UBND tỉnh Thái Nguyên Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam Sở Giáo dục & Đào tạo Độc lập - Tự - Hạnh phúc KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS Tháng / 2012 MơN: Tốn (Thời gian làm bài: 150 phút khơng kể thời gian giao đề) Đề thức Bài Chứng minh tổng bình phương số nguyên liên tiếp khơng số phương Bài Giải phương trình hệ phương trình sau: a, 2 x + x 1 = xy z b, yz x xz y Bài Cho ABC có góc nhọn Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC; R, r theo thứ tự độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp đường tròn nội tiếp ABC; M, N, P hình chiếu vng góc O AB, BC AC a, Chứng minh: BN OM + BM ON = BO MN b, Đặt ON = d1 ; OM = d2 ; OP = d3 Tính R + r theo d1 , d2 , d3 ? Bài Lấy số tự nhiên có chữ số chia cho số có chữ số viết theo thứ tự ngược lại thương dư 15 Nếu lấy số trừ số tổng bình phương chữ số tạo thành số Tìm số tự nhiên ấy? Hết Họ tờn thớ sinh: Số bỏo danh: áp án Đ1 UBND tỉnh Thái Nguyên Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam DeThiMau.vn Sở Giáo dục & Đào tạo Độc lập - Tự - Hạnh phúc KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS Tháng / 2012 hớng dẫn chấm toán Bài 1: 3,5 điểm C1: Gọi số nguyờn liờn tiếp n-2, n-1, n, n+1, n+2 với n nguyờn, dễ thấy tổng cỏc bỡnh phương số 5(n2 + 2) chia hết cho không chia hết cho 25 nên khơng thể số phương C2: Xét tính chẵn lẻ số nguyên liên tiếp Bài 2: a 3,5 điểm Đặt a = b= 2x x 1 Ta có : a b a b 1 I a3 + a2 - 2a = a ( a2 + a -2) = a a a Hệ ( I ) có ba nghiệm : ( ; 1) ; ( ; 0) ; ( -2 ; 3) nên phương trình cho có nghiệm : ; ; 10 b, xy yz xz 3,5 điểm z2 1 x2 y2 (3) Từ (1) ; (2) ta có : (x – z)(x – y + z) = (4) Từ (2) (3) ta có: ( y - x)(x + y –z) = (5) Từ (3) ; (4) ; (5) ta có hệ : x z x y z y x x y z xz y DeThiMau.vn Để giải hệ ta giải hệ x z y x xz y y x x y z xz y A x z x y z xz y C x y z x y z xz y B D Giải hệ ta nghiệm hệ phương trình : (1; 1; 1) ; ( -1;-1; -1 ) ; ; ; ; ; ; 2 ; ; ; ; ;0 ; ; ; ; ; ; Bài 3: điểm a, Ta có BMO = BNO = 900 => OMBN tứ giác nội tiếp A M P Trên BO lấy E cho BME = OMN O E BME NMO => d1 B BM NM => N BE NO => BM NO = BE NM Chứng minh tương tự BN OM = OE MN Cộng theo vế BM ON +BN ON = MN BO b Đặt a , b , c độ dài cạnh BC , AC , AB ABC d20 theo câu a ta có d1 a c b + d2 = R 2 áp dụng câu a tứ giác OMAP , ONCD ta có b + d3 a d3 + d2 d1 c a = R 2 c b = R 2 Cộng theo vế : R ( a+b+c) = ( d1b + d2b + d3c + d3a + d1a + d2c) 2 r mặt khác SABC = ( a+b +c ) = ( d1c + d3b + d2a ) 2 Do ( R + r )( a+b+c) = ( a+b+c)( d1+d2+d3) hay R + r = d1 + d2 + d3 Bài 4: 3,5 điểm DeThiMau.vn d3 C Gọi số phải tỡm (a , b N; ab 4.ba 15(1) Ta cú hệ 2 ab a b (2) C1 : Từ (1) ta thấy a, b 9) => a = b = khụng thỏamón (1) (2) Vậy b = thay b = vào (2) ta được: – = a2 + 10a + – = a2 + a2 – 10a + = a1 = 1; a2 = (*) a = => a = b loại (*) a = => = 91 thỏa (1) 91 = * 19 + 15 Vậy: Số phải tỡm 91 C2: Từ hệ trờn cú thể dựng PP để giải Rút ẩn từ PT (1) vào PT (2) ta PT bậc Giải PT bậc tỡm nghiệm Chỳ ý: - Học sinh làm theo cách khác mà cho điểm tối đa - GK bàn để thống điểm cho phần nhỏ DeThiMau.vn ...Sở Giáo dục & Đào tạo Độc lập - Tự - Hạnh phúc KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS Tháng / 2012 hớng dẫn chấm toán Bài 1: 3,5 điểm C1: Gọi số nguyờn liờn tiếp... loại (*) a = => = 91 thỏa (1) 91 = * 19 + 15 Vậy: Số phải tỡm 91 C2: Từ hệ trờn cú thể dựng PP để giải Rút ẩn từ PT (1) vào PT (2) ta PT bậc Giải PT bậc tỡm nghiệm Chỳ ý: - Học sinh làm theo cách... r = d1 + d2 + d3 Bài 4: 3,5 điểm DeThiMau.vn d3 C Gọi số phải tỡm (a , b N; ab 4.ba 15(1) Ta cú hệ 2 ab a b (2) C1 : Từ (1) ta thấy a, b 9) => a = b = khụng thỏamón (1) (2)