Đề thi giao lưu học sinh giỏi năm học 2016 2017 môn Toán 847409

ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2016-2017 MƠN TỐN Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 24 tháng 11 năm 2016 CỤM CHUYÊN MÔN THANH – THUỶ - BẠCH – TÂN (Đề thi gồm có 01 trang) Câu 1: (4 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: a 5x2 -10xy + 5y2 - 20z2 b x  x  c x  10 xy  y d 64x4 + y4 Câu 2: (4 điểm) Tìm x biết a 2(x + 5) – x2 - 5x = b 4x -10.2x + 16 = c x  x   x   d x2 x4 x6 x8    98 96 94 92 Câu 3: (5 điểm) a Tìm số nguyên a b để đa thức A(x) = x  3x3  3x  ax  b chia hết cho đa thức B( x)  x  3x  b Cho số nguyên a, b, c thoả mãn (a  b)3  (b  c)3  (c  a )3  210 Tính giá trị biểu thức A  a  b  b  c  c  a Câu 4: (6 điểm) ฀  300 Qua C kẻ đường vng góc với BD, Cho hình chữ nhật ABCD có BDC cắt BD E cắt tia phân giác góc ADB M a Chứng minh AMBD hình thang cân b Gọi N hình chiếu M DA, K hình chiếu M AB Chứng minh ba điểm N, K, E thẳng hàng Câu 5: (1 điểm) Cho x y thoả mãn: x2 + 2xy + 6x + 6y + 2y2 + = Tìm giá trị lớn bé biểu thức: B = x + y + 2016 -Hết ThuVienDeThi.com ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Nội dung Câu 1a (1đ) 5x  10xy  5y  20z  x  x  2xy  y  4z   2xy  y    4z   0.5 2  x  y  – 2z      x  y – 2z x  y  2z  1b (1đ) Điểm 0.5 3x  x   3x  x  x  0.5  (3 x  x)  ( x  2)  3x x    x   0.5  x  (3 x  1) 1c (1đ) x  10 xy  y  x  xy  xy  y  ( x  xy )  (9 xy  y )  x( x  y )  y ( x  y ) 0.5 0.5  x  y x  y  1d (1đ) 64x  y  (64x  16 x y +y )  16 x y  (8 x  y )  (4 xy ) 2 0.5  (8 x  y  xy )(8 x  y  xy ) 2a (1đ) 2(x + 5) – x2 - 5x =  2(x + 5) – (x2 + 5x) =  2(x + 5) – x(x + 5) =  (x + 5)(2 – x) = x     2 – x = 0.5 0.5  x  -5 x =  Vậy x = -5; x = 0.5 ThuVienDeThi.com 2b (1đ)  x  10.2 x  16   22x  2.2 x  8.2 x  16   (22x  2.2 x )  (8.2 x  16)  0.5  (2  2)  8(2  2)  x x x  (2 x  2)(2 x  8)   2x    2x   2x  x   x  x  x  x         Vậy x = 2; x = 2c (1đ) 0.5 x  3x   x   * Với x (*)  x -   x   x  0.5 Ta có: x2 -3x + + x-1 =  x  x    x  1   x  (TM ĐK (*)) * Với x< (**)  x - <  x    x 0.5 Ta có: x2 -3x + + - x =  x  x    x  1x  3  + x - =  x  ( Không thỏa mãn điều kiện **) + x - =  x  ( Không thỏa mãn điều kiện **) Vậy x = 2d (1đ) x2 x4 x6 x8    98 96 94 92 x2 x4 x6 x8 ( +1) + ( + 1) = ( + 1) + ( + 1) 98 96 94 92 1 1  ( x + 100 )( + )=0 98 96 94 92 1 1  Vì : + 98 96 94 92 Do đó: x + 100 =  x = -100 Vậy x = -100 0.25 0.25 0.25 0.25 3a Ta có: A(x) =B(x).(x2-1) + (a – 3)x + b + a   a  (2.5đ) Để A(x) chia hết B(x)   b   b  4 Vậy để A(x) chia hết B(x) a=3 b= -4 3b Đặt a  b  x; b  c  y ; c  a  z  x  y  z   z  ( x  y ) (2.5đ) Ta có: x3  y  z  210  x3  y  ( x  y )3  210  3xy ( x  y )  210 ThuVienDeThi.com 0.5  xyz  70 Do x, y, z số nguyên có tổng xyz  70  (2).(5).7 0.5 0.5 nên x, y, z  2; 5;7  A  a  b  b  c  c  a  14 4a (4đ) M N A K B E D 2 C ฀ D ฀ D ฀  300 ; C ฀  300 ;฀B  300 a Ta có D MDC có DB vừa đường cao vừa đường phân giác => DB đường trung tuyến => E trung điểm MC BMC có đường cao BD đường trung tuyến nên tam giác cân B => ฀ ฀  300 MBC  1200 => B ฀ ฀  MCD  600 nên cân M => MD = MC => MK đường MDC có MDC trung trực CD nên trục đối xứng hình chữ nhật ABCD, AM = ฀  300 MB => ฀A1  B ฀  300 ) Tứ giác AMBD có AM//BD (vì có hai góc so le ฀A  B 4b (2đ) (1đ) ฀ ฀ADB  MBD  600 nên hình thang cân b M thuộc tia phân giác góc NDE => MN = ME => NME cân M có ฀ ฀ NME  1200 => MNE  300 (1) ฀ Lại có tứ giác ANMK hình chữ nhật nên MNK  ฀A1  300 (2) Từ (1) (2) => N,K,E thẳng hàng x2 + 2xy + 6x + 6y + 2y2 + =  x2 + 2xy + y2 + 6x + 6y + - = - y2   (x + y)2 + (x + y) + 32 - = - y2   (x + y + 3)2 -   (x + y + 2) (x + y + 4)   (x + y + 2016 - 2014) (x + y + 2016 - 2012)   (B - 2014) (B - 2012)  ThuVienDeThi.com 1 1 1   B  2014    B  2014    2012  B  2014  B  2012   B  2012        B  2014    B  2014 VN     B  2012    B  2012 GTLN B = 2014 GTNN B = 2012 ThuVienDeThi.com ...   (x + y + 3)2 -   (x + y + 2) (x + y + 4)   (x + y + 2016 - 2014) (x + y + 2016 - 2012)   (B - 2014) (B - 2012)  ThuVienDeThi.com 1 1 1   B  2014    B  2014    2012  B ... y ) (2.5đ) Ta có: x3  y  z  210  x3  y  ( x  y )3  210  3xy ( x  y )  210 ThuVienDeThi.com 0.5  xyz  70 Do x, y, z số nguyên có tổng xyz  70  (2).(5).7 0.5 0.5 nên x, y, z... =  (x + 5)(2 – x) = x     2 – x = 0.5 0.5  x  -5 x =  Vậy x = -5; x = 0.5 ThuVienDeThi.com 2b (1đ)  x  10.2 x  16   22x  2.2 x  8.2 x  16   (22x  2.2 x )  (8.2 x  16)