HUY N KINH MÔN N M 2015 - 2016 Câu 1: (2đ) 1) Cho x 17 12 17 12 Tính giá tr c a bi u th c: A = x6 – 6x4 + 4x3 + 9x2 – 12x + 724 2) Cho a, b, c s th c khác th a mãn: a3 + b3 – c3 + 3abc = 2 ab a ca Tính giá tr c a bi u th c: M c bc b Câu 2: (2đ) 1) Gi i ph ng trình: x 12 17 9x x 2) Ch ng minh r ng n u p s nguyên t l n h n p2 – chia h t cho 24 Câu 3: (2đ) 1) Tìm s nguyên x, y cho 2x2 – 4x + 3y2 + 6y – 5xy – = 2) Cho đa th c P(x) th a mãn: Khi chia cho x – d 17; chia cho x – d Tìm d c a phép chia P(x) cho x2 – 4x + Câu 4: (3đ) Cho ABC M m thu c c nh BC Qua M k đ ng th ng song song v i AC, AB Chúng c t AB, AC th t t i N P 1) G i O trung m c a NP Ch ng minh A, O, M th ng hàng 2) Gi s đ ng th ng NP c t đ ng th ng BC t i Q MB MC Tính QB/QC 3) Tìm v trí c a M đ di n tích MNP có giá tr l n nh t Câu 5: (1đ) Cho s d ng a, b, c th a mãn ab + bc + ca = Tìm giá tr nh nh t c a: a8 b8 c8 M (a b4 ).(a b ) (b4 c4 ).(b2 c2 ) (c4 a ).(c2 a ) ThuVienDeThi.com G iý Câu 1: (2đ) 1) Cho x 17 12 17 12 Tính giá tr c a bi u th c: A = x6 – 6x4 + 4x3 + 9x2 – 12x + 724 T x 17 12 17 12 l p ph ng v , chuy n v ta đ c: x3 – 3x – 34 = 3 3 A = x (x – 3x – 34) – 3x(x – 3x – 34) + 38(x – 3x – 34) + 2016 = 2016 2) Cho a, b, c s th c khác th a mãn: a3 + b3 – c3 + 3abc = 2 ab a ca Tính giá tr c a bi u th c: M c bc b a3 + b3 – c3 + 3abc = (a + b)3 – 3ab(a + b) – c3 + 3abc = 2 (a + b – c).(a + 2ab + b + ac + bc + c ) – 3ab(a + b – c) = 2 (a + b – c)(a – ab + ac + bc + b + c ) = 2 (a + b – c)(2a – 2ab + 2ac + 2bc + 2b + 2c ) = 2 (a + b – c)[(a – b) + (a + c) + (b + c) ] = a + b – c = ho c a = b = - c * V i a + b – c = M = 2.12 + 3.(-1)2 + 5.12 = 10 * V i a = b = -c M = 2.(-2)2 + 3.(1/2)2 + 5.(-2)2 = 115/4 Câu 2: (2đ) 1) Gi i ph ng trình: x 12 17 9x x x 12 17 9x x (x 2)(x 2) x 12 (x 2)(x 2) x 5 3 x 12 - = 9(x 2) x - + 9x – 18 (x 2)(x 2) x 12 (x 2)(x 2) x2 9(x 2) x2 x2 (x 2) 9 x2 x 12 Ta th y x 12 17 9x x td x 12 x 9x 17 ThuVienDeThi.com Vì x 12 x > nên 9x – 17 > x > 17/9 Khi d th y x2 x 12 x2 x2 < nên x – = x = 2) Ch ng minh r ng n u p s nguyên t l n h n p2 – chia h t cho 24 p2 – = (p – 1)(p + 1) Do p nguyên t l n h n nên p không chia h t cho p – ho c p + chia h t cho (p – 1)(p + 1) chia h t cho (1) Do p nguyên t l n h n nên p l p – ch n, p + ch n mà p – 1; p + s ch n liên ti p (p – 1)(p + 1) chia h t cho (2) (1); (2) (3, 8) = p2 – chia h t cho 24 Câu 3: (2đ) 1) Tìm s nguyên x, y cho 2x2 – 4x + 3y2 + 6y – 5xy – = a v (x – y – 2)(2x – 3y) = Vì x, y nguyên nên: x-y-2 -1 -7 2x – 3y -7 -1 x 17 10 - 14 y -1 26 -9 2) Cho đa th c P(x) th a mãn: Khi chia cho x – d 17; chia cho x – d Tìm d c a phép chia P(x) cho x2 – 4x + Theo P(3) = 17; P(1) = Vì đa th c chia x2 – 4x + có b c nên đa th c d có d ng ax + b P(x) = (x – 1)(x – 3).Q(x) + ax + b P(3) = 17 P(1) = a + b = 3a + b = 17 a = 7, b = - V y d 7x – ThuVienDeThi.com Câu 4: (3đ) Cho ABC M m thu c c nh BC Qua M k đ ng th ng song song v i AC, AB Chúng c t AB, AC th t t i N P 1) G i O trung m c a NP Ch ng minh A, O, M th ng hàng 2) Gi s đ ng th ng NP c t đ ng th ng BC t i Q MB MC Tính QB/QC 3) Tìm v trí c a M đ di n tích MNP có giá tr l n nh t A 1) d 2) BM/BC = BN/BA = MN/AC = 1/3 P AP/AC = 1/3 AP/PC = ½ MN/PC = 1/2 O QM/QC = MN/PC = 1/2 N QM = MC mà BM = MC/2 MB = QB QB/QC = 1/4 3) BNM ~ BAC; MPC ~ BAC SBMN/SABM = BM /BC Q B M SMPC/SBAC = CM2/BC2 2 (SBNM + SMPC)/SABC = (BM + CM )/BC D ch SANMP = 2.SMNP SMNP l n nh t SANMP l n nh t SBNM + SMPC nh nh t Mà (SBNM + SMPC)/SABC = (BM2 + CM2)/BC2 2 2 (SBNM + SMPC)/SABC = 2(BM + CM )/BC (BM + CM) /BC = SBNM + SMPC (SABC)/2 không đ i Min(SBNM + SMPC) = (SABC)/2 không đ i BM = MC M trung m BC V y… ThuVienDeThi.com C Câu 5: (1đ) Cho s d ng a, b, c th a mãn ab + bc + ca = Tìm giá tr nh nh t c a: a8 b8 c8 M (a b4 ).(a b ) (b4 c4 ).(b2 c2 ) (c4 a ).(c2 a ) Có: a8 b8 a b2 ; 4 2 4 2 (a b ).(a b ) (a b ).(a b ) b8 c8 c8 a8 2 = b – c ; = c2 – a2 4 2 4 2 4 2 4 2 (b c ).(b c ) (b c ).(b c ) (c a ).(c a ) (c a ).(c a ) a8 b8 b8 c8 + (a b ).(a b ) (a b ).(a b ) (b c ).(b2 c2 ) (b c ).(b c ) + c8 a8 =0 (c a ).(c2 a ) (c a ).(c2 a ) a8 b8 c8 (a b ).(a b ) (b c4 ).(b2 c ) (c4 a ).(c2 a ) b8 c8 a8 (a b ).(a b2 ) (b c4 ).(b c2 ) (c a ).(c a ) a b8 b c8 c8 a 2M = (a b ).(a b2 ) (b c4 ).(b c2 ) (c4 a ).(c2 a ) L i có 2.(a8 + b8 ) (a4 + b4)2; 2(a4 + b4) (a2 + b2)2 ; a2 + b2 2ab a b b4 c4 c4 a 4M a b2 b2 c2 c2 a 2 2 2 8M a + b + b + c + c + a 2ab + 2bc + 2ca = 2(ab + bc + ca) = 8M M 1/4 MinM = 1/4 a = b = c = ThuVienDeThi.com ... chuy n v ta đ c: x3 – 3x – 34 = 3 3 A = x (x – 3x – 34) – 3x(x – 3x – 34) + 38(x – 3x – 34) + 2016 = 2016 2) Cho a, b, c s th c khác th a mãn: a3 + b3 – c3 + 3abc = 2 ab a ca