Đề khảo sát học sinh giỏi lớp 9 năm học 2015 – 2016 Môn Toán42360

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NAM TRỰC ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2015 – 2016 MƠN TỐN (Thời gian làm 150 phút) Đề thi gồm 01 trang ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: (4,0 điểm) x2  x 2x  x x  1 Rút gọn biểu thức P  với x > 0, x 1   x  x 1 x x 1 Cho x + = Tính giá trị biểu thức A = 7(x2 – 4x)100 + (x2 – 4x)50 + 2016 Bài 2: (4,0 điểm) Tìm nghiệm tự nhiên phương trình 2x + = y2 Giải phương trình x  12   x  x  Bài 3: (3,0 điểm) x  y  z  Giải hệ phương trình  2 xy  z  Bài 4: (2,0 điểm) Cho x, y, z > thoả mãn x + y + z = x2 y2 z2   Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = yz zx x y Bài 5: (7,0 điểm) Cho đường tròn tâm O đường thẳng d cắt đường trịn tâm O hai điểm B, C (d khơng qua O) Trên tia đối tia BC lấy điểm A (A nằm ngồi đường trịn tâm O) Kẻ AM AN tiếp tuyến với đường tròn tâm O M N Gọi I trung điểm BC, AO cắt MN H cắt đường tròn điểm P Q (P nằm A O), BC cắt MN K a Chứng minh điểm O, M, N, I nằm đường tròn AK AI = AM2 b Gọi D trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vng góc với MD cắt đường thẳng MP E Chứng minh P trung điểm ME Cho hình vng có độ dài cạnh 1m, hình vng đặt 55 đường trịn, đường trịn có đường kính m Chứng minh tồn đường thẳng giao với bảy đường trịn Hết -ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN CHẤM Bài 1: (4,0 đ) Nội dung Câu P (2,0đ) Điểm x  x 2x  x x  1   x  x 1 x x 1 P  x x  x  1 x 2 x  x 1  x  1 2   x  1 x  1 x 1 x   x  1 1,0 x 1 x 1   x  x 1 1,0 x + = => x     ( x  2)  2 2 (2,0đ)  x  x    x  x  1 A = 7(-1)100 +(-1)50 +2016 A = 2024 1,0 1,0 Bài 2: (4,0đ) Câu (2,0đ) Nội dung Với x = y = y = -2 Với x= y2 Điểm 0,5 = (loại) 0,5 Với x  VT chia dư 3, 0,5 Vì VT số tự nhiên lẻ => y số tự nhiên lẻ (2,0đ) => VP chia dư => vơ lí 0,25 Vậy nghiệm tự nhiên phương trình (x,y) =(0;2) 0,25 Để phương trình có nghiệm : x 4 x  12  x   x    x  x  12   x   x    x2  x  12   x    x 5 3 ThuVienDeThi.com 0,5   x2 x 1  x     3   x  2 x2     x  12  x2 x2    0, x  Dễ dàng chứng minh x  12  x2   Vậy tập nghiệm phương trình S = {2} 0,25 0,5 0,5 0,25 Bài 3: (3,0đ) Nội dung Câu 3,0đ x  y  z  z   x  y    2 2 xy  z  2 xy  z   z   x  y  z   x  y   2 2 xy  2  x  y   x     y    Điểm 1,0 (1) (2) Từ phương trình tìm x=2 y=2 Thay vào phương trình tìm z = -2 1,0 1,0 Bài 4: (2,0đ) Nội dung Câu 2,0đ Điểm Vì x, y, z > ta có: x2 yz ta được: Áp dụng BĐT Côsi số dương yz x2 yz x2 y  z x  2   x (1) Tương tự ta có: yz yz 4 y xz   y (2) xz z2 x y   z (3) x y 0,5 Cộng (1) + (2) + (3) ta được:  x2 y2 z2  x  y  z P    yz zx xy xyz  P  x  y  z   1 2 Vậy P =  x  y  z  0,5 0,5 Dấu “=” xảy  x  y  z  ThuVienDeThi.com 0,25 02,5 Bài 5: : (7,0đ) Nội dung Câu Điểm M (5,5 đ) Q P A O D H B K I E 1a (2,0đ) 1,5đ 1b (2,0đ) C d N ฀  900 I trung điểm BC ( dây BC không qua O )  OI  BC  OIA => I thuộc đường tròn đường kính AO (1) ฀ Ta có AMO  900 ( AM hai tiếp tuyến (O) ) => M thuộc đường trịn đường kính AO (2) ฀ANO  900 ( AN hai tiếp tuyến (O) ) => N thuộc đường trịn đường kính AO (3) => điểm A, M, N, O, I thuộc đường trịn đường kính AO Suy điểm O, M, N, I thuộc đường trịn đường kính OA AM, AN hai tiếp tuyến (O) cắt A nên OA tia phân giác ฀ mà ∆OMN cân O nên OA  MN MON ∆AMO vuông M đường cao MH nên ta có AH.AO = AM2 ฀ ฀ ฀ chung ) ∆AHK đồng dạng với ∆AIO ( AHK=AIO=90 OAI Suy AK.AI = AH.AO => AK.AI = AM2 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 ฀ Ta có M thuộc đường trịn (O) => PMQ=90 ฀ ฀ ฀ Xét ∆MHE ∆QDM có MEH=DMQ ( phụ với DMP ), ฀ ฀ ฀ ( phụ với MPO ) EMH=MQD  ∆MHE đồng dạng ∆QDM ME MH   MQ DQ ∆PMH đồng dạng với ∆MQH MP MH MH    MQ HQ DQ MP ME   MQ MQ  ME = MP  P trung điểm ME ThuVienDeThi.com 1,0 0,5 0,5 (1,5 đ) Kẻ đường thẳng song song cách chia hình vng thành 10 hình chữ nhật có chiều rộng 0,1m Vì đường kính hình trịn lớn 0,1m nên đường trịn bị đường thẳng vừa kẻ cắt Nếu đường thẳng cắt khơng q đường trịn số đường trịn khơng q 9.6=54 Vì có 55 đường trịn nên phải có đường thẳng cắt đường tròn Chú ý: - Học sinh làm cách khác chặt chẽ cho điểm tương đương - Giám khảo chấm thống cho điểm đến 0,25 - Nếu học sinh vận dụng kiến thức trước chương trình cho điểm - Điểm học sinh tính đến 0,25 khơng làm trịn ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 0,5 ... khơng q 9. 6=54 Vì có 55 đường trịn nên phải có đường thẳng cắt đường tròn Chú ý: - Học sinh làm cách khác chặt chẽ cho điểm tương đương - Giám khảo chấm thống cho điểm đến 0,25 - Nếu học sinh vận... 90 0 I trung điểm BC ( dây BC không qua O )  OI  BC  OIA => I thuộc đường trịn đường kính AO (1) ฀ Ta có AMO  90 0 ( AM hai tiếp tuyến (O) ) => M thuộc đường trịn đường kính AO (2) ฀ANO  90 0... chung ) ∆AHK đồng dạng với ∆AIO ( AHK=AIO =90 OAI Suy AK.AI = AH.AO => AK.AI = AM2 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 ฀ Ta có M thuộc đường tròn (O) => PMQ =90 ฀ ฀ ฀ Xét ∆MHE ∆QDM có MEH=DMQ ( phụ với