Đề thi học sinh giỏi cấp huyện lớp 9 Môn toán Trường thcs Yên Thịnh42900

Phòng giáo dục yên định Trường thcs yên thịnh Người đề: Hoàng Duy Thế Người thẩm định: Đào Quang §¹i §Ị thi häc sinh giái cÊp hun líp Môn toán - thời gian 150 phút Năm học: 2009 - 2010 Bài 1: (3 đ) Tính giá trị biÓu thøc: a) A= 13  100  53  90 b) B= a2 b2 c2   a2  b2  c2 b2  c2  a2 c2  a2  b2 Víi a + b + c = Bài 2: (4 đ) Cho biểu thức: x x 3 P= a) b) c)  2( x  3) x2 x 3 x 1 Rót gän biĨu thøc P Tính giá trị P với x = 14 - T×m GTNN cđa P  x3 3 x Bài (4 đ) Giải phương trình a) b) x  4x  + x  x  15 x64 x2   x  12 x  35  x  16 x  63  x  11  x   Bài 4: (3 đ) Cho số dương x, y tháa m·n x + y =1 a) T×m GTNN cđa biĨu thøc M = ( x2 + y b) Chøng minh r»ng: N=(x+ )( y2 + x ) 25 ) + ( y + )2  x y Bµi (2 đ) Cho hình chữ nhật ABCD, điểm M BC Các đường tròn đường kính AM, BC cắt N ( khác B) BN cắt CD L Chứng minh rằng: ML vuông góc với AC Bài (4 ®) Cho (O;R) vµ mét ®iĨm A n»m ngoµi ®­êng tròn Từ điểm M di động đường thẳng d vuông góc với OA A, vẽ tiếp tuyến MB, MC với đường tròn (B, C tiếp điểm) dây BC cắt OM OA H K a, Chứng minh OA.OK không ®ỉi, tõ ®ã suy BC lu«n ®i qua mét ®iĨm cè ®Þnh b, Chøng minh r»ng H di ®éng đường tròn cố định c, Cho biết OA = 2R HÃy xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác MBOC nhỏ ThuVienDeThi.com Đáp án biểu điểm Câu 1: (3đ) a) A= 13  100  53  90 = 13  10  53  2.6 10 (0,5®) = (2  )  (2  ) (0,25®) =2 - - 2 - = -4 (0,5®) VËy A= 13  100  53  90 = -4 (0,25đ) b, Vì a + b + c =  a = - b - c  a2 = b2 + 2bc + c2  a2 - b2 - c2 = 2bc Tương tự có: (0,5đ) b2 - c2 - a2 = 2ac B= c2 - a2 - b2 = ab (0,25®) a2 b2 c2 a  b  c 3abc      2bc 2ac 2ab 2abc 2abc (0,5®) Vậy B = Bài 2( điểm) Điều kiện để giá trị biểu thức P xác định : x0; x a) Rót gän: x x 3 2( x  3) x3   P= ( x  1)( x  3) x 1 x 3 x x   2( x  3)  ( x  3)( x  1) (0,5 ®) = = = (0,25 ®) ( x  3)( x  1) x x   x  12 x  18  x  x  x  x x  x  x  24 ( x  3)( x  1) ( x  3)( x  1) = x( x  8)  3( x  8) ( x  3)( x  1) x8 = x 1 b) x = 14 - = ( )2 - 2.3 + = ( - 3)2  x = - (0,75 ®) 14   22  58  Khi ®ã P = = = 11 3 1 4 58  VËy víi x = 14 - th× P = 11 c) x8 x 1 9 P=   x 1  x 1 22 924 x 1 x 1 x x ( áp dụng BĐT CôSi cho sè d­¬ng x  1; ) x 1 DÊu"=" x¶y  x    x = (tháa m·n ®iỊu kiƯn) x 1 VËy minP = 4, đạt x = ThuVienDeThi.com (0,25 ®) (0,5 ®) (0,5 ®) (0,25 ®) (1 ®) (0,25 đ) (0,25 đ) Bài 3: điểm (mỗi câu ®iĨm) a) x2 + 4x + = ( x + 1)( x+ 3) x2 + 8x + 15 = ( x +3)(x+5) x2 + 12x + 35 = ( x +5)( x + 7) x2 + 16x + 63 = ( x + 7)( x + 9)  §KX§: x  -1; x  -3; x  -5; x  -7; x  -9 1 1     =>pt  ( x  1)( x  3) ( x  3)( x  5) ( x  5)( x  7) ( x  7)( x  9) 1 1 1 1 1             x 1 x  x  x  x  x  x  x   1 1  )  ( x 1 x   5( x + - x -1) = 2( x+1)( x+9)  2x2 + 20x + 18 - 40 =  x2 + 10x - 11 = Ph­¬ng trình có dạng a + b + c =  x1 = 1; x2 = -11 x1; x2 tháa mÃn ĐKXĐ (0,5 đ) Vậy tập nghiệm phương trình : S = b) ĐKXĐ: x -2 (0,5 ®) ( 0,5 ®) Pt  11;1 ( x   2)  ( x   3)    x2 2 + a) Ta cã : M = ( + )( y2 + x2 2 + ( x y  1) )= 2 2  ( xy x y 1 15 Mặt khác : xy + = ( xy + )+ xy 16 xy 16 xy y x x+2-3  ( A  B)  , ta cã : 2 b) ¸p dơng BĐT : + B2 ThuVienDeThi.com (0,5 đ) (0,5 đ) (0,5 ®) ) xy 1 2 = 16 xy 16 x y 1 xy    xy 2 1 15 17 Tõ (1), (2) vµ (3) ta cã : xy +  + = xy 16 17 289  (xy + ) ( ) = xy 16  xy  289  16 xy  x = y = VËy minM = , đạt 16 x y áp dụng BĐT Côsi : xy + A2 (0,5 đ) (0,25 đ) Dấu "=" xảy : ( x   )( - x  )    x    2 x  VËy tập nghiệm phương trình : S = x /  x  7 Bµi 4: ( điểm) ( câu 1,5 điểm) (0,25 đ) (0,25 đ) x+2-3 = áp dụng BĐT |A|+ |B| | A + B| ta cã : x2 (0,5 ®) ( 1) (2) ( 3) (x  y  x y ) xy ) + ( y + )2 x y 2 Mặt khác : (x + y)  4xy ( ( x -y)2 0)   4xy  xy  N=(x+ (1  = ) xy 2    1   1   (1  )   xy   25 VËy N  25 N  2 2 x  y  DÊu "=" x¶y  x=y= x  y Bài 5: ( điểm) Gọi E giao ®iĨm cđa AC vµ ML Ta cã: gãc NCD = gãcNCB A (cïng phơ víi goc BCN) gãc NBC = góc NAM ( chắn cung MN) Tam giác NCL đồng dạng với NC NL tam giác NAM NA NM Mặt khác : góc ANC = góc MNL ( cïng b»ng 900 + gãcMNC) D  tam giác ANC đồng dạng với tam giác MNL góc NAC = gãc NML hay gãc NAE = gãc NME Tứ giác AMEN nội tiếp E thuộc đường tròn đường kính AM góc AEM = 900 hay ML vuông góc với AC ( đpcm) B M N E L C Bài 6: ( điểm) a) (2 ®) Chøng minh ®­ỵc OM  BC HOK  AOM  OH OK = OA OM M C  OA.OK = OH.OM (1) Xét BOM vuông B nên OB2 = OH.OM (2) Tõ (1) vµ (2)  OA.OK = = OB2 = R2 (không đổi) H O R2 OK = không đổi OA A B K cố định OA b) (2 đ) H nằm đường tròn đường kính OK cố định c) S = dtMBOC = K MO.BC  S nhá nhÊt  OM nhá nhÊt vµ BC nhá nhÊt  OM nhá nhÊt  M  A BC nhá nhÊt  BC  OK  M  A ThuVienDeThi.com ThuVienDeThi.com ... x8 x 1 9 P=   x 1  x 1 22 9? ??24 x 1 x 1 x x ( áp dụng BĐT CôSi cho sè d­¬ng x  1; ) x 1 DÊu"=" x¶y  x    x = (tháa m·n ®iỊu kiƯn) x 1 VËy minP = 4, đạt x = ThuVienDeThi.com... x2 + 16x + 63 = ( x + 7)( x + 9)  §KX§: x  -1; x  -3; x  -5; x  -7; x  -9 1 1     =>pt  ( x  1)( x  3) ( x  3)( x  5) ( x  5)( x  7) ( x  7)( x  9) 1 1 1 1 1        ... B2 ThuVienDeThi.com (0,5 đ) (0,5 ®) (0,5 ®) ) xy 1 2 = 16 xy 16 x y 1 xy    xy 2 1 15 17 Tõ (1), (2) vµ (3) ta cã : xy +  + = xy 16 17 2 89  (xy + ) ( ) = xy 16  xy  2 89  16 xy  x