ĐỀ THI TỔNG HỢP 11+12 NĂM HỌC 2005-2006 Ngày thứ (05 – 11 –2005) 180’ m a m a m a 9R 14Rr 4r Bài 1: Chứng minh rằng: ha 2Rr Bài 2: Tìm tất số nguyên tố p cho p2-p+1 lập phương số tự nhiên Bài 3: Cho đoạn thẳng AB=2a Với điểm C đoạn thẳng AB ta dựng nửa đường trịn đường kính AC,BC nằm phía với đoạn thẳng AB Một đường thẳng tiếp xúc với nửa đường tròn điểm phân biệt P,Q Gọi I trung điểm PQ O trung điểm AB 1) Chứng minh bán kính đường trịn qua điểm O,P,Qkhơng bé 2) Gọi E,F điểm đoạn thẳng AB cho OE=OF= a a Chứng minh IE+IF khơng phụ thuộc vào vị trí điểm C Ngày thứ hai (06 – 11 –2005) thời gian :180’ * * Bài 4: Tìm tất hàm số f : N N cho với cặp số nguyên dương m,n ta 2 có (m n) chia hết cho f (m) f (n) Bài 5: Chứng minh 108 điểm nguyên (x;y;z) thỏa mãn x, y,z ta chọn điểm A i ;Bi i=1,4 cho đoạn thẳng AiBi đồng quy trung điểm đoạn Bài 6: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tâm O Các đường thẳng AB,CD cắt E, AD,BC cắt F, AC,BD cắt M Các đường tròn ngoại tiếp tam giác CBE, CDF cắt N Chứng minh O,M,N thẳng hàng DeThiMau.vn NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG 2005 Bài 1(2,0 đ):Cmr đồ thị hàm số f (x) x 4x 4x có điểm cực trị thc parabol.Xác định pt parabol Bài 2(1,5 đ):Tìm giá trị a để pt :ax2+1=cosx có no (0; ) ax+b+2006 ; x Bài 3(1,5 đ)cho hàm số :f(x)= 2005x Tìm a,b để hàm có đạo hàm x=0 ; x>0 x Bài 4(2,0 đ):Cho csc: x1 , x , ; y1 , y , thỏa mãn: x1 y1 ; x 2k-1 y 2k-1 78; x 2k y 2k 53 x 2k+1 y 2k+1 27 (k>1) : Tìm tất giá trị k thỏa mãn Bài 5(2,0 đ):Cho tứ diện ABCD có đường cao a,Cmr cặp cạnh đối b,Gọi số đo góc nhị diện cạnh AB.A,B góc ABC.Cmr:2cotgA.cotgB+cos =1 Bài 6(1,0 đ)Gọi A,B,C góc tam giác x (0; ) thỏa mãn: (sinx)3=sin(A-x) sin(B-x) sin(C-x) Xác định giá trị max x VÒNG 2: x x xn Bài Cho n N x1 , x , , x n R CMR: 2 n x1 x x1 x n x12 Bài Cho biet pt :x2-ny2=1 có no ng dương với n I a) Nếu n ng tố pt : nx2-y2=1có vơ số no ngun dương b) Một số ngun dương n gọi có tính chất A tồn số nguyên dương N2 phân tích thành tổng bình phương n số nguyên dương liên tiếp.Hỏi có vơ hạn số có t/c A hay khơng? x12 x 4x1 x x 4x Bài 3: cho hệ pt : Hỏi hệ có no khơng? x x 4x n n Bài 4: Cho lục giác A1A A Gọi P,Q,R giao điểm đường chéo Các phân giác góc P cắt A1A2 A4A5 P1 ,P2 Các điểm P1 ,P2 ; P1 ,P2 đ/n tương tự.Cmr: Nếu P1P2 3 (A1A A A ); Q1Q (A A A A ); R 1R (A 3A A A1 ) lục giác có 2 cạnh đối song song DeThiMau.vn HSG TPHCM 2005: VÒNG 1: x cosa 2x cosa Câu 1: a) Cho hàm số: y (0 a ) Cmr: 1 y x R x 2x cosa b) Cho: y x 5x mx Tìm m để Min y>1 Câu 2: Cho x,y,z thuộc (0,1) Cm:a) 2(x y3 ) x y y x b) 2(x y3 z ) x y y z z x Câu 3: Cho thuộc [0,1] (i=1, ,n) Cm: (1 a1 a n ) 4(a12 a 22 a 2n ) Câu 4: Cho f:Z ->R xác định: f(n)= n 10 ; n 100 Cmr: f(n)=91 với n 100 f(f(n+1)) ; n 100 Câu 5: Cho hình hộp có mặt đối diện hình chữ nhật // ABCD A'B'C'D' Đặt , góc nhị diện (B,AC',D) Cm: cos cot g.cot g Câu 6: Cho hình chữ nhật ABCD, Tìm tứ giác có chu vi nhỏ mà đỉnh nằm đỉnh khác hình chữ nhật VỊNG 2: Bài 1: cho a,b,c>0 thỏa a+b+c=1 cm: (1 a)(1 b) 2 c Bài 2: cho dãy (an) thoả: a1 3; a m+n a m n m 1 (a 2m a 2n ) Tính a2006=? Bài 3: cho cấp số cộng gồm 15 số nguyên tố với công sai d>0 Cm: d>30000 Bài 4: cho ABC có độ dài phân giác nhỏ cm diện tích tam giác nhỏ 3 Bài 5: cho ABC nội tiếp đường tròn (O) đường tròn (J) tiếp xúc với đường tròn (O) D tiếp xúc với cạnh AB E (D E nằm khác phía BC) từ C kẻ tiếp tuyến với (J) F Cm EF qua tâm đường tịn nội tiếp ABC DeThiMau.vn Bài 6: có tất hàm f liên tục từ R -> R thỏa mãn : f (x) (x 3)f (x) (x 3)f (x) x PT NĂNG KHIẾU: 1)Cho ABCD nội tiếp (O;R), K giao điểm đường chéo, M,N,P,Q chân đường cao từ K đến AB,BC,CD,DA Đặt s=S(ABCD); s1 =S(MNPQ); p1=P(MNPQ) d2 a) cm: s1 s ; b) cm: p1 8.s.(1 ) R 2 2) Cho dãy {an} bị chặn thỏa: a n a n 1 a n Cm {an} hội tụ? 3 3) Cho R hcn 11x12 Phủ lên R n hcn 1x6 1x7 cho n hcn khơng có điểm chung Tìm n 4) Cho X={1,2, ,200} s số tập A X thỏa: i) A a 5 a A ; ii) a1 : a a1 a A Tìm số dư s chia cho 5) a) a,b,c>0 cm: a3 b3 c3 abc (a 2b b c c a ) k b) Tìm k max cho: a3 b3 c3 kabc (1 )(a 2b b c c a ) a,b,c 6) Cho tam giác ABC nội tiếp (O) có BC cố định, A thay đổi (O) M,N giao điểm phân giác góc B,C với (O1) đường kính BC a) cm (d1) qua A vng góc MN qua điểm cố định b) H,K giao điểm AB,AC với (O1) d2 qua A vng góc HK cắt (O1) P,Q Cm giao điểm S hai tiếp tuyến (O1) P,Q thuộc đường cố định DeThiMau.vn LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH Ngày thứ (23/11/2005) 18o p Bài (4đ):Tìm tất nghiệm nguyên phương trình: x2+y2+1=xyz Bài (5đ):Tìm tất đa thức P(x) thỏa mãn P(x2)=P(x).P(x+1) với số thực x Bài (5đ):Cho đa thức P(x)=x3-3x+1 Tìm số nghiệm phương trình:P(P(x))=0 Bài (6đ):Trên mặt phẳng cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn.Gọi giao điểm đường chéo AC,BD.Gọi E,F thứ tự hình chiếu vng góc I lên AB,CD Gọi M,N theo thứ tự trung điểm cạnh BC,AD.Ta kí hiệu Cm: (AD.BE BC.DF)sin A (AD.CF BC.AE)sin B 2EF.MN Ngày thứ (24/11/2006) 18o p Bài (5đ):Tìm tất hàm số f : R R thỏa mãn điều kiện :f(xf(y))=f(xy)+x với số thực không âm x,y Bài (4đ):Cho số thực dương a,b,c,d Cmr: (a b) (b c) (c a) 4(a b c) abc Bài (5đ):Cho đa thức P(x) bậc lớn có hệ số hữu tỉ Giả sử có dãy vơ hạn số hữu tỉ (an) thỏa mãn P(an+1)=anvới số tự nhiên n Chứng minh dãy số nêu có vơ số phần tử Bài (6đ):Cho tứ diện ABCD Ta kí hiệu góc : ABD ; BAD ; ADB BC=a; CA=b; AB=CD=cvà S dt ABC.Biết a cot g b cot g c cot g S Hãy tìm tổng cosin góc nhị diện cạnh tứ diện ABCD DeThiMau.vn NGUYỄN DU –BN MÊ THUẬT Bài : Chứng minh phương trình:9x3-36x2+45x-17 có ba nghiệm độ dài ba cạnh tam giác tù Bài 2: Cho dãy số (xn) xác định : x1 27 ; x n+1 xn 1 ( xn 1 1) xn 10 Chứng minh dãy (xn) có giới hạn Bài 3: a) Cho ba đường tròn (C1 ),(C2 ),(C3 ) tâm O, bán kính tương ứng R; 2R; 3R Trên (C1 ),(C2 ),(C3 ) lấy ba điểm A,B,C cho tam giác ABC vuông cân B điểm O thuộc miền tam giác ABC.Tính diện tích tam giác ABC theo R b) Cho đường tròn (O;R) tiếp xúc với đường thẳng (d) cố định H M,N hai điểm di động (d) cho HM.HN k (k 0) Từ M,N kẻ tiếp tuyến MA,NB với (O) Chứng minh đường thẳng AB qua điểm cố định Bài 4: Cho đa thức P(x) có hệ số nguyên thỏa mãn điều kiện : P(2006)=2006! xP(x-1)=(x-2006)P(x) Cmr: f(x)=(P(x))2+1 bất khả quy Z[x] Bài 5: Tổng m số nguyên dương chẵn khác n số nguyên dương lẻ khác 2001.Tìm giá trị lớn biểu thức A=5m+2n DeThiMau.vn ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI Ngày thứ nhất: Thời gian Bài 1: Cho x,y,z số dương thỏa mãn xy+yz+zx=7 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:P= x 108 y 16 z x2 y2 z2 Bài 2:Cho hai đa thức P(x) x n a1x n 1 a n 1x a n Q(x) x m b1x m 1 b m 1x b m ( m,n N* ) P(x) chia hết cho Q(x) Q(x) có m nghiệm thực ( không thiết phân biệt) Giả sử tồn k (1 k m) mà b k Ckm 2005k Chứng minh tồn j n mà a j 2004 Bài 3:Cho (O1 ;R ) (O ;R ) hai đường tròn cắt A B Đường thẳng d quay quanh B cắt (O1) (O2)tại C D ( B nằm C D) Gọi M trung điểm CD AM cắt (O2) điểm thứ P Gọi Q giao điểm đường thẳng AC với đường thẳng vng góc với O1M M Chứng minh PQ qua điểm cố định Bài 4: Cho p số nguyên tố lẻ p>3 x y2 p a) Chứng minh tồn số nguyên dương x;y mà x, y 0; thỏa mãn: k p 2 số nguyên dương không chia hết cho b) Chứng minh với số nguyên dương tồn cặp số nguyên dương (x;y)mà x2+y2+1 chia hết cho pn Ngày thứ 2: Thời gian Bài 1: Tìm tất số thực mà dãy số (xn) xác định xn=sin(n )có giới hạn Bài 2: Có 2005 hộp bi xếp theo thứ tự ( theo chiều kim đồng hồ) đường trịn Ban đầu hộp có 2005 hịn bi ( hộp cịn lại khơng có) Một bước chuyển bi thực sau: hộp có khơng hai bi ta lấy hai bi từ hộp chia sang hai hộp bên cạnh hộp bi a) Hỏi cách ta chuyển nửa số bi sang hộp hay không b) Hãy xác định cách chuyển bi mà trò chơi kết thúc sau hữu hạn lần chuyển bi c) Chứng minh trị chơi ln kết thúc sau hữu hạn lần chuyển bi Bài 3: Cho tam giác ABC AA’, BB’, CC’ đường phân giác đồng quy I Giả sử bán kính đường nội tiếp tam giác IA’C’ IA’B’ Chứng minh AB=AC DeThiMau.vn BÀI KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN SỐ ngày tháng 12 năm 2005 -thời gian: 100 phút x y z Bài 1: Giải hệ phương trình: 1 ; 1 ; 1 xy z yz x zx y Bài 2: Cho hình vng ABCD điểm E,F nằm cạnh CB,CD Các đoạn AE, AF cắt BD P,Q Giả sử BE khác DF BP.CE=DQ.CF Cmr: điểm P, Q,F, E,C thuộc đường tròn Bài 3: Cho số thực không âm a,b, c, d Chứng minh rằng: (a b c d )3 4(a3 b3 c3 d ) 24(abc bcd cda dab) DeThiMau.vn ... dương chẵn khác n số nguyên dương lẻ khác 2001.Tìm giá trị lớn biểu thức A=5m+2n DeThiMau.vn ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN TOÁN TRƯỜNG ĐHSP HÀ NỘI Ngày thứ nhất: Thời gian Bài 1: Cho x,y,z số dương thỏa... E (D E nằm khác phía BC) từ C kẻ tiếp tuyến với (J) F Cm EF qua tâm đường tịn nội tiếp ABC DeThiMau.vn Bài 6: có tất hàm f liên tục từ R -> R thỏa mãn : f (x) (x 3)f (x) (x 3)f (x)... (O1) d2 qua A vng góc HK cắt (O1) P,Q Cm giao điểm S hai tiếp tuyến (O1) P,Q thuộc đường cố định DeThiMau.vn LÊ HỒNG PHONG NAM ĐỊNH Ngày thứ (23/11/2005) 18o p Bài (4đ):Tìm tất nghiệm nguyên phương