CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI VÒNG LỚP Quận (2014-2015) Bài 1: (4 điểm) a) Cho số a, b, c khác thỏa maõn: a2 b c b2 c a 2015 Tính giá trị biểu thức M c2 a b b) Chứng minh rằng: a b phương trình (ẩn x): 2ax2 bx a có nghiệm Bài 2: (4 điểm) Giải phương trình hệ phương trình sau: x3 3x 70 a) x x 1 x xy x 7y b) 2 x y xy 13y Bài 3: (4 điểm) a) Cho a, b, c > thỏa mãn: a b c abc Chứng minh rằng: 1 a2 b) Tìm số nguyên tố p thỏa mãn: p2 23 có ước dương 1 b2 1 c2 Bài 4: (6 điểm) Cho ABC nội tiếp (O;R) có AB AC R M điểm di động cung AC Gọi D giao điểm AM BC a) Tính độ dài BC theo R b) Gọi N trung điểm đoạn thẳng AD Xác định vị trí điểm M để AM ON nhỏ Bài 5: (2 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Các tia BA, CD cắt E, tia DA, CB cắt F Đường tròn ngoại tiếp CEF cắt đường tròn (O) N (khác C) Gọi M trung điểm đoạn thẳng EF Chứng minh: M, A, N thẳng hàng Học Sinh Giỏi Lớp (Vòng 2) –Qu n (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI VÒNG LỚP Quận (2014-2015) Bài 1: (4 điểm) a) Cho số a, b, c khác thỏa mãn: a2 b c b2 c a 2015 Tính giá trị biểu thức M c2 a b Caùch 1: a b c a ab ac bc abc 2015 Ta coù: b c a b bc ab ac abc 2015 Do ñoù: a b ab bc ca ab bc ca a b abc 2015 Vậy c2 a b c ca bc ab abc 2015 2015 Cách 2: Ta có: a2 b c b2 c a a2 b a2 c b2 c b2a ab a b c a b a b a b ab bc ca ab bc ca a b Do đó: a2 b c a ab ac a bc abc Vì vậy: M c2 a b c ca bc c ab abc a2 b c 2015 Vaäy M 2015 b) Chứng minh rằng: a b phương trình (ẩn x): 2ax2 bx a có nghiệm Cách 1: Xét phương trình: 2ax2 bx a (1) với a b a b : (1) có dạng: bx 1 x a : b2 8a 1 a b neân b Vậy (1) có nghiệm b a 1 a a < hay a 1 có nghiệm a 1 a a : từ gt ta có : b a a b2 4a a2 b2 8a 1 a 8a 1 a 4a a2 9a2 12a 3a 1 có nghiệm Cách 2: b2 8a 1 a b2 8a2 8a Từ gt ta có: a a b a 8a 4a2 ab 8a Mặt khác: b2 4a2 4a2 b2 ab 2 3 Từ (2) (3) cho ta: 8a2 b2 8a 8a2 b2 8a Học Sinh Giỏi Lớp (Vòng 2) –Qu n (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 Bài 2: (4 điểm) Giải phương trình hệ phương trình sau: x3 3x a) x3 (1) x x 1 Điều kiện: x 2 1 x x x xx x x x x3x 8 3 x2 x2 x2 3 3x2 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 x2 1 x2 2 x2 x x thỏa mãn x 1 x 1 1 Vaäy S xy x 7y 1 b) 2 x y xy 13y coù y Do hệ phương trình trở thaønh: 1 x x x x y y y y x x 13 x x 13 y y y y a x y Đặt: b x y Khi hệ phương trình trở thành: a b a b a 5 a hay a a 20 b 12 b a b 13 x 5 a 5 y Với b 12 theo định lý Vi-ét đảo x, nghiệm phương trình: y x 12 y t2 5t 12 : phương trình vô nghieäm x 4 a y Với b theo định lý Vi-ét đảo x, nghiệm phương trình: y x y x x x h 3 hay 1 h 4h hay h y y y y Vậy hệ phương trình có nghiệm: x;y 3;1 ; 1; 3 Học Sinh Giỏi Lớp (Vòng 2) –Qu n (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 Bài 3: (4 điểm) a) Cho a, b, c > thỏa mãn: a b c abc Chứng minh rằng: 1 a 1 b 1 c Với a, b, c > thỏa mãn: a b c abc 1 a2 abc bc 2 1 a abc a a b c bc a a b c b c b c a b a c a b a c Tương tự: 1 b2 1 1 c a b c b a Từ (1), (2), (3) cho ta: bc a b a c 2; c2 1 a2 b2 c2 1 a b a c b c (3) b) Tìm số nguyên tố p thỏa mãn: p2 23 có ước dương Với p = p2 23 27 33 có ước dương (loại) Với p = p2 23 32 25 có ước dương (nhận) Với p > p2 23 p2 24 ( Ta coù: p > 3, p P nên p 1;p hai số chẵn liên tiếp p 1 p 1 p2 Maø 24 p2 23 (1) Mặt khác: p > 3, p P nên p chia hết cho Maø p 1;p;p laø ba số liên tiếp nên tồn số p 1 p 1 p2 Mà 24 Nên p2 23 (2) Ta coù : 3;4 (3) Từ (1) , (2), (3) ta có : p2 23 12 Ta lại có : 12 22.3 có 11 1 ước dương Mà p2 23 12 nên p2 23 có nhiều ước dương (loại) [số ước nguyên dương số tích số mũ cộng 1] Vậy p = giá trị cần tìm Bài 4: (6 điểm) Cho ABC nội tiếp (O;R) coù AB AC R M điểm di động cung AC Gọi D giao điểm AM BC A M N B O C D Học Sinh Giỏi Lớp (Vòng 2) –Qu n (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 a) Tính độ dài BC theo R AOB có: OA2 OB2 AB2 2R2 AOB 900 Tương tự: AOC 900 Nên B, O, C thẳng hàng BC 2R b) Gọi N trung điểm đoạn AD Xác định vị trí điểm M để AM ON nhỏ Ta có: ON AD AC AM AM.AD AC2 R 2R2 AD AC AM.AD R2 2R: Không đổi Ta có: AM ON AM.ON 2 ACM ADC (g-g) Dấu “=” xảy AM ON R sđAM 600 Vậy M AC , sđAM 600 AM ON nhỏ Bài : (2 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Các tia BA, CD cắt E, tia DA, CB cắt F Đường tròn ngoại tiếp CEF cắt đường tròn (O) N (khác C) Gọi M trung điểm đoạn thẳng EF Chứng minh: M, A, N thẳng hàng Gọi T giao điểm NA EF Ta có: TAF DAN đối đỉnh TFN DAN(cuøng buø ECN) N C TFN g g TAF TFN TAF O TA TF TF2 TA.TN TF TN TAE BAN đối đỉnh TAE TEN Mặt khác: TEN BAN BCN TAE TEN g g B F TA TE TE2 TA.TN TE2 TF2 TA.TN T M TE TN Vậy ba điểm M, A, N thẳng hàng D A T M E HẾT Học Sinh Giỏi Lớp (Vòng 2) –Qu n (14-15) ThuVienDeThi.com ... THĂNG LONG 20 14 -20 15 ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI VÒNG LỚP Quận (20 14 -20 15 ) Bài 1: (4 điểm) a) Cho số a, b, c khác thỏa maõn: a2 b c b2 c a 20 15 Tính giá trị biểu thức M c2 a ... (3) Từ (1) , (2) , (3) ta có : p2 23 12 Ta lại có : 12 22 .3 coù 1? ??? ?1 1? ?? ước dương Mà p2 23 12 nên p2 23 có nhiều ước dương (loại) [số ước nguyên dương số tích số mũ cộng 1] Vậy... 3 x2 x2 x2 3 3x2 1? ?? ? ?2 x ? ?1 x ? ?1 x ? ?1 x ? ?1 x2 ? ?1 x2 ? ?2 x2 x x thỏa mãn x ? ?1 x ? ?1 ? ?1 Vaäy S