Đề thi học sinh giỏi THCS vòng 2 huyện Bình Xuyên năm học 20082009 Môn: Toán37460

Ubnd huyện Bình Xuyên Phòng Giáo dục Đào tạo đề thi học sinh giỏi thcs vòng năm học 2008-2009 môn: toán Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao ®Ị) ®Ị chÝnh thøc Câu Cho hai số a, b có tổng tích (  ) Chứng minh Pn  a n  b n  a n   b n  số nguyên chia hết cho với số nguyên dương n Câu Biết số a, b, c thảo mãn: Hãy tính giá trị biểu thức T  2 3 4       a bc b ca c ba 1   a b c Câu a) Với giá trị k hệ hai phương trình bậc hai ẩn x, y: 4 x  ky  k   (2k  6) x  y  2k  b) Giải phương trình x  (1) (2) vô nghiệm x2   x x 1  x Câu Cho x, y, z số thực thoả mãn ( x  23)( y  1)( z  2008)  Tìm giá trị lớn biểu thức:  L   x  23      1     y      z  2008    y 1   z  2008   x  23  Câu Cho tam giác cân ABC (BA=BC) nội tiếp đường trịn đường kính BD Hai điểm E F di chuyển cạnh AC cho EF  AC (E nằm F C) a) Chứng minh FH=EC ( với H giao điểm AC BD) b) Đường thẳng qua F vơng góc với AC cắt cạnh AB K Chứng minh tam giác DEK tam giác vuông Hết ThuVienDeThi.com Ubnd huyện Bình Xuyên Phòng Giáo dục Đào tạo Hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi thcs vòng năm học 2008-2009 môn: toán A Hướng dẫn chung: -Dưới tóm tắt cách giải, làm học sinh có cách giải khác đáp án, giám khảo vận dụng thang điểm hướng dẫn điểm -Bài làm học sinh đến đâu, giám khảo cho điểm đến -Bài tốn hình học (câu 5) khơng vẽ hình vẽ hình sai khơng cho điểm -Điểm toàn tổng số điểm ý câu, khơng làm trịn B Đáp án thang điểm Câu Nội dung cần trình bày Điểm Theo đề ta có a  b  ab  1 2,0đ Với n=1 ta có P1  a  b  a  b3   (a  b)3  3ab(a  b)    3.(1).1  số nguyên chia hết cho Giả sử với n  k (2  k  Z ) ta có Pk  a k  b k  a k   b k  số nguyên chia hết cho Tức P1 , P2 , , Pk 1 , Pk số nguyên chia hết cho Ta phải chứng minh Pk 1 số nguyên chia hết cho Thật vậy, ta có Pk 1  a k 1  b k 1  a k 3  b k 3  a  b  ab a  b  a  b a  b  ab a  b  a  b  ab  1 nên P  a  b  a  b  a  b  a  b  hay P  P  P k 1 Pk 1  a k  b k k 1 k k k 1 k 1 k 2 k 1 k 2 k 2 k 1 k 2 k 1 k 1 k 1 k 1 k 1 0,5 0,25 0,75 k Theo giả thiết quy nạp Pk 1 , Pk số nguyên chia hết cho suy Pk 1 số nguyên chia hết cho Vậy theo nguyên lý quy nạp ta có điều phải chứng minh Điều kiện a  0, b  0, c  0, a  b, b  c, c  a 2 ab  ac 3 bc  ba ;  ;   (*)  a  b  c  1 a  b  c  b ca a bc 4 cb  ca  1 a bc  c ba ab  ac bc  ba cb  ca ab  bc  ca bc ca ab       Do suy a  b  c  4,5 2,5 1,5 0,5 2 1 Do b  0, c  nên suy b  a ; c  5a Thay vào (*) ta  a a  5a 3 23 23 23 từ tính b  ; c  a 10 1 18 Các giá trị thoả mãn điều kiện đề Vậy T     a b c 23 Từ phương trình (2) ta có y  (2k  6) x  (2k  1) (3) 0,5 0,25 Từ đề cho ta có 1,5đ 3.a) 1,25đ Từ phương trình (1) (3) ta có phương trình x  k (2k  6) x  (2k  1)  k   (2k  6k  4) x  2k  2k   (k  1)(k  2) x  (k  1)(k  2) (4) 2 ThuVienDeThi.com 0,5 0,25 0,25 0,25 0,5 Từ (3) (4) ta thấy hệ cho vô nghiệm phương trình (4) vơ nghiệm   k  1  (k  1)(k  2)   k  2 hay    k  1 (k  1)(k  2)  k  k  2  0,5 4 x  y  5 Với k  1 hệ cho trở thành  hệ vô nghiệm 4 x  y  1 Vậy k  1 giá trị cần tìm  x2 1 0  x   1  x  x 1 Điều kiện  0  x   x x    Xét hai khả năng: + Nếu 1  x  , viết phương trình dạng x  0,25 0,25 x2 1 x 1 phương trình vơ  x x 0,25 nghiệm vế trái âm cịn vế phải khơng âm 3.b) 1,25đ + Nếu x  viết phương trình cho dạng x  x 1  x x2 1 , bình phương hai vế ta x  x 1  x2 1 1  x  x( x  1)    x   x( x  1)  x( x  1)    x    x  x x x    1 5   x( x  1)    x( x  1)   x  x     x     x   2 2  (vì x   x  )  x  2 1 (thỏa mãn điều kiện x  ) x 1 Vậy phương trình có nghiệm x  2 0,5 0,25 Điều kiện x>23, y>1, z>2008 1,0đ Đặt x  23  a ; y   b ; z  2008  c theo điều kiện giả thiết đề ta có a, b, c số thực dương a.b.c=1 1  1    Từ a.b.c=1   a b    b 1     b 1   a  bc c  b bc   b    2   1      Từ có  a     b     b  a   1  a    1   b  a    1   ba  b  c b     b   b     1  1   Thực tương tự ta có  b    c     cb ;  c     a     ac c  a a  b   ThuVienDeThi.com 0,2 0,2 0,2 Khi ta có  a     b     c      ba cb ac  suy b  c  a     1   a     b     c     dấu xảy a=b=c b  c  a  Do ta có L  dấu xảy x  23  y   z  2008  suy x=24; y=2 z=2009 (Thỏa mãn điều kiện toán) Vậy giá trị lớn biểu thức L có x=24; y=2 z=2009 0,2 0,2 B K A H F E C 5a) 1,0đ D Tam giác ABC cân B nội tiếp đường trịn đường kính BD suy BD đường trung trực AC nên AH  HC  AC Kết hợp với EF  AC (gt) ta có AH  HC  EF +Nếu F  A E  H ta có đẳng thức cần chứng minh +Nếu F không trùng với A, từ giả thiết ta có A, F, H, E, C thẳng hàng theo thứ tự nên suy FH=EC A A  BCD  900 , DA=DC AH  BD Từ giả thiết ta có BAD 5b) 2,0đ +Nếu F  A E  H K  A ta suy tam giác DEK vuông +Nếu F không trùng với A: FH AH AD Vì KF//BH (do vng góc với AC) nên (do tam giác BAH đồng dạng   KB AB BD CE DC A A  ECD với tam giác BDA) suy (do FH=CE, AD=DC) mà KBD (hai góc nội  KB BD DE DC tiếp chắn cung AD) DEC đồng dạng DKB (c.g.c)  (1)  KD DB A A EDC  KDB (2) A A  BDC Từ (2) suy KDE (3) A A  BCD  900  tam giác DEK Từ (1) (3) suy KDE đồng dạng BDC (c.g.c)  KED vuông E (đpcm) ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,75 0,25 0,5 ...Ubnd huyện Bình Xuyên Phòng Giáo dục Đào tạo H­íng dÉn chÊm thi häc sinh giái thcs vßng năm học 20 08 -20 09 môn: toán A Hng dn chung: -Di tóm tắt cách giải, làm học sinh có cách giải... (2k  6) x  (2k  1) (3) 0,5 0 ,25 Từ đề cho ta có 1,5đ 3.a) 1 ,25 đ Từ phương trình (1) (3) ta có phương trình x  k (2k  6) x  (2k  1)  k   (2k  6k  4) x  2k  2k   (k  1)(k  2) ... c  a  Do ta có L  dấu xảy x  23  y   z  20 08  suy x =24 ; y =2 z =20 09 (Thỏa mãn điều kiện toán) Vậy giá trị lớn biểu thức L có x =24 ; y =2 z =20 09 0 ,2 0 ,2 B K A H F E C 5a) 1,0đ D Tam giác