Bám sát toàn diện Toán 1135292

1 KHOỗ HC: BỗM SỗT TOậN DIN TOỗN 11 Video bˆi giảng vˆ lời giải chi tiết c— website: www.vted.vn VƒCTƠ TRONG KHïNG GIAN (1) Định nghĩa !!!" VŽctơ kh™ng gian lˆ đoạn thẳng c— hướng K’ hiệu AB vŽctơ c— điểm đầu lˆ A, điểm cuối lˆ B C‡c kh‡i niệm gi‡ vŽctơ, c•ng phương, c•ng hướng hai vŽctơ, vŽctơ - kh™ng, hai vŽctơ định nghĩa tương tự mặt phẳng (2) C‡c phŽp to‡n vŽctơ kh™ng gian C‡c phŽp to‡n cộng, trừ hai vŽctơ tương tự mặt phẳng *Quy tắc trung điểm: !!!" !!!" " Với M lˆ trung điểm đoạn thẳng AB, ta c— MA + MB = vˆ với O lˆ điểm bất k“ ta c— !!!!" !!!" !!!" ⎞ ⎛⎜ OM = ⎜OA + OB⎟⎟⎟ ⎠ ⎜⎝ *Quy tắc h“nh b“nh hˆnh: !!!" !!!" !!!" Với ABCD lˆ h“nh b“nh hˆnh, ta c— AC = AB + AD *T’nh chất trọng t‰m tam gi‡c: !!!" !!!" !!!" " Với G lˆ trọng t‰m tam gi‡c ABC, ta c— GA + GB + GC = vˆ với O lˆ điểm bất k“, ta c— !!!" !!!" !!!" !!!" ⎞ ⎛⎜ OG = ⎜OA + OB + OC⎟⎟⎟ ⎠ ⎜⎝ *Ba điểm thẳng hˆng: !!!" !!!" !!!" Với A, B,C thẳng hˆng vˆ O lˆ điểm bất k“ ta c— OA = xOB + (1 − x)OC (3) Quy tắc h“nh hộp Cho h“nh hộp ABCD.A' B 'C ' D' c— ba cạnh xuất ph‡t từ đỉnh A lˆ AB, AD, AA' vˆ đường chŽo AC ' Khi đ— ta c— quy tắc h“nh hộp lˆ: Thầy: Đặng Thˆnh Nam (Hotline: 0976.266.202) Ð website: www.vted.vn - Fb: Fb.com/Mrdangthanhnam ThuVienDeThi.com !!!!" !!!" !!!" !!!!" AC ' = AB + AD + AA' Th™ng thường ta đặt !!!" !" !!!" " !!!!" " AB = a, AD = b, AA' = c theo quy tắc !!!!" !" " " h“nh hộp, ta c— AC ' = a + b + c Chứng minh Theo quy tắc h“nh b“nh hˆnh, ta c— !!!!" !!!!" !!!" ⎧ ⎪ ⎪ AC ' = AA' + AC ⎪ ⎨ !!!" !!!" !!!" ⎪ ⎪ = AB + AD ⎪ ⎩ AC !!!!" !!!" !!!" !!!!" ⇒ AC ' = AB + AD + AA' (4) Kh‡i niệm ba vŽctơ đồng phẳng !" " " XŽt ba vŽc tơ a, b, c lˆ c‡c vŽctơ kh‡c vŽctơ Ð kh™ng Với O lˆ điểm bất k“ kh™ng gian, xŽt ba !!!" !" !!!" " !!!" điểm A, B,C thoả m‹n OA = a,OB = b,OC !" " " +) Nếu OA,OB,OC c•ng nằm tr•n mặt phẳng ta n—i ba vŽctơ a, b, c đồng phẳng; trường hợp !" " " nˆy gi‡ a, b, c lu™n lu™n song song với mặt phẳng !" " " +) Nếu OA,OB,OC kh™ng thuộc c•ng mặt phẳng ta n—i ba vŽctơ a, b, c kh™ng đồng phẳng (5) Định nghĩa ba vŽctơ đồng phẳng Trong kh™ng gian ba vŽctơ gọi lˆ đồng phẳng gi‡ chœng c•ng song song với mặt phẳng (6) Điều kiện để ba vŽctơ đồng phẳng !" " !" " " ! Trong kh™ng gian cho hai vŽc tơ a, b kh™ng c•ng phương vˆ vŽctơ c Khi đ— ba vŽctơ a, b, c đồng ! "! ! phẳng vˆ c = ma + nb Ngoˆi số (m;n) lˆ *Hệ quả: Bốn điểm A, B,C, D đồng phẳng vˆ !!!" !!!" !!!" !!!" OA = mOB + nOC + (1 − m − n)OD !" " " +) Ba vŽctơ a, b, c kh™ng đồng phẳng đ— !" " " " ma + nb + pc = ⇔ m = n = p = (7) Biểu diễn vŽctơ qua ba vŽctơ kh™ng đồng phẳng !" " " ! Trong kh™ng gian cho ba vŽctơ kh™ng đồng phẳng a, b, c Khi đ— với vŽctơ x ta lu™n c— ! "! ! ! x = ma + nb + pc Ngoˆi số (m;n;p) l nht ThuVienDeThi.com KHOỗ HC: BỗM SỗT TOậN DIN TOỗN 11 Video bi ging v li giải chi tiết c— website: www.vted.vn B Ð BËI TẬP RéN LUYỆN C‰u Cho h“nh hộp ABCD A′B′C′D′ Hỏi khẳng định nˆo đ‰y lˆ khẳng định đœng? !!!!" !!!" !!!" !!!!" A AC ' = AB + AD + AA' !!!!" !!!" !!!" !!!" B AC ' = AB + AD + AC !!!!" !!!" !!!!" !!!!" C AC ' = AC + AB ' + AD' !!!!" !!!!" !!!!" !!!!" D AC ' = AB ' + AD' + AA' !!!" !" !!!" " !!!" " C‰u Cho tứ diện ABCD c— AB = a, AC = b, AD = c Gọi M, N,O lˆ trung điểm c‡c !" " " !!!" đoạn thẳng AB,CD, MN H‹y hiểu diễn vŽctơ AO theo ba vŽctơ a, b, c !" " " !" " " !!!" !!!" 1 A AO = (a + b + c) B AO = (a + 2b + 2c) !!!" !!!" !" " " !" " " 1 C AO = (a + b + c) D AO = (2a + b + c) 4 !" " " C‰u XŽt ba vŽc tơ a, b, c lˆ c‡c vŽctơ kh‡c vŽctơ Ð kh™ng Với O lˆ điểm bất k“ kh™ng gian, !!!" !" !!!" " !!!" xŽt ba điểm A, B,C thoả m‹n OA = a,OB = b,OC Hỏi khẳng định nˆo đ‰y lˆ khẳng định sai? !" " " A Nếu OA,OB,OC c•ng thuộc mặt phẳng th“ a, b, c đồng phẳng !" " " B Nếu OA,OB,OC c•ng thuộc mặt phẳng th“ gi‡ ba vŽctơ a, b, c c•ng song song với mặt phẳng !" " " C Nếu OA,OB,OC kh™ng c•ng thuộc mặt phẳng th“ a, b, c kh™ng đồng phẳng !" " " D Nếu OA,OB,OC kh™ng c•ng thuộc mặt phẳng th“ gi‡ ba vŽctơ a, b, c c•ng song song với mặt phẳng C‰u Ba vŽctơ gọi lˆ đồng phẳng A Gi‡ chœng c•ng song song với mặt phẳng B Gi‡ chœng c•ng nằm tr•n mặt phẳng Thầy: Đặng Thˆnh Nam (Hotline: 0976.266.202) Ð website: www.vted.vn - Fb: Fb.com/Mrdangthanhnam ThuVienDeThi.com C Gi‡ chœng c•ng thuộc đường thẳng D Gi‡ chœng c•ng thuộc mặt phẳng vˆ chœng cắt !!" !!!" C‰u Cho tứ diện ABCD c— M lˆ trung điểm cạnh BC, điểm I thoả m‹n IA = − IM H‹y !!!" !!!" !!!" !!" biểu diễn DI theo ba vŽctơ DA, DB, DC !!" !!!" !!!" !!!" ⎞ ⎛⎜ A DI = ⎜⎜⎝14DA + 3DB + 3DC⎟⎟⎟⎠ 20 !!!" !!!" !!!" !!" ⎞⎟ ⎛⎜ B DI = ⎜⎜⎝14DA + 3DB + 3DC⎟⎟⎠ 10 !!" !!!" !!!" !!!" ⎞⎟ ⎛⎜ C DI = ⎜⎜⎝7DA + 3DB + 3DC⎟⎟⎠ 20 !!" !!!" !!!" !!!" ⎞⎟ ⎛⎜ D DI = ⎜⎜⎝7DA + 3DB + 3DC⎟⎟⎠ 10 !!!" !" !!!" " !!!!" " C‰u Cho h“nh hộp ABCD.A' B 'C ' D' c— AB = a, AD = b, AA' = c Gọi I lˆ trung điểm !" " " !!" đoạn thẳng BC ' H‹y biểu diễn vŽctơ AI theo ba vŽctơ a, b, c !!" !" !!" " " !" " " 1 1 A AI = a + b + c B AI = a + b + c 2 4 !!" !" !!" " " !" " " 1 1 C AI = a + b + c D AI = a + b + c 4 2 !!!" !" !!!" " !!!" " C‰u Cho tứ diện ABCD c— AB = a, AC = b, AD = c Gọi M lˆ trung điểm cạnh AB, N lˆ điểm tr•n cạnh CD cho ND = 2NC Gọi O lˆ trung điểm đoạn thẳng MN H‹y biểu diễn vŽctơ !" " " !!!" AO theo ba vŽctơ a, b, c !" " " !" " " !!!" !!!" 1 1 1 A AO = a + b + c B AO = a + b + c 3 4 4 !!!" !!!" !" " " !" " " 1 1 1 C AO = a + b + c D AO = a + b + c 4 6 !!!!" !" !!!" " !!!" " C‰u Cho lăng trụ tam gi‡c ABC.A' B 'C ' c— AA' = a, AB = b, AC = c H‹y biểu diễn vŽctơ !" " " !!!!" B 'C theo ba vŽctơ a, b, c !!!!" " " !" !!!!" " " !" A B 'C = c − b + a B B 'C = c − b − a !!!!" " " !" !!!!" " " !" C B 'C = −c + b − a D B 'C = −c + b + a !!!" !" !!!" " !!!" " C‰u Cho tứ diện SABC c— SA = a, SB = b, SC = c Gọi M lˆ trung điểm cạnh SA, N lˆ điểm !" " !!!!" ! thuộc cạnh BC cho NC = 3NB Ph‰n t’ch vŽctơ MN theo ba vŽc t a, b v c ThuVienDeThi.com KHOỗ HC: BỗM SỗT TOậN DIN TOỗN 11 Video bi ging v lời giải chi tiết c— website: www.vted.vn !!!!" !!!!" !" " " !" " " 1 3 A MN = a + b + c B MN = − a + b + c 2 4 4 !!!!" !!!!" !" " " !" " " 1 3 C MN = − a + b − c D MN = a − b + c 2 4 4 C‰u 10 Cho tứ diện ABCD Gọi M, N lˆ trung điểm c‡c cạnh AB vˆ CD Tr•n c‡c cạnh !!!" !!!" !!!" !!!" AD vˆ BC lấy c‡c điểm P,Q thoả m‹n AP = AD, BQ = kBC H‹y t“m k để ba vŽctơ !!!" !!!!" !!!" MP, MN , MQ đồng phẳng 4 A k = − B k = C k = D k = − 3 3 C‰u 11 Cho h“nh hộp ABCD.A' B 'C ' D' C‡c điểm M, N x‡c định bởi: !!!" !!!" !!!!" !!!" MA = − MD, NA' = − NC !!!!" !!!" !!!!" T“m cặp số thực (m; n) cho MN = mBD + nBC ' ⎧ ⎧ ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ m = − m = m = − m = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 5 5 A ⎪ B ⎪⎨ C ⎪ D ⎪⎨ ⎨ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 3 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ n = n = n = − n=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 5 5 ⎩ ⎩ ⎩ ⎩ !!!" !!!" !!!" !!!" C‰u 12 Cho h“nh ch—p S.ABC c— M, N lˆ c‡c điểm thoả m‹n MS = −2MA, NB = kNC T“m k !!!" !!!!" !!!" để ba vŽctơ AB, MN , SC đồng phẳng A k = −2 B k = C k = D k = − !!!" !" !!!" " !!!!" " C‰u 13 Cho h“nh hộp ABCD.A' B 'C ' D' c— AB = a, AD = b, AA' = c C‡c điểm P,Q x‡c định !!!" !!!!" !!!!" !!!!" !!!" !" " ! AP = −AD',C 'Q = −C ' D H‹y biểu diễn vŽctơ PQ theo ba vŽctơ a, b vˆ c !!!" !" " " !!!" !" " " A PQ = a + 2b + 2c B PQ = 2a + 2b + 3c !!!" !" " " !!!" !" " " C PQ = 2a + 3b + 3c D PQ = a + 2b + 3c C‰u 14 Cho tứ diện ABCD c— tất c‡c cạnh m C‡c điểm M, N lˆ trung điểm c‡c cạnh AB vˆ CD T’nh độ dˆi đoạn thẳng MN A MN = 2m B MN = m C MN = 3m D MN = m C‰u 15 Cho tứ diện ABCD c— tất c‡c cạnh a Gọi M lˆ trung điểm c‡c cạnh AB vˆ N thuộc cạnh CD thoả m‹n ND = 2NC T’nh độ dˆi đoạn thẳng MN Thầy: Đặng Thˆnh Nam (Hotline: 0976.266.202) Ð website: www.vted.vn - Fb: Fb.com/Mrdangthanhnam ThuVienDeThi.com A MN = a 19 B MN = a 19 C MN = a 15 D MN = a 15 6 C‰u 16 Cho lăng trụ tam gi‡c ABC.A' B 'C ' Gọi I, K lˆ trung điểm BB ', A'C ' !!!!" !!!!" Điểm M thuộc cạnh B 'C ' cho MB ' = kMC ' T“m k để bốn điểm A, I, M, K đồng phẳng D k = −3 C k = − !!!!" !" !!!" " !!!" " C‰u 17 Cho h“nh hộp ABCD.A' B 'C ' D' c— AA' = a, AB = b, AD = c Gọi M, N lˆ !" " " !!!!" trung điểm c‡c cạnh AA' vˆ B 'C ' H‹y biểu diễn MN theo ba vŽctơ a, b, c !!!!" !" " !!!!" " !" " " 1 A MN = a + b + c B MN = a − b + c 2 " !" " " !!!!" !" " !!!!" 1 C MN = a − b + c D MN = a + b + c 2 !!!" !" !!!" " !!!" " C‰u 18 Cho tứ diện ABCD c— G lˆ trọng t‰m tứ diện Đặt BA = a,CA = b, DA = c Hỏi khẳng định nˆo đ‰y lˆ khẳng định đœng? !" " " !" " " !!!" !!!" 1 A AG = (a + b + c) B AG = (a + b + c) !" " " !" " " !!!" !!!" 1 C AG = − (a + b + c) D AG = − (a + b + c) !!!" !" !!!" " !!!" " C‰u 19 Cho tứ diện ABCD c— G lˆ trọng t‰m tam gi‡c BCD Đặt BA = a,CA = b, DA = c Hỏi khẳng định nˆo đ‰y lˆ khẳng định đœng? !" " " !" " " !!!" !!!" 1 A AG = (a + b + c) B AG = (a + b + c) !!!" !!!" !" " " !" " " 1 C AG = − (a + b + c) D AG = − (a + b + c) !!!" !" !!!" " C‰u 20 Cho h“nh hộp ABCD.A' B 'C ' D' t‰m O Đặt AB = a, BC = b Điểm M x‡c định !!!!" !" " OM = (a − b) Hỏi khẳng định nˆo đ‰y lˆ khẳng định đœng? A M lˆ t‰m mặt b•n ABB ' A' B M lˆ t‰m mặt b•n BCC ' B ' C M lˆ trung điểm cạnh BB ' D M lˆ trung điểm cạnh CC ' !!!" !" !!!" " !!!" " C‰u 21 Cho h“nh ch—p S.ABC c— SA = a, SB = b, SC = c vˆ c‡c điểm M, N lˆ trung điểm c‡c cạnh AB, SC C‡c điểm P,Q tr•n c‡c đường thẳng SA, BN cho PQ / / MN H‹y !!!" !" " " biểu diễn vŽctơ PQ theo ba vŽctơ a, b, c !!!" !" " " !!!" !" " " 1 1 1 A PQ = − a + b + c B PQ = − a + b + c 3 6 A k = −1 B k = ThuVienDeThi.com KHOỗ HC: BỗM SỗT TOậN DIN TOỗN 11 Video bi ging v li gii chi tiết c— website: www.vted.vn !!!" !" " " 1 C PQ = − a + b + c 3 !!!" !" " " 1 D PQ = − a + b + c 3 !!!" !" !!!" " !!!" " C‰u 22 Cho h“nh ch—p S.ABC c— SA = a, SB = b, SC = c vˆ c‡c điểm M, N lˆ trung điểm c‡c cạnh AB, SC C‡c điểm P,Q tr•n c‡c đường thẳng SA, BN cho PQ / /CM H‹y !!!" !" " " biểu diễn vŽctơ PQ theo ba vŽctơ a, b, c !!!" !!!" !" " " !" " " 2 A PQ = − a − b + c B PQ = a + b − c 3 3 3 !" " " !" " " !!!" !!!" 2 C PQ = a + b − c D PQ = − a − b + c 3 3 3 C‰u 23 Cho h“nh ch—p S.ABC c— độ dˆi c‡c cạnh b•n SA = 1, SB = 2, SC = vˆ c‡c g—c đỉnh ! ! ! S 600 , (ASB = BSC = CSA = 600 ) Gọi H lˆ điểm thuộc mặt phẳng (ABC) thoả m‹n !!!" !" !!!" " !!!" " !!!" SH ⊥ AB vˆ SH ⊥ AC Đặt SA = a, SB = b, SC = c H‹y biểu diễn vŽctơ SH theo ba vŽctơ !" " " a, b, c !!!" !!!" !" " " !" " " 2 26 26 a+ b− c a+ b+ c A SH = B SH = 25 25 25 25 25 25 !!!" !!!" !" " " !" " " 26 26 2 a− b− c a+ b+ c C SH = D SH = − 25 25 25 25 25 25 C‰u 24 Cho h“nh ch—p SABC c— SA = SB = 1, SC = vˆ c‡c g—c đỉnh A 600 Gọi H lˆ điểm thuộc đường thẳng SA vˆ N thuộc đường thẳng BC cho MN ⊥ SA, MN ⊥ BC Đặt !!!" !" !!!" " !!!" " !" " " !!!!" SA = a, SB = b, SC = c H‹y biểu diễn vŽctơ MN theo ba vŽctơ a, b, c !" " " !" " " !!!!" !!!!" 10 10 6 b+ c b− c A MN = − a + B MN = − a + 13 13 13 13 13 13 !!!!" !!!!" !" " " !" " " 6 10 10 b+ c b− c C MN = − a + D MN = − a + 11 11 11 11 11 11 C‰u 25 Cho tứ diện ABCD c— c‡c điểm M, N, P thuộc c‡c cạnh BC, BD vˆ AC cho BC = 4BM, AC = 3AP, BD = 2BN Mặt phẳng (MNP) cắt đường thẳng AD điểm Q T’nh tỉ số A AQ AD AQ AD = B AQ AD = C AQ AD = D AQ AD = -HẾT - Thầy: Đặng Thˆnh Nam (Hotline: 0976.266.202) Ð website: www.vted.vn - Fb: Fb.com/Mrdangthanhnam ThuVienDeThi.com ỗP ỗN 1A 11A 21D 2C 12D 22D 3D 13B 23A 4A 14B 24C 5A 15A 25B 6A 16C 7C 17D 8B 18C 9B 19D 10C 20? ThuVienDeThi.com KHOỗ HC: BỗM SỗT TOậN DIN TOỗN 11 Video bˆi giảng vˆ lời giải chi tiết c— website: www.vted.vn C Ð LỜI GIẢI CHI TIẾT !!!" !!!!" !!!" !" " "⎤ !" " " ⎞⎟ ⎡⎢ 1 ⎛⎜ ⎥ C‰u Ta c— AO = ⎜ AM + AN ⎟⎟ = ⎢ a + (b + c)⎥ = (a + b + c) (C) ⎠ ⎢2 2 ⎜⎝ ⎥⎦ ⎣ C‰u Theo giả thiết, ta c—: !!!" !!!" !!" !!!!" !!" !!" ⎞ 3 ⎛⎜ IA = − IM ⇒ DA − DI = − ⎜ DM − DI ⎟⎟⎟ ⎠ ⎜⎝ !!" !!!" !!!!" !!!" !!!" !!!" ⎞ 10 3⎛ ⇒ DI = DA + DM = DA + ⎜⎜ DB + DC⎟⎟⎟ ⎠ 7 14 ⎜⎝ !!!" !!!" !!!" !!" ⎞ ⎛⎜ Suy DI = ⎜⎜⎝14DA + 3DB + 3DC⎟⎟⎟⎠ (A) 20 C‰u Ta c— !!" !!!" !!!!" !!!" !!!" !!!" !!!!" ⎞⎟ ⎛ ⎞ ⎛⎜ ⎜ AI = ⎜ AB + AC '⎟⎟ = ⎜ AB + AB + AD + AA'⎟⎟⎟ ⎠ ⎜⎝ ⎠ ⎜⎝ !" !" !" " " " " ⎞⎟ 1 ⎛⎜ = ⎜ a + a + b + c⎟⎟ = a + b + c (A) ⎠ 2 ⎜⎝ !!!" !!!!" !!!!" !!!" !" ⎞⎟ ⎛⎜ C‰u Ta c— AO = ⎜ AM + AN ⎟⎟ , đ— AM = a ⎠ ⎜⎝ !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" " " 1 vˆ AN = AC + CN = AC + CD = AC + (AD − AC) = b + c 3 3 ! " " " ! " " " !!!" ⎛⎜ ⎞⎟ 1 V“ AO = ⎜⎜ a + b + c⎟⎟⎟ = a + b + c (C) 3 ⎟⎠ ⎜⎝ Thầy: Đặng Thˆnh Nam (Hotline: 0976.266.202) Ð website: www.vted.vn - Fb: Fb.com/Mrdangthanhnam ThuVienDeThi.com !!!!" !!!" !!!!" !!!" !!!" !!!!" " " !" C‰u Ta c— B 'C = AC − AB ' = AC − (AB + BB ') = c − b − a (B) !!!" !!!" !" !!!!" !!!" !!!" 1 C‰u Ta c— MN = SN − SM đ— SM = SA = a vˆ 2 !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" " " 1 SN = SB + BN = SB + BC = SB + (SC − SB) = c + b 4 4 !" " " !!!!" 1 V“ MN = − a + b + c (B) 4 !!!" !" !!!" " !!!" " C‰u 10 Đặt AB = a, AD = b, AC = c ta c— !!!!" !!!" !!!!" !!!" !!!" !!!" " " !" ⎞⎟ ⎞ ⎛⎜ ⎛⎜ MN = AN − AM = ⎜ AC + AD⎟⎟ − AB = ⎜ c + b − a⎟⎟⎟ ⎠ ⎠ ⎜⎝ ⎜⎝ !!!" !!!" !!!!" !!!" !!!" !!!" " !" 2 Ta c— AP = AD ⇒ AM + MP = AD ⇒ MP = b − a 3 !!!" !!!" !!!!" !!!" !!!" Vˆ BQ = kBC ⇒ BM + MQ = kBC suy !" ⎛ " !!!" !!!" !!!" !!!!" " !" ⎞⎟ !" ⎜⎜ ⎟ MQ = k(AC − AB) − BM = kc − ka + a = ⎜ − k⎟⎟ a + kc ⎜⎝ ⎟⎠ !!!" !!!!" !!!" Để ba vŽctơ MP, MN , MQ đồng phẳng ta phải c—: " " !" !!!!" !!!" !!!" "⎤ ⎡⎛ ⎡ " !" ⎤ ⎞⎟ !" ⎞⎟ ⎛⎜ ⎜⎜ ⎢ ⎥ ⎢ MN = xMP + yMQ ⇔ ⎜ c + b − a⎟⎟ = x ⎢ b − a ⎥ + y ⎢⎜ − k⎟⎟⎟ a + kc⎥⎥ ⎠ ⎟⎠ ⎜⎝ ⎥⎦ ⎢⎜⎝ ⎥⎦ ⎢⎣ !" " " " !" !" " ⎣ ⇔ −3a + 3b + 3c = (4xb − 3xa) + (3 − 6k)ya + 6kyc !" " " " ⇔ (3 − 3x + 3y − 6ky)a + (4x − 3)b + (6ky − 3)c = ⎪⎧⎪3 − 3x + 3y − 6ky = ⎪ 3 ⇔ x = ; y = ;k = ⇔ ⎪⎨4x − = ⎪⎪ 4 ⎪⎪6ky − = ⎩ Chọn đ‡p ‡n C !!!" !!!" !!!" " !" !!!" " !!!" !" !!!" " !!!" " C‰u 12 Đặt SA = a, SB = b, SC = c ta c— AB = SB − SA = b − a; SC = c vˆ !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !" ⎧ ⎪ 2 ⎪ MS = −2MA ⇒ −SM = −2(SA − SM ) ⇒ SM = SA = a ⎪ ⎪ ⎪ !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !3!!" !3!!" !!!" " " ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ NB = kNC ⇒ SB − SN = k(SC − SN ) ⇒ (k −1)SN = kSC − SB = kc − b ⎪ !" !!!!" !!!" !!!" " " ⎪ 2(k −1) ⎪ ⎪ a (k −1)MN = (k −1)(SN − SM ) = kc − b − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ !!!" !!!!" !!!" Để ba vŽctơ AB, MN , SC đồng phẳng ta phải c—: 10 ThuVienDeThi.com 11 KHOỗ HC: BỗM SỗT TOậN DIN TOỗN 11 Video bˆi giảng vˆ lời giải chi tiết c— website: www.vted.vn !" " !" " !!!!" !!!" !!!" " " 2(k −1) (k −1)MN = x AB + ySC ⇔ kc − b − a = x(b − a) + yc ⎧ ⎪ ⎧ ⎪ ⎪ 2(k −1) ⎪ ⎪ −x = − ⎪ ⎪ x = −1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇔⎪ ⇔⎪ ⎨ x = −1 ⎨k = − ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ y = k ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ y = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎩ Vậy k = − Chọn đ‡p ‡n D C‰u 13 Ta c— !!!" !!!!" !!!" !!!!" " " ⎛ ⎞⎟ ⎪⎧⎪ ⎪⎪ AP = −AD' = −⎜⎜⎜⎝ AD + DD'⎟⎟⎠ = −b − c ⎪⎪ !!!" !!!!" !!!!" !!!!" !!!!" !!!!" !!!" !!!!" !!!!" !!!" ⎪⎪ ' + C 'Q = AC ' − C ' D = AC ' − (AD − AC ') = 2AC ' − AD ⎨ AQ = AC !!!" !!!" !!!!" !!!" !" " " " !" " " ⎪⎪ ⎪⎪ = 2(AB + AD + AA') − AD = 2(a + b + c) − b = 2a + b + 2c !" " " ⎪⎪ !!!" !!!" !!!" ⎪⎪⎩ PQ = AQ − AP = 2a + 2b + 3c Chọn đ‡p ‡n B !" " " !" " !" " " " !!!" !" !!!" " !!!" " m2 C‰u 14 Đặt AB = a, AC = b, AD = c ta c— a = b = c = m vˆ a.b = a.c = b.c = !!!!" !!!" !!!!" !!!" !!!" !!!" !" " " ⎞⎟ 1 ⎛⎜ 1 Do đ— MN = AN − AM = ⎜ AC + AD⎟⎟ − AB = − a + b + c ⎠ 2 ⎜⎝ 2 Do đ— MN = !!!!" ⎛ !" " "⎞⎟ ⎜⎜ MN = ⎜− a + b + c⎟⎟⎟ = ⎜⎝ 2 ⎟⎠ m2 + m2 + m2 − m2 − m2 + m2 = m Chọn đ‡p ‡n B !!!!" !" !!!" " !!!" " C‰u 16 Đặt AA' = a, AB = b, AC = c !!" !!!" !!!!" !!!" !!!" !!!!" !" " ⎞⎟ ⎛ ⎞⎟ 1 ⎛⎜ AI = ⎜ AB + AB '⎟⎟ = ⎜⎜ AB + AB + AA'⎟⎟ = a + b ⎠ ⎜⎝ ⎠ 2 ⎜⎝ !!!" !!!!" !!!!" !!!!" !!!!" !!!" " !" ⎞⎟ ⎛ ⎞⎟ ⎛⎜ ⎜ AK = ⎜ AA' + AC '⎟⎟ = ⎜ AA' + AA' + AC⎟⎟ = a + c ⎠ ⎜⎝ ⎠ ⎜⎝ !!!!" !!!!" !!!" !!!!" !!!!" !!!!" Vˆ MB ' = kMC ' ⇒ AB '− AM = k(AC ' − AM ) !!!!" !!!!" !!!!" !" " !" " !" " " Suy (k −1)AM = kAC ' − AB ' = k(a + c) − (a + b) = (k −1)a − b + kc !!!!" !!" !!!" V“ bốn điểm A, I, M, K đồng phẳng n•n AM , AI , AK đồng phẳng, đ— Thầy: Đặng Thˆnh Nam (Hotline: 0976.266.202) Ð website: www.vted.vn - Fb: Fb.com/Mrdangthanhnam ThuVienDeThi.com 11 !!!!" !!" !!!" !" " " (k −1)AM = x AI + y AK ⇔ (k −1)a − b + kc = ⎛ !" " ⎞⎟ ⎜ x ⎜⎜ a + b⎟⎟⎟ + ⎟⎠ ⎜⎝ ⎛ !" "⎞⎟ ⎜ y ⎜⎜ a + c⎟⎟⎟ ⎜⎝ ⎟⎠ ⎧⎪ ⎧⎪ ⎪⎪k −1 = x + y ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ x = −1 ⎪⎪ ⎪ ⇔ ⎨−1 = x ⇔ ⎨ y = −1 ⎪⎪ ⎪⎪ y ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪k = − ⎪⎪k = 2 ⎪⎩ ⎪⎪⎩ Chọn đ‡p ‡n C C‰u 17 Ta c— !!!!" !!!" !!!!" !!!!" !!!!" !!!!" ⎞⎟ 1 ⎛⎜ MN = AN − AM = ⎜ AB ' + AC '⎟⎟ − AA' ⎠ 2 ⎜⎝ !!!" !!!!" !!!!" !!!!" ⎞ 1⎛ = ⎜⎜ AB + AA' + AC '⎟⎟⎟ − AA' ⎠ 2 ⎜⎝ " !" !" " " !" !" " " ⎞⎟ 1 ⎛⎜ 1 = ⎜b + a + a + b + c⎟⎟ − a = a + b + c (D) ⎠ 2 ⎜⎝ 2 !!!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !" " " ⎞⎟ 1 ⎛⎜ 1 C‰u 21 Ta c— MN = SN − SM = ⎜ SB + SC⎟⎟ − SA = − a + b + c ⎠ 2 ⎜⎝ 2 !!!" !!!" !" ⎪⎧⎪ ⎪⎪SP = kSA = ka " !!!" !!!" " ⎨ !!!" ⎪⎪SQ = mSN + (1 − m)SB = (1 − m)b + m c Vˆ ⎪ ⎪⎩ !!!" !!!" !!!" !" " " m PQ = SQ − SP = −ka + (1 − m)b + c !!!" !2 !!" Theo giả thiết bˆi to‡n ta c— hai vŽctơ PQ,CM m " !" " "⎞ !" " ⎛ 1 ⎟ m −k − m ⎜ −ka + (1 − m)b + c = n⎜⎜− a + b + c⎟⎟⎟ ⇔ = = ⇔ m = ;k = ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 3 −1 !" " " !!!" 1 Suy PQ = − a + b + c (D) 3 !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !!!" !" " " ⎞⎟ ⎛⎜ 1 C‰u 22 Ta c— CM = SM − SC = ⎜ SA + SB⎟⎟ − SC = a + b − c ⎠ ⎜⎝ 2 12 ThuVienDeThi.com 13 KHOỗ HC: BỗM SỗT TOậN DIN TOỗN 11 Video bi giảng vˆ lời giải chi tiết c— website: www.vted.vn ⎧ ⎪ !!!" !!!" !" ⎪ ⎪ ⎪ SP = kSA = ka ⎪ !!!" !!!" !!!" " " ⎪ ⎪ m ⎪ Vˆ ⎨SQ = mSN + (1 − m)SB = c + (1 − m)b ⎪ ⎪ ⎪ " ! !! " ! !! " ! !! " ! " " ⎪ m ⎪ PQ = SQ − SP = −ka + (1 − m)b + c ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ !!!" !!!" Theo giả thiết bˆi to‡n ta c— hai vŽctơ PQ,CM " !" " m −ka + (1 − m)b + c = m ⎛ !" " "⎞⎟ −k − m ⎜ n⎜⎜ a + b − c⎟⎟⎟ ⇔ = = ⇔ m = ;k = ⎜⎝ ⎟⎠ 3 −1 2 !" " " !!!" 1 Suy PQ = − a − b + c (D) 3 " " ! " ⎧⎪ ⎪⎪ a = 1, b = 2, c = ⎪ C‰u 23 Ta c— ⎪ ⎨ !" " !" " "" ⎪⎪ ⎪⎪a b = 1, a c = , bc = ⎪⎩ Biểu diễn c‡c vŽctơ ta c—: !!!" !!!" !!!" !!!" !" " " SH = xSA + ySB + (1 − x − y)SC = xa + yb + (1 − x − y)c vˆ !!!" !!!" !!!" " !" !!!" !!!" !!!" " !" AB = SB − SA = b − a; AC = SC − SA = c − a Theo giả thiết bˆi to‡n, ta c—: !!!" !!!" " !" !" " " SH ⊥ AB ⇔ SH AB = ⇔ (b − a)(xa + yb + (1 − x − y)c) = ⇔ x − x + y − y + 3(1 − x − y) − (1 − x − y) = ⇔ y = x −1 Tương tự: !!!" !!!" " !" !" " " SH ⊥ AC ⇔ SH AC = ⇔ (c − a)(xa + yb + (1 − x − y)c) 3x ⇔ − x + 3y − y + 9(1 − x − y) − (1 − x − y) = 2 ⇔ 14x + 11y −15 = !!!" !" " " ⎛ 26 ⎞⎟ 26 ⎜⎜ Giải hệ gồm hai phương tr“nh tr•n ta được: (x; y) = ⎜ ; ⎟⎟⎟ ⇒ SH = a+ b− c (A) ⎜⎝ 25 25 ⎟⎠ 25 25 25 Thầy: Đặng Thˆnh Nam (Hotline: 0976.266.202) Ð website: www.vted.vn - Fb: Fb.com/Mrdangthanhnam ThuVienDeThi.com 13 "2 ⎧⎪ !" " ⎪⎪a = b = 1, c = ⎪ !" " " " C‰u 24 Ta c— ⎨ !" " vˆ theo giả thiết, ta c— ⎪⎪ ⎪⎪a.b = , a.c = b.c = ⎪⎩ !!!" !!!" !" !!!" !!!" !!!" " " ⎧ ⎪ ⎪ SM = kSA = ka, SN = mSB + (1 − m)SC = mb + (1 − m)c ⎪ !" " " ⎨ !!!!" !!!" !!!" ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ MN = SN − SM = −ka + mb + (1 − m)c Suy !!!" !!!!" !" !" " " SA ⊥ MN ⇔ SA.MN = ⇔ a[−ka + mb + (1 − m)c] = ⇔ −k + m + (1 − m) = Vˆ !!!" !!!!" " " !" " " BC ⊥ MN ⇔ BC.MN = ⇔ (c − b)[−ka + mb + (1 − m)c] = k ⇔ −k + + m − m + 4(1 − m) − (1 − m) = !!!!" !" " " 10 10 Giải hệ hai phương tr“nh tr•n ta k = ,m = ⇒ MN = − a + b+ c (C) 11 11 11 11 11 !!!" !" !!!" " !!!" " C‰u 25 Đặt AB = a, AC = b, AD = c ta c— !!!!" !" " !!!" !" " !!!" " 1 AM = a + b; AN = (a + c); AP = b 4 !!!!" !" " !!!" !" " !!!" " !!!" !!!" " 1 Do đ— AM = a + b; AN = (a + c); AP = b; AQ = kAD = kc 4 !" " " !!!!" !!!" !!!!" ⎧ ⎪ 1 ⎪ MN = AN − AM = − a − b + c ⎪ ⎪ ⎪ 4 ⎪ !!!" !!!" !!!!" !" " ⎪ ⎪ Suy ⎪ b ⎨ MP = AP − AM = − a + ⎪ 12 ⎪ ⎪ !" " " !!!" !!!" !!!!" ⎪ ⎪ MQ = AQ − AM = − a − b + kc ⎪ ⎪ ⎪ 4 ⎪ ⎩ !!!!" !!!" !!!" Do bốn điểm M, N, P,Q đồng phẳng n•n MN , MP, MQ đồng phẳng, đ— ta c— điều kin 14 ThuVienDeThi.com 15 KHOỗ HC: BỗM SỗT TOậN DIN TOỗN 11 Video bi ging v li gii chi tit c— website: www.vted.vn !!!!" !!!" !!!" xMN + yMP = MQ ⇔ ⎛ !" " "⎞⎟ ⎜ x ⎜⎜− a − b + c⎟⎟⎟ + ⎜⎝ 4 ⎟⎠ " !" " " ⎛ !" ⎞⎟⎟ ⎜⎜ b⎟ = − a − b + kc y ⎜− a + ⎜⎝ 12 ⎟⎟⎠ 4 ⎧ ⎪ 3 ⎪ − x − y = − ⎪ ⎪ ⎪ 4 ⎪ ⎪ ⎛ 3 ⎞⎟ ⎪ AQ x y ⎜ ⎪ ⇔ ⎨− + ⇔ (x; y; k) = ⎜⎜ ; ; ⎟⎟⎟ ⇒ =− = (B) ⎪ ⎜ ⎟ AD 12 5 ⎠ ⎝ ⎪ ⎪ ⎪ x ⎪ =k ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ BËI GIẢNG ĐƯỢC BIæN SOẠN BỞI THẦY ĐẶNG THËNH NAM Thầy: Đặng Thˆnh Nam (Hotline: 0976.266.202) Ð website: www.vted.vn - Fb: Fb.com/Mrdangthanhnam ThuVienDeThi.com 15 ... + 3c C‰u 14 Cho tứ diện ABCD c— tất c‡c cạnh m C‡c điểm M, N lˆ trung điểm c‡c cạnh AB vˆ CD T’nh độ dˆi đoạn thẳng MN A MN = 2m B MN = m C MN = 3m D MN = m C‰u 15 Cho tứ diện ABCD c— tất c‡c... !!!!" 1 C MN = a − b + c D MN = a + b + c 2 !!!" !" !!!" " !!!" " C‰u 18 Cho tứ diện ABCD c— G lˆ trọng t‰m tứ diện Đặt BA = a,CA = b, DA = c Hỏi khẳng định nˆo đ‰y lˆ khẳng định đœng? !" " "... !!" !" !!" " " !" " " 1 1 C AI = a + b + c D AI = a + b + c 4 2 !!!" !" !!!" " !!!" " C‰u Cho tứ diện ABCD c— AB = a, AC = b, AD = c Gọi M lˆ trung điểm cạnh AB, N lˆ điểm tr•n cạnh CD cho ND =