CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI VÒNG LỚP Quận (2014-2015) (NGÀY THI: 26/12/2014) Bài 1: (3 điểm) Cho a, b, c ba số thực khác 1 0 a b c bc ca ab 3 a2 b2 c2 Bài 2: (4 điểm) Giải phương trình sau: a) x x x x 12 25x2 Chứng minh: b) x2 3x x 3x Bài 3: ( điểm) Giải hệ phương trình: x xy y x y 2 x xy y x y Bài 4: (3 điểm) Cho x > 0, y > vaø x2 y 1 1 Chứng minh : S 1 x 1 y y x Baøi 5: (3 điểm) Cho a, b hai số nguyên Chứng minh a b ab chia hết cho 441 ab chia hết cho 441 Bài 6: (4 điểm) Gọi AD đường phân giác góc A ABC (D thuộc đoạn BC) Trên đoạn AD lấy hai điểm M, N cho ABN CBM BM cắt đường tròn ngoại tiếp ACM điểm thứ hai E CN cắt đường tròn ngoại tiếp ABN điểm thứ hai F a) Chứng minh: BCEF tứ giác nội tiếp b) Chứng minh ba điểm: A, E, F thẳng hàng c) Chứng minh rằng: BCF ACM Từ suy ACN BCM HEÁT Trang Học Sinh Giỏi Lớp (Vòng 2) –Qu n (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI VÒNG LỚP Quận (2014-2015) (NGÀY THI: 26/12/2014) Bài 1: (3 điểm) Cho a, b, c ba số thực khác Chứng minh: 1 0 a b c bc ca ab 3 a2 b2 c2 3 1 1 1 1 1 1 Ta coù: a b c a b c a b c ab a b 1 1 1 1 abc abc abc bc ca ab 3 3 a b a b c abc a b c a b c ab c c Baøi 2: (4 điểm) Giải phương trình sau: a) x x x x 12 25x2 x x x x 12 25x x2 10x 24 x2 14x 24 25x2 Đặt t x2 2x 24 Khi đó., phương trình trở thành: t 12x t 12x 25x2 t2 144x2 25x2 t2 169x2 t 13x t 13x 15 129 15 129 hay x 2 2 TH 2: t 13x x 2x 24 13x x 11x 24 x 3 hay x 8 TH 1: t 13x x2 2x 24 13x x 15x 24 x 15 129 15 129 Vaäy S ; ; 3; 8 2 b) x2 3x 3x x x 3x Điều kiện: x pt 3x x x 1 x x 1 3x x 1 x 3x x x x x x x 2 x x x 1 x x 3x 3x x 3x x x 7x x Vaäy S 1 Trang Học Sinh Giỏi Lớp (Vòng 2) –Qu n (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 Bài 3: ( điểm) Giải hệ phương trình: x xy y x y 2 x xy y x y 2 x2 xy y x y x xy y x y x xy y x y 2 x xy y x 2xy y 2x 5xy 2y x xy y x y x 2y 2 x xy y x y x2 xy y x y I 2 x xy y x y x 2y x 2y 2x y y 2x y 2x x xy y x y II x 2y x 2y x 2y Giải hệ (I), 2 2 2y 2y y y 2y y x xy y x y 4y 2y y 3y x x 2y x 2y x 2y y y x y y 1 3y 3y y y y 2x y 2x y 2x Giải hệ (II), 2 2 x 2x 4x 3x x x 2x 2x x 2x x xy y x y x y 2x y 2x y 2x y x x x 1 3x 3x x 1 x 1 y 2 x x x 1 ; ; Vậy nghiệm hệ phương trình y y y 2 Baøi 4: (3 điểm) Cho x > 0, y > x2 y 1 1 Chứng minh : S 1 x 1 y y x Ta coù : 1 x y x y 1 1 1 S 1 x 1 1 y 1 x y x y y y x x x y x y y x 1 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, cho số dương, ta coù: x y xy Ta coù: x y2 2xy 2xy 2 2 xy xy 1 Do đó: 2 x y Trang Học Sinh Giỏi Lớp (Vòng 2) –Qu n (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 Đến đây, ta dùng điểm rơi Cô-si, sau: Do vai trò x, y nên ta dự đoán dấu ‘’=’’ xảy x = y maø x y2 neân x y 1 x x 1 2 Từ đó, ta có: ;cho k k 2 k k x x Trình bày tiếp: x y 11 1 S 2 x y 2x 2y x y y x 22 x y 1 2 x y 2 y x 2x 2y 1 43 2 1 1 Vaäy S 1 x 1 y y x =2 Baøi 5: (3 điểm) Cho a, b hai số nguyên Chứng minh a b ab chia hết cho 441 ab chia hết cho 441 441 32.72 ; số nguyên tố a b ab a b 21ab 441 a b 21ab 2 a b 21ab a b a b 2 a b maø a b 21ab neân 21ab ab 2 Ta có: a b ab a vaø b ab Mặt khác, ta có a b ab a b 21ab a b 21ab 2 a b 49 Maø a b 21ab 49 neân 21ab 49 ab 2 Ta có: a b ab a b ab 49 Ta có: ab 9, ab 49, ÖCLN 9,49 441 Do ab chia hết cho 441 Bài 6: (4 điểm) Gọi AD đương phân giác góc A ABC (D thuộc đoạn BC) Trên đoạn AD lấy hai điểm M, N cho ABN CBM BM cắt đường tròn ngoại tiếp ACM điểm thứ hai E CN cắt đường tròn ngoại tiếp ABN điểm thứ hai F Trang Học Sinh Giỏi Lớp (Vòng 2) –Qu n (14-15) ThuVienDeThi.com CÔNG TY CỔ PHẦN GIÁO DỤC THĂNG TIẾN THĂNG LONG 2014 -2015 F A E N M C D B a) Chứng minh: BCEF tứ giác nội tiếp BFC BAD góc nội tiếp chắn BN ABN Ta có: BEC CAD góc nội tiếp chắn CN ABN BAD CAD AD laø đường phân giác ABC BFC BEC tứ giác BCEF nội tiếp tứ giác có đỉnh liên tiếp nhìn cạnh góc b) Chứng minh ba điểm: A, E, F thẳng hàng CFE CBE góc nội tiếp chắn CE BCEF Ta có: ABN CBE ABN CBM CFE ABN mà ABN CFA góc nội tiếp chắn AN ABN nên CFE CFA tia FE tia FA A, E, F thẳng hàng c) Chứng minh rằng: BCF ACM Từ suy ACN BCM BCF BEF góc nội tiếp chắn BF BCEF Tacoù: ACM BEF góc nội tiếp chắn AM ACM BCF ACM BCM MCN ACN MCN BCM ACN HẾT Trang Học Sinh Giỏi Lớp (Voøng 2) –Qu n (14-15) ThuVienDeThi.com ... thành: t 12x t 12x 25 x2 t2 144x2 25 x2 t2 169 x2 t 13x t 13x 15 1 29 15 1 29 hay x 2 2 TH 2: t 13x x 2x 24 13x x 11x 24 x 3... LONG 20 14 -20 15 ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI VÒNG LỚP Quận (20 14 -20 15) (NGÀY THI: 26 / 12/ 2014) Bài 1: (3 điểm) Cho a, b, c ba số thực khác Chứng minh: 1 0 a b c bc ca ab 3 a2 b2 c2 3 1... c Bài 2: (4 điểm) Giải phương trình sau: a) x x x x 12 25 x2 x x x x 12 25 x x2 10x 24 x2 14x 24 25 x2 Đặt t x2 2x 24 Khi