Đề thi học sinh giỏi cấp huyện năm học 2014 2015 môn thi: Toán 746286

PHÒNG GD&ĐT YÊN LẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014-2015 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài:120 phút Câu (1,5 điểm) 2 1    0, 25   0,   11  : 2014 1) M =    7  1,    0,875  0,7  2015 11   2) Tìm x, biết: x  x   x  Câu (2,5 điểm) 1) Cho a, b, c ba số thực khác 0, thoả mãn điều kiện:   b  a  abc bca cab   c a b c b a  c  Hãy tính giá trị biểu thức B  1  1  1   2) Ba lớp 7A, 7B, 7C mua số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5:6:7 sau chia theo tỉ lệ 4:5:6 nên có lớp nhận nhiều dự định gói Tính tổng số gói tăm mà ba lớp mua Câu (2,0 điểm) 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x   x  2013 với x số nguyên 2) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình x  y  z  xyz Câu (3,0 điểm) ฀ =600 có tia phân giác Az Từ điểm B Ax kẻ BH vng góc với Ay Cho xAy H, kẻ BK vng góc với Az Bt song song với Ay, Bt cắt Az C Từ C kẻ CM vuông góc với Ay M Chứng minh : a ) K trung điểm AC b )  KMC tam giác c) Cho BK = 2cm Tính cạnh  AKM Câu (1,0 điểm) Cho ba số dương  a  b  c  chứng minh rằng: a b c   2 bc  ac  ab  Hết -Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: ThuVienDeThi.com PHÒNG GD&ĐT YÊN LẬP HD CHẤM THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014-2015 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài:120 phút Nội dung Câu Điểm 2 1    0, 25   0,   11  : 2014 1) Ta có: M     7  1,    0,875  0,7  2015 11   2 2      11  7     11 1     : 2014 7  2015    10   1 1      11     1   7     11     Câu (1,5 điểm) 0.25đ 1 1       2014  5 :  1   2015        0.25đ  2  2014    : 0  7  2015 2) x  x   nên (1) => x  x   x  hay x   +) Nếu x  (*) = > x -1 = => x = 0.25đ 0.25đ 0.25đ +) Nếu x x -1 = -2 => x = -1 1) +Nếu a+b+c  Theo tính chất dãy tỉ số ,ta có: a  b  c b  c  a c  a  b a bc bc a c  a b = =1   abc c a b 0.25đ mà a  b  c   b  c  a   c  a  b  = 0.25đ c a b => a  b  b  c  c  a =2 Câu 0.25đ c a b  b  a  c  b  a c  a b  c )( )( ) =8 (2,5 điểm) Vậy B = 1   1   1    (  a  c  b a c 0.25đ b +Nếu a+b+c = Theo tính chất dãy tỉ số ,ta có: a  b  c b  c  a c  a  b a bc bc a c  a b = =0   abc c a b 0.25đ mà a  b  c   b  c  a   c  a  b  = 0.25đ c a b ThuVienDeThi.com => a  b  b  c  c  a =1 c a 0.25đ b b a c ba ca bc Vậy B = 1   1   1    ( )( )( ) =1  a  c  b a c b 2) Gọi tổng số gói tăm lớp mua x ( x số tự nhiên khác 0) Số gói tăm dự định chia chia cho lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu là: a, b, c Ta có: a b c abc x 5x 6x x 7x      a  ;b   ;c  18 18 18 18 18 (1) 0,25đ (2) 0,25đ Số gói tăm sau chia cho lớp a’, b’, c’, ta có: a , b, c , a ,  b,  c , x 4x 5x x , x      a ,  ; b,   ;c  15 15 15 15 15 So sánh (1) (2) ta có: a > a’; b=b’; c < c’ nên lớp 7C nhận nhiều 0,25đ lúc đầu Vây: c’ – c = hay x 6x 7x  4   x  360 15 18 90 0,25đ Vậy số gói tăm lớp mua 360 gói 0,25đ 1) Ta có: A  x   x  2013  x   2013  x 0,25đ  x   2013  x  2015 Dấu “=” xảy (2 x  2)(2013  x )   1  x  2013 Vậy MaxA= 2015 x=-1 0,25đ 0,25đ 2) Vì x,y,z nguyên dương nên ta giả sử  x  y  z Câu (2,0 điểm) 1 1 1 + +  + + = yz yx zx x x x x => x  => x = Theo = Thay vào đầu ta có  y  z  yz => y – yz + + z = 0,25đ 0,25đ => y(1-z) - ( 1- z) + =0 => (y-1) (z - 1) = TH1: y -1 = => y =2 z -1 = => z =3 TH2: y -1 = => y =3 z -1 = => z =2 Vậy có hai cặp nghiệp nguyên thỏa mãn (1,2,3); (1,3,2) 0,25đ 0,25đ V ẽ h ình , GT _ KL 0,25đ Câu (3,0 điểm) ThuVienDeThi.com 0,5đ ฀ ฀ ฀ a,  ABC cân B CAB  ACB( MAC ) BK ðýờng cao  BK 0,25đ ðýờng trung tuyến  K trung ðiểm AC b,  ABH =  BAK ( cạnh huyền + góc nhọn )  BH = AK ( hai cạnh t ý ) mà AK = AC  BH = AC Ta có : BH = CM ( t/c cặp đoạn chắn ) mà CK = BH =   MKC tam giác cân ( ) ฀ Mặt khác : MCB = 900 ฀ACB = 300 ฀  MCK = 600 (2) Từ (1) (2)   MKC tam giác ðều 0,25đ 0,25đ AC  CM = CK c) Vì  ABK vng K mà góc KAB = 300 => AB = 2BK =2.2 = 4cm Vì  ABK vng K nên theo Pitago ta có: AK = AB  BK  16   12 AC => KC = AK = 12  KCM => KC = KM = 12 Theo phần b) AB = BC = AH = BK = HM = BC ( HBCM hình chữ nhật) => AM = AH + HM = Vì  a  b  c  nên: c c 1 (1)    (a  1)(b  1)   ab   a  b  ab  a  b ab  a  b a a b b Tương tự: (2) ; (3)   bc  b  c ac  a  c a b c a b c Do đó: (4)      bc  ac  ab  b  c a  c a  b a b c 2a 2b 2c 2(a  b  c) Mà       2 bc ac ab abc abc abc abc (5) a b c Từ (4) (5) suy ra:    (đpcm) bc  ac  ab  0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Mà KC = Câu (1 điểm) Lưu ý: - Các tổ cần nghiên cứu kỹ hướng dẫn trước chấm - Học sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa - Bài hình khơng có hình vẽ khơng chấm - Tổng điểm cho điểm lẻ đến 0,25đ ( ví dụ : 13,25đ , 14,5đ, 26,75đ) ThuVienDeThi.com 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ ... THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014- 2015 MƠN THI: TỐN Thời gian làm bài:120 phút Nội dung Câu Điểm 2 1    0, 25   0,   11  : 2014 1) Ta có: M     7  1,    0,875  0,7  2015. ..    : 2014 7  2015    10   1 1      11     1   7     11     Câu (1,5 điểm) 0.25đ 1 1       2014  5 :  1   2015        0.25đ  2  2014  ... dẫn trước chấm - Học sinh làm cách khác mà cho điểm tối đa - Bài hình khơng có hình vẽ khơng chấm - Tổng điểm cho điểm lẻ đến 0,25đ ( ví dụ : 13,25đ , 14,5đ, 26,75đ) ThuVienDeThi.com 0,25đ 0,25đ