Toán 9 Giải và biện luận phương trình chứa căn thức34094

Χ ΓΙΑ⇔Ι ςΑ¬ ΒΙΕ⊗Ν ΛΥΑ⊗Ν ΠΗ√ΝΓ ΤΡ⊂ΝΗ ΧΗ√∧Α ΧΑ⊇Ν ΤΗ√∧Χ Ι ΚΙΕℑΝ ΤΗ√∧Χ ΧΑℵΝ ΝΗ∧ κηαχ Χαχη γιαι χυ⌡νγ γιο〈νγ νη γιαι βιεν λυαν χαχ πηνγ τρνη Νοι χηυνγ τα πηαι γιαι θυψε〈τ ϖα〈ν 〉ε◊: ∗ ∇ιε◊υ κιεν χο νγηιεm ∗ Χο βαο νηιευ νγηιεm ∗ Νγηιεm σο〈 βανγ βαο νηιευ Για σ ξετ πηνγ τρνη: Α = Β (1) ⎧⎪ξ − ≥ (2) ⇔ ξ − 2ξ + = ξ − ⇔ ⎨ 2 ⎪⎩ξ − 2ξ + = (ξ − 3) ⎧ξ ≥ ⎧4ξ = ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎩ξ ≥ ⎪⎩ξ = (λοαι) Ξετ ξ < 1: ξ − < : ⎧⎪− ξ − ≥ (2) ⇔ ξ − 2ξ + = − ξ − ⇔ ⎨ 2 ⎪⎩ξ − 2ξ + = (ξ + 1) ⎧ξ ≤ ⎪ Τοm λαι πηνγ τρνη χηο ϖο νγηιεm ⇔⎨ ⎪⎩ξ = (λοαι) ⎧⎪Β ≥ (2) (1) ⇔ ⎨ ⎪⎩Α = Β (3) Βχ 1: Γιαι πηνγ τρνη (3) ∇ιε◊υ κιεν χο νγηιεm χυα (3) ϖα σο〈 νγηιεm Βχ 2: Χηον νγηιεm τηοα 〉ιε◊υ κιεν (2), χο νηιε◊υ χαχη, το∑νγ θυατ τα χο τηε∑ τηε〈 τνγ νγηιεm χυα (2) ϖαο (1) 〉ε∑ 〉χ 〉ιε◊υ κιεν νηαν νγηιεm 〉ο Σαυ χυνγ τα πηαι το∑νγ ηπ χαχ νγηιεm τρεν Βιεν λυαν σο〈 νγηιεm χυα πηνγ τρνη : Νε〈υ πηνγ τρνη χο δανγ φ(ξ) = κ (ϖι κ κηονγ πηυ τηυοχ ϖαο ξ) τα γιαι βανγ κηαο σατ ηαm Ξετ ξ ≥ 1: (1) ⇔ ξ − 2ξ + m = ξ − − m ⎧⎪ ξ − − m ≥ ⎧ξ ≥ + m ⇔⎨ ⇔⎨ 2 ⎩2mξ = 2m + (3) ⎩⎪ ξ − 2ξ + m = (ξ − − m) + Νε〈υ m = 0: (3) ςΝ + Νε〈υ m ≠ : (3) ⇔ ξ = 2m + 2m 2m + −2m + ≥1+ m ⇔ ≥0 2m 2m 2 2m + −1≥ ⇔ m > ⇔m≤− ∨0 ϖ ξ ≥ + m ⇔ ΙΙ ΧΑ∧Χ ς⊆ DΥ∉ ς δυ 1: Χηο πηνγ τρνη : Ξετ ξ ≥ 1:⇒ ξ − ≥ ξ − 2ξ + m = ξ − − m (1) Γιαι πηνγ τρνη (1) ϖι m = 2 Γιαι ϖα βιεν λυαν πηνγ τρνη (1) τηεο m (∇Η Θυο〈χ Για ΤΠΗΧΜ ναm 1996) Γιαι ςι m = 2: (1) ⇔ ξ − 2ξ + = ξ − − (2) Ξετ ξ < 1: (1) ⇔ ξ − 2ξ + m = − ξ − m ⎧⎪ ξ − 2ξ + m = (1 − ξ − m)2 ⎧2mξ = 2m − ⇔⎨ ⇔⎨ (4) ⎩ξ ≤ − m ⎩⎪1 − ξ − m ≥ + Νε〈υ m = 0: (4) ςΝ 143 144 ThuVienDeThi.com + Νε〈υ m ≠ : (4) ⇔ ξ = 2m − 2m Νε〈υ < m < 2m − 2m − ≤1− m ⇔ ≤0 2m 2m 2 ⇔m≤− ∨0 0, m ≠ ς ξ ≤ − m ⇔ (∗) ⇔ ξ + (1 − m )2 + (1 + m )2 1+ m = ⇔ξ+ = ξ ξ 1− m (1 + m )(1 − m ) ⇔ (1 − m)ξ − (1 + m)ξ + − m = ∆ = (1 + m)2 − (1 − m)2 = −3m + 10m − ∆ = ⇔ m = 3∨ m = Νε〈υ < m < : (∗)ςΝ 145 ∨ m > : (∗) χο νγηιεm ξ= + m ± −3m + 10m − 1− m m = ⇒ ξ1 = ξ2 = − 1 m = ⇒ ξ1 = ξ = ς δυ 3: 3ξ − Χηο πηνγ τρνη : = 2ξ − + αξ ϖι α λα τηαm σο〈 τηχ 2ξ − 1 Γιαι πηνγ τρνη κηι α = Τm α 〉ε∑ πηνγ τρνη 〉α⌡ χηο χο νγηιεm δυψ νηα〈τ (∇Η Θυο〈χ Για ΤΠΗΧΜ Κηο〈ι Α 〉τ ναm 1998) Γιαι Κηι α = : ⎧2ξ − > 3ξ − ⎪ = 2ξ − ⇔ ⎨ 3ξ − − 2ξ + =0 2ξ − ⎪ 2ξ − ⎩ ⎧ ⎧ ξ> ⎪ξ > ⎪ ⎪⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪ 3ξ − 2ξ = ⎪ξ = ∨ ξ = ⇔ ξ = ⎪⎩ 2ξ − 3 ⎩⎪ Τm α 〉ε∑ πηνγ τρνη 〉α⌡ χηο χο νγηιεm δυψ νηα〈τ: 3ξ − 3ξ − 2ξ = αξ (∗) = 2ξ − + αξ ⇔ 2ξ − 2ξ − Νηαν ξετ ϖι ξ = 0: (∗) ⇔ = (ϖο λψ) −1 ⇒ ξ = κηονγ λα νγηιεm χυα (∗) 3ξ − =α ⇒ ξ ≠ : (∗) ⇔ 2ξ − 3ξ − 1⎞ 3ξ − ⎛ ∇ατ φ(ξ) = ⎜ ξ > ⎟ ⇒ φ ∋(ξ) = (2ξ − 1) 2ξ − 2ξ − ⎝ ⎠ 146 ThuVienDeThi.com 1 (κηονγ τηοα ξ > )⇒ ξ = (λοαι) 3 ⇒ φ ∋(ξ) > κηι ξ > ΒΒΤ: ΙΙΙ ΒΑ¬Ι ΤΑ⊗Π ∇Εℵ ΝΓΗ φ ∋(ξ) = ⇔ ξ = λιm ξ →∞ φ(ξ) = λιm ξ→∞ ( − ξ + + ξ ) 1− ξ +1+ ξ = λιm ξ →∞ =0 ( − ξ )2 − − ξ + ( + ξ ) −1 3 (1 − ξ)2 + −1 3 (1 + ξ)2 = α2 (ξ − 1) =ξ− α (1) ξ −1 Γιαι πηνγ τρνη (1) κηι α = Γιαι ϖα βιεν λυαν πηνγ τρνη (1) τηεο τηαm σο〈 α (∇Η Dαν Λαπ Νγοαι Νγ⌡ ςα Τιν Ηοχ ναm 1998) ΒΒΤ χηο ∀α ∈ Ρ , πηνγ τρνη 〉α⌡ χηο λυον χο νγηιεm δυψ νηα〈τ ς δυ 4: ςι νη⌡νγ για τρ∫ ναο χυα α τη πηνγ τρνη: − ξ + + ξ = α χο νγηιεm (∇Η Νγοαι Τηνγ ΤΠΗΧΜ ναm 1998 Κηο〈ι D) Γιαι ∇ατ φ(ξ) = − ξ + + ξ φ ∋(ξ) = ξ2 + ξ + 3.1 Χηο πηνγ τρνη: 3.2 Τm για τρ∫ λν νηα〈τ ϖα για τρ∫ νηο νηα〈τ χυα ηαm σο〈: ψ = ξ −1 + − ξ Τm 〉ιε◊υ κιεν χυα τηαm σο〈 τηχ m 〉ε∑ πηνγ τρνη σαυ χο νγηιεm: ξ − + − ξ − (ξ − 1)(3 − ξ) = m (∇Η Ψ ΤΠΗΧΜ ναm 1999) 3.3 Τm τα〈τ χα χαχ για τρ∫ χυα α 〉ε∑ πηνγ τρνη σαυ χο νγηιεm δυψ νηα〈τ − ξ2 + − ξ2 = α (∇Η Γιαο Τηονγ ςαν Ται ΤΠΗΧΜ ναm 1999) − (1 + ξ)2 + (1 − ξ)2 3.4 Γιαι ϖα βιεν λυαν τηεο τηαm σο〈 m πηνγ τρνη : 3 (1 − ξ)2 (1 + ξ)2 ξ − 2mξ + + = m φ ∋(ξ) = ⇔ (1 − ξ)2 = (1 + ξ)2 ⇔ ξ = ΒΒΤ: 3.5 ∇∫νη τηεο m σο〈 νγηιεm χυα πηνγ τρνη : ξ + 4ξ + m + ξ + 4ξ + m = 3.6 Χηο πηνγ τρνη : ξ + − ξ + ξ + − ξ = m (∗) Γιαι πηνγ τρνη (∗) κηι m = + 2 ∇∫νη m 〉ε∑ πηνγ τρνη (∗) χο νγηιεm δυψ νηα〈τ ΒΒΤ χηο τα πηνγ τρνη χο νγηιεm κηι < α ≤ 147 148 ThuVienDeThi.com Η√∧ΝΓ DΑ℘Ν ςΑ¬ ΤΟ∧Μ ΤΑ⊃Τ 3.7 Γιαι πηνγ τρνη : + − ξ ⎡ (1 + ξ) − (1 − ξ) ⎤ = + − ξ ⎢⎣ ⎥⎦ 3 3.1 ξ2 + ξ + α2 (ξ − 1) =ξ− α ξ −1 α α ⎧ ⎧ ≥0 ⎪ξ − ⎪ξ ≥ ∇ιε◊υ κιεν : ⎨ ⇔⎨ ξ −1 ξ − (1) ⎪⎩ξ ≠ ⎪⎩ξ ≠ (1) ⇔ ξ + ξ + ⇔ ξ + 2ξ α2 (ξ − 1) = ξ2 + α2 (ξ − 1) − 2αξ ξ −1 ⎡ξ = α ξ(ξ − + 2α) =0⇔ =0 ⇔⎢ ξ −1 ξ −1 ⎣ ξ = − 2α Κηι α = 1: ξ = 0, ξ = − 1 ξ2 − ξ − 1− 1+ (1) ⇔ ξ ≥ ⇔ ≥0⇔ ≤ ξ < 1∨ ξ ≥ ξ −1 ξ −1 2 ⇒ νγηιεm χυα πηνγ τρνη : ξ = Γιαι ϖα βιεν λυαν πηνγ τρνη : α α ξ2 − ξ − α ⇔ξ− ≥ ⇔ φ(ξ) = ≥0 ∇ιε◊υ κιεν ξ ≥ ξ −1 ξ −1 ξ −1 (1 − 2α)2 − + 2α − α α(3 − 4α) φ(0) = α, φ(1 − 2α) = = − 2α − 2α ΒΒΤ: α < 0: νγηιεm α = 0: νγηιεm 149 150 ThuVienDeThi.com 0 : νγηιεm α= ΒΒΤ ⇒ (∗) χο νγηιεm ⇔ ≤ m ≤ 3.2 ⎧ξ − ≥ ⇔1≤ ξ ≤ ψ = ξ − + − ξ ∇ιε◊υ κιεν ⎨ ⎩3 − ξ ≥ 3.3 ψ∋ = − ξ − ξ −1 −2ξ + − = = ξ − − ξ ξ − − ξ ξ − − ξ ( − ξ + ξ − 1) ψ∋ = ⇔ ξ = ΒΒΤ: ⇒ Για τρ∫ λν νηα〈τ λα γ(2) = Για τρ∫ νηο νηα〈τ λα γ(1) = γ(3) = ∇ατ φ(ξ) = − ξ + − ξ Μξ〉: D = [1,3] 1 − ξ + − ξ = α (1) ΜΞD: D = [ −1,1] ⇒ φ ∋(ξ) = −ξ − ξ2 − 6ξ − ξ = φ ∋(ξ) = ⇔ ξ = ∨ ξ = ± ξ(6ξ − 7) − ξ2 ΒΒΤ: (1) χο νγηιεm δυψ νηα〈τ ⇔ α = ξ − + − ξ − (ξ − 1)(3 − ξ) = m (∗) 3.4 ∇ατ τ = ξ − + − ξ ⇒ ≤ τ ≤ (τηεο χαυ 1) ξ − 2mξ + + = m (1) (1) ⇔ ξ − 2mξ + = (m − 2) ϖα m ≥ τ = ξ − + − ξ + (ξ − 1)(3 − ξ) = + (ξ − 1)(3 − ξ) ⇔ ξ − 2mξ − (m − 4m + 3) = ϖα m ≥ τ2 − ⇒ (ξ − 1)(3 − ξ) = 2 ⎛ τ −2⎞ (∗) ⇔ τ − ⎜ = m ⇔ φ(τ) = − τ + τ + = m ⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠ φ ∋(τ) = −τ + , φ ∋(τ) = ⇔ τ = ∆ ∋ = m + m − 4m + = 2(m − 1)2 + > 0, ∀m ςαψ: m < 2: πηνγ τρνη (1) ςΝ m ≥ : πηνγ τρνη (1) χο νγηιεm ξ1 = m + 2m − 4m + , ξ = m − 2m − 4m + 151 152 ThuVienDeThi.com Για σ ξ0 λα νγηιεm χυα πηνγ τρνη (1) τη − ξ0 χυ⌡νγ λα νγηιεm χυα πηνγ τρνη (1), νεν 〉ε∑ (1) χο νγηιεm δυψ νηα〈τ τα πηαι χο: ξ0 = − ξ0 ⇔ ξ0 = 1 1 Τηαψ ξ = ϖαο (1) : + + + =m ⇒ 2+ 2 =m 2 2 ξ + 4ξ + m + ξ + 4ξ + m = (1) 3.5 ∇ατ τ = ξ + 4ξ + m (τ ≥ 0) (1) ⇔ τ + τ − = ⇔ τ = τ = : ξ + 4ξ + m = ⇔ ξ + 4ξ + m = 16 ⇔ φ(ξ) = ξ + 4ξ = 16 − m Τη λαι: ϖι m = + 2 τηεο χαυ τη πηνγ τρνη χο νγηιεm δυψ νηα〈τ ξ = φ(ξ) λιεν τυχ τρεν Ρ, φ ∋(ξ) = 4ξ + φ ∋(ξ) = ⇔ ξ = −1 ⇒ φ(−1) = −3 ΒΒΤ: ςαψ m = + 2 τη (1) χο νγηιεm δυψ νηα〈τ 3.7 ∇ιε◊υ κιεν −1 ≤ ξ ≤ (1 − ξ)3 − (1 − ξ)3 = ( + ξ )3 − ( − ξ )3 Τ ΒΒΤ τα συψ ρα: 16 − m < −3 ⇔ m > 19 : (1)ςΝ = ( + ξ − − ξ )(1 + ξ + − ξ + − ξ ) 16 − m = −3 ⇔ m = 19 : (1) χο νγηιεm ξ = − = ( + ξ − − ξ )(2 + − ξ ) 16 − m > −3 ⇔ m < 19 : (1) χο νγηιεm : ξ1 < −1 < ξ 3.6 Πηνγ τρνη χηο ⇔ + − ξ ( + ξ − − ξ ) ⇔ + − ξ2 ( + ξ − − ξ ) = ξ + − ξ + ξ + − ξ = m (1) Κηι m = + 2 (1) ⇔ ξ + − ξ + ξ + − ξ = + 2 ⇔ + − ξ2 ( + ξ − − ξ ) = (2) ⇔ + − ξ2 ( + ξ − − ξ ) = Α∧π δυνγ βα〈τ 〉ανγ τηχ ΒΧΣ, τα χο: ξ + − ξ ≤ 2(ξ + − ξ) = ⇔ ( + ξ + − ξ )2 ( + ξ − − ξ ) = ⇔ ( + ξ + − ξ )( + ξ − − ξ ) = ξ + − ξ ≤ 2( ξ + − ξ ) ≤ 2 ⇔ 1+ ξ −1+ ξ = ⇔ ξ = ⇒ ξ + 1− ξ + ξ + 1− ξ ≤ + 2 ⎧ ξ = 1− ξ ⎪ Dα〈υ ∀=∀ ξαψ ρα ⇔ ⎨ 4 ⎪ ξ = 1− ξ ⇔ ξ = 1− ξ ⇔ ξ = ⎩ 153 154 ThuVienDeThi.com ∈ [ −1,1] ... ξ) = m (∇Η Ψ ΤΠΗΧΜ ναm 199 9) 3.3 Τm τα〈τ χα χαχ για τρ∫ χυα α 〉ε∑ πηνγ τρνη σαυ χο νγηιεm δυψ νηα〈τ − ξ2 + − ξ2 = α (∇Η Γιαο Τηονγ ςαν Ται ΤΠΗΧΜ ναm 199 9) − (1 + ξ)2 + (1 − ξ)2... 199 8) ΒΒΤ χηο ∀α ∈ Ρ , πηνγ τρνη 〉α⌡ χηο λυον χο νγηιεm δυψ νηα〈τ ς δυ 4: ςι νη⌡νγ για τρ∫ ναο χυα α τη πηνγ τρνη: − ξ + + ξ = α χο νγηιεm (∇Η Νγοαι Τηνγ ΤΠΗΧΜ ναm 199 8... συψ ρα: 16 − m < −3 ⇔ m > 19 : (1)ςΝ = ( + ξ − − ξ )(1 + ξ + − ξ + − ξ ) 16 − m = −3 ⇔ m = 19 : (1) χο νγηιεm ξ = − = ( + ξ − − ξ )(2 + − ξ ) 16 − m > −3 ⇔ m < 19 : (1) χο νγηιεm : ξ1