Đề thi học sinh giỏi cấp huyện Lạc Sơn cấp THCS, năm học 2012 2013 môn: Toán39761

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN CẤP THCS, NĂM HỌC 2012 - 2013 UBND HUYỆN LẠC SƠN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MƠN: TỐN (Thời gian làm 150 phút)  x 3 x 2 x 2   x     : 1   x 3 x 5 x 6  x    x 2 Bài (5,0 điểm): Cho biểu thức A   a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị A x   c) Với giá trị x Với x  0; x  4; x  đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ A Bài (4,0 điểm) Cho hàm số sau: y  x  ; y  x ; y  4x a) Vẽ đồ thị hàm số cho hệ trục toạ độ Oxy? b) Tính diện tích tam giác tạo ba đường thẳng này? Bài (2,0 điểm ) a) Chứng minh với x,y ta có : x  y  xy  x3 y b) Chứng minh : 42011  42012  42013 chia hết cho 84 Bài (2,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD Kẻ BH vng góc với đường chéo AC.Gọi M, E trung điểm AH CD.Tính góc BME Bài (6,0điểm): Cho đoạn thẳng AB Trên nửa mặt phẳng có bờ AB kẻ hai tia Ax By ฀ vng góc với AB Trên Ax By lấy tương ứng hai điểm M N cho MON  900 ( Với O trung điểm AB) Chứng minh a) NM = AM + BN b) NM tiếp tuyến đường trịn đường kính AB c) AM BN = Bài (1,0điểm) AB Cho x,y số dương thoả mãn: x+y = Tìm giá trị nhỏ A  x2  y  33 xy Họ,tên thí sinh SBD Trường Người coi thi số1 Người coi thi số2 ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 - 2013 UBND HUYỆN LẠC SƠN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ MƠN : TỐN -Hướng dẫn trình bày cách giải Mọi cách giải khác cho điểm tối đa theo câu, - Đáp số cịn trình bày tóm tắt biểu điểm có chỗ cịn chưa chi tiết bước lập luận,biến đổi.Tổ giám khảo cần thống trước chấm - Điểm tồm khơng làm trịn Bài Nội dung a) Với điều kiện * ta có:  x 3 x 2    A  x 2 x 3         x   :  x 1   x   x    x   x 2 x 2   x 9 x  4 x    :  x 2 x 3  x 1    x 3 x 2  (1,0điểm) (0,5điểm)    :  x   x 1  (0,5điểm)  1 :  x  x 1 5,0đ x 1 x 2 (0,5điểm) b) ta có x      1 thoả mãn điều kiện Khi đó: x Do vậy, giá trị biểu thức A là:   1   (0,5điểm) 11 (0,5điểm)   1  1 x 2 (1,0điểm)  1 x 1 x 1 Để có GTNN có GTLN, hay x  có GTNN.Ta có: A x 1 x   , dấu "=" xảy x = Giá trị nhỏ     2 , xảy x = (0,5điểm) A 1 c) ta có A  x 1   A x 2 a) Chứng minh với x,y ta có : x  y  xy  x3 y (1)  x  y  xy  x3 y  x(x3- y3) – y(x3- y3)   (x-y)2(x2 + xy + y2)   (x-y)2  y  3y   x    0 2   (2) ThuVienDeThi.com (0,5điểm) (1) 2,0đ (2)  (1) Dấu “ =” xảy x = y (0,5điểm) b) Chứng minh : 42011  42012  42013 chia hết cho 84 Ta có 42011  42012  42013  42011 1   42  42011.21  42010.84 chứng tỏ 42011  42012  42013 chia hết cho 84 (0,5điểm) (0,5điểm) a) lập luận vẽ đồ thị hàm số cho 1,0 đ ( 3,0 điểm) 4,0đ b)Gọi giao điểm đường thẳng y= - x + đường thẳng y  x E ta có: Hồnh độ điểm E phải thỏa mãn phương trình -x + = x Suy x = 4; y = E(4;1) Tương tự: D giao điểm đường thẳng y = 4x y= -x + có tọa độ : D(1;4) (0,5điểm) SDOE = SOAB - SODA - SOEB ) 1 A.  A.D  . 2 1 = A.  A.DN  . = (5.5 – 5.1 – 5.1) = 7,5 (0,5điểm) 2 = ThuVienDeThi.com 2,0đ Vẽ hình ghi GT & KL đỳng (0,5điểm) Gọi N trung điểm BH N Lập luận chứng minh N trực tâm tam giác BMC  CN  BM M (0,5điểm) A Lập luận chứng minh tứ giác MNCE hình b.hành (0,5điểm)  EM / / CN ฀ Mà CN  BM Suy ME  BM hay BME  900 (0,5điểm) B T C H E D Vẽ hình ghi GT & KL (0,5điểm) x a) Gọi giao điểm tia MA NO E chứng minh được: BN = AE, OE = ON (1,0điểm) Lập luận chứng tỏ EMN cân M M Suy MN = ME = AM + BN (1,0điểm) b)Kẻ OK vng góc NM Chứng minh OK = OA (1,0điểm) A Suy MN tiếp tuyến ( O; AB/2) (0,5điểm) c)Xét tam giác vng MON có OK đường cao Có hệ thức OK  MK KN (0,5điểm) Mà MK = AM, KN = BN ( T/c tiếp tuyến) y K 5,0đ N O B E AB Suy AM BN = OK  (0,5điểm) a ) Ta có  ( x  y )  x  xy  y ( x  y ) 42  x  y  xy  2( x  y )  ( x  y )  x  y    8(*) 2 2 2 2 Cũng từ x  y  xy  ( x  y )  xy  xy  ( x  y ) 42 33 33  4  (**) 4 xy Từ ( *) Và (**) suy A = x  y  (0,5điểm) 33 33 65  8  xy 4 dấu " =" xảy  x  y  Vậy Min A = 65  x y2 ThuVienDeThi.com (0,5điểm) 2,0đ ...HƯỚNG DẪN CHẤM HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 - 2013 UBND HUYỆN LẠC SƠN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ MƠN : TỐN -Hướng dẫn trình bày cách giải... 0 2   (2) ThuVienDeThi.com (0,5điểm) (1) 2,0đ (2)  (1) Dấu “ =” xảy x = y (0,5điểm) b) Chứng minh : 42011  42012  42013 chia hết cho 84 Ta có 42011  42012  42013  42011 1   42 ... cho 84 Ta có 42011  42012  42013  42011 1   42  42011.21  42010.84 chứng tỏ 42011  42012  42013 chia hết cho 84 (0,5điểm) (0,5điểm) a) lập luận vẽ đồ thị hàm số cho 1,0 đ ( 3,0 điểm)