PHÒNG GD&ĐT TAM ĐẢO ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2013-2014 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu (2,0 điểm): Cho biểu thức Q ( x 1 x3 2x 2 ) : x3 x x x x3 x x a) Rút gọn Q b) Tính giá trị Q biết x 4 c) Tìm giá trị ngun x để Q có giá trị nguyên Câu (2,0 điểm): a) Cho ba số x, y, z thỏa mãn: x + y + z = Tìm giá trị lớn B = xy + yz + xz b) Tìm x, y, z biết: x xy y z yz Câu (2,0 điểm): a) Cho đa thức f ( x) ax bx cx d Tìm a, b, c, d biết chia đa thức cho nhị thức (x - 1), (x - 2), (x - 3) có số dư x = -1 đa thức nhận giá trị -18 b) Cho a > 0, b > a + b =1 Chứng minh rằng: 1 a 1 b 1 Câu (1,5 điểm): Lúc An rời nhà để đến nhà Bình với vận tốc 4km/h Lúc 8giờ 20 phút Bình rời nhà để đến nhà An với vận tốc 3km/h An gặp Bình đường hai nhà Bình, sau An trở nhà Khi đến nhà An tính qng đường dài gấp lần quãng đường Bình Hãy tính khoảng cách từ nhà An đến nhà Bình Câu (2,5 điểm): Cho hình vng ABCD Gọi E điểm cạnh BC ( E khác B C) Qua A kẻ Ax vng góc với AE, Ax cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Đường thẳng kẻ qua E, song song với AB cắt AI G a) Chứng minh AE = AF tứ giác EGFK hình thoi b) Chứng minh AKF đồng dạng với CAF AF2= FK.FC c) Khi E thay đổi BC, chứng minh chu vi tam giác EKC không đổi Hết -Lưu ý: Giám thị coi thi khơng giải thích thêm DeThiMau.vn Câu HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2013-2014 MƠN: TỐN ý Hướng dẫn chấm Thang điểm a x 0;1;2 ĐKXĐ: x 1 x3 2x 2 Q 1 ( ) : x x x x x3 x x 0.5 x x 2( x x 1) x x 1 ( x 1)( x x 1) x( x 2) 0.25 x2 x x2 x 2x2 4x x ( x 2) 1 ( x 1)( x x 1) x( x 2) ( x 1)( x x 1) x( x 2) 0.25 2 x 1 1 x 1 x 1 b 0.5 x x =2 ( loại); Vậy với x =-1/2 Q = -3 x 4 x 1 / c 0.5 Q Z với x {-3;-2-1} a B= xy+z(x+y) = xy+ [3-(x+y)](x+y) = xy+3(x+y)-(x+y)2 = - x2-y2-xy+3x+3y 2 y 3 y y y 3 x x 1.0 = ( y 1) y 1 y 3 x y z 1 Dấu “=” xảy x x y z b a b Vậy giá trị lớn B x= y = z = y Từ x xy y suy ra: ( x ) ( y 4) y (1) y Từ z yz suy ra: ( z ) ( y 4) y (2) Từ (1) (2) suy ra: y - = y 2 Với y =2 x =1; z = -1 Với y = -2 x = -1; z = Ta có f(x) -6 chia hết cho (x-1), (x-2), (x-3) Vì f(x) bậc ba nên có dạng f(x) -6 =m(x-1).(x-2).(x-3), m số Lại có f(-1) = -18 -18-6=m(-2)(-3)(-4) m=1 Vậy f(x) -6 = (x-1).(x-2).(x-3) f(x) = x3-6x2+11x 1 3(a+1+b+1) 4(a+1)(b+1) a 1 b 1 4(ab+a+b+1) ( a+b =1) 4ab+ 4ab (a+b)2 4ab (a - b)2 với a, b Gọi khoảng cách từ nhà An đến nhà Bình x (km), x>0 Theo ta có quãng đường An 2x Suy quãng đường 2x x Bình là: DeThiMau.vn 1.0 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 Do qng đường Bình từ nhà đến gặp An từ nhà đến gặp Bình là: x 3x ( giờ), thời gian Bình từ 16 x (giờ) 12 Theo ra, ta có phương trình: 9x - 4x =16 x = 0.5 x 3x 4 Thời gian An từ nhà đến gặp Bình là: nhà đến gặp An x , quãng đường An 3x x 16 12 0.5 16 3,2 (km) 5 0.5 a b c Xét hai tam giác vuông ABE ADF có AB = AD, BAE = DAF (cùng phụ với DAE) Vậy ABE ADF AE=AF Vì AE=AF AI trung tuyến AEF AI EF Hai tam giác vng IEG IFK có IE=IF, IEG =IFK ( so le trong) nên IEG IFK EG=FK Tứ giác có EGFK có hai cạnh EG FK song song nên hình bình hành Hình bình hành EGFK có hai đường chéo GK EF vng góc nên hình thoi = CFA ( góc chung) Xét hai tam giác AKF CAF ta có AFK KAF = ACF = 450 ( AC đường chéo hình vng ABCD, AK trung tuyến tam giác vuông cân AEF) Suy AKF CAF AF FK AF FK FC FC AF Theo câu a) ta có: ABE ADF nên EB = FD Tứ giác EGFK hình thoi nên EK= KF Do chu vi tam giác CEKC =EK+ KC + CE =CF + CE=CD + DF + CE= 2CD ( không đổi) Tổng điểm DeThiMau.vn 1.0 1.0 0.5 10.0 ...Câu HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2013- 2014 MƠN: TỐN ý Hướng dẫn chấm Thang điểm a x 0;1;2 ĐKXĐ: x 1 x3