Các dạng hay gặp môn Toán I Phương trình bậc hai tham số (Bài tập giải phương trình) Phương trình bậc hai dạng khuyết : a/ Phương trình bậc hai khuyết hạng tử bậc : ax = b Phương pháp giải : - Chuyển hạng tử tự sang vế phải b - Chia c¶ hai vÕ cho hƯ sè bËc hai đưa dạng : x2 = a b b +) > phương trình có nghiệm x a a +) b = 0, a phương trình có nghiệm x = b < phương trình vô nghiệm a Vớ d: Giải phương trình sau : 2x b/ Phương trình bậc hai khuyết hạng tử tự : Phương pháp giải : Phân tích đa thức vế trái thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung, đưa phương trình tích giải Vớ d: Giải phương trình sau : 3x 5x +) Phương trình bậc hai đầy đủ : Phương pháp giải : - Sử dụng công thức nghiệm công thức nghiệm thu gọn để giải - Sử dụng quy tắc nhẩm nghiệm để tính nghiệm với số phương trình ®Ỉc biƯt +) Dựa điều kiện: a +b + c = a – b + c = ìï x + x = m + n 2 +) Áp dụng hệ thức Vi Ét: PT ax + bx + c = (a ¹ 0) có ïí ïï x 1.x = m.n ỵ ph có hai nghiệm x1 = m; x2 = n x1 = n x2 = m b, 2x 3x Ví dụ: a, 2x 3x b/ Phương trình chứa ẩn mẫu : Phương pháp giải : - Bước Tìm điều kiện xác định phương trình - Bước Quy đồng mẫu thức hai vế khử mẫu - Bước Giải phương trình vừa nhận - Bước Trong giá trị tìm ẩn, loại giá trị không thỏa mÃn điều kiện xác định, giá trị thỏa mÃn điều kiện xác định nghiệm phương trình đà cho Ví dụ: f / x2 3 x 5 2x pg ThuVienDeThi.com ộA = c/ Phương trình tÝch A.B = Þ ê êB = ê ë *Ví dụ 1( Bài 36, trang 56 SGK Tốn 9):Giải phương trình a) (3x2 - 5x + 1)(x2 - 4) = b) (2x2 + x - 4)2 -(2x-1)2 = Chú ý tới hai tính chất phương trình bậc 3: ax + bx + cx+ d= Nếu a+ b+ c + d = phương trình có nghiệm x =1 Nếu a – b + c – d = phương trình có nghiệm x = -1 Khi nhận biết nghiệm, ta phân tích vế trái phương trình thành nhân tử Giải phương trình đưa dạng tích chủ yếu dùng phép phân tích đa thức thành nhân tử để đưa phương trình dạng phương trình tích ta phương trình mà vế trái gồm phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai biết cách giải Phương trình bậc có hệ số nguyên Nếu có nghiệm ngun nghiệm ngun phải bội số hạng tử tự ( Định lí tồn nghiệm nguyên phương trình với hệ số nguyờn Không giải phương trình tính giá trị biểu thức nghiệm (áp dụng định lý Vi-et) II Phương trình bậc hai có tham số Giải phương trình biết giá trị tham số Tìm tham số biết số nghiệm phương trình (có hai nghiệm phân biệt, có nghiệm kép, có nghiệm vô nghiệm) áp dụng định lý Vi-et a/ Tìm tham số biết nghiệm phương trình b/ Tìm tham số biÕt dÊu cđa nghiƯm (hai nghiƯm tr¸i dÊu, cïng dấu, dương âm) c/ Tìm tham số biết hệ thức liên hệ nghiệm : - Hệ thức đối xứng - Hệ thức không đối xứng d/ Tính giá trị biểu thức nghiệm theo tham số pg ThuVienDeThi.com e/ Tìm hệ thức độc lập nghiệm phương trình không phụ vào tham số f/ Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm phương trình Bài Cho phương trình bËc hai Èn x, tham sè m : x mx m (1) a/ Giải phương trình với m = - b/ Gọi x1; x2 nghiệm phương trình Tính x12 x 22 ; x13 x 32 theo m c/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 tháa m·n : x12 x 22 d/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 tháa m·n : 2x1 + 3x2 = e/ Tìm m để phương trình có nghiệm x1 = - Tính nghiệm lại f/ Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu g/ Lập hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình không phụ thuộc vào giá trị m Giải a/ Thay m = - vào phương trình (1) ta có phương trình : x 2x (x 1) x 1 x 1 VËy víi m = - phương trình có nghiệm x = b/ Phương trình : x mx m (1) m 4(m 3) m 4m 12 Phương trình có nghiệm x1 ; x x1 x m x1 x m Khi ®ã theo ®Þnh lý Vi-et, ta cã : (a) (b) *) x12 x 22 (x1 x )2 2x1x (m)2 2(m 3) m 2m *) x13 x 32 (x1 x )3 3x1x (x1 x ) (m)3 3(m 3)(m) m3 3m 9m c/ Theo phần b : Phương trình có nghiệm x1 ; x Khi ®ã x12 x 22 m 2m Do ®ã x12 x 22 m 2m m 2m 15 '(m) (1) 1.(15) 15 16 0; (m) => phương trình có hai nghiÖm : m1 1 1 5; m 3 1 pg ThuVienDeThi.com +) Víi m 7 => lo¹i +) Víi m 3 => tháa m·n VËy víi m = - phương trình có hai nghiệm x1; x2 tháa m·n : x12 x 22 d/ Theo phần b : Phương trình có nghiệm x1 ; x Thư l¹i : x1 x m x1 x m Khi ®ã theo ®Þnh lý Vi-et, ta cã : (a) (b) HƯ thøc : 2x1 + 3x2 = (c) Tõ (a) (c) ta có hệ phương trình : x1 x m 3x1 3x 3m x1 3m x1 3m 2x1 3x 2x1 3x x m x1 x 2m x1 3m vào (b) ta có phương trình : x 2m Thay (3m 5)(2m 5) m 6m 15m 10m 25 m 6m 26m 28 3m 13m 14 (m) 132 4.3.14 => phương trình cã hai nghiƯm ph©n biƯt : 13 2 2.3 13 m2 2.3 m1 Thư l¹i : +) Víi m 2 +) Víi m 7 25 0 => tháa m·n => tháa mÃn phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa m·n : 2x1 + 3x2 = e/ Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiƯm x1 3 (3)2 m.(3) m 2m 12 m VËy víi m 2; m Khi ®ã : x1 x m x m x1 x 6 (3) x Vậy với m = phương tr×nh cã nghiƯm x1 = x2 = - f/ Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu ac 1.(m 3) m m 3 VËy víi m < - phương trình có hai nghiệm trái dấu g/ Giả sử phương trình có hai nghiệm x1; x2 Khi theo định lí Vi-et, ta có : x1 x m m x1 x x1 x x1 x x1 x m m x1 x pg ThuVienDeThi.com III PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA CĨ MỘT NGHIỆM CĨ THỂ NHẨM ĐƯỢC Phương trình bậc ba: ax3 + bx2 + cx + d = (a ¹ ) có nghiệm x = a Bằng phép đa thức (hoặc dùng lược đồ horner) phân tích vế trái thành: (x - a )(ax2 + b1x +c1) để đưa dạng phương trình tích (x - a )(ax2 éx = a + b1x +c1) = Û ê êax + b x + c = 1 ê ë Giải phương trình bậc hai ax2 + b1x +c1 = ta nghiệm nghiệm x = a phương trình bậc ba Sơ đồ horner; CÁCH LÀM CỤ THỂ KHI SỬ DỤNG SƠ ĐỒ HOOCNER **Công dụng: Dùng để chia đa thức bậc n có dạng anxn + an-1xn-1 +…+a0 cho biểu thức (x-a) Lợi dụng khả chia đa thức nhanh chóng, sõ đồ Hoc-ne thường dùng nhiều việc giải phương trình bậc (hay bậc cao hơn), ta biết nghiệm phương trình (đề cho hay tự nhẩm) Cách chia: Nếu không dùng sõ đồ hoc-ne, bạn dùng phép chia đa thức bình thường học lớp để thực việc chia đa thức Ngoài ra, để ý kỹ, bạn khám phá điều thú vị sõ đồ Hoc-ne hình thành từ cách chia đa thức kinh điển mà bạn học **Giả sử ta có đa thức x3 + 2x2 – 5x - Bây giờ, ta muốn chia đa thức cho biểu thức (x-2) Ta thực bước sau: !/ Lần lượt viết hệ số đa thức lên hàng ngang, số a nằm bên trái, bảng sau:(với b0=a0,các b khác tìm câu thần chú: Lấy đầu nhân trước ,cộng ) a=2 a0 =1 a1=2 a2 =-5 a3 =-6 b0 = a0 = b1= 2.1+2 = b2 = 2.4+(-5)= b3 = 2.3 + (– 6) = Ở đây, có lưu ý nhỏ: Vì bạn chia cho đa thức (x-2) nên số a 2, đa thức chia (x+2) số a phải -2 x – (-2) = Bạn nhớ câu thần chú: "Cắt đầu đem xuống" Vì số đứng đầu, ta đem số xuống hàng dưới(b0 = a0 = 1) Số chạy xuống dưới, thấy số 2, liền chạy đến ôm số Ta lấy 2*1 Hai đứa chung thấy buồn, nên chạy lên hàng trên, kéo hệ số xuống Bây giờ, ta có 2*1+2=4.(Lấy đầu nhân trước ,cộng ) Ta đem số xuống hàng Tương tự, ta xem số a cô gái đẹp, số hàng chàng trai Mỗi chàng trai xuất hàng chạy đến ôm cô gái đẹp (số a, ví dụ số 2), nhảy lên trên, cộng với hệ số pg ThuVienDeThi.com để tạo thành số hàng Cứ tiếp tục số cuối (4*2-5=3 ta viết hệ số hàng dưới) (3*2-6=0) Cuối cùng, ta có (x3+2x2–5x-6):(x-2)=(x2+4x+3) Hay:(x3+2x2–5x-6)=(x-2).(x2+4x+ 3) Đa thức thương có bậc nhỏ đa thức bị chia 1, đa thức thương nhân với biểu thức (x-a) biểu thức bị chia Bây giờ, giả sử đề yêu cầu giải phương trình bậc ba: x3 + 5x2 + 2x -8 =0,ta làm sau: Cách 1: Bấm máy (hoặc tính tổng hệ số để nhẫm nghiệm) Cách 2:Ta thấy phương trình có nghiệm x=1 ( x=1 vào biểu thức thấy đa thức =0).Sau nhẩm nghiệm x=1,ta chia đa thức (x3+5x2+2x-8)cho (x-1) Dùng sõ đồ Horner sau: a=1 a0 =1 a1=5 a2 =2 a3 =-8 b0 = a0 = b1= 1.1+5 = b2 = 1.6+2 = b3 = 1.8 + (– 8) = Ta được: x3 + 5x2 + 2x -8 = (x-1)(x2+6x+8).Bây giờ, ta việc giải phương trình bậc hai x2+6x+8=0, bạn dễ dàng tìm nghiệm lại x2=-2 x3=-4 Vậy, ta kếtluận phương trình cho có nghiệm: x1 = 1; x2=-2, x3=-4 Lưu ý việc giải pt làm số cuối hàng thứ phải số 0, khác số nghĩa bạn có chỗ làm sai, nên coi kĩ lại SƠ ĐỒ HOOCNER Dùng máy 570 nhẩm nghiệm,sau dùng Hoc-nơ OK Nhẩm nghiệm : lấy ước chung số cuối chia cho số đầu được, sau thử lại vào phương trình Đa số phương trình mị nghiệm kiểu VD: Phương trình bậc : x4+2x3+x2 -2x -2 _Đầu tiên phải mò nghiệm phương trình cách lấy ước d/a, VD bạn thấy nghiệm phương _Đến tốt q rồi, mị nghiệm dùng lược đồ hoocne để phân tích +Bạn lấy hệ số a,b,c,d sau -2 -2 +Và điền giá trị nghiệm bạn mò 1 +Tiếp theo hạ giá trị a xuống(ở 1) +Lấy a nhân với nghiệm cộng với b +Tương tự lấy b nhân với nghiệm cộng với c, c nhân với nghiệm cộng với d +Nếu giá trị cuối bạn làm _Cuối việc lấy giá trị hạ bậc phương trình bậc : (x-1)( x3+3x2+4x+2) pg ThuVienDeThi.com Phương trình bậc bốn: Phương trình bậc bốn phương trình có dạng ax4 + bx3 +cx2 +dx +e = a, b, c, d ,e số cho trước, a Một số dạng bậc bốn mà qua phép đặt ẩn phụ ta quy dạng phương trình bậc hai 3.1 Phương trình trùng phương: a) Dạng tổng quát: Phương trình có dạng: ax4+bx2+ c = x ẩn số; a,b,c hệ số, a b) Cách giải: Loại phương trình giải ta thường dùng phép đổi biến x2 = t từ ta đưa đến phương trình bậc hai trung gian : at2+ bt + c =0 Giải phương trình bậc hai trung gian này, sau trả biến: x2 = t ( Nếu giá trị tìm t thoả mãn t ta tìm nghiệm số phương trình ban đầu) *Ví dụ 1: Giải phương trình: 3x x (a) đặt x2 = t (a) 3t2-2t -1 = Nghiệm phương trình (b) : t1= 1; t2 = thoả mãn t Với t1= =>x2 = 1=> x = Với t2 = => x2 = => x= 3 Vậy phương trình có nghiệm x1 1; x2 1; x3 1 ; x4 3 *Ví dụ 2: Giải phương trình: x 3x pg ThuVienDeThi.com đặt x2 t (t 0) ta có phương trình 2t 3t t1 t t2 (lo¹i) Với t1 = Vậy S = x2 = x = 2; 2 *Ví dụ 3: Giải phương trình: đặt x2 t (t 0) x 10 x ta có phương trình 3t 10t Vậy phương trình vơ nghiệm t t 3 ( loi) ( loi) * Ví dụ : Giải phương tr×nh 2x 4 x2 x x x 2x4 + 5x2 -7=0 đặt x2=t với t > ta 2t2 +5t -7 =0 Có :2+5-7=0 nên t1=1(thoả mÃn) ; t2= (loại) với t1=1 suy x2=1 suy x1=1 ; x2=-1 VËy phương trình có hai nghiệm x1=1 ; x2=- d) Nhận xét : Khi nghiên cứu số nghiệm phương trình trùng phương ta thấy pg ThuVienDeThi.com + Phương trình vơ nghiệm khi: - Hoặc phương trình bậc hai trung gian vơ nghiệm - Hoặc phương trình bậc hai trung gian có hai nghiệm âm + Phương trình có nghiệm khi: - Hoặc phương trình bậc hai trung gian có hai nghiệm, nghiệm kép dương - Hoặc phương trình bậc hai trung gian có hai nghiệm có nghiệm dương nghiệm âm 3.2 Phương pháp đặt ẩn phụ: a.Cách giải: * Đặt điều kiện để phương trình xác định có * Đặt ẩn phụ giải phương trình theo ẩn * Trở ẩn ban đầu xác định tập nghiệm b Bài tập: Bài 40, tr57 SGK T9 Giải phương trình cách đặt ẩn phụ a 3( x + x) - 2( x + x) - = b ( x - x + 2) + x - x - = Giải a 3( x + x) - 2( x + x) - = Đặt ( x + x) = t Với t1=1, ta có ta có t1 3t - 2t - = t ( x + x) = hay x + x - = pg x1 = - 1+ - 1- ; x2 = ThuVienDeThi.com Với t2= ta có x2 + x = - hay x2 + x + = Phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình cho có hai nghiệm b ( x - x + 2) + x - x - = Đặt x - 4x + = t ta có phương trình giải ta t1 = 2; t2 = -3 t2 + t - = Với t1 = ta có x x2 - x + = x2 - x = x Với t2= -3 ta có x2 - x + = - hay x - 4x + = phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x1 = 0; x2 =4 3.3.Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: Để giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ta dùng định nghĩa giá trị tuyệt đối bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ Giải phương trình (3) Giải Cách a) Nếu Giá trị b) Nếu phương trình (3) trở thành Từ khơng thỏa mãn điều kiện nên bị loại phương trình (3) trở thành Giá trị thỏa mãn điều kiện Từ nên nghiệm Kết luận Vậy nghiệm phương trình x pg 10 ThuVienDeThi.com Cách Bình phương hai vế phương trình (3) ta đưa tới phương trình hệ quả: (3) Phương trình cuối có hai nghiệm Thử lại ta thấy phương trình (3) có nghiệm Kết luận Vậy nghiệm phương trình 3.4 Phương trình chứa ẩn dấu căn: Áp dụng phương pháp: - Đặt ẩn phụ, điều kiện ẩn phụ - Đặt điều kiện bình phương hai vế dương để đưa phương trình hệ không chứa ẩn dấu Chú ý: Sau tìm nghiệm cần đối chiếu , kiểm tra lại điều kiện để chọn nghiệm thích hợp Ví dụ Giải phương trình (1) Giải: Điều kiện phương trình (1) Bình phương hai vế phương trình (1) ta đưa tới phương trình hệ (1) Phương trình cuối có hai nghiệm Cả hai giá trị thỏa mãn điều kiện phương trình (4) , thay vào phương trình (4) giá trị bị loại (vế trái dương vế phải âm), giá trị nghiệm (hai vế ) pg 11 ThuVienDeThi.com Kết luận Vậy nghiệm phương trình (4) 3.5 Phương trình dạng ax4+bx3 +cx2 ± kbx +k2a = 0.(Phương trình hi quy) Chúng ta hay gặp dạng phương trình trường THCS phương trình đối xứng a) Phương pháp giải: x = nghiệm phương trình Chia hai vế phương trình cho x2 ta k2 k : a ( x + ) + b( x ± ) + c = x x đặt k2 k k2 t x 2k x t 2k x x x t x Ta có phương trình bậc hai: a (t + 2k ) + bt + c = b) Ví dụ:1) Giải phương trình x4 + = 5x( x2 -2) (1) Giải Ta có (1) x4 – 5x3 +10x +4 = x = khơng phải nghiệm phương trình Chia hai vế phương trình cho x2 ta x2 + - 5( x - ) = x x Đặt t = x- x ta có t x2 4 t x2 2 x x Ta có phương trình t t - 5t + = t Với t = ta có : x 4x x x x Với t = ta có : x Vậy S = x2 x x x 1 x {- 1; 2; ± } pg 12 ThuVienDeThi.com 2)giải phương trình (PT đối xứng) x 3x x 3x (x2 Đặt Vì : x=0 không nghiệm nên ta chia hai vế cho x2 1 ) 3 x (a) x x t x a t 3t x t 3t Phương trình vô nghiệm t1 1 x 1 x x x t 2 x 2 x x x phương trình có nghiệm kép x=-1 Vậy phương trình đà cho có nghiệm kép x=-1 Nhn xột: Gii phương trình “hồi quy” phép biến đổi tương đương “đổi biến” ta đưa phương trình bậc hai trung gian trả biến tìm nghiệm phương trình “hồi quy” ban đầu * Số nghiệm phương trình “hồi quy” phụ thuộc vào số nghiệm phương trình bậc hai - Nếu phương trình bậc hai trung gian vơ nghiệm phương trình ban đầu vơ nghiệm - Nếu phương trình bậc hai trung gian có nghiệm t1,t2 phương trình x+ d d = t1 ; x + = t2 bx bx + Vơ nghiệm phương trình đầu vơ nghiệm + Cịn lại phương trình có nghiệm phương trình đầu có nghiệm 3.6 Phương trình dạng a[(fx)]2 +bf(x) + c = (1) Trong a ; (fx) đa thức biến x; x ẩn số phương trình a) Cách giải: pg 13 ThuVienDeThi.com - Sau tìm TXĐ phương trình đổi biến cách đặt (fx) = t Ta đưa phương trình dạng : at2 + bt +c =0 (2) Đây phương trình bậc hai ta đẫ biết cách giải - Nếu phương trình bậc hai trung gian (2) có nghiệm t = t0 Ta tiến hành giải tiếp phương trình (fx) = t0 Nghiệm phương trình (fx) = t0 (Nếu thoả mãn TXĐ phương trình cho) nghiệm phương trình (1) b) Ví dụ: Giải phương trình x + x3 + x - 12 x + = (1) Giải Biến đổi vế trái phương trình ta có: VT = = = x + x + x - 12 x + x + x + x - x - 12 x + ( x + x) - 4( x + x) + Vậy phương trình (1) Tương đương với Đặt x + 3x = t ( x + x) - 4( x + x) + = (2) Ta phương trình bậc hai sau t - 4t + = (3) Giải phương trình (3) ta hai nghiệm là: t1 = 1; t2 = Với t1 = từ (2) ta có x1 3 13 x2 x + x = phương trình có hai nghiệm phân biệt 3 13 Với t2 = từ (2) ta có phương trình có hai nghiệm phân biệt x2 3 21 pg 14 ThuVienDeThi.com x1 3 21 Vậy phương trình cho có bốn nghiệm phân biệt x3 3 21 x4 x1 3 13 ; x2 3 13 ; 3 21 c) Nhận xét: Nhờ phép biến đổi f(x) = t ta đưa phương trình a[f(x)]2+bf(x) +c = dạng phương trình bậc hai mà ta biết cách giải:at2 +bt +c = Tuy nhiên có số phương trình phải qua số bước biến đổi xuất dạng tổng quát ( ví dụ trên) Cũng số loại phương trình khác mà tơi giới thiệu trên, số nghiệm phương trình ban đầu phụ thuộc vào nghiệm phương trình bậc hai trung gian Chú ý: Các dạng phương trình tơi đề xuất thực chất chúng có dạng tổng quát ( sau biến đổi): a[f(x)]2 +bf(x) +c = Và giải chúng phép biến đổi: f(x) = t - Phươg trình trùng phương ( phương trình bậc hai) dạng đặc biệt phương trình: ax2n + bxn + c = Trong a 0; n N n ( cịn gọi phương trình tam thức) Các phương trình dạng đặc biệt phương trình: a[f(x)]2 +bf(x) +c = f(x) = xn *ví dụ : x6-7x3- 8=0 đặt x3=t ta có :t2-7t-8=0 Vì 1-(-7)-8=0 nên t1=-1;t2=8 Với t = t1=-1suy x3=-1 suy x1=-1 Ví t = t2=8 suy x3=8 suy x2= VËy ph¬ng trình có hai nghiệm x1=-1 ; x2= pg 15 ThuVienDeThi.com *ví dụ : Giải phương trình x2008-10x1004+9=0 ®Ỉt x1004 = t víi t > ta cã phương trình t2- 10t + =0 Vì: - 10 + = nªn t1=1 ; t2= Víi t1=1 th× x1004=1 suy x1=1 ;x2=-1 Víi t2= th× x1004 = suy x3 1004 ; x 1004 Vậy phương trình cã nghiÖm x1=1 ;x2=-1; x3 1004 ; x 1004 Phương trình dạng x a 4 x b 4 x lµ Èn ; 0 a; b; c lµ hƯ sè * cách giải : Nhìn chung phương trình dạng ta khai triển vế trái , ta đến phương trình bậc bốn đầy đủ(việc giải tổng quát phương trình không yêu cầu đối víi häc sinh THCS ) Ta biÕn ®ỉi biÕn : t x ab x a a bt xb t ab ab phương trình đà cho trở thành : ab ab 2t 12. c t 2. Phương trình trùng phương ẩn t ta đà biết cách giải * ví dụ : ví dụ : giải phương trình x 34 x 54 đặt t x (a) 35 x4 pg 16 ThuVienDeThi.com a t 44 t 14 2t 12t t 6t t t t 60t 0t 0 2 VËy x + = x = - Phương trình (a) có nghiệm kép x = - ví dụ : Giải phương trình x 64 x 44 82 (b) 64 x 1 b t 54 t 54 82 t x đặt : 2t 300t 1250 82 2t 300t 1168 t 150t 584 0c Giải phương trình (c) c v 150v 584 0c * ' 5625 584 5041 đặt t2=v th× ' 5045 71 75 71 v1 0 75 71 v2 v1 v2 không thoả mÃn v > phương trình (c) vô nghiệm phương trình (b) vô nghiệm * Nhận xét: phÐp biÕn ®ỉi t x ab 4 ta đợc phương trình dạng x a x b c phương trình trùng ph2 ương (trung gian ) có dạng tổng quát : t Bt C Qua phÐp biÕn ®ỉi t2= x víi x ta đa phương trình phương trình bậc hai trung gian: X2 + BX + C = Sè nghiƯm cđa phương trình x a x b c phơ thc vµo sè nghiƯm cđa 4 phương trình trung gian X2 + BX + C = pg 17 ThuVienDeThi.com Nếu phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm có nghiệm âm phương trình trùng phương t Bt C - vô nghiệm phương tr×nh x a x b c vô nghiệm 4 Nếu phương trình bậc trung gian có nghiệm không âm : Xo phương trình đầu có nghiệm : - x t0 t X ab ë ®ã : t X Lu ý số nghiệm phương trình đầu phụ thuộc vào số nghiệm phương trình trùng phương phụ thuộc vào - số nghiệm phương trình bậc hai trung gian - Như phương trình bậc hai trung gian : X2 + BX + C = + Vô nghiệm có hai nghiệm âm phương trình đầu vô nghiệm + Nếu phương trình bậc hai trung gian có nghiệm âm nghiệm đơn phương trình đầu có hai nghiệm phân biệt + Có hai nghiệm đơn phân biệt phương trình đầu có nghiệm phân biệt + Có nghiệm đơn nghiệm phương trình đầu có nghiệm + Có nghiệm kép phương trình đầu có hai nghiệm kép phân biệt phương trình dạng : (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m hÖ sè a , b ,c ,d thành hai cặp cặp hai số có tổng , chẳng hạn a+c=b+d * )Cách giải Nhóm (x+a) víi (x+d) ; (x+b) víi (x+c) khai triĨn tÝch Ta đa phương trình dạng : x a d x ad x b c x bc m Do a+d = b+c đặt x2+(a+d).x +k =t ( k chọn :ad bc tuỳ ý ) ta đa phương trình dạng At2+Bt+C = (A=1) Giải phương trình ta đợc nghiệm t (khi phương trình vô nghiệm ) Giải tiếp phương tr×nh x2+(a+d).x+ad =t Ta sÏ cã kÕt ln nghiƯm cđa phương trình đầu Nừu phương trình bậc hai trung gian vô nghiệm phương trình đầu vô nghiệm * ) ví dụ ví dụ : giải phương trình (x + 4) (x + 5) (x + 7) (x + 8) = (a) NhËn xÐt : + = + pg 18 ThuVienDeThi.com a x 4x 8.x 5x x 12 x 32 x 12 x 35 4* đặt : x2 + 12x + 32 = t * t t 3 t 3t 0b Vì 1+3- 4=0 nên phương tr×nh (b) cã hai nghiƯm : t1 =1 ; t2= - + ) t = t1 =1 x 12 x 32 x 12 x 31 x 6 x 6 + ) t =t2 =- x 12 x 32 4 x 12 x 36 x1, 6 x1 6 Vậy phương trình đầu có nghiệm x 6 x x 6 vÝ dơ : Gi¶i phương trình sau (x+1)(x+7)(x-2)(x+4)=19 (a) Nhận xét : -2+7=1+4 Vậy (a) x 1x x x 19 x x x x 14 19(*) đặt : x2+5x -14 =t * t t 18 19 t 18t 19 V× : 1+18-19 =0 nên phương trình có hai nghiệm : t1=1 ; t2= -19 Vậy phương trình (a) có nghiệm ®¬n : pg 19 ThuVienDeThi.com 85 85 x2 5 x3 x1 x4 5 *) nhận xét với loại phương trình có dạng : - Nếu khai triẻn thành dạng phương trình bậc ẩn khó giải cấp hai chưa học - B»ng nhËn xÐt ta nhãm hỵp lý sau đổi hệ số , khai triển biến đổi nhóm ta đa đợc phương trình bậc hai trung gian Nếu phơng trình bậc hai trung gian vô nghiệm phương trình đầu vô nghiệm - Khi giải phương trình bậc hai trung gian ẩn t tìm t , ta trả biến giải phương trình bậc hai ẩn x nghiệm phương trình nghiệm phương trình đầu - Ngồi phương trình trình bậc cao có dạng đặc biệt nêu mà giải đưa giải phương trình bậc hai trung gian Ta nghiên cứu thêm số phương trình bậc cao khác Vài phương trình bậc cao khác a, Ví dụ * Ví dụ 1: Giải phương trình sau: x4 +4x3 +3x2 +2x – = Giải: Nhận xét: Với phương trình khơng thuộc dạng phương trình nêu trên, việc nhẩm nghiệm khó Ở ta đưa phương trình dạng phương trình tích Ta có: VT = x4 +4x3 + 3x2 +2x -1 = = (x4 +4x3 + 4x2) - (x2 - 2x + 1) = (x2 + 2x) 2- (x -1)2 pg 20 ThuVienDeThi.com ... phương trình có dạng ax4 + bx3 +cx2 +dx +e = a, b, c, d ,e số cho trước, a Một số dạng bậc bốn mà qua phép đặt ẩn phụ ta quy dạng phương trình bậc hai 3.1 Phương trình trùng phương: a) Dạng tổng... phụ: a.Cách giải: * Đặt điều kiện để phương trình xác định có * Đặt ẩn phụ giải phương trình theo ẩn * Trở ẩn ban đầu xác định tập nghiệm b Bài tập: Bài 40, tr57 SGK T9 Giải phương trình cách đặt... 3.6 Phương trình dạng a[(fx)]2 +bf(x) + c = (1) Trong a ; (fx) đa thức biến x; x ẩn số phương trình a) Cách giải: pg 13 ThuVienDeThi.com - Sau tìm TXĐ phương trình đổi biến cách đặt (fx) = t