Đề thi tuyển sinh cao học năm 1999 Môn: Giải tích Ngành: Toán học42933

Bộ giáo dục đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa xà hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 1999 Môn: Giải tích Ngành: Toán Thời gian làm bài: 180 phút Câu1 1) Giả sử hàm f : R → R cho bëi c«ng thøc  x2 y nÕu x + y ≠  2 f ( x, y ) =  x + y 0 nÕu x + y =  a) XÐt tÝnh liªn tơc cđa f R b) Xét tính khả vi hàm f điểm (0,0 ) 2) Tìm miền hội tụ chuỗi 1 x  ∑ n n = + 1 + x  ∞ n ∞   C©u KÝ hiÖu l1 =  x = {x n } : x n ∈ C ; n ∈ N , ∑ x n < ∞  ; n =1   ∞ d1 ( x, y ) = ∑ n =1  ∞ 2 x n − y n , d ( x, y ) =  ∑ x n − y n  víi x = {x n } ; y = {y n } thuéc l1  n =1  Chøng minh r»ng a) d1 , d mêtric l1 ; b) kh«ng gian (l1 , d ) đầy đủ ; khả li c) Không gian (l1 , d ) không đầy đủ Câu Giả sử C [0,1] không gian định chuẩn hàm số thực liên tục [0,1] với chuẩn sup A: C [0,1] → C [0 ,1] biÕn x thµnh Ax cho bëi ( Ax )(t ) = t x(t ) víi mäi x ∈ C [0 ,1] vµ t [0,1] a) Chứng minh A ánh xạ tun tÝnh liªn tơc TÝnh A b) Chøng tá r»ng A(C[0,1] ) không gian đóng C [0,1] Câu nh xạ f : X Y từ không gain tôpô X vào không gian tôpô Y gọi đóng với tập đóng A ta có f ( A) đóng Y Chứng minh f : X Y đóng vµ chØ ( ) f ( A) ⊂ f A víi mäi A ⊂ X DeThiMau.vn