Hãy xác định vị trí M để diện tích tứ giác MBOC nhỏ Tính giá trị nhỏ Câu :( 1điểm) Tìm ba số nguyên dương cho tổng chúng tích chúng ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN Câu ( điểm) Bài 1.(4đ) x2 a, P = ( x 1)( x x 1) x x x 1 x 1 : x (0.5đ) (1.5 đ) = = x x 1 2 b, P = x x 6 x x 1 (1đ) ( x 2)( x 3) x ( x4 c, P = P= x x 1 x x 1 x với x > 0) > x > < x x Ta có P > P < nên P ( P - ) < P2 - 2P < P2 < 2P (0.5 đ) ( 0.5 đ) Bài 2.(2đ) ( x2 - 3) ( xy + 3) (1) x2y - 3y xy + x(xy + ) - 3( x+ y) ( xy + ) 3( x+ y) ( xy + ) 3( x+ y) = k ( xy + ) ( k N * ) (0,5đ) (2) - Nếu k 3( x+ y) = k ( xy + 3) 3( xy + 3) x + y xy + ( x - 1)( y - 1) + 2 ( vơ lí x, y nguyên dương ) -Nếu k = từ ( 2) (x - )(y -3 ) = x = y = x = y = (0,5đ) - k = từ (2) ta có: 3(x + y) = 2( xy + 3) xy (*) Mà 3(x + y ) = 2(xy +3) y( x -3) + x( y- 3) +6 = x > y > ( vơ lí) ( **) (0,5đ) Từ (*) (**) suy (x; y) = ( 1; 3) , (3; 1) ThuVienDeThi.com Thử lại vào (1) ta : ( x; y) = (3; 1) (0,25đ) Vậy ( x; y) = (6; 5) , (9; 4) , (3; 1) ( 0,25đ) Câu 2: (4đ) Bài 1(2đ).ĐKXĐ: x 2008 ; y 2009 ; z 2010 (0,25đ) ( x - 2008 - 1)2 + ( y - 2009 - 1)2 + ( z - 2010 - 1)2 = (1đ) Tìm : x = 2009 ; y = 2010 ; z = 2011 (0,5đ) Vậy nghiệm phương trình là: ( x , y , z) = (2009; 2010; 2011) (0,25đ) Bài 2: (2đ) Ta có : a2 + b2 + c2 = 14 (a2 + b2 + c2)2 = 142 a4 + b4 c4 = 196 - (a2b2 + b2c2 + a2c2) (1) (0,75đ) Vì : a + b + c = ( a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ac) = ab + bc + ac = - a2b2 + b2c2 + a2c2 = 49 (2) (0,75đ) Từ (1) (2) B = a4 + b4 c4 = 196 - 49 = 98 (0,5đ) Câu 3: Bài 1:(1,5 đ) Biến đổi phương trình x2+ 2y2 +2xy + 3y- = (x2+ 2xy + y2) + y2 +3y - 4= (y+4)(y-1) = - (x+y)2 (0,5đ) - y y thuộc Z nên y 4;3;2;1;0;1 (0,5) Vy cỏc cặp (x;y) thỏa mÃn phương trình : (x ; y) = (4;- 4), (1;- 1),(5;-3), (1;3),(2;0), (-2;0) (0,5đ) Bài Học sinh phát biểu CM bất đẳng thức phụ sau: - Với x; y số thực dương ta có: 11 1 (1) x y 4 x y Đẳng thức xảy x = y (0,5đ) Thật vậy: Vì x; y số thực dương theo BĐT Cơsi ta có 1 1 11 1 xy 4 x y 4 x y xy x y x y - Áp dụng BĐT (1) ta có: ab ab ab 1 ’ (1 ) (0,5đ) c c a c b c a c b Tương tự bc bc 1 ’ ca ca 1 ’ (2 ) ; (3 ) a 1 a b a c b 1 b a b c ThuVienDeThi.com Cộng vế với vế ba đẳng thức ta được: ab bc ca ab ca ab cb cb ca a b c c 1 a 1 b 1 b c ca ab 4 Đẳng thức xẩy a b c (0,5đ) Câu 4: (6đ) - Vẽ hình : (0,5đ) d M a) HOK AOM OA.OK OH.OM B vBOM có OB2 = OH OM R2 OK (Không đổi) OA H (3đ) đường O K A K điểm cố định b H nằm đường tròn C kính (1đ) OK cố định c S OBMC 2S OBM OM BH OM BC Smin OM nhỏ nhất, BC nhỏ M A, BC OK H K M A S R (1,5đ) Câu : Gọi số nguyên dương phải tìm : x; y; z Theo đề ta có : x + y + z = xyz (1) Vì ẩn x , y , z có vai trị bình đẳng phương trình nên xếp thứ tự giá trị ẩn chẳng hạn : x y z xyz = x + y + z 3z Chia hai vế bất đẳng thức : xyz 3z cho z ta có : xy xy 1; 2; Với xy = x = ; y = Thay vào (1) + z = z (loại) ThuVienDeThi.com Với xy = x = ; y = Thay vào (1) z = (Thỏa mãn) Với xy = x = ; y = Thay vào (1) z = ( Loại y z) Vậy ba số phải tìm : 1; ; Người đề duyệt TRẦN THỊ HUYỀN Xác nhận tổ chuyên môn Ban giám hiệu ThuVienDeThi.com ... 3) , (3; 1) ThuVienDeThi.com Thử lại vào (1) ta : ( x; y) = (3; 1) (0,25đ) Vậy ( x; y) = (6; 5) , (9; 4) , (3; 1) ( 0,25đ) Câu 2: (4đ) Bài 1(2đ).ĐKXĐ: x 2008 ; y 20 09 ; z 2010 (0,25đ) (... (0,25đ) ( x - 2008 - 1)2 + ( y - 20 09 - 1)2 + ( z - 2010 - 1)2 = (1đ) Tìm : x = 20 09 ; y = 2010 ; z = 2011 (0,5đ) Vậy nghiệm phương trình là: ( x , y , z) = (20 09; 2010; 2011) (0,25đ) Bài 2: (2đ)... = ab + bc + ac = - a2b2 + b2c2 + a2c2 = 49 (2) (0,75đ) Từ (1) (2) B = a4 + b4 c4 = 196 - 49 = 98 (0,5) Cõu 3: Bi 1:(1,5 đ) Biến đổi phương tr×nh x2+ 2y2 +2xy + 3y- = (x2+ 2xy + y2) +