Bộ giáo dục đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa xà hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 1999 Môn: Đại số Ngành: Toán Thời gian làm bài: 180 phút Câu Gọi E n +1 Là không gian véctơ tất đa thức mét Èn cã bËc ≤ n víi hƯ sè thùc Trong E n+1 cho đa thức u k ( x ) với k n xác ®Þnh nh sau: u = ; u k ( x ) = x( x − 1)( x − 2)L ( x − k + 1) víi ≤ k n a) Chứng minh đa thức {u k }k = lập thành së cña E n+1 b) H·y chøng tá tån phép biến đổi tuyến tính cña E n+1 thoả m·n n + n ( ) ®iỊu kiƯn ϕ x k = u k , k = 0,1,2, K , n Vµ ϕ lµ song ánh c) Xác định ánh xạ : E n +1 → E n+1 bëi ®iỊu kiƯn ∂ [ p( x )] = p( x + 1) − p( x ) ; ∀p ( x ) ∈ En+1 HÃy chứng minh ánh xạ tuyến tính Tìm nhân ảnh Tìm đa thức (u k ( x )) ; k = 0,1,2, K , n C©u a) Cho G lµ mét nhãm Xyclic Chøng minh r»ng mäi nhãm G cịng lµ nhãm Xyclic b) Gäi x lµ phần tử sinh nhóm Xyclic G HÃy tìm tất nhóm G đẳng cấu với G c) Chứng tỏ nhóm cấp hữu hạn nguyên tố nhóm Xyclic Câu Ta gọi trường nguyên tố không chứa trêng thùc sù nµo a) Chøng minh r»ng trêng ssó hữu tỉ trường lớp đồng dư  p (với p số nguuyên tố ) trường số nguyên tố b) Cho X trường nguyên tố Chứng tỏ X X  p (với p số nguyên tố đó) Câu Giả sử phép biến đổi tuyến tính không gian R3 sở đơn vị có ma trn là: −1 −5 A = −2 1 a) Tìm giá trị riêng véc tơ riêng b) Tìm sở R3 mà ma trận có dạng tam giác Viết ma trận c) Giá trị riêng có thay đổi không ta thay đổi sở DeThiMau.vn