Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên toán năm học 2005 2006 môn: Toán45030

SỞ GIÁO DỤC_ĐÀO TẠO THỪA THIÊN_HUẾ ***** ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN Năm học 2005-2006 Môn : TOÁN Thời gian làm :150 phút (không kể thời gian giao đề ) Bài 1:(3 điểm) a/ Cho a,b số thực không âm tùy ý a  b  a + b  2(a  b) Chứng tỏ : Khi có dấu đẳng thức ? b/ Xét u, v, z, t số thực không âm thay đổiù có tổng Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ S = u+ v+ z + t Bài 2: (2 điểm) Cho tam giác vuông DEH có độ dài hai cạnh góc vuông DE = 5cm EH =12cm a/ Tính độ dài bán kính đường tròn nội tiếp tam giác vuông DEH b/ Trong tam giác vuông DEH có hai đường tròn có bán kính r, tiếp xúc tiếp xúc với cạnh tam giác vuông DEH hình Tính độ dài r D r r H E Bài 3:(2 điểm) a/ Tìm tất nghiệm nguyên phương trình : 2x + 9y = 2005 (*) b/ Chứng minh : x.y  55833 (x,y ) nghiệm nguyên (*) Bài 4: (2 điểm) Với giá trị tham số m, xét hàm số : y = x2 – 2mx – – m2 a/ Chứng tỏ với giá trị m tuỳ ý, đồ thị hàm số cắt trục tung điểm A, cắt trục hoành hai điểm phân biệt B, C giao điểm khác gốc tọa độ O b/ Đường tròn qua giao điểm A, B, C cắt trục tung thêm điểm K khác A Chứng minh m thay đổi, K điểm cố định Bài 5: (1 điểm) Có hộp, hộp chứa trái banh Chứng tỏ ghi số tất trái banh cho thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau : 1/ Mỗi banh ghi số nguyên, chọn số nguyên từ đến 23 2/ Trong hộp, hai banh ghi số 3/ Với hai hộp bất kì, có nhiều số xuất đồng thời hai hộp - Heát - ThuVienDeThi.com Sở Giáo dục đào tạo Thừa Thiên Huế §Ị chÝnh thøc Kú THI TUN SINH LíP 10 chuyªn toán Môn: toán - năm học 2005-2006 Đáp án thang điểm ThuVienDeThi.com Bài ý Nội dung Điểm 1.a 3,0 0,50 0,25 0,25 + a  b  a + b  ab  + Daáu đẳng thức  a=0 b=0 + a + b  2(a  b)  a+b - ab   ( a - b )2  + Dấu đẳng thức  a=b 0,25 Giá trị nhỏ S: +Dùng câu a/ S= u + v + z + t  u  v + z  t  (u  v)  ( z  t ) = 1.b 1.(do u+v+z+t=1) + Dấu đẳng thức xảy chỉ: (u  hay v  0) vaø ( z  hay t  0) vaø (u  v  hay z  t  0) vaø (u  v  z  t  1) Khi u=1,v=z=t=0 u+v+z+t=1và S=1 Vậy : MinS=1 Giá trị lớn S: +Dùng câu a/ S= u + v + z + t  2(u  v) + 2( z  t )  2[2(u  v)  2( z  t )] = 0,50 0,25 0,25 0,50 + Dấu đẳng thức xảy khi: u  v, z  t , 2(u  v)  2( z  t ), u  v  z  t  1  u  v  z  t  vaø S  0,25 Vaäy : MaxS=2 2,0 2.a (1đ) Câu a + DH = 13 + Gọi I tâm đường tròn nội tiếp Ta có : dt(DEH)= dt(IDE)+ dt(IEH)+ dt(IDH) + dt(DEH)= 30 1 + Gọi R bán kính đường tròn nội tiếp.Ta coù : 30 = R.5+ R.12 + 2 0,25 0,25 0,25 R.13  R=2 (cm) 2.b (1ñ) D r r J r r r H 0,25 E Câu b + Gọi J tâm đường tròn có tiếp xúc với cạnh DH Khoảng cách từ J đến cạnh DH, HE, ED : r; r; 3r 0,25 + dt(DEH)= dt(JDH) +dt(JHE) +dt(JED) 0,25 1  30 = r.13+ r.12 + 3r.5  r= = 1,5 (cm) 2 2 ThuVienDeThi.com 0,50 2,0 3.a (1ñ) 3.b (1ñ) + Ta có: 2005 chia 55 dư 7, neân: 2005  222    111  111    503  111 Suy ra: (503;111) nghiệm + 2x+9y=2005  2x+9y=2.503 + 9.111  2(x-503)=9(111-y) + Vì (2;9) =1 nên tồn số nguyên t để x-503=9t hay x=503 +9t + Nghiệm phương trình : x=503 +9t , y=111-2t ; t số nguyên tuỳ ý + 55833 – xy= 55833 –(503 +9t).( 111-2t) = 18t2 +7t 18t2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 + Khi t  +7t  + Khi t  -1 18t2 +7t = t(18t+7) > + Vì với số nguyên t có : 55833  xy Dấu đẳng thức  t=0 0,25  x=503 ;y=111 2,0 + Đồ thị hàm số cắt trục tung A( 0; -1-m2) A phía trục hoành (1đ) + Xét phương trình : x2 - 2mx – - m2= Do ' = +2 m2 >0 neân phương trình có hai nghiệm:x1;x2 + Đồ thị hàm số cắt trục hoành hai điểm phân biệt B(x1;0), C(x2;0) +Vì : x1.x2 < nên B, C khác O O û B, C + K phía trục hoành 4.b (1đ) + Hai tam giác vuông OBA OKC đồng dạng cho : OB.OC = OA.OK + OB.OC= x1 x = x1 x =   m = OA 4.a + Do OK=1 K( 0;1) K điểm cố định 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1,0 + Ở hình dưới, đường tượng trưng cho hộp, điểm đường tượng trưng cho banh + Có đường; đường chứa giao điểm có tất 23 giao điểm + Mỗi cách đánh số 23 giao điểm, từ đến 23, cho điều kiện toán Ví dụ : Hộp I : Hộp II : Hộp III : Hoäp VI : Hoäp V : Hoäp VI : 0,25 13 10 14 15 20 18 22 0,25 11 16 19 21 23 12 17 ta cách ghi số banh hộp thỏa 0,25 0,25 1 2 13 5 10 14 15 13 14 10 15 ThuVienDeThi.com 11 16 18 20 22 12 17 19 21 23 Bài 3: Cách 2: a) x  y  2005  x  2005  y Mà 2005 lẻ, nên 9y phải số lẻ, suy y số lẻ: y  2t  t  Z   x  2005  9(2t  1)  x  998  9t t  Z  Vậy: nghiệm phương trình là: x  998  9t , y  2t  t  Z   1987  1987  4.18.998 b) xy  998  9t 2t  1  18t  1987t  998  18  t    36  4.18  1987  4.18.998 xy   55833, 68056  xy  55833 4.18 1987   55 , ta coù: xy  998  9.55 2.55  1  55833 Với t    36  Do đó: xy  55833 SỞ GIÁO DỤC_ĐÀO TẠO THỪA THIÊN_HUẾ ***** ĐỀ DỰ BỊ KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN Năm học 2005-2006 Môn : TOÁN Thời gian làm :150 phút (không kể thời gian giao đề ) BÀI 1:(3 điểm) a/ Chứng tỏ rằng: a3 – b3 + c3 + 3abc = (a-b+c)(a2 + b2 + c2 + ab + bc - ca), với số thực a,b,c b/ Chứng minh d, e, f số nguyên thoả: d + e + f = d= e = f=  33 b/ Tìm số hửu tỉ p, q, r để có đẳng thức : = p + q +r 3 1  BÀI 2:(2 điểm) Xét hệ phương trình : 3 x  my  x  3 y  mx  y (m laø tham số) a/ Giải hệ cho m=1 b/ Chứng minh m>1 hệ xét có nghiệm thoả điều kiện x  y BÀI 3: (2 điểm) Tam giác nhọn ABC có trực tâm H; AH cắt BC D a/ Chứng tỏ đường tròn nội tiếp tam giác BDH ADC bán kính hai tam giác BDH ADC b/ Cho BC = 221cm; HD = 65cm Tính độ dài bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ADC, biết tam giác BDH ADC BÀI 4: (2 ñieåm) 1 + + =1 x y z b/ Chứng tỏ tìm 2005 số nguyên dương đôi khác mà tổng tất a/ Tìm số nguyên dương x , y, z thoả điều kiện sau : x < y < z ThuVienDeThi.com nghịch đảo chúng BÀI 5: (1 điểm) Với a, b, c số thực dương Đặt : 1 A= ;   a (1  b) b(1  c) c(1  a ) 1 C=   ; 1 a 1 b 1 c Chứng minh raèng : A + B  C + D ab bc ca ;   1 a 1 b 1 c b c a D=   1 b 1 c 1 a B= - Heát - SỞ GIÁO DỤC_ĐÀO TẠO THỪA THIÊN_HUẾ ***** ĐỀ DỰ BỊ KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN Năm học 2005-2006 Môn : TOÁN ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM BÀI (3đ) Câu a + Khai triển vế phải + So sánh kết với vế trái Câu b +Đặt x= ,Ta có x3=2 ; d+ex+fx2=0 (1) ; dx+ex2+2f=0 (2) + Khử x (1) , (2) : x(e2-df)=2f2-de vaø 2(e2-df) =(2f2-de)3 (3) + Do d,e,f số nguyên nên từ (3) cho :e2-df= 2f2-de = (Dùng phản chứng ) +Từ : e3=2f3 , suy e=f= d=0 Câu c + Dùng a/ với a= 1;b = ; c= : = (1 - + )( + 3 ) 1 hay : = (1 + ) 3 1  3  33 (1 + )) = -1 + 3 1  + Câu b cho thấy có : p = -1 ; q = ; r = -1 + Do : 3 = (3-3 )( BÀI 2(2đ)  x  my  x (1)  3 y  mx  y (2) Caâu a + (1) – (2) : (3+m)(x-y) = (x-y)(x+y)  x=y x+y= 3+m + Với x=y ta coù : 3x –mx = x2  x=0 x= 3-m ThuVienDeThi.com Với m = , trường hợp hệ có nghiệm : (x;y) = (0;0) ; (2;2) 2 + Với x+y=3+m=4 ,ta coù : 3x –(4-x) = x  x -4x +4=  x=2 + Nghiệm hệ phương trình m=1 : ( x= , y = ) ; ( x= , y = ) Câu b + Nếu hệ có nghiệm (x;y) mà x  y : x+y= 3+m + (1) + (2) : (3-m)(x+y) = (x+y) – 2xy Suy xy = m(m+3) + x ,y nghiệm cuûa : t2 – (3+m)t +m(m+3) = (3) + Khi m >  t = (3+m)(3-3m)